{高中试卷}高二年级期末考试数学试卷[仅供参考]

高二年级下学期期末考试数学试题（一）注意事项：1．本试卷共22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36 B．32 C．28 D．242.的展开式中的常数项为（）A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．1803.设曲线在处的切线与直线y＝ax+1平行，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．﹣2 D．24.在2022年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（）A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.145.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤36.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236．P（K2≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0）k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828参照附表，可得正确的结论是（）A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．27种8.若两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第1页（共5页）北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学2024.7本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在等差数列{}n a 中，13a =，35a =，则10a =（A ）8（B ）10（C ）12（D ）14（2）设函数()sin f x x =的导函数为()g x ，则()g x 为（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数（3）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（A ）110（B ）310（C ）15（D ）35（4）在等比数列{}n a 中，若11a =，44a =，则23a a =（A ）4（B ）6（C ）2（D ）6±（5）投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X ，则方差()D X =（A ）518（B ）13（C ）53（D ）536北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第2页（共5页）（6）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =-，1053231S S =，则6a =（A ）132-（B ）164-（C ）132（D ）164（7）设函数()ln f x x =的导函数为()f x '，则（A ）(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<-（B ）(3)(3)(2)(2)f f f f ''<-<（C ）(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<-（D ）(2)(3)(2)(3)f f f f ''<-<（8）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如果()e x f x ax =-在区间(1,0)-上是单调函数，那么实数a 的取值范围为（A ）1(,][1,)e -∞+∞ （B ）1[,1]e（C ）1(,]e-∞（D ）[1,)+∞（10）在数列{}n a 中，12a =，若存在常数(0)c c ≠，使得对于任意的正整数,m n 等式m n m n a a ca +=+成立，则（A ）符合条件的数列{}n a 有无数个（B ）存在符合条件的递减数列{}n a （C ）存在符合条件的等比数列{}n a （D ）存在正整数N ，当n N >时，2024n a >北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第3页（共5页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

云南省2023-2024学年高二下学期期末普通高中学业水平考试数学试卷一、单选题1．已知集合S =｛1，2｝集合T =｛1，2，3｝则S T I 等于（ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．{}1,2,32．已知i 为虚数单位，设复数121i,3i z z =-=+，则12z z +=（ ） A ．1B ．4C ．iD ．4i3．已知,,a b c 都是实数.若a b >，则（ ） A ．c c a b > B ．ac bc > C ．a b c c> D ．a c b c ->-4．函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．π25．已知函数()f x x =，则()2f x =（ ） A ．2xB ．xC ．2D ．16．函数2x y =的最小值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．下列函数中，在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．2y x =-B ．1y x=C ．3x y =D ．1,11,1x x y x x -≥⎧=⎨-<⎩8．不等式()60x x -…的解集为（ ）A ．{0}x x <∣B ．{6}x x >∣C ．{0xx ∣…或6}x … D ．{}06xx ∣剟 9．PM MN +=u u u u r u u u u r（ ）A ．0rB ．NP u u u rC ．NM u u u u rD ．PN u u u r10．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .若2,3,4a b c ===，则cos B =（ ）A ．1116B ．712 C ．25-D ．59-11．已知i 为虚数单位，则复数26i z =--在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若111,sin ,sin 63a A B ===，则b =（ ）A ．6B ．4C ．3D ．213．已知平面向量()()1,2,2,a b x ==r r .若a b r r ∥，则实数x 的值是（ ）A ．4B ．1C ．1-D ．4-14．下列函数中，是偶函数的为（ ）A ．()ln f x x =B ．()3f x x =C ．()sin f x x =D ．()e e x xf x -=+15．已知sin 5cos αα=，则tan α=（ ）A ．3B ．5C ．7D ．916．cos cos sin sin αβαβ+=（ ）A ．()cos αβ-B ．()cos αβ+C ．()sin αβ-D ．()sin αβ+17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1BC 与11B D 所成的角等于（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π218．设1cos sin 2αα-=，则sin2α=（ ）A ．38B ．34C ．12D ．1819．某单位有职工500人，其中女职工300人，男职工200人.现按男女比例，采用分层随机抽样的方法，从该单位职工中抽取25人进行相关调查研究，则应抽取该单位女职工（ ）A ．10人B ．12人C ．13人D ．15人20．已知0,0a b >>.若1ab =，则lg lg a b +=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．321．某同学通过摸球的方式选择参加学校组织的社会实践活动.摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有10个大小质地完全相同的球，其中2个红球，8个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，则参加社区植树；若摸出的球是黄球，则参加社区卫生大扫除.该同学参加社区植树的概率为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．1222．为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度二、填空题23．已知()1,2P 是角α终边上的一点，则角α的正切值是.24．一商场门口有个球形装饰品.若该球的半径为1米，则该球的表面积为平方米. 25．已知0a >，则9a a+的最小值是. 26．某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是[]2,12，数据分组为[)[)[)[)[]2,4,4,6,6,8,8,10,10,12.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为人.三、解答题27．甲､乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲､乙两人投篮的结果互不影响，相互独立.甲､乙两人各投篮一次，求下列事件的概率： (1)甲､乙两人都命中； (2)甲､乙两人至少有一人命中.28．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，,PD DA PD AB ⊥⊥.(1)证明：PD BD ⊥；(2)若π2,3AD DAP ∠==，三棱锥D PBC -PA 与平面PBD 所成角的正弦值.29．已知常数,,a b c 满足a b c >>，且()20,a b c f x ax bx c ++==++.(1)证明：0a >且ca是()f x 的一个零点；(2)若(),m ∞∞∃∈-+，使得()f m a =-，记()1136c T f f m a ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，下列结论：0,0,0T T T <=>，你认为哪个正确？请说明理由.。

2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。

