2019年考研数学三真题及解析

2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析一、选择题1.（）为同阶无穷小，则与时，若当=-→k xx x x ktan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.的取值范围为（）个不同的实根，则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+，4 C.]44[,- D.），（44- 3.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,44.的是（）条件收敛，则下列正确绝对收敛，已知∑∑∞=∞=11n nn n nv nu A.条件收敛nn n v u ∑∞=1 B.绝对收敛∑∞=1n nn v uC.）收敛（nn nv u +∑∞=1D.）发散（nn nv u +∑∞=15个的基础解析有的伴随矩阵，且为阶矩阵，为已知204*=Ax A A A 线性无关的解，则) ()(=*A r A.0 B.1 C.2 D.36.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是A.).()()(B P A P B A P +=YB.).()()(B P A P AB P =C.).()(A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二．填空题，9~14小题，每小题4分，共24分.9.()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→nn n n 11321211lim Λ 10. 曲线⎪⎭⎫⎝⎛-+=232cos 2sin ππ＜＜x x x y 的拐点坐标为 11. 已知()t t x f xd 114⎰+=，则()=⎰x x f x d 10212. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为222500B B A A p p p p +--,则当A p =10，B p =20时，A 商品的价格需求弹性AA η(0＞AA η)=13. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1101111012a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b 10，若b Ax =有无穷多解，则a= 14 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题15.已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f x x ，求的极值并求)(f )('f x x16.设)(v u f ，具有连续的2阶偏导数，求),,(),(y x y x f xy y x g -+-=22222y gy x g x g ∂∂+∂∂∂+∂∂ 17.)(x y 显微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.（1）求)(x y（2）区域D {})(0,21,x y y x y x ≤≤≤≤）（，D 绕轴旋转的旋转体的体积 18.求曲线)0(sin >=-x x e y x与x 轴之间图形的面积。

2019考研数学三真题答案解析（完整版）1.3tan 3x x x --若要x - tan x 与x b 同阶无穷小，\ k = 3\选C2.54()5()5501f x x x k f x x x '=-+=-==±(1,1)()0,(),(,1)(1,),()0x f x f x x f x ''∈-<↓∈-∞-⋃+∞>，()f x ↑极大值(1)154f k k -=-++=+极小值(1)154f k k =-+=-lim ();lim ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞若要550x x k -+=有3个不同的实根∴(1)0(1)04040f f k k -><+>-<即∴44(4,4)k -<<-即选D 。

3.解：∵通解为12()e e xxy C C x -=++∴e ,e 0x x x y ay by --'''++=为的两个解.即1λ=-为重根.22010402,1,a b a b a b a b λλ++=⇒-+=∆=-=⇒==∴e x 为e x y ay by c '''++=的特解：2exy y y c '''++=将e x y =代入e 2e e e 4x x x x c c ++=⇒=∴2,1,4a b c ===∴选D.4.1n n nu ¥=å 绝对收敛，1nn v n ¥=å 条件收敛n n u nu £ 1n n u ¥=\å绝对收敛.nv n有界.不妨设n v M n <n n nu v M u \£1n n M u ¥=å 收敛1n n n u v ¥=\å绝对收敛.故选B5.0Ax = 的基础解系中只有2个向量()24()n r A r A \-==-()0r A *\=\选A6.选（C ）解：由22A A E +=得22λλ=+，λ为A 的特征值，2λ=-或1，又1234A =λλλ=，故1232,1,λλλ==-=规范形为222123y y y --，选（C ）7.选（C ）解：法一：()()()P AB P A P AB =-()()()P B A P B P AB =-()()()()P A P B P AB P B A =\=选（C ）法二排除法（A ）A B ==W 时排除（A ）（B ）若A 、B 互斥，且0()1,0()1,P A P x <<<<排除（B ）（D ）若A B ==W ，则()()1,()()0P AB P P AB P =W ==F =，排除(D)8.