高二数学必修5第2章第1课时学案[1]

【高二数学学案】§1.1 正弦定理和余弦定理第一课时 正弦定理组题人：张玉辉 时间：2007.8一、1、基础知识设∆ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 是∆ABC 的外接圆半径。

（1）正弦定理： = = =2R 。

（2）正弦定理的三种变形形式：①==b A R a ,sin 2 ，c= 。

②==B Ra A sin ,2sin ，=C sin 。

③=cb a :: 。

（3）三角形中常见结论：①A+B+C= 。

②a <⇔b 。

③任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边。

④2sinB A += ，=+)s i n (B A ，)(2sin B A += 。

2、课堂小练（1）在ABC ∆中，若A sin >B sin ，则有（ ）A 、a <bB 、a ≥bC 、a >bD 、a ，b 的大小无法确定 （2）在ABC ∆中，A=30°，C=105°，b=8，则a 等于（ ）A 、4B 、24C 、34D 、54（3）已知ABC ∆的三边分别为c b a ,,，且a b B A :cos :cos =，则ABC ∆是 三角形。

二、例题例1、根据下列条件，解ABC ∆：（1）已知 30,7,5.3===B c b ，求C 、A 、a ；（2）已知B=30°，2=b ，c=2，求C 、A 、a ；（3）已知b=6，c=9，B=45°，求C 、A 、a 。

例2、在ABC ∆中，CB C B A cos cos sin sin sin ++=，试判断ABC ∆的形状。

三、练习1、在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ∆是等腰三角形或直角三角形。

2、在ABC ∆中，5:3:1::=c b a ，求C BA sin sin sin 2-的值。

四、课后练习1、在ABC ∆中，下列等式总能成立的是（ ）A 、A c C a cos cos =B 、A cC b sin sin =C 、B bc C ab sin sin =D 、A c C a sin sin =2、在ABC ∆中， 120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ）A 、35B 、53C 、73D 、753、在ABC ∆中，已知 60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ）A 、24B 、34C 、64D 、3324、在ABC ∆中，A=60°，24,34==b a ，则角B 等于（ ）A 、45°或135°B 、135°C 、45°D 、以上答案都不对5、根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）A 、 30,16,8===A b a ，有两解B 、 60,20,18===B c b ，有一解C 、 90,2,5===A b a ，无解D 、 150,25,30===A b a ，有一解6、已知ABC ∆中， 45,60,10===C B a ，则c 等于（ ）A 、310+B 、)13(10-C 、)13(10+D 、3107、在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 22=，则此三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、直角或等腰三角形8、在ABC ∆中，C=2B ，则B Bsin 3sin 等于（ ）A 、a bB 、b aC 、c aD 、a c9、在ABC ∆中，已知 45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理，三角形有两解，则x 的取值范围是（）A 、2<x <22B 、x >22C 、2<x <2D 、0<x <210、三角形两边之差为2，夹角的余弦值为53。

数学 5 第二章数列一、课程要求数列作为一种特别的函数，是反应自然规律的基本模型。

在本模块中，学生将经过对平时中大批实质问题的剖析，成立等差数列和等比数列这两种模型，研究并掌握它们的一些基本数量关系，感觉这两种数列模型的宽泛应用，并利用它们解决一些实质问题。

1、认识数列的观点，观点2、理解等差数列的观点，研究并掌握等差数列的通项公式，领会等差数列的通项公式与一次函数之间的关系。

3、研究并掌握等差数列的前n 项和公式，领会等差数列的前n 项和公式与二次函数之间的关系。

4、理解等比数列的观点，研究并掌握等比数列的通项公式，领会等比数列的通项公式与指数函数之间的关系。

5、研究并掌握等比数列的前n 项和公式，领会等比数列的前n 项和公式与指数型函数之间的关系。

6、能在详细的问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

二、编写企图：1、数列是刻画失散过程的重要数学模型，数列的知识也是高等数学的基础，它能够当作是定义在正整数集或其有限子集的函数，所以，从函数的角度来研究数列，即是对函数学习的延长，也是一种特别的函数模型。

2、本章力争经过详细的问题情形显现，帮助学生认识数列的观点，经过对详细问题的研究，理解与掌握两类特别的数列，并应用它们解决实质生活中有关的一些问题。

编写中表现了数学根源于生活，又服务于生活的这类基础的特色，使学生感觉到又和蔼又好奇，充满魅力。

3、教材在例题、习题的编排上，着重让学生要点掌握数列的观点、特别数列的通项公式、乞降公式等，并应用这些知识解决实质生活中的问题，浸透函数思想解决问题。

4、教材在内容设计上突出了一些重要的数学思想方法。

如类比思想、概括思想、数形联合思想、算法思想、方程思想、特别到一般等思想贯串于全章内容的一直。

5、教材在知识内容设计上，注意了数列与函数、算法、微积分、方程等的联系，适量应用现代信息计术，帮助学生理解数学，提升数学学习的兴趣。

三、教课内容及课时安排建议本章教课时间约 12 课时2.1数列的观点与简单表示法约 2课时2.2等差数列约 2课时2.3等差数列的前 n 项和约2课时2.4 等比数列约 2课时2.5等比数列的前 n 项和约2课时问题与小结约2课时四、评论建议1、重视对学生数学学习过程的评论关注学生在数列知识学习过程中，能否对所表现的现实问题情境充满兴趣；在学习过程中，可否发现数列的等差关系或等比关系，领会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。