i A. > B. > 1 C. a 2 > b 2 D. ab < a + b - 18、已知 x > 0 ， y > 0 ，若 2 y + > m 2 + 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）高二年级下学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、不等式 2x - 3 < 5 的解集为（）A. (-1,4)B. (1,4)C. (1,-4)D. (-1,-4)2、设复数 z 满足 (1 + i) z = 2 （ i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、某市对公共场合禁烟进行网上调查，在参与调查的 2500 名男性市民中有 1000 名持支持态度，2500 名女性市民中有 2000 人持支持态度，在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是 否支持与性别有关系时，用什么方法最有说明力（ ） A. 平均数与方差 B. 回归直线方程 C. 独立性检验 D. 概率4、若函数 f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c 满足 f '(1) = 2 ，则 f '(-1) 等于（）A. - 1B. - 2C. 2D. 05 、函数 y = f ( x ) 的图象过原点，且它的导函数y = f '( x ) 的图象是如图所示的一条直线，y = f ( x ) 的图象的顶点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6、在一组样本数据 ( x , y ) ， ( x , y ) ，……， ( x , y ) (n ≥ 2, x , x ⋅ ⋅ ⋅ x 不全相等）的散点图中， 1 122nn12n若所有样本点 ( x , y ) (i = 1,2 ⋅ ⋅ ⋅ n) 都在直线 y = i i （ ）1 2x + 1上，则这组样本数据的样本相关系数为A. - 1B. 0C. 12D. 17、若 a < 1 ， b > 1 那么下列命题正确的是（ ）1 1 b a b a8xx yA. m ≥ 4 或 m ≤ -2B. m ≥ 2 或 m ≤ -4C. - 4 < m < 2D. - 2 < m < 49、某同学为了了解某家庭人均用电量（ y 度）与气温（ x o C ）的关系，曾由下表数据计算回归直线方程 y = - x + 50 ，现表中有一个数据被污损，则被污损的数据为（）+ 的取值范围A. ⎢ ,+∞ ⎪B. - ∞, ⎥C. ⎢ ,+∞ ⎪D. - ∞,- ⎥气温 30 2010 0 人均用电量20 30*50A. 35B. 40C. 45D. 4810、已知函数 f ( x ) 的导函数 f '( x ) = a( x + 1)( x - a) ，若 f ( x ) 在 x = a 处取得极大值，则a 的取值范围是（）A. (-∞,1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (0,+∞ )11、已知函数 f ( x ) = x 3 - 2ax 2 - bx 在 x = 1 处切线的斜率为 1 ，若 ab > 0 ，则 1 1a b（ ）⎡ 9 ⎫ ⎛ 9 ⎤ ⎡ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎭⎝ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎭ ⎝2 ⎦12、已知 a > b > c > 1 ，设 M = a - cN = a - bP = 2( a + b- ab ) 则 M 、 N 、 P 的大小2关系为（ ）A. P > N > MB. N > M > PC. M > N > P二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______ ∵ a < b∴ a + a < b + a 即 2a < b + a ……①∴ 2a - 2b < b + a - 2b 即 2(a - b ) < a - b ……②∴ 2(a - b )(a - b ) < (a - b )(a - b ) 即 2(a - b )2 < (a - b )2 ……③∵ (a - b )2 > 0∴ 可证得 2 < 1 ……④D. P > M > N14、已知曲线 y = x 2 4- 3ln x 在点（ x , f ( x ) 处的切线与直线 2 x + y - 1 = 0 垂直，则 x 的值为0 0 0________15、 f ( x ) = x +1( x > 2) 在 x = a 年取得最小值，则 a =________x - 216、设 a 、 b ∈ R ， a - b > 2 ，则关于实数 x 的不等式 x - a + x - b > 2 的解集是_______三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。

高中二年级学业水平考试数学（测试时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2-（B ）1- （C ）1 （D ）2（2）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则AB =（A ）{}20≤≤x x（B ）{}22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2}（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（A ）9-（B ）9-（C ）9（D ）9（5）在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为 （A ）23 （B ）15 （C ）52 （D ）14（6）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A ）37（B ）13（C ）14 （D ）17（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24x f x =-图2俯视图侧视图主视图（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1()2f x x=-+ （8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=（A）10 （B）10 （C）5 （D）5（9）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 值为（A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32- （10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是（A ）76 （B ）70 （C ）64 （D ）62 （11）设2()3,()ln(3)xf x eg x x =-=+，则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]-(12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2） （B ）1∞（-,-) （C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为 ．（14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥，则实数a 的取值范围为 .（16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2,b =3B π=，且△ABC 的面DC 1B 1CBA积S =a c += .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率.（19）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1． （Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1（1）求BD 的长；（2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3 （20）（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点. （Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()213022f x x ax +++≤成立，求实数a 的取值范围． 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-，解不等式5)(≥x f ；（Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．数学参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：部分解析：（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯.（11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.（12）当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2x a =，由题意知，0a >，且2()0f a>，解得2a >．二、填空题：（15）问题转化为求直线l 与圆2222x y +=有公共点时，a 的取值范围，数形结合易得a -≤.（16）由余弦定理得2222cos 4b a c ac B =+-=，即224a c ac +-=，1sin 24S ac B ac ===得4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==， ------------------------------------------------------------------------------1分 ∴1(1)n a a n d n =+-=，------------------------------------------------------------------------------3分 ∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=，∴13n n b n -=+；-------------------------------------------------------------------------------------------7分 (Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分 （18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯， ------2分 高二学生的人数为:59=39+6⨯； -------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2,b 1), (a 2,b 2), (a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3)，共10种可能； ----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有：111213(,),(,),(,)a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，------------------------------------------10分故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分 【解法:2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，EABCB 1C 1D212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有：12(,)a a 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率1911010P =-=. ---------------------------------------------------------------------------12分 （19）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ， ------------------------------------------1分 ∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点，∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =，∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分 在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===, ∴BD =分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=. ---------------------------------12分 【解法2：取1CC 中点F,连结DF ，∵DF 为△1ACC 的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分 ∵AC ⊥平面11CBB C ，从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB C D CB C CB C V V S DF --∆==⋅1111322=⨯⨯=. --------------------------------12分 （20）解法（Ⅰ）将224230x y x y +---=化为标准方程得:222(2)(1)x y -+-=, ----------------------------------------------------------------------------1分可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P 的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分 依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--=整理得:222210x y x y +--+=, ------------------------------------------------------------------------4分∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交,∴点P 的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---=得2230y y --=,解得1y =-或3y =,不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设, ------------------------------------------------7分 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+,由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得:22(1)440k x x +--=, --------------------------------8分 216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k+==-++,------------------------------------------------------------------------9分 由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-,∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=,解得:2k =±分∴当2OM ON ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =-+. --------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e=，-------------------------------------------------------------2分 当10x e <<时'()0f x <，当1x e>时，'()0f x >， ∴函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，----------------------------------------4分∴函数()f x 无极大值， 当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e==-极小，--------------------------5分 （Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()213022f x x ax +++≤，得3ln 22x a x x ≤---，--------------6分 记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-， 当∈x 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x <∴()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减，---------------------------------------------------9分又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3122e g e e=---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即实数a 的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦．------------------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分 代入221x y +=中得2216''1x y +=，--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，--------------------------------------------------------------------6分 故线段P 1 P 2中点11(,)82M --，---------------------------------------------------------------------------7分∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14，故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分 （23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|， ①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-------------------------1分 ②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；---------------------------------------------------2分 ③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分 综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分(Ⅱ)当x R ∈时，|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分 所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*） 当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分 当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分 故所求a 的取值范围为5[,+2∞）. --------------------------------------------------------------------------10分。

高二数学试卷参考答案与评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D2.C3.A4.C5.C6.B7.D8.B1【解析】]4,1[-=A ，]2,0[=B ，所以]2,0[=B A ，故选D.2【解析】由极大值点的定义结合导函数图像可知个数为2个，故选C.3【解析】若0)()(<⋅b f a f ，由零点存在性定理知)(x f 在()b a ,上有零点，充分性满足；取1)(2-=x x f ，]2,2[-∈x ，必要性不满足，故选A.4【解析】由等比数列的性质可知512959==a T ，所以25=a ，所以425252573=≥+=+a q a qa a a ，故选C.5【解析】由投影向量的定义和公式可知a 在b 的投影向量为21,21,0()1,1,0(212==⋅b bb a ，故选C.6【解析】易知D 在椭圆内部，所以||||4||||21PD PF PD PF +-=+，由几何关系可知]1,1[||||2-∈-PD PF ，所以最小值为3，故选B.7【解析】当首位大于2时有48234=A 种；当首位为2，第二位非0时有18323=A 种；当首位为2，第二位为0时有4212=A 种；综上，总共有48+18+4=70种，故选D.8【解析】对于b a 、，同时12次方可得43与35，易知3453<，所以b a <；对于c b 、，同时e 4次方可得e5与4e ，由题干可知85255e e >>，所以45e e >，即c b >；对于c a 、，同时取对数可得33ln 与e 1，易知e133ln <，所以c a <，综上可得b c a <<，故选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ACD10.ACD11.ABC说明：多选题有错选得0分，第9、10、11题选对一个答案给2分，选对两个答案给4分，选对3个答案给6分.9【解析】对于选项A ，由方差的运算性质可知203231109)(9)13(=⨯⨯⨯==-X D X D ，故A 正确；对于选项B ，由正态密度函数222)(21)(σμπσ--=x e x f 可知，当μ不变时，σ越小，函数值越大，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高；由决定系数和卡方独立性检验的定义和规则易知选项CD 正确.故选ACD.10【解析】对于选项A ：因为)2(+x f 是偶函数，所以)2()2(+=+-x f x f ，即)(x f 的图象关于直线2=x 对称，所以选项A 正确；对于选项B ：由3)2()(=++x f x f 得3)4()2(=+++x f x f ，所以)4()(+=x f x f ，即4是函数)(x f 的一个周期，若6也为函数)(x f 的一个周期，则2为函数)(x f 的一个周期，那么)(23)2()(x f x f x f ==++，即23)(=x f 为常数函数，不合题意，所以选项B 错误；对于选项C ：由A 可知)3()1(f f =，对于3)2()(=++x f x f 可令1=x 得3)3()1(=+f f ，所以23)1(=f ，所以选项C 正确；对于选项D ：由A 可得)2()2(+=+-x f x f ，求导可得0)2()2(''=-++x f x f 即0)4()(''=-+x f x f ，对于3)2()(=++x f x f 求导可得0)2()(''=++x f x f ，所以)2()4(''+=-x f x f ，即函数)('x f 的图像关于直线3=x 对称，所以选项D 正确；故选ACD.11【解析】对于选项A ，将x 等量替换为x 1，则111ln -≤x x ，所以xx 11ln -≥，所以A 正确；对于选项B ，6066516606)611(666+=+++C C C ，因为n n 1)11ln(<+，所以e nn<+11(，所以B 正确；对于选项C ，因为nn 1)11ln(<+，所以∑∑===+>20241202412025ln 1ln(1n n n n n ，所以C 正确；对于选项D ，由A 令n n x 1+=得1111)1ln(+=+->+n n n n n ，即∑∑===+<+20241202412025ln 1ln 11n n n n n ，所以D 错误；故选ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.1254413.),3[21,(+∞-∞ 14.}0{),4(2+∞e 12【解析】12544525352)52(122=⋅⋅+=C p .13【解析】]23,21[∈∀x ，当0≤a 时，ax x x f -=2)(在]23,21[上单调递增；),0[+∞∈∀x ，当0>a 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+-=ax ax x ax ax x x f ,0,)(22，利用二次函数对称性可得223a ≤或21≤a 即3≥a 或210≤<a .