解：因为22(,)(,)X N u Y N u s s X 与Y 相互独立2(0,2)X Y N s \-{}11121222X Y P X Y Pss s -÷ç\-<=<=F -÷ç÷ç\与u 无关，即与2a 有关选择（A ）9.11lim 12(1)nx n n +¥÷ç÷++ç÷ç÷×+11lim eenn x -++¥==10.3sin 2cos 22y x x x x p p ÷ç=+-<<÷ç÷çsin cos 2sin cos sin y x x x x x x x¢=+-=-令()cos sin cos sin 0y x x x x x x x =--=-=得0,x x p==0x <时，()0y x <0x >时，()0y x <不为拐点.0x p <<时，()0y x <32x pp >>时，()0y x >拐点为(),2p -11.解析：()()()1201201130113130104034120()d d 1d 31|311)341211(1)|1)1231818x f x xx t xt xx t x xx x ===-=-⋅+=-⋅+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰12.解析：2222(2)5002(2)5002A AA A AAA B A A B B A A B A A B B P Q Q P P P P P P P P P P P P P P P h ¶=-׶=-×----++=-+故10,20A B P P ==时，10404000.45001002008001000h ´===--+13.解析：2221010()111101110101010010101010110011A b a a a a a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭当a =1时()()23r A r A b ==< ，Ax =b 有无穷多解.14.X 的概率密度为,02()20,else xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩3222210022221184d d |2223630()024121{()1}{()}{2}2}32d 2243xx EX x x x x x x F x x x P F X EX P F X P X P X x P X x x =⋅====<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩≥-=≥=≥=<⎫=<<=⎬⎭==⎰⎰15.解：当0x >时22ln 2ln ()e ()e (2ln 2)x x x x x f x x f x x ¢===+当0x <时()e e x xf x x ¢=+当0x =时0000()(0)e 11lim ()lim lim lim e 10x xx x x x f x f x f x x x-----+-====-2000()(0)11lim ()lim lim 0x x x x f x f x f x x x----+-==-不存在\有()f x 在0x =点不可导.于是2ln e (2ln 2)0(),0e +e ,0x x x x x xf x x x x ，不存在ìï+>ïïï¢==íïïï<ïî令()0f x ¢=得121,1,ex x ==-于是有下列表x (,1)-¥--1（-1，0）010,e ÷ç÷ç÷ç1e1,e÷ç+¥÷ç÷ç()f x ¢-0+不存在-0+()f x ¯极小值极大值¯极小值于是有()f x 的极小值为2e 11(1)1,e e ef f -÷ç-=-=÷ç÷ç，极大值为(0)1f =16.解析：(,)(,)g x y xy f x y x y =-+-''2""""2''2""""22""""(,)(,)1u v uu uv vu vvu v uu vv vu vv uu uv vu vvgy f x y x y f x y x y x g f f f f x gx f f yg f f f f yx g f f f f x y∂=-+--+-∂∂=----∂∂=-+∂∂=-++-∂=-+-+∂∂所以：22""""212uu uu vv uu g g xg f f f f x x y y ∂∂∂++=---+-∂∂∂∂""13uu vvf f =--17.解析：（1）22x y xy ¢-=)2222222d d 22222ee d e e d e ex x x xx xx x x x y x C x C x C C通解--÷ç÷ç=×+÷ç÷÷ç÷ç÷ç=×+÷ç÷÷ç÷ç=+÷ç÷ç=òòò由(f C =+0C =所以22(e x f x （2）()22222221221222411e d e d e d e =e -e 222x x x x x V x x x x p p p p p ÷÷=÷÷÷=×==òòò18.[)2,2x k k p p p Î+时()(21)12(21)2(21)(21)22(21)2(21)(21)22(21)21(21)2e sin d sin de sin e e cos d e cos d =e cos d cos e +e (sin )d e e1e e 2k x k k xk k k x x x k k k x k k k x x k k k k k k S x x x x x x x xx xx x xS x p pp pp p ppp pp p ppppp p +-+-++---+-++---+--+-==-=-×+=-=+-=+òòòòò[)22,22x k k p p p Î++(22)22(22)(22)22(21)21)(22)2(21)2(22)(21)2(22)e sin d sin e -e cos d =-ecos d cos e -e (sin )d e e 1e e 2k x k k k x x k k k k k xx x k k k k k k S x xx x xx x x x xS p p pp p pp pp p pp ppp pp p p +-+++--++++---+++-+-+-+==-=+-=-+--=+òò((21)k p -+ùúû面积为(())()12(21)2(22)02202212e e e 21=12e e e 211e 112e e 21e 2e 1k k k k k k k SS p p p p pp p p p p p ¥=¥-+--+=¥---=----ù=++úû+++=++=--ååå19.