第二章 数列本章整合知识网络专题探究专题一 求数列的通项公式数列的通项是数列的重要内容之一，只要有数列的通项公式，许多问题就可迎刃而解．如果一个数列是等差数列或等比数列，则可直接写出其通项公式，而对于非等差、等比数列的通项公式可通过适当的变形、构造等使之成为等差或等比数列来求解．因此数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的关键，现根据数列的结构特征把常见求解方法和技巧总结如下．(一)观察法【应用1】 已知数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则此数列的一个通项公式是________．提示：已知数列的前若干项，求该数列的通项公式时，一般先对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项公式．解析：观察数列每项的绝对值，分母为2，4，8，16，32，…，是2n的形式，而分子，从第二项起满足“分子－分母＝－3”，因此改写第一项为－－12，这样，数列中每一项的绝对值都满足“分子－分母＝－3”这一规律，且数列中每一项的符号为“－”“＋”交替出现，故a n ＝(－1)n2n－32n ．答案：a n ＝(－1)n2n－32n(二)定义法【应用2】 等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25．求数列{a n }的通项公式．提示：本题已知{a n }是等差数列，可建立首项和公差的方程，通过解方程来求得首项和公差，再代入通项公式得其解．解：设数列{a n }的公差为d (d >0)． ∵a 1，a 3，a 9成等比数列，∴23a ＝a 1a 9， 即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得d 2＝a 1d ． ∵d ＞0，∴a 1＝d ．① ∵S 5＝25a ，∴5a 1＋5×42d ＝(a 1＋4d )2．②由①②，得a 1＝35，d ＝35．∴a n ＝35＋(n －1)×35＝35n ．(三)S n 法【应用3】 设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1．求数列{a n }和{b n }的通项公式．提示：本题已知S n 的表达式，自然想到使用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求解．解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时也适用， 故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2．设{b n }的公比为q ，则b 2(a 2－a 1)＝b 1qd ＝b 1，又d ＝4， ∴q ＝14．又a 1＝b 1＝2，故b n ＝b 1qn －1＝2×14n －1，即{b n }的通项公式为b n ＝24n －1．(四)累加法【应用4】 已知在数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝3n－n ，求数列{a n }的通项公式． 提示：由于本题给出了数列{a n }中连续两项的差，故可考虑用累加法求解． 解：由a n ＋1－a n ＝3n－n ， 得a n －a n －1＝3n －1－(n －1)，a n －1－a n －2＝3n －2－(n －2)，…a 3－a 2＝32－2， a 2－a 1＝3－1．当n ≥2时，以上n －1个等式两端分别相加，得 (a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1) ＝3n －1＋3n －2＋…＋3－[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]，即a n －a 1＝3(1－3n －1)1－3－n (n －1)2．又∵a 1＝1，∴a n ＝12×3n－n (n －1)2－12．显然a 1＝1也适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝12×3n－n (n －1)2－12．(五)迭乘法【应用5】 已知在数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 与a n 的关系是S n ＝n (2n －1)a n ，求a n ．提示：此题已知S n 与a n 的关系，应想到使用S n 法，然后得到相邻两项比的等式满足a n＝a n －1f (n )这种模型，因此使用迭乘法求解．解：当n ≥2时，由S n ＝n (2n －1)a n ，得S n －1＝(n －1)(2n －3)·a n －1，两式相减，得(2n ＋1)a n ＝(2n －3)a n －1， ∴a n a n －1＝2n －32n ＋1． ∴a n －1a n －2＝2n －52n －1，…，a 2a 1＝15． 将上面n －1个等式相乘，得a n a 1＝(2n －3)(2n －5)(2n －7)…·3·1(2n ＋1)(2n －1)(2n －3)…·7·5＝3(2n ＋1)(2n －1)，∴当n ≥2时，a n ＝1(2n ＋1)(2n －1)．当n ＝1时，a 1＝13满足上式，故对n ∈N ＋，有a n ＝1(2n ＋1)(2n －1)．(六)辅助数列法【应用6】 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，求数列{a n }的通项公式．提示：对于a n ＋1＝pa n ＋q 这一类型的递推关系式，常用配常数法求通项公式．设a n ＋1＋k ＝p (a n ＋k )，对比递推关系式，可得k ＝qp －1，构造出等比数列{a n ＋k }．解：令a n ＋1＋k ＝12(a n ＋k )，∵a n ＋1＝12a n ＋1，对比可得k ＝－2，∴a n ＋1－2＝12(a n －2)．∴{a n －2}是首项为a 1－2＝－1，公比为12的等比数列．∴a n －2＝－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1．∴a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2．专题二 数列的求和问题我们已学习了等差数列和等比数列，并熟悉了有关等差数列和等比数列的求和公式，然而有些数列既不是等差数列，又不是等比数列，像这样的数列如何求和呢？数列的求和常涉及分类讨论、转化化归等思想方法．在求数列的前n 项和S n 时，要掌握以下几种常用的方法：(一)并项转化求和法【应用1】 求和：S n ＝12－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002． 提示：根据条件可知：前后两项相互结合，利用公式化简求值得出和． 解：由平方差公式，得S n ＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋(5－6)(5＋6)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－[(1＋2)＋(3＋4)＋(5＋6)＋…＋(99＋100)]＝－(1＋2＋3＋4＋…＋100) ＝－100×(1＋100)2＝－5 050． (二)倒序相加法【应用2】 在等差数列{a n }中，前4项的和为16，后4项的和为80，所有项之和为240，求这个数列的项数．