综上所述，a 的取值范围是),3[]21,(+∞-∞ .14【解析】设直线与曲线x e x y =的切点为),(11y x ，则切线方程为)(111111x x ex e x y x x --=-，则过),0(t 的切线需满足：121x e x t =.令x e x x f 2)(=，则xe x x xf )2()('-=，所以)(x f 在)0,(-∞和),2(+∞单调递减，在)2,0(单调递增，且当-∞→x 时，+∞→)(x f ，当+∞→x 时，0)(→x f ，而0)0(=f ，所以}0{),4(2+∞∈e t .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.解：（1）展开式所有项的二项式系数和为5122=n，所以9=n ，·······································3分令9)21()(x x f -=，则所有项系数和为1)21()1(91010-=-==+++f a a a ；······················6分（2）由题意得nnn C a )2(9-⋅=，不妨令nn n n C a b 2||9⋅==，则⎩⎨⎧≥≥+-11k k k k b b b b ，即⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--119911992222k k k k k k k k C C C C ，化简可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-≥≥⋅-21911210k k kk解得320317≤≤k ，因为N k ∈，所以6=k ········································10分所以展开式中系数绝对值最大的项是第七项：66695376)2(x x C =-⋅.································13分【备注】若最终式子均正确且结果算错，扣1分.16.解：（1）因为8.11=μ，2.3=σ，15=+σμ，所以旅游费用支出不低于1500元的概率为15865.02)(1)(=+<<--=+≥σμσμσμx P x P ，········4分所以325.7915865.0500=⨯，估计2023年有79.325万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1500元.······························7分（2）假设:0H “客户星级”与“客户来源”独立，没有关联····················10分635.6937.7700300600400400100300200100022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=）（χ，···········································13分根据小概率值0.01α=的独立性检验，0H 不成立，即“客户星级”与“客户来源”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.···························15分【备注】根据评分细则酌情扣分.17.解：（1）2222')]1()[1(111)(x a x x x a ax x x a x a x f ---=-+-=--+=，11=x ，12-=a x ，·················2分①当01≤-a 即1≤a 时，易知)(x f 在)1,0(单调递减，在),1(+∞单调递增；······················3分②当11=-a 即2=a 时，0)('≥x f ，则)(x f 在),0(+∞单调递增；·····························4分③当110<-<a 即21<<a 时，易知)(x f 在)1,0(-a 和),1(+∞单调递增，在)1,1(-a 单调递减；···5分④当11>-a 即2>a 时，易知)(x f 在)1,0(和),1(+∞-a 单调递增，在)1,1(-a 单调递减；·········6分综上所述：游客来源客户星级合计三星客户一星客户当地游客200400600外地游客100300400合计3007001000当1≤a 时，)(x f 在)1,0(单调递减，在),1(+∞单调递增；当2=a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当21<<a 时，)(x f 在)1,0(-a 和),1(+∞单调递增，在)1,1(-a 单调递减；当2>a 时，)(x f 在)1,0(和),1(+∞-a 单调递增，在)1,1(-a 单调递减；·························8分（2）由（1）可知，只有当21<<a 和2>a 时，)(x f 才有极大值，①当2>a 时，32)1(-=-==a f f 极大值，解得5=a ；······································10分②当21<<a 时，)1ln(2)1(---=-=a a a a f f 极大值，令)1ln(2)(---=a a a a g ，则11)1ln(1)1ln(1)('----=----=a a a a a a g ，0)1(2)1(111)(22''>--=-+--=a a a a a g ，所以)('a g 在)2,1(单调递增，所以01)2()(''<-=<g a g ，所以)(a g 在)2,1(单调递减，即0)2()(=>g a g ，所以3)(-=a g 在)2,1(无解，故不存在符合题意的a ；······················14分综上所述：5=a ·········································································15分【备注】没有“综上所述”扣1分，过程不规范酌情扣分.18.解：记事件i A ：学生通过第i 轮，事件i B ：学生通过第i 轮就选择奖品离开，事件i C ：学生通过第i 轮且继续答题，（3,2,1=i ）.由题意得21)(1=A P ，31)|(11=AB P ，32)|(11=AC P ，21)|(12=C A P ，21)|(22=A B P ，21)|(22=A C P ，21)|(23=C A P .（1）记事件B ：学生获得奖品.则321B B B B ++=，613121)|()()()(111111=⨯===A B P A P B A P B P ···················································1分12121213221)|()|()|()()(22121112=⨯⨯⨯==C B P C A P A C P A P B P ··································2分2412121213221)|()|()|()|()()(2322221113=⨯⨯⨯⨯==C A P A C P C A P A C P A P B P ·····················4分24724112161)()()()(321=++=++=B P B P B P B P ···············································6分（2）73247241121)()()()()()()|)((323232=+=+=+=+B P B P B P B P B B P B B P B B B P ；························9分（3）X 可取3,2,1,0，21)()0(1===A P X P ················································10分312132213121)|()|()()|()()()(()1(1211111121112111=⨯⨯+⨯=+=+=+==C A P A C P A P A B P A P A C P B A P A C B A P X P ··········································12分2412121213221)|()|()|()|()()3(232212111=⨯⨯⨯⨯===C A P A C P C A P A C P A P X P ·······································13分8124131211)3()1()0(1)2(=---==-=-=-==X P X P X P X P ······························15分所以X 的分布列为：24173241281131021)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E .······················································17分【备注】解答没有用字母表示，只用数字计算，若结果正确不扣分，过程酌情扣分.19.解：（1）证明：因为)(x f 在]1,1[-单调递增，]1,1[-∈∀j i x x ，且j i x x <，则)()(|)()(|i j i j x f x f x f x f -=-，所以)1()1()()()]()([|)()(|01111--=-=-=-∑∑=-=-f f x f x f x f x f xf x f n ni i i ni i i，取)1()1(--=f f M ，即可得∑=-≤-ni i iM xf x f 11|)()(|，所以)(x f 是]1,1[-上的有界变差函数·········4分（2）]1,1[-∈∀j i x x 、，且j i x x <，则)(2||2|))((||)()(|i j i j i j i j i j x x x x x x x x x f x f -=-≤+-=-，所以4)]1(1[2)(2|)()(|1111=--=-≤-∑∑=-=-n i i i ni i i x x xf x f ，取4=M ，即可得∑=-≤-ni i i M x f x f 11|)()(|，所以2)(x x f =是定义在]1,1[-上的有界变差函数··················································9分（3）取11+-=i n x i ，n i ,,1 =，其中00=x ，则11)1()1cos(11)(1+--=+-+-=+-i n i n i n x f i n i π，所以当2≥i 时，2111|21)1(11)1(||)()(|211+-++-=+---+--=-+-+--i n i n i n i n x f x f i n i n i i ，∑∑∑∑====--=+-+=+-++-+-=-n i ni n i ni i i i i i n i n i n f x f x f x f 122111112)111(12111(|)0()(||)()(|·········13分下证∑=-ni i1112无界：令1ln )(--=x x x h ，xx x h 1)('-=，)(x h 在)1,0(单调递减，在),1(+∞单调递增，所以0)1()(=≥h x h ，X 0123P213181241即x x ln 1≥-，取n n x 1+=，即可得n n n 11ln ≤+，所以∑∑==+=+≥n i n i n i i i 11)1ln(21ln212，那么1)1ln(21121-+≥-∑=n i ni ，易知当+∞→n 时，+∞→-+1)1ln(2n ，所以∑=-ni i1112无界·········16分所以不存在常数0>M 使得∑=-≤-ni i iM xf x f 11|)()(|，因此)(x f 在]1,0[不是有界变差函数.···········17分【备注】解答过程根据评分细则酌情扣分.。