设1(0,1,2,)n a x n ==⎰…（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,);2n n n a a n n --==+ （2）求1lim.nn n a a →∞-解析（1）111110(1)0.n n n n a a xxx x ----=-=-<⎰⎰⎰则{}n a 单调递减.1/2/222201sin sin cos sin (1sin ),2n n n n n n a x dxx t t tdt t t dt I I I n ππ+=-⋅=⋅-=-=+⎰⎰⎰则2222111,.(2)(2)n n n n n n n a I a a I n n n n ------===++则（2）由（1）知，{}n a 单调递减，则211111, 1.222n n n n n a n n n a a a n n n a ------=><<+++即由夹逼准则知，1lim1.nn n a a →∞-=20.解：123123(,,,,,)αααβββ2222111101102123443313111101011022001111a a a a r a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪ ⎪----⎝⎭①若a =1，则123123123123(,,)(,,)(,,,,,)r r r αααβββαααβββ==此时向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，令123(,,)A ααα=则31023()01120000A β⎛⎫⎪→-- ⎪⎪⎝⎭此时3123(32)(2)k k k βααα=-+-++②若a =-1，则()2(,)3r A r A B =≠=，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价.③若1,1a ≠-，31001()01010011A β⎛⎫⎪→- ⎪⎪⎝⎭3123βααα=-+21.2212102201000200A x B y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦与相似（1）1231~413()()242210(2)010(1)(2)(2)00021,2,21211211201242000001210001001000022A Bx yx tr A tr B y x y E B x x A E A E λλλλλλλλλξλ∴-=+=⎧∴=⇒⇒⎨=-+=-⎩---=+=++-=-=-=-=---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-+=T 时,　＝(-,,)时,()2311321410440125201050211240000000004212122102221200100112004000000211,122040A E P ξλξξξξ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦TT　＝(-,,)时,　＝(-,,0), 111122P AP --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1223310310100000113000100041010022010010001000000010010322030001100004000B E x B E x B E x λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦TT时， （-，，）时， （，，）时， （，，121232212212121211221()22122()1211030122001040130111212004101100()3000006100011011000P x x x P BP B P P B P P A PP P PP P iE -----⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-=---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦--→T） 故＝03310010001101100010001100100311000030100011001103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.（1）随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x X {}{}{}{}())(1)()1(1,1,)(z F p z F p Y z X P Y z X P z XY P z Z P z F XXZ --+-=-=-≥+=≤=≤=≤=当0<z 时，()zX Z pe z F p z F =--=)(1)(当0≥z 时，()pe p z F p z F p z F z X X Z +--=--+-=-)1)(1()(1)()1()(则⎩⎨⎧≤>-=-0,0,)1()(z pe z e p z f z zZ （2）p EY EX XY E EZ EX 21)(,1-=⋅===()())21(221)()()()()(222p p EX DX Y E X E Y X E XZ E -=-+===当())()(2Z E XE XZ E =时，Z X ,不相关.