提示：从题意可知前4项和与后4项和，又此数列是等差数列，具有与首尾“等距”的两项之和相等的特点，因此采用倒序相加法．解：设此数列{a n }共有n 项，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝16，① a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80．②以上两式相加，得4(a 1＋a n )＝16＋80， 解得a 1＋a n ＝24． 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝240，即n ×242＝240，解得n ＝20．所以数列的项数为20． (三)拆项分组求和法【应用3】 求数列1＋1，1a ＋4，1a 2＋7，1a 3＋10，…，1an －1＋(3n －2)，…的前n 项和．提示：本题通项公式为a n ＝1an －1＋(3n －2)，是一个指数式和一个一次式的和组成的，可以选择拆项分组求和法．解：设数列的通项为a n ，前n 项和为S n ，则 a n ＝1an －1＋(3n －2)，∴S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ＋1a2＋…＋1a n －1＋[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]．当a ＝1时，S n ＝n ＋(1＋3n －2)n 2＝3n 2＋n2．当a ≠1时，S n ＝1－1a n1－1a＋(1＋3n －2)n 2＝a n －1a n －a n －1＋(3n －1)n2．(四)错位相减法【应用4】 已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．提示：(1)中利用基本量法列出关于a 1与d 的方程组即可求出a n ；(2)利用错位相减法．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ．(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n ．所以，当n >1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ．所以S n ＝n2n －1．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1．(五)裂项相消求和法【应用5】 求数列112＋2，122＋4，132＋6，142＋8，…的前n 项和．提示：先找出数列的通项公式a n ＝1n 2＋2n ，结合其结构形式将1n 2＋2n 化为1n (n ＋2)即可进行裂项相消求和．解：因为通项a n ＝1n 2＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以此数列的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)． 专题三 数列与数学思想数学思想方法对认知结构起着重要作用，是重要的基础知识，是知识转化为能力的桥梁．求解数列问题常用的数学思想有函数思想、方程思想、整体思想、分类讨论思想、转化思想等．(一)函数思想【应用1】 等差数列{a n }的首项为a 1＝14，前n 项和为S n ，若S 3＝S 5，则当n ＝__________时，S n 最大．提示：本题利用了等差数列前n 项和具有的二次函数性质，等差数列前n 项和的最值问题经常借助求解二次函数最值的方法来解决．解析：∵数列{a n }为等差数列，a 1＝14，S 3＝S 5，得3a 1＋3×22d ＝5a 1＋5×42d ． ∴d ＝－27a 1＝－4．∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d＝14n ＋n (n －1)2·(－4)＝－2n 2＋16n ．注意到函数y ＝－2x 2＋16x 的对称轴是x ＝－162×(－2)＝4．又∵n ∈N ＋，∴n ＝4时，S n 最大． 答案：4 (二)方程思想【应用2】 已知在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝26，a 1＋a 5－S 3＝5，求a 20及S 20． 提示：等差(比)数列的有关问题大都可以建立关于a 1，d (q )的方程组求解． 解：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 5＝26a 1＋a 5－S 3＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 5＝26，S 3＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝26，3a 1＋3d ＝21.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝6.∴a 20＝a 1＋19d ＝1＋19×6＝115，S 20＝a 1＋a 202×20＝1 160．(三)整体思想【应用3】 某等差数列前4项之和为－4，最后4项之和为36，且所有项的和为36，则此数列共有______项．提示：解题时，分析已知条件与所求问题的联系，把a 1＋a 2＋a 3＋a 4以及a n ＋a n －1＋a n -2＋a n －3看成一个整体，灵活运用整体思想．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－4a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝36⇒4(a 1＋a n )＝32， ∴a 1＋a n ＝8． 又∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝36，∴4n ＝36．∴n ＝9，即该数列共有9项． 答案：9(四)分类讨论思想【应用4】 已知等比数列{a n }是一个公比为q 的递增数列，且a 5＝a ，a 9＝a81，则该数列的首项a 1______0．(选填“＞”或“＜”)提示：当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论．在本题中，由于等比数列的增减性与a 1，q 相关，所以应对q 的取值进行讨论．解析：∵a n ＝a m qn －m，∴qn －m＝a na m，q 4＝a 9a 5＝181， ∴q 2＝19．∴q ＝±13．当q ＝－13时，显然数列为摆动数列，不合题意，舍去．当q ＝13时，a n ＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1．∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x为减函数，∴当a 1<0时，a n 单调递增． 答案：<。

