2006年考研数学（三）真题
一、
填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
（1）()11lim ______.n
n n n -→∞
+??
= ???
（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''=
（3）设函数()f u 可微,且()1
02
f '=
,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()
1,2d _____.z =
（4）设矩阵2112A ??
= ?-??
，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .
（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则
{}{}max ,1P X Y ≤=_______.
（6）设总体X 的概率密度为()()121
,,,,2
x n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样
本，其样本方差为2S ，则2____.ES =
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则
(A) 0d y y <
(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y
lim
1h f h h →=，则
(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在
(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] （9）若级数1n n a ∞
=∑收敛，则级数
(A) 1n n a ∞=∑收敛 . （B ）1(1)n n n a ∞
=-∑收敛.
(C) 11n n n a a ∞
+=∑收敛. (D) 1
1
2n n n a a ∞
+=+∑
收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该
方程的通解是
（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.
（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ]
（11）设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件
(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=.
(B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.
(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ]
（12）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是
(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关.
(B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.
(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关. [ ]
（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得
C ，记110010001P ?? ?
= ? ???，则
（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.
（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T C PAP =. ［ ］
（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布2
22
(,)N μσ，且 {}{}1211P X P Y μμ-<>-<
则必有
(A) 12σσ< (B) 12σσ>
(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ] 三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）
设()1sin ,,0,01arctan x
y y y
f x y x y xy x
π-=
->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞
=；
(Ⅱ) ()0
lim x g x +
→. （16）（本题满分7分）
计算二重积分d D
x y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.
（17）（本题满分10分）
证明：当0a b π<<<时，
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.
（18）（本题满分8分）
在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.
(Ⅰ) 求L 的方程；
(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为8
3
时，确定a 的值.
（19）（本题满分10分）
求幂级数()()
1
21
1121n n n x n n -+∞
=--∑的收敛域及和函数()s x .
（20）（本题满分13分）
设
4
维
向
量
组
()()()T T T
1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+
()T
44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极
大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T
T
121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.
(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ；
（Ⅲ）求A 及6
32A E ?
?- ??
?，其中E 为3阶单位矩阵.
（22）（本题满分13分）
设随机变量X 的概率密度为
()1
,1021
,024
0,X x f x x ?-<
其他，
令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ；
(Ⅱ)Cov(,)X Y ；
(Ⅲ)1,42F ??
- ???
.
（23）（本题满分13分）
设总体X 的概率密度为
(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<
=-≤
其他,
其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值
12,...,n x x x 中小于1的个数.
（Ⅰ）求θ的矩估计；
（Ⅱ）求θ的最大似然估计
2006年考研数学（三）真题解析
二、
填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
（1）()11lim 1.n
n n n -→∞
+??
= ???
【分析】将其对数恒等化ln e N N =求解. 【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim e
e
n
n
n n n n n n n n n n -→∞-++????
- ? ???
??
→∞
→∞
+??
== ???
，
而数列{}(1)n -有界，1lim ln 0n n n →∞+??= ???，所以1lim(1)ln 0n
n n n →∞
+??-= ???
. 故 ()101lim e 1n
n n n -→∞
+??
== ???
.
（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()322e .f '''=
【分析】利用复合函数求导即可.
【详解】由题设知，()()e f x f x '=，两边对x 求导得 ()()()2e ()e f x f x f x f x '''==，
两边再对x 求导得 ()()23()2e ()2e f x f x
f x f x ''''==，又()21f =， 故 ()32
3(2)2e 2e f f '''==.
（3）设函数()f u 可微,且()1
02
f '=
,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()
1,2d 4d 2d .z x y =-
【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.
【详解】方法一：因为22
(1,2)(1,2)(4)84z f x y x x ?'=-?=?，
()22
(1,2)
(1,2)(4)22z f x y y y
?'=-?-=-?， 所以 ()()()
1,21,21,2d d d 4d 2d z z z
x y x y x y ????=+=-??????
. 方法二：对()224z f x y =-微分得 ()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--， 故 ()
()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.
（4）设矩阵2112A ??