即)21(221p p -=-，可得21=p .（3）因为{}{}01,1,11,1=≥-=≤=-≤≤X Y X P Z X P 又{}111--=≤e X P ，{}11-=-≤peZ P 则{}{}{}111,1-≤⋅≤≠-≤≤Z P X P Z X P ，故不独立.23.（1）由1222222222)(2)(==-=⎰⎰∞+----∞+πσμσμσμσμμA x deA dx eAx x 可得：π2=A .（2）设n x x x ,,,21 为样本值，似然函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧>∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--elsex x x e L n x nn ni i ,0,,,,2121212122μπσσμσ当μ>n x x x ,,,21 时，()()()()2122221ln 2ln 2ln 2ln ∑----==n i i x n n L μσσπσ令()()()0)(2112ln 1222222=∑-+-==n i i x n d L d μσσσσ，可得()nx ni ∑=-=1212μσ故2σ的最大似然估计量为()nXni ∑=-=1212μσ .。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4【答案】C【解析】0x →时，有3tan 3x x x --，故3k =.（2）已知方程550x x k -+=有3个不同的实根，则k 的取值范围（ ） (A) (,4)-∞-(B) (4,)+∞(C) {4,4}- (D) (4,4)-【答案】D【解析】令5()5f x x x k =-+，令4()550f x x '=-=，可得1x =±， 当(,1)-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(1,1)-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(1,)+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；而()f -∞=-∞，(1)4f k -=+，(1)4f k =-+，()f +∞=+∞，故若()f x 有3个不同的零点，则在区间(,1)-∞-，(1,1)-，(1,)+∞分别具有一个实根， 所以需满足(1)0f ->，(1)0f <，解得(4,4)k ∈-.（3）已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()xx y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）(A) 1,0,1(B) 1,0,2 (C) 2,1,3(D) 2,1,4【答案】D【解析】由通解形式可得，12()xC C x e-+是对应齐次方程的解，故是1λ=-其二重特征值，所以其特征方程为2(1)0λ+=，即2210λλ++=，所以2,1a b ==；再将特解x e 带入原方程可得4c =.（4）若1n n nu ∞=∑绝对收敛，1nn v n ∞=∑条件收敛，则（ ） (A)1n nn u v∞=∑条件收敛(B)1n nn u v∞=∑绝对收敛(C)1()nn n uv ∞=+∑收敛(D)1()nn n uv ∞=+∑发散【答案】B 【解析】因为1n n v n∞=∑条件收敛，故0()nv n n →→∞，所以存在0M >，使得n v M n ≤ 所以()n n n n n v u v nu M nu n ⎛⎫=⋅≤ ⎪⎝⎭，由比较判别法可得：因为1n n nu ∞=∑绝对收敛，故1n n n u v ∞=∑绝对收敛.令31n u n =，(1)nn v =-，则1()n n n u v ∞=+∑发散；令31n u n =，(1)ln n n v n -=，则1()n n n u v ∞=+∑收敛；故选项C 、D 均不成立. （5）设A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（ ）(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】A【解析】因为0Ax =的基础解系中只有2个向量，故有()2n r A -=，即()422r A =-=，又因为*,()()1,()10,()1n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，所以*()0r A =.（6）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若22A A E +=且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为（ ）(A) 222123y y y ++ (B) 222123y y y +-(C) 222123y y y --(D) 222123y y y ---【答案】C 【解析】设矩阵A 的特征值为λ，由22A A E +=可得，22λλ+=，解得1,2λ=-，又因为1234A λλλ==，故A 的3个特征值为1,2,2--，所以二次型T x Ax 的规范形为222123y y y --.（7）设A ，B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是（ ） (A) ()()()P AB P A P B =+(B)()()()P AB P A P B =(C) ()()P AB P BA =(D) ()()P AB P AB =【答案】C【解析】由减法公式可得：()()()P AB P A P AB =-，()()()P BA P B P AB =-， 所以()()P A P B =的充要条件为()()P AB P BA =.