学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零． 知识点二 等差中项的概念如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y2.思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b . 答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a ＋b2.知识点三 等差数列的通项公式若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用叠加法证明．1．数列4,4,4，……是等差数列．( √ ) 2．数列3,2,1是等差数列．( √ )3．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n ＋1，n ≥2，则{a n }是等差数列．( × )4．等差数列{a n }中，a 1，n ，d ，a n 任给三个，可求其余．( √ )题型一 等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，….解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．反思感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n ＋1－a n (n ≥1，n ∈N ＋)是不是一个与n 无关的常数． 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列 答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2， ∴{a n }是公差为2的等差数列． 题型二 等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列． 解 ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项． 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6. 所以m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.题型三 等差数列通项公式的求法及应用 例3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝15.a 1＋16d ＝39，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5. 令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项．(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝－1.∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ， 所以a 10＝13－10＝3.反思感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 解 (1)由a 1＝8，a 2＝5，得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3， 由n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1.由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100， 即－401是这个数列的第100项．等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n，且a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 由a n ＋1＝3a n ＋3n，两边同时除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋13，即a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13. 由等差数列的定义知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以a 13＝13为首项，13为公差的等差数列．(2)解 由(1)知a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n3，故a n ＝n ·3n -1，n ∈N ＋.典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2， 而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)， ∴{a n }不是等差数列．(2)当n ≥2时，a n 是等差数列，公差为2. 当n ≥2时，a n ＝1＋2(n －2)＝2n －3， 又a 1＝1不适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2答案 D2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2B ．3C ．－2D ．－3 答案 C解析 由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30°B．60°C．90°D．120° 答案 B解析 因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列．5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92B ．47C ．46D ．45 答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列． 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 ∵a 4－a 2＝2d ＝6－4＝2.∴d ＝1.2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52B ．62C ．－62D ．－52 答案 A解析 公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝a 1＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52. 3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．52B ．51C ．50D ．49 答案 A解析 因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d ＝2＋100×12＝52.4．若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26B ．29C ．39D ．52 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z ，21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.5．已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A ．15B ．22C ．7D ．29 答案 A解析 设{a n }的首项为a 1，公差为d ， 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.6．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3，∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ， ∴a 7＝2＞0，a 8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项．7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则a b等于( ) A.14B.12C.13D.23 答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ，∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8．在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( ) A.12B.13C.14D.16 答案 A 解析 由题意可得2a 4＋1＝1a 2＋1＋1a 6＋1，解得a 4＝12，故选A. 二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为__________________． 答案 a n ＝n4＋1，n ∈N ＋解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74，∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n4＋1，n ∈N ＋.10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案6766解析 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3.三、解答题12．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式． 解 设数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. 13．已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由1a n ＋1－2＝16a n －4a n ＋2－2＝a n ＋26a n －4－2a n ＋2＝a n ＋24a n －8＝a n －2＋44a n －2＝1a n －2＋14， 得1a n ＋1－2－1a n －2＝14，n ∈N ＋，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列． (2)解 由(1)知1a n －2＝1a 1－2＋(n －1)×14＝n ＋34， 所以a n ＝2n ＋10n ＋3，n ∈N ＋.14．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 10＝________. 答案110解析 易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2，n ∈N ＋)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110.15．已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N ＋)，求数列{a n }的通项公式． 解 由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项 分别构成公差为－2的等差数列．当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ， ∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数)．当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2＝7－2k . ∴a n ＝7－n (n 为偶数)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。

