初中数学06-三线八角及平行线的判定-教师版

第2讲三线八角定平行——平行线及其判定学习目标1.理解三线八角的意义，掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法入门测单选题练习1.三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（）.A．a⊥b B．a∥bC．a⊥b或a∥b D．无法确定【答案】B【解析】题干解析:解：由于直线a、b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出a∥b．故选B．练习2.（2021春∙封开县期末）如图，已知∠2=110°，要使a∥b，则须具备另一个条件（）A．∠3=70°B．∠3=110°C．∠4=70°D．∠1=70°【解析】题干解析:当∠3=70°，∠2=110°时，∠2+∠3=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行），填空题练习1.下列说法中：（1）在同一平面内，经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）两个相等的角是对顶角；（3）一个锐角的补角一定比这个角的余角大90°；（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（5）三条直线两两相交，一定有三个交点．正确的说法是．（填入你认为正确的说法的序号）【答案】（3）、（4）【解析】题干解析:解：（1）在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（1）错误；（2）对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故（2）错误；（3）一个锐角的补角一定比这个角的余角大90°，故（3）正确；（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故（4）正确；（5）三条直线两两相交，有三个交点或一个交点，故（5）错误；故答案为：（3），（4）．练习2.如图，共有___组平行线段．【答案】9【解析】题干解析:图中的平行线段有AD∥EF；BD∥EF；DE∥FB；DE∥FC；DF∥AE；DF∥EC；DE∥BC；DF∥AC；EF∥AB．共有9对．解答题练习1.我们已经掌握“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”这一判定两直线平行的方法．如图，已知直线AB和直线外一点C，请按照上述方法利用三角尺过点C画AB的平行线．（保留作图痕迹，不用写作法）．【答案】解：如图所示：EF为所求作的图形．【解析】题干解析:利用直角三角板过点C作CD⊥AB，再利用直角三角板过点C作EF⊥CD．情景导入中国最早的风筝据说是有古代哲学家墨翟制作的，风筝的骨架构成了多种关系的角。

第七章 平面图形的认识（二）一、知识点：1、“三线八角”① 如何由线找角：一看线，二看型。

同位角是“F ”型；内错角是“Z ”型；同旁内角是“U ”型。

② 如何由角找线：组成角的三条线中的公共直线就是截线。

2、平行公理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

简述：平行于同一条直线的两条直线平行。

补充定理：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也平行。

简述：垂直于同一条直线的两条直线平行。

34、图形平移的性质：图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一直线上）并且相等。

5、三角形三边之间的关系：三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边。

若三角形的三边分别为a 、b 、c ，则b a c b a +<<-6、三角形中的主要线段：三角形的高、角平分线、中线。

注意：①三角形的高、角平分线、中线都是线段。

②高、角平分线、中线的应用。

7、三角形的内角和：三角形的3个内角的和等于180°；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

8、多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）•180°；任意多边形的外角和等于360°。

第八章幂的运算幂（power）指乘方运算的结果。

a n指将a自乘n次(n个a相乘）。

把a n看作乘方的结果，叫做a的n次幂。

对于任意底数a,b，当ｍ，ｎ为正整数时，有:aｍ•a n=a m+n (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)aｍ÷a n=a m-n (同底数幂相除,底数不变,指数相减)(aｍ)n=a mn (幂的乘方,底数不变,指数相乘)(ab)n=a n a n (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)a0=1(a≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)a-n=1/a n (a≠0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中1≤|a|＜10),这种记数法叫做科学记数法.复习知识点：1.乘方的概念:a中，a 叫做底数，求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

平行线与三线八角平行线在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。

如图，直线a与直线b互相平行，记作“a ∥b”。

念为a平行于b。

1.根据所学的知识，在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有几种呢？两种：平行或相交。

2.利用直尺和三角板画已知直线的平行线。

（1）工具：直尺、三角板（2）方法：一“落”把三角尺一边落在已知直线上；二“靠”用直尺紧靠三角尺的另一边；三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”沿三角尺过已知点的边画直线。

例1：请你根据上述方法练习画平行线：已知:直线a ，,点B,，点C.（1）过点B画直线a的平行线,能画几条?（2）过点C画直线a的平行线,它与过点B且与直线a平行线的直线平行吗?思考：上图中，①过点B画直线a的平行线，能画条；②过点C画直线a的平行线，能画条；③你画的两条直线有什么位置关系？。

练习：1.在同一平面内,一条直线和两条平行线中的一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一条必__________.cba 2.两条直线相交,交点的个数是______,两条直线平行,交点的个数是_____个. 3.在同一平面内，与已知直线L 平行的直线有 条，而经过L 外一点，与已知直线L 平行的直线有且只有 条。

平行公理及推论①公理内容： 。

②比较平行公理和垂线的第一条性质：共同点:都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的.不同点:平行公理中所过的“一点”要在已知直线外, 垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外.例2、下列命题：（1）长方形的对边所在的直线平行； （2）经过一点可作一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交； (4)经过一点可作一条直线与已知直线垂直． 其中正确的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．43、推论： 。