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N μσ，则{1}P X Y -<（ ）(A) 与μ无关，而与2σ有关 (B) 与μ有关，而与2σ无关 (C) 与μ，2σ都有关(D) 与μ，2σ有无关【答案】A【解析】由已知可得，2(0,2)X YN σ-(0,1)N ，所以{1}{(P X Y P P -<=<=<<=Φ-Φ21=Φ-，所以{1}P X Y -<与μ无关，而与2σ有关. 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9. 111lim 1223(1)nn n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥⋅⋅+⎣⎦ .【答案】1e -【解析】原式1111111lim(1)lim(1)22311n n n n e n n n -→∞→∞=-+-++-=-=++.10.曲线3sin 2cos ()22y x x x x ππ=+-<<的拐点坐标为 .【答案】(,2)π-【解析】sin cos 2sin cos sin y x x x x x x x '=+-=-，cos sin cos sin y x x x x x x ''=--=-，令0y ''=得0x =或x π=，当(0,)x U δ∈，0y ''<；所以(0,2)不是拐点；当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，故(,2)π-为拐点. 11.已知1()f x =⎰，则120()x f x dx =⎰.【答案】118- 【解析】331112000()()()033x x xf x dx f x f x dx '=-=-⎰⎰⎰134420011121(1)(1)3412318x x -=-⨯+=-⋅+=⎰.12.,A B 两商品的价格分别为,A B P P ，需求函数225002A A A B B Q P P P P =--+，10,20A B P P ==，求A商品对自身价格的需求弹性(0)AA AAηη>=.【答案】25【解析】20B P =，250020800A A A Q P P =--+，2(220)130020A A A A A A A A Q P P P P Q P P η∂=⋅=--⋅∂--，当10A P =时，25η=. 13.2101111011A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，01b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，Ax b =有无穷多解，求a = .【答案】1【解析】由已知可得，()(,)3r A r A b =<，化简增广矩阵222101010101010(,)1111010101010110110011A b a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1a =.14.设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x else⎧<<⎪=⎨⎪⎩，()F x 为X 的分布函数，EX 为X 的数学期望，则{()1}P F X EX >-=.【答案】23【解析】由已知可得，224()23x EX xf x dx dx +∞-∞===⎰⎰， 且分布函数20,0()(),0241,2xx xF x f t dt x x -∞<⎧⎪⎪==≤<⎨⎪≤⎪⎩⎰，所以22112{()1}{()}{}{34323X x P F X EX P F X P P X dx >-=>=>=>==. 【法二】易知()(0,1)Y F X U =，所以42{()1}{1}33P F X EX P Y >-=>-=. 三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知2,0()1,0x x x x f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，求()f x '，并求()f x 的极值。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当0x →时，若tan x x −与kx 是同阶无穷小，则k =（）A. 1. B. 2.C. 3. D.4.【答案】 C.【解析】当0x →时，31tan 3x xx −−，则=3k .2．已知方程550x x k −+=有3个不同的实根，则k 的取值范围为（）A 、 (,4)−∞− B 、(4,)+∞C 、{}4,4−D 、(4,4)−【答案】 D.【解析】令5()5f x x x k =−+，由()0f x '=得1x =±，当1x <−时，()0f x '>，当11x −<<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，又由于lim ()x f x →−∞=−∞，lim ()x f x →+∞=+∞，方程要有三个不等实根，只需要(1)=40f k −+>，(1)4<0f k =−+，因此k 的取值范围为44k −<<.3．已知微分方程e x y ay by c '''++=的通解为12()e e xx y C C −=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、1,0,1B 、 1,0,2C 、2,1,3D 、2,1,4【答案】 D.