第1课时等比数列的概念及通项公式1．理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)2．会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3．会证明一个数列是等比数列．(难点)[基础·初探]教材整理1 等比数列的概念阅读教材P49的有关内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列中，各项与公比均不为零．( )(2)数列a，a，…，a一定是等比数列．( )(3)等比数列{a n}中，a1，a3，a5一定同号．( )【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2 等比数列的通项公式阅读教材P51～P52，完成下列问题．如果数列{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为a n＝a1q n－1(a1≠0，q≠0)．1．在等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，则a n＝________.【解析】∵a4＝a1q3，∴q3＝8，∴q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n.【答案】2n2．在等比数列{a n}中，已知a1＝3，q＝3，若a n＝729，则n＝________.【解析】∵a n＝a1q n－1，a1＝3，q＝3，∴729＝3·3n －1＝3n，∴n ＝6.【答案】 6教材整理3 等比中项阅读教材P 54第11题，完成下列问题．1．若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，且满足G 2＝ab . 2．若数列{a n }是等比数列，对任意的正整数n (n ≥2)，都有a 2n ＝a n －1·a n ＋1.1．若22是b －1，b ＋1的等比中项，则b ＝________.【解析】 ∵(b －1)(b ＋1)＝(22)2，∴b 2－1＝8，∴b 2＝9，∴b ＝±3. 【答案】 ±32．若1，a,4成等比数列，则a ＝________. 【解析】 ∵1，a,4成等比数列， ∴a 2＝1×4＝4， ∴a ＝±2. 【答案】 ±2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]等比数列的判定与证明设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2a n －1＋3＝0(n ≥2)．判断数列{a n ＋1}是否是等比数列？【精彩点拨】 只需证明a n ＋1＋1a n ＋1＝非零常数即可．【自主解答】 由题意知a n ＋1＋2a n ＋3＝0(n ≥2)成立，∴a n ＋1＝－2a n －3， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝－2a n －3＋1a n ＋1＝－2(常数)． 又a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，以－2为公比的等比数列．要判断一个数列{a n }是等比数列，其依据是a n a n －1＝q (q 是非零常数)或a n ＋1a n＝q ，对一切n ∈N *且n ≥2恒成立．[再练一题]1．判断下列数列是否为等比数列． (1)1，－1,1，－1，…； (2)1,2,4,6,8，…； (3)a ，ab ，ab 2，ab 3，….【解】 (1)是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)64≠86，不是等比数列． (3)当ab ≠0时，是等比数列，公比为b ，首项为a ； 当ab ＝0时，不是等比数列．等比数列的通项公式(1)若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比为________． (2)在等比数列{a n }中，若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________.【导学号：91730035】【解析】 (1)∵a 6＝a 4q 2，a 5＝a 4q ，∴2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∴q 2－q －2＝0，∴q 1＝－1，q 2＝2.(2)法一 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1， 所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n＝20，所以n ＝6.法二 因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1qn －1＝1，知n ＝6.【答案】 (1)－1或2 (2)6等比数列基本量的求法a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a 1，q ，再求a n ，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a 1和q ，这也是常见的方法．[再练一题]2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________．(2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q ＝________.【解析】 (1)∵a 5＝a 1q 4，a 1＝5，∴q ＝－3，∴a 5＝405. (2)由题意，a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＝a n q ＋a n q 2，∴q 2＋q －1＝0，∴q ＝－1±52.∵q >0，∴q ＝5－12.【答案】 (1)405 (2)5－12[探究共研型]等比中项探究1 三个数满足G 2＝xy ，则x ，G ，y 成等比数列吗？ 【提示】 不一定．如0,0,0这三个数不成等比数列． 探究2 任何两个非零常数都有等比中项吗？ 【提示】 不是．只有同号的两个数才有等比中项．在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．【精彩点拨】 法一：利用等比数列的通项公式求解； 法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解．【自主解答】 法一：依题意，a 1＝4，a 5＝14，由等比数列的通项公式，得q 4＝a 5a 1＝116，q ＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.法二：此等比数列共5项，a 3是a 1与a 5的等比中项，因此a 3＝±a 1a 5＝±1.a 2是a 1与a 3的等比中项，a 4是a 3与a 5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a 3＝1，a 2＝±a 1a 3＝±2，a 1＝±a 3a 5＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同．从而，对于数a ，b 的等比中项G ，G 2＝ab 一定成立，但G 的符号不一定正负都可取，如等比数列{a n }中，三项分别为a 1，a 4，a 7，则a 4是a 1与a 7的等比中项，此时a 4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a 2，a 4，a 6，也有a 4是a 2与a 6的等比中项，此时a 4只能与a 2和a 6同号．[再练一题]3．已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．【解】 由题意知b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫326，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，解得a ＝23；bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－243322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，解得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝ ⎛⎭⎪⎫327或－23，－278，－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.[构建·体系]1．下列各组数能组成等比数列的是________(填序号)． ①13，16，19；②lg 3，lg 9，lg 27； ③6,8,10；④3，－33，9. 【解析】－333＝9－33＝－ 3. 【答案】 ④2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n ＝________. 【解析】 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.【答案】 63．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝－2，则a 4与a 10的等比中项是________.【导学号：91730036】【解析】 a 4与a 10的等比中项为a 7，a 7＝18×(－2)6＝8.【答案】 84．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 【解析】 a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝a 2(q 2－q )＝2(q 2－q )＝4，∴q 2－q －2＝0， ∴q ＝2，或q ＝－1(舍去)． 【答案】 25．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数． 【解】设插入的三个数为a 2，a 3，a 4，由题意得243，a 2，a 3，a 4,3成等比数列． 设公比为q ，则3＝243·q 5－1，解得q ＝±13.当q ＝13时，a 2＝81，a 3＝27，a 4＝9；当q ＝－13时，a 2＝－81，a 3＝27，a 4＝－9.因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝________.【解析】 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【答案】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．【解析】 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】 －243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.【答案】 －3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.【解析】 由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2. 【答案】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3， ∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64. 【答案】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________．①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}．【解析】 考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数． 【答案】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10. 【答案】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝________.【导学号：91730037】【解析】 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1qn －1＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】 设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －1＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3q ＝1舍去，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列： 由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n . ∵a n ＋1－n ＋1a n －n＝3a n －2n ＋1＋3－n ＋1a n －n＝3a n －3n a n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于________．【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )， 得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.【答案】13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.【答案】 53．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 【解析】 由a n ＝2S n －3，得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1，得a 1＝2a 1－3， ∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.【答案】 a n ＝3·(－1)n －14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】 设这3个数分别为a q，a ，aq ，则a 3＝－8，即a ＝－2. (1)若－2为－2q和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，解得q ＝1，与已知矛盾，舍去； (2)若－2q 为－2q和－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1； (3)若－2q 为－2q 和－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。