高中二年级学业质量监测数学（答案在最后）2023.06一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数()21ln 2f x x x=-，则()2f '=（）A.32 B.32-C.12D.12-【答案】B 【解析】【分析】由基本函数的导数公式即可求解.【详解】()1f x x x '=-，故()132222f '=-=-．故选：B2.在等差数列{}n a 中，已知3264,10a a a =+=，则数列{}n a 的公差为（）A.1 B.0C.-1D.2【答案】A 【解析】【分析】由2610a a +=，利用等差数列的性质得到45a =，再由34a =求得公差即可.【详解】解：由等差数列性质得264210a a a +==，所以45a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，则43541d a a =-=-=，故选：A.3.已知()()21,155P AB P A ==，那么()P B A =∣（）A.475B.13C.34 D.23【答案】D 【解析】【分析】根据条件概率公式计算即可；【详解】由条件概率公式得()()()2215135P AB P BA P A ===∣，故选：D.4.已知随机变量()22,X N σ ，且(04)0.4P X <<=，则(0)P X <=（）A.0.1 B.0.2C.0.3D.0.6【答案】C 【解析】【分析】根据随机变量()22,X N σ求解.【详解】解：因为随机变量()22,X N σ ，且(04)0.4P X <<=，所以1(04)10.4(0)0.322P X P X -<<-<===，故选：C .5.某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x 天的高度为cm y ，测得一些数据如下表所示第x 天1234567高度/cmy 1469111213由表格数据可得到y 关于x 的经验回归方程为0ˆ 2.4ˆya x =+，则第6天的残差为（）A.0.08-B.2.12C. 2.12- D.0.08【答案】A 【解析】【分析】根据样本中心得回归直线方程，由残差的计算即可求解.【详解】123456714691112134,877x y ++++++++++++====根据线性经验回归方程过样本中心()4,8，故有ˆ8 2.044a=⨯+，则有ˆ0.16a =-,此时ˆ 2.040.16yx =-，当6x =时，ˆ 2.0460.1612.08y =⨯-=，残差ˆ1212.080.08e =-=-，故选:A.6.已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（）A.()f x 在(),2-∞-上单调递增B.()f x 在()0.3上单调递减C.()f x 在0x =处取得最大值D.()f x 在2x =-处取得最小值【答案】B 【解析】【分析】根据导函数的正负与原函数的单调性，即可结合选项逐一求解.【详解】根据导函数图象，可知当()(),2,x f x ∞∈--单调递减；当()()2,0,x f x ∈-单调递增；当()()0,3,x f x ∈单调递减；当()()3,,x f x ∞∈+单调递增.()f x 在0x =处取得极大值，不一定最大值；()f x 在2x =-处取得极小值，不一定最小值，故ACD 错误，故选：B.7.若函数()21ln 12f x x x =-+在其定义域的一个子区间()2,1k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A.31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.15,22⎛⎫-⎪⎝⎭D.3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先求出定义域，得到2k ≥，求导，由()0f x '=，得12x =，结合函数在()2,1k k -+内不单调，得到不等式，求出答案.【详解】函数的定义域为()0,∞+，所以20k -≥，即2k ≥，()2141222x f x x x x -'=-=，令()0f x '=，得12x =，或12x =-（不在定义域内舍去），由于函数在区间()2,1k k -+内不是单调函数，所以()12,12k k ∈-+，即1212k k -<<+，解得1522k -<<，综上可得，522k ≤<.故选：B.8.为了落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某校开设A B C ､､三门德育校本课程，现有甲､乙､丙､丁四位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（）A.72种B.60种C.54种D.36种【答案】D 【解析】【分析】首先将4名学生分成三组，再进行全排列即可得共有36种不同的报名方法.【详解】第一步，将四位学生应分成三组，即随机选取2人为一组，其余剩下两人每人单独一组，故有24C 种分法；第二步，将三组学生排列到三门课程中，共有33A 种排列，所以不同的报名方法有2343C A 36=种.故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若两个变量x y ､具有线性相关关系，则经验回归直线至少过一个样本点；B.在经验回归方程ˆ0.852y x =-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，响应变量ˆy 平均减少0.85个单位；C.若某商品的销售量y （件）关于销售价格x （元/件）的经验回归方程为ˆ5350yx =-+，则当销售价格为10元/件时，销售量一定为300件.D.线性经验回归方程ˆˆˆy bx a =+一定过样本中心(),x y .【答案】BD 【解析】【分析】经验回归直线一定过样本中心点，但可能不过何一个样本点，判断AD ；根据经验回归方程中ˆb的意义判断B 选项；根据验回归方程的意义判断C 选项.【详解】A 选项，两个变量x y ､具有线性相关关系，则经验回归直线可能不过任何一个样本点，故A 错误；B 选项，对于经验回归方程ˆˆˆy bx a =+，当ˆ0y>时，当解释变量x 每增加一个单位时，响应变量ˆy平均增加ˆb 个单位；当ˆ0b <时，当解释变量x 每增加一个单位时，响应变量ˆy 平均减少ˆb 个单位；故B 正确.C 选项，当销售价格为10元/件时，销售量一定为300件，但预测值与真实值未必相同，故C 错误；D 选项，由最小二乘法可知，线性经验回归方程必过样本中心(),x y ，故D 正确.故选：BD10.A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，下列说法正确的是（）A.若A ，B 不相邻，有72种排法B.若A 在正中间，有24种排法C.若A 在B 左边，有24种排法D.若A ，B 相邻，有24种排法【答案】AB 【解析】【分析】A.利用插空法求得选项A 正确；B.直接利用分步原理和排列求得选项B 正确；C.利用缩倍法求得选项C 不正确；D.利用捆绑法求得选项D 不正确.【详解】A.若A 、B 不相邻，利用插空法得共有3234A A 72⋅=种方法，故A 正确；B.若A 站在最中间，有2242A A 24=种方法，故B 正确；C.若A 在B 左边，利用缩倍法共有5522A 60A =种方法，故C 不正确；D.若A 、B 两人相邻站在一起，利用捆绑法共有4242A A 48=，故D 不正确.故选：AB11.已知()*3,nn n ≥∈N 的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，则（）A.7n =B.展开式中有理项有2项C.第4项为54358x -D.第3项二项式系数最大【答案】ABC 【解析】【分析】根据二项式定理逐项分析:选项A ：21C 3C n n =，解得7n =，正确；选项B:143471T C 2rrr r x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当2r =和6r =时展开式为有理项，正确；选项C：3534447358T C x ⎛=-=- ⎝，正确；选项D ：根据二项式系数性质可知当3r =或4r =时，二项式系数7C r 最大，即第4或第5项的二项式系数7C r最大，错误；【详解】选项A ：第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，故有21C 3C n n =，则有()1321n n n -=⨯，化简整理得270n n -=，解得7n =或0n =（舍）.故A 正确；选项B：7143724477711T C C C 22rrrr r rr r r r r x x x ----⎛⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当2r =和6r =时，1434r -为整数，故2r =和6r =时展开式为有理项.故B 正确.选项C:3335433244477135C C 28T x x x -⎛⎛⎫==-=- ⎪ ⎝⎭⎝，故C 正确；选项D:令()7C rf r =，根据二项式系数性质可知当3r =或4r =时，二项式系数7C r最大，即第4或第5项的二项式系数7C r 最大，故D 错误；故选：ABC12.学校食堂每天中午都会提供A ，B 两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A 套餐的概率为23，选择B 套餐的概率为13.而前一天选择了A 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34；前一天选择B 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为12，选择B 套餐的概率也是12，如此反复.记某同学第n 天选择A 套餐的概率为n A ，选择B 套餐的概率为n B .一个月（30天）后，记甲､乙､丙三位同学选择B 套餐的人数为X ，则下列说法中正确的是（）A.1n n A B +=B.数列25n A ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列C.() 1.5E X = D.()361125P X ==【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由每人每次只能选择A ，B 两种套餐中的一种判断，对于B ，由题意得()111142n n n A A A +=⨯+-⨯，变形后进行判断，对于CD ，由选项B 可求出n A ，则可求出n B ，得33,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可求出()E X ，()1P X =.【详解】由于每人每次只能选择A ，B 两种套餐中的一种，所以1n n A B +=，所以A 正确，依题意，()111142n n n A A A +=⨯+-⨯，则()12121,N 545n n A A n n +⎛⎫-=--≥∈ ⎪⎝⎭，又1n =时，1222453515A -=-=，所以数列25n A ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以415为首项，以14-为公比的等比数列，所以124121613161,,1515451545154n n nn n n n A A B A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-=-⨯-=-=⨯- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当30n >时，35n B ≈，所以()()2133323693,,1=C ,5551255X B P X E X ⎛⎫⎛⎫~=⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ABD 正确，C 错误，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的应用，考查互斥事件和对立事件的概率，考查二项分布，解题的关键是根据题意得到()111142n n n A A A +=⨯+-⨯，从而可得数列25n A ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以415为首项，以14-为公比的等比数列，进而可求出n A 和n B ，考查数学转化思想，属于较难题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知离散型随机变量X 的方差为1，则(31)D X +=__________．【答案】9【解析】【分析】利用方差的关系求解．【详解】()1D X =所以(31)9()9D X D X +==．故答案为：9．14.甲､乙两位选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.4，若采用3局2胜制（无平局），则甲最终获胜的概率为___________.【答案】0.352##44125【解析】【分析】分前两局甲均获胜，和前两局甲胜一局，输一局，第三局获胜，两种情况下求出概率相加即可.