【解析】由通解形式知，121λλ==−，故特征方程为221=21=0λλλ+++（），所以2,1a b ==，又由于e x y =是+2x y y y ce '''+=的特解，代入得4c =.4、若1n n nu ∞=∑绝对收敛，1nn v n ∞=∑条件收敛，则（ ） A 、1n nn u v∞=∑条件收敛B 、1n nn u v∞=∑绝对收敛C 、1()nn n uv ∞=+∑收敛D 、1()nn n uv ∞=+∑发散【答案】 B. 【解析】由1n n v n∞=∑条件收敛知，lim 0nn v n →∞=，故当n 充分大时，1n v n . 所以，nn n n n vu v nu nu n=⋅，由于1n n nu ∞=∑绝对收敛，所以1n n n u v ∞=∑绝对收敛.5、设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组=Ax 0的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（ ） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2r A =，()3r A <，()0r A *=. 6、设A 是3阶实对称，E 是3阶单位矩阵，若2=2A +A E 且4=A ，则二次型T x Ax 的规范形为（ ）A. 222123y y y ++ B.222123y y y +− C.222123y y y −− D.222123y y y −−−【答案】 C.【解析】22λλ+=，则λ只能为2−或1，又由于4=A ，则特征值分别为-2,-2,1，则二次型的规范形为222123y y y −−. 7、设,A B 为随机事件，则()()P A P B =充分必要条件是A.()()().P A B P A P B =+UB.()()().P AB P A P B =C.()().P AB P BA =D.()().P AB P AB =【答案】C【解析】()()()()()()()()P AB P BA P A P AB P B P AB P A P B =⇔−=−⇔=；选C.8、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N μσ，则{1}P X Y −<A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与μ，2σ都有关. D.与μ，2σ都无关.【答案】A【解析】2~(0,2X Y N −σ，所以{1}21P X Y −<=Φ=Φ=Φ−；选A二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．9、111lim 1223(1)nn n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥⋅⋅+⎣⎦____________ 【答案】1e .−【解析】111+++1223(1)1nn n n n n ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⨯⨯⨯++⎝⎭⎣⎦L ，则1lim e .1nn n n −→∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭10、曲线π3πsin 2cos ()22y x x x x =+−<<的拐点坐标为____________ 【答案】 π2−（，）. 【解析】令sin0y x x ''=−=，可得πx =，因此拐点坐标为π2−（，）. 11、已知1()f x t =⎰，则120()d xf x x =⎰____________【答案】1(118−.【解析】依题意，()f x '=(1)0f =.因此，11123310000111()d ()d ()(13318x f x x f x x x f x x x ⎡⎤==−=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰. 12、A 、B 两商品的价格分别为、，需求函数,, ,求A 商品对自身价格的需求弹性____________ .【答案】0.4. 【解析】因为d (2)d A A A AA A B A A AP Q PP P Q P Q η=−⋅=−⋅−−，将，，1000A Q =代入，可得104000.41000AA η=⋅=. 13、2101111011a −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭A ，01a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b ，=Ax b 有无穷多解，求____________ 【答案】1.【解析】因为=Ax b 由无穷多解，故()()3r r =<A A,b ，对矩阵()A,b 作初等行变换，因为P A P B Q A =500-P A 2-P A P B +2P B 2P A =10P B =20h AA =h >0()P A =10P B =20a =21010()01010011a a −⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭A,b ，故2110a a −=−=，因此1a =.14、为连续型随机变量，概率密度为, 为的分布函数，为的期望，求{}()1P F X EX >−=____________【答案】2.3【解答】由条件可得224()d d 23x EX xf x x x +∞−∞===⎰⎰，且可求得分布函数20,0,(),02,41, 2.x xF x x x <⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩故可得12{()1}{()}.33P F X EX P F X >−=>=三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分10分）已知2,0,()e 1,0.x x x x f x x x ⎧>=⎨+⎩求()f x '，并求()f x 的极值.