苏教版高二数学必修5全套学案§1.1正弦定理学习目标1.掌握正弦定理的内容；2.掌握正弦定理的证明方法；3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动．思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系.如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又，从而在直角三角形ABC中，．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=，则，同理可得，从而．类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即．试试：（1）在中，一定成立的等式是（）．A．B.C.D.（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于．理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；（2）等价于，，．（3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如；．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※典型例题例1.在中，已知，，cm，解三角形．变式：在中，已知，，cm，解三角形．例2.在．变式：在．三、总结提升※学习小结1.正弦定理：2.正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※知识拓展，其中为外接圆直径.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.在中，若，则是（）.A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D．等边三角形2.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶1∶D．2∶2∶3.在△ABC中，若，则与的大小关系为（）.A.B.C.≥D.、的大小关系不能确定4.已知ABC中，，则=．5.已知ABC中，A，，则=．课后作业1.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三角形．2.已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，求实数k的取值范围为．§1.2余弦定理学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习过程一、课前准备复习1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即==．复习2：在△ABC中，已知，，，解此三角形．。

2.1数列2.1.1数列[学习目标] 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.了解数列与函数的关系，会依据数列的前几项写出它的通项公式．[学问链接]下列四个结论正确的有________．(1)任何一个函数都对应着一个映射，任何一个映射也对应着一个函数．(2)任何一个函数都有一个确定的函数表达式；(3)函数的表示方法有：列表法、解析法、图象法；(4)对于函数f(x)，x1，x2为函数f(x)定义域内任意两个值，当x1>x2时，f(x1)<f(x2)，则f(x)是增函数．答案(3)解析函数是非空数集A到非空数集B的一个映射，而映射中的A、B并非是数集，故(1)错；某地区的某天的温度y是时间t的函数，这个函数只能用列表法表示，不能用表达式表示，故(2)错；(3)明显正确；(4)中的函数为减函数，故不正确．[预习导引]1．数列的概念依据肯定次序排列起来的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的表示数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，….其中a n是数列的第n项，叫做数列的通项，常把一般形式的数列简记作{a n}．3．数列的通项假如数列的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列与函数的关系数列可以看作一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数．数列的通项公式也就是相应函数的解析式．它的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点．5．数列的分类(1)数列按项数可分为有穷数列和无穷数列，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．(2)按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数列和摇摆数列．(3)从其次项起，每一项都大于它的前一项的数列，叫做递增数列；从其次项起，每一项都小于它的前一项的数列，叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列.要点一数列的概念及通项例1依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)0.8,0.88,0.888，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(5)32，1，710，917，….解(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的确定值的排列规律为：后面的数的确定值总比前面数的确定值大6，故通项公式为a n＝(－1)n(6n－5)．(2)统一分母为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n＝n22.(3)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n＝89(1－110n)．(4)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，至此原数列已化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n＝(－1)n·2n－32n.(5)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.规律方法 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观看(观看规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和确定值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或查找分子、分母之间的关系． 跟踪演练1 写出下列数列的一个通项公式： (1)3,5,9,17,33，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…. 解 (1)中3可看作21＋1,5可看作22＋1,9可看作23＋1,17可看作24＋1,33可看作25＋1，…. 所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观看各项确定值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，依据这样的规律，第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1.要点二 数列通项公式的应用例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 解 (1)依据a n ＝3n 2－28n ，a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，∴n ＝7或n ＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项，即a 7＝－49. 令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0，∴n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项．规律方法 (1)数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．(2)推断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项．跟踪演练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第________项．答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.要点三 推断数列的单调性例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1，试推断该数列的单调性．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2(n ＋1)2＋1－n 2n 2＋1＝(n ＋1)2(n 2＋1)－n 2[(n ＋1)2＋1][(n ＋1)2＋1](n 2＋1)＝2n ＋1[(n ＋1)2＋1](n 2＋1)，由n ∈N ＋，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . ∴数列{a n }是递增数列．规律方法 单调性是数列的一个重要性质．推断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法推断a n ＋1与a n (n ∈N ＋)的大小，若a n ＋1>a n 恒成立，则{a n }为递增数列；若a n ＋1<a n 恒成立，则{a n }为递减数列．用作差法推断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．跟踪演练3 推断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1的增减性．解 ∵a n ＝n3n ＋1，∴a n ＋1＝n ＋13(n ＋1)＋1＝n ＋13n ＋4.方法一 a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n3n ＋1＝(n ＋1)(3n ＋1)－n (3n ＋4)(3n ＋4)(3n ＋1)＝1(3n ＋4)(3n ＋1)，∵n ∈N ＋，∴a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n 3n ＋1为递增数列． 方法二 ∵n ∈N ＋，∴a n >0.∵a n ＋1a n ＝n ＋13n ＋4n 3n ＋1＝(n ＋1)(3n ＋1)(3n ＋4)n ＝3n 2＋4n ＋13n 2＋4n ＝1＋13n 2＋4n>1， ∴a n ＋1>a n ，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n 3n ＋1为递增数列． 方法三 令f (x )＝x3x ＋1(x ≥1)，则f (x )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1－13x ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13x ＋1， ∴函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n 3n ＋1是递增数列．