= ?-??
，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B 2 .
【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】 由题设，有 ()2B A E E -=
于是有 4B A E -=，而11
211
A E -==-，所以2
B =.
（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则
{}{}max ,1P X Y ≤= 1
9
.
【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算.
【详解】 由题设知，X Y 与具有相同的概率密度
1
,3
()30,x f x ?≤≤?=??? 0 其他
.
则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤
{}()
2
12
011
1d 39
P X x ??=≤== ????.
【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：
则 {}{}{}1max ,11,19
S P X Y P X Y S ≤=≤≤=
=阴. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2
x
n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样
本，其样本方差为2S ，则2 2.ES =
【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可. 【详解】因为
()d e d 02
x
x EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===??，
2
2222000
()d e d e d e 2e d 2x x x x x EX x f x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞---+∞
--∞-∞====-+????
2e 2e d 2e 2x
x x
x x +∞
-+∞
--+∞=-+=-=?，
所以 ()2
2202DX EX EX =-=-=，又因2S 是DX 的无偏估计量，
所以 22ES DX ==.
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则
(A) 0d y y <
(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y
【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.
【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ?>时，
00d ()d ()0y y f x x f x x ''?>==?>，故应选(Ａ). （8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22
lim
1h f h h →=，则
(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ] 【分析】从()22
lim
1h f h h
→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在
性.
【详解】由()
22
lim
1h f h h
→=知，()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续，则
()20
(0)lim ()lim 0x h f f x f h →→===.
令2
t h =，则()()22
(0)
1lim
lim (0)h t f h f t f f h t
+
+→→-'===. 所以(0)f +'存在，故本题选（C ）.
（9）若级数1n n a ∞
=∑收敛，则级数
(A) 1n n a ∞=∑收敛 . （B ）1
(1)n n n a ∞
=-∑收敛.
(C) 11n n n a a ∞
+=∑收敛. (D) 1
1
2n n n a a ∞
+=+∑
收敛. [ Ｄ ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.
【详解】 由1n n a ∞=∑收敛知11n n a ∞+=∑收敛，所以级数1
1
2n n n a a ∞
+=+∑收敛，故应选(Ｄ).
或利用排除法：
取1
(1)n n a n =-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；
取(1)n n a =-，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确.
（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该
方程的通解是
（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.
（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ Ｂ ]
【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.
【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是 []12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为
[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).
【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：
*y y Y =+.
其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.
（11）设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件
(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=.
(B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.
(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ Ｄ ] 【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.
【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则
000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ?'=??'=??， 即00000
00000(,)(,)0
(,)(,)0
x x y y f x y x y f x y x y λ?λ??''+=??''+=?? .
消去0λ，得
00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ??''''-=, 整理得 000000001
(,)(,)(,)(,)
x y x y f x y f x y x y x y ??'''=
'.（因为(,)0y x y ?'≠）
， 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.
（12）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是
(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关.
(B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (D) 若12,,
,s ααα线性无关，则12,,
,s A A A ααα线性无关. [ A ]
【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=. 所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,
,s
A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).
（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得
C ，记110010001P ?? ?
= ? ???
，则
（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.
（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T C PAP =. ［ Ｂ ］
【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得
110110*********,010010010001001001001B A C B A --???????? ? ? ? ?
=== ? ? ? ? ? ? ? ?????????
，
而 111001
0001P --??
?
= ? ??
?
，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）. （14）设随机变量X
服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布2
22
(,)N μσ，且 {}{}1211P X P Y μμ-<>-<
则必有
(A) 12σσ< (B) 12σσ>
(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ A ] 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得
12112
211X Y P P μμσσσσ?-??-?<>
则 12112121σσ????
Φ->Φ- ? ?????
，即1211σσ????Φ>Φ ? ?????.
其中()x Φ是标准正态分布的分布函数.
又()x Φ是单调不减函数，则12
11
σσ>，即12σσ<.
故选(A).
三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）
设()1sin ,,0,01arctan x
y y y
f x y x y xy x
π-=
->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞
=；
(Ⅱ) ()0
lim x g x +
→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解，此问中含,0∞
?∞∞
型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞未定式极限.