【答案】f ′(x )={2x 2x (lnx +1)；x >0e x (x +1)；x <0，极大值f (0)=1.极小值1(1)1e f −=−，2e 1()e ef −=.【解析】解：当x >0时：f ′(x )=(e 2xlnx −1)′=(e 2xlnx )′=e 2xlnx (2lnx +2)=2x 2x (lnx +1)当x <0：f ′(x )=e x +xe x =e x (x +1)因此f ′(x )={2x 2x (lnx +1)；x >0e x (x +1)；x <0当x =0：X f (x )=x2,0<x <20,elseìíïîïF (x )X EX Xf +′(0)=lim x→0+f (x )−f(0)x =lim x→0+x 2x −1x =lim x→0+e 2xlnx −1x =lim x→0+2xlnxx=−∞f −′(0)=lim x→0+f (x )−f(0)x =lim x→0+xe x x=lim x→0+e x =0当x >0时，f ′(0)<0，f (x )单调递减，当x <0时，f ′(0)>0，f (x )单调递增因此f (x )在x =0处取得极大值，且f (0)=1.令()0f x '=得，1x =−及1e x =. 又1(1)0,()0e f f ''''−>>，故极小值为1(1)1ef −=−，2e 1()e ef −=. 16、（本题满分10分）已知(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且(,)(,)g x y xy f x y x y =−+−，求22222g g gx x y y ∂∂∂++∂∂∂∂.【答案】112213.f f ''''−−【解析】依题意知，12(,)(,)gy f x y x y f x y x y x∂''=−+−−+−∂， 12(,)(,)gx f x y x y f x y x y y∂''=−+−++−∂. 因为(,)f u v 具有二阶连续偏导数，故1221f f ''''=，因此，2111221221112222()()2gf f f f f f f x ∂''''''''''''''=−+−+=−−−∂， 21112212211221()()1gf f f f f f x y∂''''''''''''=−−−−=−+∂∂， 2111221221112222()()2gf f f f f f f y∂''''''''''''''=−−+−=−+−∂. 所以，22211222213.g g gf f x x y y∂∂∂''''++=−−∂∂∂∂17、（本题满分10分）已知()y x 满足微分方程22ex y xy '−=，且满足(1)y =（1）求()y x ；（2）若{}(,)12,0()D x y x y y x =，求区域D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积.【答案】（1）22()e x y x =. （2）【解析】（1）22d d 22()e e e e (x xx x x x y x C C −−−⎛⎫⎰⎰=+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰因为(1)y =0C =，所以22()e .x y x =（2）由旋转体体积公式，222224211ππe )d πe d (e e).2x x V x x x ===−⎰⎰18、（本题满分10分）求曲线()esin 0xy x x −=与x 轴之间图形的面积.解:设在区间[π,(1)π]n n +(0,1,2,)n =上所围的面积记为n u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d n n xnx n n n u x x x x ++−−==−⎰⎰;记esin d xI x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰ ecos e dsin e cos (e sin sin de )xx x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++;因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22n nxn n n n u x x +−−+−=−−+=+;(这里需要注意cos π(1)nn =−)因此所求面积为ππππ111e 11e 221e 2e 1n n n n u −∞∞−−===+=+=+−−∑∑. 19、（本题满分10分）设()10,1,2n a x x n ==⋅⋅⋅⎰（1）证明数列{}n a 单调递减；且()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+（2）求1lim−∞→n nn a a .(1)证明:110(0n n n a a x x +−=−<⎰,所以{}n a 单调递减.1333111212212220011(1)[(1)(1)]33n n n n a x d x x x x dx −−−=−−=−−−−⎰⎰1220110021(131()31(),3n n n n n x x x n x x x x n a a −−−−=−−=−−=−⎰⎰⎰从而有()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+; (2)因为211n n n n n na a a a a a −−<<=,而21lim lim12n n n n a n a n →∞→∞−−==+,由夹逼准则知 1lim1nn n a a →∞−=.20、（本题满分11分）已知向量组I ：()()()21231,1,4,1,0,4,1,2,3TT Ta ===+αααII ：()()()21231,1,3,0,2,1,1,3,3TTTa a a =+=−=+βββ若向量组I 与II 等价，求a 的取值，并将3β用123,,ααα线性表示.