要点四 求数列的最大(小)项例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)方法一 ∵{a n }的相应函数为f (x )＝x 2－5x ＋4＝(x －52)2－94，可知对称轴方程为x ＝52＝2.5.又∵n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.方法二 设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋4≤(n ＋1)2－5(n ＋1)＋4，n 2－5n ＋4≤(n －1)2－5(n －1)＋4. 解这个不等式组，得2≤n ≤3， 又∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3. ∴a 2＝a 3且最小．∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.规律方法 求数列{a n }的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1.来确定n ，求最大项可由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1.来确定n .若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项．跟踪演练4 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)(1011)n (n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由． 解 假设数列{a n }中存在最大项． ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n＝(1011)n ·9－n11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，且a 9＝a 10＝1010119.1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,2,0,2，…是常数列D ．数列{nn ＋1}是递增数列答案 D解析 由数列的通项a n ＝n n ＋1知，当n 的值渐渐增大时，n n ＋1的值越来越接近1，即数列{nn ＋1}是递增数列，故选D.2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2 D ．a n ＝2n答案 B解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1. 3．依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)0,1,0,1，….解 (1)数列各项的确定值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N ＋.(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N ＋.(3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0(n 为奇数)，1(n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n2(n ∈N ＋)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N ＋)．4．已知数列{a n }的通项为a n ＝－2n 2＋29n ＋3，求数列{a n }中的最大项． 解 由已知，得a n＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818.由于n ∈N ＋，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108.∴数列{a n }中的最大项为a 7＝108.1．数列的概念的理解(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数，即自变量的取值必需是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．(2)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f (n )，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f (n )中的n . (3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三共性质： ①确定性；②可重复性；③有序性． 2．数列的通项公式(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2，…，n }为定义域的函数的表达式； (2)假如知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以推断某数是不是数列中的项，假如是的话，是第几项； (3)像全部的函数关系不肯定都有解析式一样，并不是全部的数列都有通项公式． (4)有的数列的通项公式，形式上不肯定唯一．(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．一、基础达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0答案 A解析 当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项答案 C解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋1答案 C解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排解A 、B 、D ，从而选C. 4．数列23，45，67，89，…的第10项是( )A.1617B.1819C.2021D.2223 答案 C解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n ＋1，当n ＝10时，a 10＝2×102×10＋1＝2021.5．观看下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5， 7，________，11，…. 答案 3解析 由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数，所以需要填空的数为9＝3. 6．写出下列数列的一个通项公式(可以不写过程)： (1)1,3,7,15,31，…； (2)23，415，635，863，…； (3)1,0，－13，0，15，0，－17，0，….解 (1)a n ＝2n－1.(2)a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(3)把数列改写成11，02，－13，04，15，06，－17，08，…分母依次为1,2,3，…，而分子1,0，－1,0，…周期性消灭，因此，我们可以用sin n π2表示，故a n ＝sin n π2n .7．已知数列{n (n ＋2)}：(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？假如是，是第几项？解 (1)a n ＝n (n ＋2)＝n 2＋2n ，∴a 8＝80，a 20＝440. (2)由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17. ∴323是数列{n (n ＋2)}中的项，是第17项． 二、力量提升8．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n 等于( ) A.19(10n －1) B.13(10n －1) C.13(1－110n ) D.310(10n －1) 答案 C解析 代入n ＝1检验，排解A 、B 、D ，故选C.9．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么a n ＋1－a n 等于( )A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2 答案 D解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.10．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (n ＋1)(2n －1)(2n ＋1).(1)写出它的第10项；(2)推断233是不是该数列中的项．解 (1)a 10＝(－1)10×1119×21＝11399.(2)令n ＋1(2n －1)(2n ＋1)＝233，化简得：8n 2－33n －35＝0，解得n ＝5.当n ＝5时，a 5＝－233≠233.∴233不是该数列中的项．11．写出下列数列的一个通项公式：(1)4,6,10,18,34，…； (2)112，223，334，445，…；(3)7,77,777,7 777，….解 (1)数列的前几项可记为21＋2,22＋2,23＋2,24＋2,25＋2，…，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋2. (2)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为n n ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2n n ＋1.(3)将原数列改写为79×9，79×99，79×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为a n ＝10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝79(10n －1)．12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 的相应函数是一次函数． (1)求{a n }的通项公式； (2)88是不是数列{a n }中的项？ 解 (1)设a n ＝kn ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝k ＋b ＝2，a 17＝17k ＋b ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2(n ∈N ＋)．(2)令a n ＝88，即4n －2＝88，解得n ＝22.5∉N ＋. ∴88不是数列{a n }中的项． 三、探究与创新13．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1： (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间(13，23)内有很多列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N ＋，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎨⎧n >76，n <83.∴76<n <83.又∵n ∈N ＋∴n ＝2. 故区间(13，23)上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。