【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞?
?- ?
?==-+
? ??? sin 11111lim 1arctan arctan y x y x y x x x x y ππ→∞?
? ?
?-
?
?-=-=- ? ?
+ ? ? ???
.
(Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x x
ππ+++→→→--+??
=-= ??? （通分） 222220001
12arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x x ππππ+++
→→→-+-+-+++==== （16）（本题满分7分）
计算二重积分d D
x y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.
【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.
【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函
数，“先x 后y ”积分较容易，所以
1
00
d d y D
x y y x =??
()3
112220002122d d 339
y y xy y y y y =--==?? （17）（本题满分10分）
证明：当0a b π<<<时，
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.
【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=.
又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时），
故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.
（18）（本题满分8分）
在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直
线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.
(Ⅰ) 求L 的方程；
(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为8
3
时，确定a 的值.
【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的
面积，确定参数.
【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =，则由题设可得
y y ax x '-=，这是一阶线性微分方程，其中1
(),()P x Q x ax x
=-=，代入通解公式
得
()11d d 2e e
d x x x x
y ax x C x ax C ax Cx -????=+=+=+ ???
?， 又(1)0f =，所以C a =-.
故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠. (Ⅱ) L 与直线y ax =（>0a ）所围成平面图形如右图所示. 所以
()2
2
0d D ax ax ax x ??=--?
?? ()22048
2d 33
a x x x a =-==?，
故2a =.
（19）（本题满分10分）
求幂级数()()1
211
121n n n x n n -+∞
=--∑的收敛域及和函数()s x .
【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已
知函数的幂级数展开式计算和函数.
【详解】记121
(1)()(21)
n n n x u x n n -+-=-，则
23
21121
(1)()(1)(21)
lim lim (1)()(21)
n n n n n n n n
x u x n n x
x u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当2
1,1x x <<即时，所给幂级数收敛；当1x >时，所给幂级数发散；
当1x =±时，所给幂级数为1(1)(1),
(21)(21)
n n
n n n n -----，均收敛， 故所给幂级数的收敛域为[]1,1-
在()1,1-内，()
12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n n
n n x x s x x xs x n n n n -+-∞
∞
==--===--∑∑，
而 121122112
11
(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞
∞
--==-'''==-=-+∑∑， 所以 1112
001()(0)()d d arctan 1x x s x s s t t t x t ''''-===+??，又1(0)0s '=， 于是 1()arctan s x x '=.同理
1110
()(0)()d arctan d x
x
s x s s t t t t '-==
?
?
()2
0201arctan d arctan ln 112
x
x
t t t t x x x t =-=-++?
， 又 1(0)0s =，所以 ()211
()arctan ln 12
s x x x x =-+.
故 ()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.
由于所给幂级数在1x =±处都收敛，且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续，所以()s x 在1x =±成立，即
()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+，[]1,1x ∈-. （20）（本题满分13分）
设
4
维
向量组
()()()T T T
1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+
()T
44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极
大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ；用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ，则
312341234(10)12341
2
3
4a
a A a a a a
++=
=+++.
于是当0,010A a a ===-即或时，1234,,,αααα线性相关.
当0a =时，显然1α是一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===； 当10a =-时，
1α 2α 3α 4α
9234183412741236A -?? ?-
?= ?- ?-??
， 由于此时A 有三阶非零行列式92
3
1
8340001
2
7
--=-≠-，所以123,,ααα为极大线性无关组，且123441230αααααααα+++==---，即. （21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T
121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.
(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ；
（Ⅲ）求A 及6
32A E ?
?- ??
?，其中E 为3阶单位矩阵.
【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ；由T Q AQ =Λ可得到A 和6
32A E ??-
??
?. 【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以
1311331131A ?????? ? ? ?
== ? ? ? ? ? ???????
，
则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T (1,1,1)α=是对应的特征向
量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.
又由题设知 120,0A A αα==，即112
20,0A A αααα=?=?，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为
1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.