【详解】甲最终获胜分两种情况，一是前两局甲均获胜，二是前两局甲胜一局，输一局，第三局获胜，若前两局甲均获胜，概率为210.40.16p ==，若前两局甲胜一局，输一局，第三局获胜，则概率为122C ×0.40.60.40.192p =⨯⨯=，故甲最终获胜的概率120.160.1920.352P p p =+=+=.故答案为：0.35215.甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为___________.【答案】2345【解析】【分析】根据题意可知，利用全概率公式即可求得该球是白球的概率为2345.【详解】设1A =“从甲袋中取出的一个球为白球”，2A =“从甲袋中取出的一个球为黑球”，B =“从乙袋中取出的一个球为白球”，根据全概率公式则有()()()()()1122352423595945P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=∣∣.故答案为：234516.已知定义在()0,∞+的函数()f x 满足任意()()0,0x xf x f x >'-<成立，且()12f =，则不等式()2f x x <的解集为___________.【答案】()1,+∞【解析】【分析】构造函数()()()2,0f x h x x x=->，求导可得单调性，即可求解.【详解】令()()()2,0f x h x x x=->，则()()()20xf x f x h x x'-'=<，所以()h x 在()0,∞+减函数，又()()1120h f =-=，由()()01h x h <=，可得1x >，故不等式()2f x x <的解集为()1,+∞,故答案为：()1,+∞四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列{}22111,0,2,n n n n n n a a a a a a a ++>=-=+.（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）求数列()11n n a a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）证明过程见解析（2）1n nT n =+【解析】【分析】（1）根据题中等式因式分解后化简，根据等差数列定义证明即可；（2）根据（1）中证明过程得到数列{}n a 通项公式，得到数列()11n n a a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭通项公式，再裂项相消求和即可.【小问1详解】()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=+-=+，因为0n a >，所以10n n a a ++>，所以11n n a a +-=，所以数列{}n a 是以2为首项，以1为公差的等差数列.【小问2详解】由（1）知，()2111n a n n =+-⨯=+，所以()()1111111n n a a n n n n ==--++，111111111122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.18.已知函数()()3234f x x a x ax =---的图象在1x =处的切线方程为22y bx a b =+-.（1）求a b ､的值；（2）求()f x 在区间[]3,1-上的最值.【答案】（1）13a b =⎧⎨=⎩（2）最大值为8，最小值为4027-【解析】【分析】（1）求导，根据函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为22y bx a b =+-求解；.（2）由（1）得到()3224f x x x x =+-，再利用导数法求解.【小问1详解】解：()()()()32234,3234f x x a x ax f x x a x a '=---=---，又函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为22y bx a b =+-，所以()()1452196f a a b f a b ⎧=-=-⎪⎨=-='⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】由（1）可知()()()()32224,344232f x x x x f x x x x x =+-=+-=+-'，令()0f x '=，解得2x =-，或23x =.当<2x -或23x >时，()0f x ¢>；当223x -<<时，()0f x '<.故()f x 的增区间为(),2-∞-和()2,;3f x ∞⎛⎫+⎪⎝⎭的减区间为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭因为()()()24033,28,,11327f f f f ⎛⎫-=-==-=-⎪⎝⎭，所以()f x 在[]3,1-上的最大值为8，最小值为4027-.19.某公司对其产品研发的年投资额x （单位：百万元）与其年销售量y （单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表；x12345y1.523.5815（1）求变量x 和y 的样本相关系数r （精确到0.01），并推断变量x 和y 的线性相关程度；（参考；若0.75r ≥，则线性相关性程度很强；若0.300.75r ≤<，则线性相关性程度一般，若0.25r ≤，则线性相关性程度很弱.）（2）求年销售量y 关于年投资额x 的经验回归方程.参考公式：样本相关系数()()nniii ix x y y x y nxyr ---==∑∑；经验回归方程ˆˆˆybx a =+中()()()1122211ˆˆˆ,n niii i i i nni ii i x x y y x y nxyb a y bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑7.14≈【答案】（1）0.92，变量x 和y 线性相关性程度很强（2）ˆ 3.3 3.9yx =-【解析】【分析】（1）根据公式求出相关系数约等于0.92，从而得到答案；（2）根据公式计算出ˆ 3.3b=，ˆ 3.9a =-，得到答案.【小问1详解】由题意，3,6x y ==，因为5552211155,307.5,123iii i i i i xy x y ======∑∑∑，所以55iix yxyr-=∑0.92=因为0.75r ≥，所以变量x 和y 线性相关性程度很强.【小问2详解】51522215123536ˆ 3.355535iii ii x yx ybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑根据ˆˆa y bx=-得，ˆ6 3.33 3.9a =-⨯=-所以年销售量y 关于年投资额x 的经验回归方程为ˆ 3.3 3.9yx =-.20.某校高二年级为研究学生数学与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀453580不优秀4575120合计90110200（1）根据0.01α=的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（2）在人工智能中常用()()()P B A L BA PB A =∣∣∣表示在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势，在统计学中称为似然比.现从该校学生中任选一人，设A =“选到的学生语文成绩不优秀”，B =“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计()L BA ∣的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.050.010.001ax 3.8416.63510.828【答案】（1）认为数学成绩与语文成绩有关（2）157【解析】【分析】（1）零假设0H 后，计算卡方的值与6.635比较即可；（2）根据条件概率公式计算即可.【小问1详解】零假设为0H ：数学成绩与语文成绩独立，即数学成绩与语文成绩无关，根据表中数据计算得220.01200(45753545) 6.818 6.6359011012080x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯根据小概率0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，故认为数学成绩与语文成绩有关.【小问2详解】()()()()7515()()()()()357()()P AB P B A P AB n AB P A L B A P AB P B A P AB n AB P A ======∣∣∣，所以估计()L BA ∣的值为157.21.小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是13；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是12，第二个路口遇到红灯的概率是23．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．（1）若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．（2）假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min ，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min ）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．【答案】（1）1927（2）小李应选择路线1；理由见解析【解析】【分析】（1）设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X ，则1~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由对立事件概率公式(1)1(0)P X P X ≥=-=计算概率；（2）设路线1累计增加时间的随机变量为1Y ，则11~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布的期望公式得期望1EY ，设路线2第i 个路口遇到红灯为事件i A （1i =，2），则()112P A =，()223P A =，设路线2累计增加时间的随机变量为2Y ，则2Y 的所有可能取值为0，1，2，依独立事件与互斥事件及对立事件概率公式计算出各概率，得期望2EY ，比较可得．【小问1详解】设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X ，则1~3,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以至少遇到一个红灯的事件为()1P X ≥，由对立事件概率公式，得()()033121101C 33P X P X ⎛⎫⎛⎫≥=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭81912727=-=，所以若小李下班后选择路线1驾车回家，至少遇到一个红灯的概率为1927．【小问2详解】设路线1累计增加时间的随机变量为1Y ，则11~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()11313E Y =⨯=，设路线2第i 个路口遇到红灯为事件i A （1i =，2），则()112P A =，()223P A =，设路线2累计增加时间的随机变量为2Y ，则2Y 的所有可能取值为0，1，2，则()()()2121110236P Y P A P A ===⨯=，()()()2121212111123232P Y P A A P A A ==+=⨯+⨯=，()()2121212233P Y P A A ===⨯=，所以()211170126236E Y =⨯+⨯+⨯=．因为()()12E Y E Y <，所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小，小李应选择路线1．22.