【答案】1a ≠−；1a =时，3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；当1a ≠±时，3123=−+βααα.【解析】令123(,,)=A ααα,123(,,)=B βββ，所以，21a =−A ，22(1)a =−B .因向量组I 与II 等价，故()()(,)r r r ==A B A B ，对矩阵(,)A B 作初等行变换.因为2222111101111101(,)102123011022.443313001111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++−+−−−−⎝⎭⎝⎭A B 当1a =时，()()(,)2r r r ===A B A B ；当1a =−时，()()2r r ==A B ，但(,)3r =A B ；当1a ≠±时，()()(,)3r r r ===A B A B . 综上，只需1a ≠−即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.①当1a =时，12331023(,,,)01120000⎛⎫⎪→−− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，故3112233x x x =++βααα的等价方程组为132332,2.x x x x =−⎧⎨=−+⎩故3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；②当1a ≠±时，12331001(,,,)01010011⎛⎫⎪→− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，所以3123=−+βααα.21、（本题满分11分）已知矩阵22122002A x −−⎛⎫ ⎪=− ⎪⎪−⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭相似.（1）求x ,y ;（2）求可逆矩阵P 使得1P AP B −=.解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B 又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−.(2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002P AP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭;同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B P P APP −−=,所以112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 22、（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为(1)P Y p =−=,(1)1P Y p ==−,(01p <<)，令Z XY =.（1）求Z 的概率密度;（2）p 为何值时，X 与Z 不相关;（3）X 与Z 是否相互独立?【答案】（1）e ,0,()(1)e ,0.z Z zp z f z p z −⎧<=⎨−⎩（2）12p =；（3）不独立.【解析】（1）Z 的分布函数为()()(1,)(1,)Z F z P XY z P Y X z P Y X z ===−−+=，因为X 与Y 相互独立，且X 的分布函数为1e ,0,()0,0.x X x F x x −⎧−>=⎨⎩因此，e ,0,()[1()](1)()(1)(1e ),0.z Z X X zp z F z p F z p F z p z −⎧<=−−+−=⎨−−⎩所以，Z 的概率密度为e ,0,()()(1)e ,0.z Z Z zp z f z F z p z −⎧<'==⎨−⎩（2）当22(,)()0Cov X Z EXZ EX EZ EX EY EX EY DX EY =−⋅=⋅−⋅=⋅=时，X 与Z 不相关. 因为1DX =，12EY p =−，故1.2p = （3）不独立. 因为(01,1)(01,1)(01)P X Z P X XY P X ==，而1(1)(1)(1)(1e )1Z P Z F p −==−−≠，故(01,1)(01)(1)P X Z P X P Z ≠⋅， 所以X 与Z 不独立. 23、（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()22e ,,(;)0,,x A x f x x μσμσσμ−−⎧⎪=⎨⎪<⎩μ是已知参数，0σ>是未知参数，A 是常数. 12,,,n X X X 是来自总体X 简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量. 【解答】（1）由密度函数的规范性可知()d 1f x x +∞−∞=⎰，即222222()2220ed ed d 12x t t AAx t t μσσσμσσ−−−−+∞+∞+∞−∞====⎰⎰⎰，得A =（2）设似然函数22()22211()(;)i x nni i i L f x μσσσ−−====∏，取对数22221()1ln ()ln ]22ni n x L μσσσ=−=−∑； 求导数2221224241()()d ln ()1[]d 2222nin i i i x x L nμμσσσσσσ==−−=−+=−+∑∑，令导数为零解得2211()ni i x n σμ==−∑，故2σ的最大似然估计量为2211()ni i X n σμ==−∑.。