高中数学必修五2.1教案
教学目标：学生将能够了解向量的基本概念和性质，并能够进行向量的加法、数乘和减法
运算。

教学重点难点：向量的基本概念和运算法则。

教学准备：黑板、彩色粉笔、教材、作业册。

教学流程：
第一步：引入
1. 向学生介绍本节课的主题，向量的基本概念和性质，以及向量的加法、数乘和减法运算。

2. 让学生用自己的话简单描述什么是向量。

第二步：向量的基本概念
1. 向学生介绍向量的定义、表示方法和性质。

2. 给出若干例题，让学生进行练习。

第三步：向量的加法与数乘
1. 介绍向量的加法和数乘的定义和性质。

2. 给出一些实例让学生进行练习。

第四步：向量的减法
1. 介绍向量的减法的定义和性质。

2. 给出一些实例让学生进行练习。

第五步：课堂练习
1. 让学生在黑板上进行向量的加法、数乘和减法的计算。

2. 布置课后作业：完成教材上的练习题。

教学反思：本节课主要介绍了向量的基本概念和运算法则，学生在学习过程中需要注意细节，理解向量的加法、数乘和减法的运算规则。

在课堂上要多举例让学生加深对知识点的
理解。

北师大版高二数学必修5全册学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址年级高一学科数学课题数列的概念与简单表示法授课时间XX年撰写人刘报XX年1月5学习重点数列及其有关概念，通项公式及其应用.学习难点根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.学习目标.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.教学过程一自主学习⒈数列的定义：的一列数叫做数列.⒉数列的项：数列中的都叫做这个数列的项.反思：⑴如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵同一个数在数列中可以重复出现吗？3.数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第项.4.数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用来表示，那么就叫做这个数列的通项公式.反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？5．数列的分类：）根据数列项数的多少分数列和数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为数列，数列，数列和数列.二师生互动例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴，－，，－；⑵，0，，0.（3），，，；（4）1，－1，1，－1；例2已知数列2，，2，…的通项公式为，求这个数列的第四项和第五项.变式：已知数列，，，，，…，则5是它的第项.练1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴1，，，；⑵1，，，2.练2.写出数列的第20项，第n＋1项.三巩固练习.下列说法正确的是（）.A.数列中不能重复出现同一个数B.1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列c.1，1，1，1…不是数列D.两个数列的每一项相同，则数列相同2.下列四个数中，哪个是数列中的一项（）.A.380B.392c.321D.2323.在横线上填上适当的数：3，8，15，，35，48.4.数列的第4项是.5.写出数列，，，的一个通项公式.6.已知数列，则数列是（）.A.递增数列B.递减数列c.摆动数列D.常数列7.数列中，，则此数列最大项的值是（）.A.3B.13c.13D.128．数列满足，（n≥1），则该数列的通项（）.A.B.c.D.四课后反思五课后巩固练习（1）写出数列，，，的一个通项公式为.（2）已知数列，，，，，…那么3是这个数列的第项.3.数列中，＝0，＝＋，写出前五项，并归纳出通项公式.4、已知数列满足，（），则（）.A．0B.－c.D.5.数列满足，，写出前5项，并猜想通项公式.泗县三中教案、学案用纸年级高一学科数学课题等差数列（1）授课时间撰写人刘报XX年1月5学习重点等差数列的概念学习难点能运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数学习目标.理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2.探索并掌握等差数列的通项公式；3.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.教学过程一自主学习1.等差数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的，常用字母表示.2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列，这时数叫做数和的等差中项，用等式表示为A=若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：，即：，即：，即：……由此归纳等差数列的通项公式可得：∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项.二师生互动例1⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵－401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？。