已知函数()()211e ,2xf x x a x ax a =---+∈R（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 有极小值点1x ，极大值点2x ，且对任意()()3120,a f x f x ka >-<，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()f x 的递增区间为(),0∞-和()(),,a f x ∞+的递减区间为()0,a （2）16k ≥-【解析】【分析】（1）易知()()()e 1xf x x a '=--，解()0f x '=可得x a =或0x =，即可知其单调区间；（2）由（1）知12,0x a x ==，对参数0k ≥和0k <进行分类讨论，再通过构造函数研究单调性结合不等式恒成立，即可求得实数k 的取值范围.【小问1详解】由题()()()()e 1e e 1xxxf x x a x a x a '=+---+=--，令()0f x '=，解得x a =，或0x =.当0a >时，令()0f x ¢>得0x <或x a >，所以()f x 在(),0∞-和(),a +∞上单调递增，令()0f x '<得0x a <<，所以()f x 在()0,a 上单调递减.综上所述，当0a >时，()f x 的递增区间为(),0∞-和()(),,a f x ∞+的递减区间为()0,a 【小问2详解】解法一：当0a >时，由（1）得；12,0x a x ==，且()()12f x f x <，所以()()120f x f x -<.当0k ≥时，()()3120f x f x ka -<≤，符合题意；当0k <时，()()()()231210e 12af x f x f a f a a ka -=-=-+++<，即3211e 2a ka a a -+<++，得3211e 102a ka a a -⎛⎫-+++-⎪⎝⎭< 令()3211e 12a g a ka a a -⎛⎫=-+++- ⎪⎝⎭得()()213e 2a g a k a a -⎡'⎤=--⎢⎥⎣⎦令()0g a '=得132a k=+①若1302k+>，即16k <-，则当10,32a k ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()g 0a '>，所以()g a 在10,32k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；所以()13002g g k ⎛⎫+>=⎪⎝⎭，不符合题意：②若1302k +≤，即106k -≤<，则()()g 0,a g a '<在()0,∞+上单调递减，所以()()00g a g <=成立综上所述实数k 的范围为16k ≥-.解法二：由（1）知，当0a >时，12,0x a x ==()()()()21210e 12a f x f x f a f a a -=-=-+++所以问题转化为任意2310,e 12a a a a ka>-+++<即321e 12a ka a a 0+-->-令()321e 12a F a ka a a =+---，则()2e 31a F a ka a '=+--令()2e 31ag a ka a =+--，则()e 61ag a ka =+-'令()e 61ah a ka =+-，则()e 6ah a k=+'①若16k ≥-，则当0a >时，()160h a k >+≥'，所以()h a 在()0,∞+上单调递增，所以()()00h a h >=，即()0g a '>，所以()g a 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g a g >=，即()0F a '>，所以()F a 在()0,∞+上单调递增，所以()()00F a F >=，即任意2310,e 12aa a a ka >-+++<.②若16k <-，则令()0h a '=，得()ln 6a k =-.当()0ln 6a k <<-时，()0h a '<，所以()h a 在()()0,ln 6k -上单调递减.此时()()00h a h <=，即()0g a '<，所以()g a 在()()0,ln 6k -上单调递减，所以()()00g a g <=，即()0F a '<，所以()F a 在()()0,ln 6k -上单调递减，所以()()00F a F <=，即当()0ln 6a k <<-时，231e 12aa a ka -<+++不成立.综上所述实数k 的范围为16k ≥-.。

高二年级下学期期末考试数学试卷(考试时间：120分钟；满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设103iZ i=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i -2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．243．已知(1,21,0),(2,,),a t t b t t b a =--=-则的最小值是( )A B C D4．已知正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1，且满足0,OA OB OC ++=则正三棱锥的体积为( )A ．4 B ．34C ．2D ．4 5．已知函数(),1,x xf x a b e=-<<且则( ) A ．()()f a f b = B ．()()f a f b <C ．()()f a f b >D ．()()f a f b ，大小关系不能确定 6．若随机变量~(,),X B n p 且()6,()3,(1)E X D X P X ===则的值为( ) A ．232-• B ．42- C ．1032-• D ．82-7．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为( )A ．6B ．7C ．8D ．98．若2211S x dx =⎰，2211S dx x =⎰，231x S e dx =⎰，则123,,S S S 的大小关系为( )A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<9．平面内有n 条直线，最多可将平面分成()f n 个区域，则()f n 的表达式为( )A ．1n +B ．2nC ．222n n ++ D ．21n n ++10．设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =，则m =( )A ．5B ．6C ．7D ．811．已知一系列样本点(,)i i x y (1,2,3,i =…,)n 的回归直线方程为ˆ2,yx a =+若样本点(,1)(1,)r s 与的残差相同，则有( )A ．r s =B ．2s r =C ．23s r =-+D ．21s r =+12．设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线(2)y ln x =上，则PQ 的最小值为( )A ．12ln - B2)ln - C ．12ln + D2)ln + 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知复数5()12iz i i =+是虚数单位，则z =__________；14．直线21cos ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为__________； 15．二项式822x y 的展开式中，的系数为__________； 16．已知11()123f n =+++…*15(),(4)2,(8),(16)32n N f f f n +∈>>>经计算得，7(32),2f >则有__________(填上合情推理得到的式子)．三、解答题（本大题共6小题，17小题10分， 18-22题每小题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知曲线C 的极坐标方程是2()3cos πρθ=+，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是1,()2x t t y =--⎧⎪⎨=+⎪⎩是参数，设点(1,2)P -． (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的参数方程化为普通方程； (Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求PM PN •的值．18．我校为了解学生喜欢通用技术课程“机器人制作”是否与学生性别有关，采用简单随机抽列联表：已知从该班随机抽取1人为喜欢的概率是3．(Ⅰ)请完成上面的22⨯列联表；(Ⅱ)根据列联表的数据，若按90%的可靠性要求，能否认为“喜欢与否和学生性别有关”？请说明理由．22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++（参考公式：其中）19．在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设123,,a a a 分别表示甲，乙，丙3个盒中的球数． (Ⅰ)求1232,1,0a a a ===的概率；(Ⅱ)记12,a a ξ=+求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．20．已知数列1111{},,21n n nx x x x +==+满足 其中n N *∈ . （Ⅰ）写出数列{}n x 的前6项；（Ⅱ）猜想数列2{}n x 的单调性，并证明你的结论.21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，,AD BC >090BAD ∠=，,,PA ABCD PA AB ⊥=底面点E PB 是的中点． (Ⅰ)证明：PC AE ⊥；(Ⅱ)若1,3,AB AD PA ==且与平面PCD 所成角的大小为045，求二面角A PD C --的正弦值．22．已知函数(),()()ln xg x f x g x ax x==-. （Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在()1,a +∞上是减函数，求实数的最小值；（Ⅲ）若21212,[,],()()(0)x x e e f x f x a a '∃∈≤+>使成立，求实数a 的取值范围.下学期高二年级期末考试数学参考答案一、选择题二、填空题13．14． 15．70 16．*2(2)(2,)2n n f n n N +>≥∈ 三、解答题17．解：(Ⅰ) 曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为：22x y x +=- ，即221()(122xy -++= ；直线l 20y ++= ．(Ⅱ) 直线l 的参数方程化为标准形式为11,2()22x m m y m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数，①将①式代入22x y x +=，得：23)60m m +++= ，②由题意得方程②有两个不同的根，设12,m m 是方程②的两个根，由直线参数方程的几何意义知：12PM PN m m •=•=6+． (Ⅱ)根据列联表数据，得到2260(1422618) 3.348 2.706,32282040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 所以有90%的可靠性认为“喜欢与否和学生性别有关”．19．解：由题意知，每次抛掷骰子，球依次放入甲,乙,丙盒中的概率分别为111,,632．(Ⅰ) 由题意知，满足条件的情况为两次掷出1点，一次掷出2点或3点，121233111(2,1,0)()()6336p p a a a C ====== ．(Ⅱ) 由题意知，ξ可能的取值是0，1，2，3 ．1231(0)(0,0,3),8p p a a a ξ======12121231233311113(1)(0,1,2)(1,0,2)()()()()32628p p a a a p a a a C C ξ=====+====+=123123123(2)(2,0,1)(1,1,1)(0,2,1)p p a a a p a a a p a a a ξ=====+===+===1231233311111113()()()()()()()62632328C A C =++=123123123(3)(0,3,0)(1,2,0)(2,1,0)p p a a a p a a a p a a a ξ=====+===+===+1231(3,0,0)8p a a a ====．故ξ的分布列为：期望()012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ．20．解：（Ⅰ）由121112,213x x x ===+得； 由232213,315x x x ===+得； 由343315,518x x x ===+得； 由454518,8113x x x ===+得； 由5658113,13121x x x ===+得； （Ⅱ）由（Ⅰ）知246,x x x >>猜想：数列2{}n x 是递减数列. 下面用数学归纳法证明：①当1n =时，已证命题成立；②假设当n k =时命题成立，即222k k x x +>. 易知20k x >，当1n k =+时，2224k k x x ++- 21231111k k x x ++=-++23212123(1)(1)k k k k x x x x ++++-=++22222122230(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++-=>++++即2(1)2(1)2k k x x +++>.也就是说，当1n k =+时命题也成立.根据①②可知，猜想对任何正整数n 都成立.21． 解：解法一（向量法）：建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示．根据题设，可设(,0,0),(0,,0),(0,0,),(,,0)D a B b P b C c b ， （Ⅰ）证明：0,,22b b AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(,,)PC c b b =-， 所以0()022bb AE PCc b b ⋅=⨯+⋅+⋅-=， 所以AE PC ⊥，所以PC AE ⊥．（Ⅱ）解：由已知，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)AB =． 设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =， 由0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,00,cx y z y z +-=⎧⎪+⋅-=令1z =，得11m ⎫=⎪⎭．而(0,0,1)AP =，依题意PA 与平面PCD 所成角的大小为45︒，所以||sin 45||||m AP m AP ⋅︒==，即=，解得32BC c =（32BC c ==去），所以2133m ⎛⎫=⎪⎪⎭． 设二面角A PD C --的大小为θ，则233cos ||||12133m ABm AB θ⋅===++， 所以6sin θ，所以二面角A PD C --的正弦值为6． 解法二（几何法）：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥． 又由ABCD 是梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，知BC AB ⊥，而AB AP A =，AB ⊂平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ． 因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．又PA AB =，点E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．因为PB BC B =，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ． 因为PC ⊂平面PBC ，所以AE PC ⊥． （Ⅱ）解：如图4所示，过A 作AF CD ⊥于F ，连接PF ， 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD PA ⊥，则CD ⊥平面PAF ，于是平面PAF ⊥平面PCD ，它们的交线是PF ． 过A 作AG PF ⊥于G ，则AG ⊥平面PCD ， 即PA 在平面PCD 上的射影是PG ，所以PA 与平面PCD 所成的角是APF ∠．由题意，45APF ∠=︒． 在直角三角形APF 中，1PA AF ==，于是2AG PG FG ===． 在直角三角形ADF 中，3AD ，所以2DF = 方法一：设二面角A PD C --的大小为θ， 则2232cos 13PDG APDS PG DF S PA AD θ⋅===⋅⨯△△，所以sin θ，所以二面角A PD C --方法二：过G 作GH PD ⊥于H ，连接AH ，由三垂线定理，得AH PD ⊥，所以AHG ∠为二面角A PD C --的平面角， 在直角三角形APD中，2PD =，PA AD AH PD ⋅===． 在直角三角形AGH中，sin AG AHG AH ∠===， 所以二面角A PD C --22．解：由已知，函数()g x ，()f x 的定义域为(0,1)(1,),+∞ 且()ln xf x ax x=-. （Ⅰ）函数221ln ln 1()(ln )(ln )x x x x g x x x -⋅-'==， 当01()0x e x g x '<<≠<且时，；当()0x e g x '>>时，.所以函数()g x 的单调减区间是(0,1),(1,),()e e +∞增区间是，. （Ⅱ）因()f x 在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立. 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤. 又222ln 111111()()(),(ln )ln ln ln 24x f x a a a x x x x -'=-=-+-=--+- 故当11,ln 2x =即2x e =时，max 1()4f x a '=-. 所以1110,,444a a a -≤≥于是故的最小值为.（Ⅲ）命题“若21212,[,],()()x x e e f x f x a '∃∈≤+使成立”等价于 “当2min max [,],()()x e e f x f x a '∈≤+时有” . 由（Ⅱ）知，当2max max 11[,],(),()44x e e f x a f x a ''∈=-∴+=时有.问题等价于：“2min 1[,],()4x e e f x ∈≤当时有” .① 当14a ≥时，由（Ⅱ）知，2()[,]f x e e 在上为减函数，则222min2111()(),2424e f x f e ae a e==-≤≥-故 .②当104a <<时，由于2111()()ln 24f x a x '=--+-在2[,]e e 上为增函数，故21()(),(),4f x f e f e a a '''的值域为[],即[--] .由()f x '的单调性和值域知，200,,()0x e e f x '∃∈=唯一()使，且满足：当0,,()0,()x e x f x f x '∈<()时为减函数； 当20,,()0,()x x e f x f x '∈>()时为增函数； 所以，20min 00001()(),(,)ln 4x f x f x ax x e e x ==-≤∈ . 所以，2001111111,ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-= 与104a <<矛盾，不合题意. 综上，得21124a e ≥-.高二年级第二学期期末考试数学试题一、选择题（每小题5分，共50分）1.已知集合{}322+<=x x x M ，{}2<=x x N ，则=⋂N M ( )A ．(-1，2)B ．(-3，2)C ．(-3，1)D ．(1，2)2.欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天骄”。

高二下学期数学期末试卷（考试时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分）i D、2 2－i C、 i B、－2 A、－2－i ） （Z ，则复数i 2i 11、若复数Z ++=+=、既不充分也不必要、充分必要、必要不充分、充分不必要）条件有实数解”的（”是“一元二次方程＜、“D CB A 0m x x 41m 22=++D、－1 C、1 B、－2 A、2 ） （，0，x 10lgx，x＞0{3、已知f（x）x =≤=））2则f（f（－－│x│232y 、D 1－x y 、C1│x│y 、B x A、y ）（）上单调递增的函数是偶函数又在（0，4、下列函数中，既是=+=+==∞+）（2， D、 （1,4） C、 B、（0,3） ，2）A、（－ ）的单调增区间是（ （x－3）e 5、函数f（x）x ∞+∞= a c b D c a b C b c a B c b a A 2c 3.0log b 0.3a 63.022＜＜、＜＜、＜＜、＜＜、），则（，，、已知===2D 21C 21B 2A a 01y ax 2,31x 1x y 7、－、－、、）等于（则垂直，）处的切线与直线在点（－、设曲线=+++=8.盒子中有大小相同的3只白球，1只为黑球，从中随机摸出两只球，则两球的颜色不同的概率是（ ）A.21B. 31C. 41D. 32 43D 31C 21B 32A cb 5:7bx 2y ,0b a 1by a x y 9221212222、、、、）为（两段，则的焦点分成物线被抛线段，）的左右焦点分别是＞＞（－、双曲线===F F F F），、），、（），、（），、（）的圆心为（、圆π471(D π451C π431B 4π1A ）4πcos （210+=θP34D 43C 34B 43A x sin 3y 2cos x {11、、、－、－）（所在直线的斜率之积为与在曲线上，则，点、轴的交点为为参数）与（、设曲线PN PM P N M θθθ==、不确定）316（）＞21－（、）316（）＜21－（、）316（）21－（、A ）系是（）的大小关316（）与21－（），则（2x x ）[2，4]时，f（x 且当x 2），f（x ）f（x），f（x－2）f（x）满足f（－x 可导函数定义在R上的、，2D f f C f f B f f f f 2f 12=+=∈+==12.定义在R 上的可导函数)(x f 满足)()(x f x f =-，)2()2(+=-x f x f ，且当[]4,2∈x 时，)2(2)(2f x x x f '+=，则)21(-f 与)316(f 的大小关系是（ ） A. )316()21(f f =- B. )316()21(f f ＜- C. )316()21(f f ＞- D.不确定 二、填空题（本题共4小题，每题5分）. 1a 0a a 1x ）必过定点且＞（－213、函数f（x）≠=+. 增区间是－2x－3）的单调递（x log 14、函数f（x）231=. 取值范围是 ，则α的处的切线的倾斜角是α3上的任意一点，P点x 3－x 15、设点P是曲线y 3+=. 的斜率K 垂直，则直线 交点处的切线相互2y交于两点，且两个与抛物线x 0）的直线16、经过点P（3,2==三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）B.A)1}，求（C 2x 5{x│－2}，B （3－x）{x│log 17、已知集合A R 21 ≥+=≥=范围.R恒成立，求a的取值2a－1对一切x （2）若f（x） f（x）的图象（1）作出y │x－2││x－1│18、设函数f（x）∈≥=+=的方程.线PB│取得最小值时直（2）求│PA│·│ 的参数方程（1）求直线 A、B两点分别交于与x轴和y轴的正半轴倾斜角为α，又过点P（3,2），且19、已知直线f（x）的值域.4时，函数y （2）当a 义域(1）求f（x）的定 0的常数)－2）（其中a是大于x a lg（x ）20、已知函数f（x ==+=面积的最大值.，求ΔAOB 23的距离为 点，原点O到直线与椭圆C交于A、B两（2）设直线 （1）求椭圆C的方程3的距离为 点，短轴一个端点到右焦36心率为1（a＞b＞0）的离b y a x 21、已知椭圆C：2222 =+值范围.2ax下方，求a的取象恒在直线y 上，函数f（x）的图 )(2)若在区间(1, 值e]上的最大值与最小间[1,1时，求f（x）在区（1）当a R）lnx（a ）x 21（a－）22、已知函数f（x 2=+∞=∈+=v教师的职务是‘千教万教，教人求真’;学生的职务是‘千学万学，学做真人’。