①符号语言：∵b∥a，c∥a（已知） ∴b∥c（如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行）例3、（1）下列推理正确的是 （ ）A 、因为a//d, b//c,所以c//dB 、因为a//c, b//d,所以c//dC 、因为a//b, a//c,所以b//cD 、因为a//b, d//c,所以a//c （2）在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个 （3）下列说法正确的有( ) ①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与CD 没有交点,则AB ∥CD; ④若a ∥b,b ∥c,则a 与c 不相交.A.1个B.2个C.3个D.4个1.平行公理是：经过一点，一条直线与这条直线平行.2.在同一平面内，两条不重合直线的位置关系有和两种.3.因为AB∥CD，CD∥EF，所以∥ . 推理理由( ).4.判断下列语句：(1)过两条平行线AB、CD外一点P，作一条直线MN，使MN∥AB，且MN∥CD；(2)过两条平行线AB、CD外一点P，作直线MN，使MN∥AB，∵AB∥CD，∴M N∥CD；(3)过两条平行线AB、CD外一点P，作一条直线EF，使EF⊥AB，且EF⊥CD；(4)过两条平行线AB、CD外一点P，作一条直线EF，使EF⊥AB，∵AB∥CD，∴EF⊥CD.其中，正确的是( )A.(1)(2)B.(3)(4)C.(1)(3)D.(2)(4)三线八角提问： 1两条直线相交后产生了几个角?每两个角之间的关系是什么?2三条直线之间也可以有什么样的位置关系?三线八角的意义(2)内错角(3)同旁内例4、如图1，直线a、b被直线c所截，∠1和∠2是，∠3和∠4是，∠3和∠2是。

初一数学寒假班（教师版）- 1 -- 2 -同位角、内错角、同旁内角(三线八角) 若直线a ，b 被直线l 所截：（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做 同位角．（如15∠∠和）（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角 叫做内错角．（如35∠∠和）（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的 一对角互为同旁内角．（如36∠∠和） 注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系．知识结构三线八角及平行线的判定模块一：三线八角的意义知识精讲1 2 3 4 5 6 7 8- 3 -【例1】填空【例1】如图，∠2与∠3是_______角．∠2与∠4是_______角． ∠2与∠5是_______角． ∠1与∠5是_______角． ∠3与∠5是_______角． ∠3与∠7是_______角． ∠3与∠8是_______角．∠2与∠8是_______角．【难度】★【答案】邻补角、对顶角、同旁内角、同位角、内错角、同位角、同旁内角、内错角． 【解析】考查线八角的角的概念． 【总结】考查三线八角的本概念．【例2】填空(1)∠B 和∠1是两条直线________和_______被第三条直线_______所截构成的_______角． (2)∠ACB 与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角． (3)∠3与∠5是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角． (4)∠3与∠B 是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角． (5)∠2与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角． 【难度】★【答案】（1）BC 、DE 、AB 、同位角；（2）BC 、DE 、AC 、同位角；（3）BA 、CA 、DC 、内错角； （4）DC 、BC 、BA 、同旁内角； （5）DC 、AC 、DE 、内错角． 【解析】考查线八角的角的概念． 【总结】考查三线八角的本概念．【例3】如图，同旁内角有()对． A ．4对 B ．3对C ．2对D ．1对【难度】★ 【答案】B【解析】任意两个角都互为同旁内角，共3对．例题解析1234 8 765 7612354ABCDE- 4 - 【总结】考查同旁内角的概念．【例4】如图，同位角共有()对． A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【难度】★【答案】B【解析】同位角像F 形，由F 形找同位角． 【总结】考查同位角的概念．【例5】如图，是同位角关系的是()．A ．∠3和∠4B ．∠1和∠4C ．∠2和∠4D ．不存在【难度】★【答案】B【解析】A 是内错角；B 内错角；C 同旁内角． 【总结】考查同位角的概念．【例6】如图，内错角共有()对． A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【难度】★★【答案】D【解析】∠EDB 与∠DBC 、∠EDB 与∠DBA 、 ∠FDB 与∠DBC 、∠FDB 与∠DBA ，共4对 【总结】考查内错角的概念．【例7】如图，同旁内角共有()对． A ．10对B ．8对C ．6对D ．4对【难度】★★【答案】C【解析】四边形内有4组，四边形上方和右边各有一组， 共6组．【总结】考查同旁内角的判定．【例8】如图，∠1与∠2是两条直线____和____被第三条直线______所截构成的_____角．∠3与∠4是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角．【难度】★★【答案】AD 、BC 、AC 、内错角；AB 、CD 、AC 、内错角． 【解析】内错角像字母Z ．【总结】考查内错角的特点及判定．2341 ABC EFD A BCEFD1432ABCD- 5 -【例9】 如图，∠C 的同位角有_____________________，同旁内角是____________________，∠1与∠2是___________角．直线AB 和CD 被AD 所截，∠A 的内错角是___________，∠A 与∠ADC 是_______角． 【难度】★★【答案】∠ADE 、∠BDE ；∠ABC 、∠DBC 、∠ADC 、∠BDC ； 内错角；∠ADE ；同旁内角．【解析】同位角像字母F ，内错角像字母Z ，同旁内角像字母U ． 【总结】考查基本角的特点．【例10】如图，∠1的同位角是∠______，∠1的内错角是∠______，∠1的同旁内角是∠_____， ∠1的对顶角是∠______，∠1的邻补角是∠______．【难度】★★★【答案】∠DEB 、∠EBH ；∠AEF 、∠IBF ；∠BEF 、∠EBF ； ∠CFG ；∠CFD 、∠GFH ．【解析】同位角像字母F ，内错角像字母Z ，同旁内角像字母U ， 找的时候要注意找全． 【总结】考查基本角的特点及概念．【例11】 如图，DC 垂直于AE ，已知∠DCE 的同位角是它的一半，∠B =2∠ACB ，试判断△ABC 的形状．【难度】★★★【答案】等腰直角三角形．【解析】∵DC ⊥AE ，∴∠DCE =90°∠DCE 的同位角是∠BAC ，由题已知∠BAC =45°， ∴∠B +∠ACB =180°-45°=135°又∵∠B =2∠ACB ∴∠B =90°，∠ACB =45° ∴△ABC 为等腰直角三角形 【总结】考查同位角的概念及三角形的类型判定．1、平行线的定义同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．知识精讲模块二：平行线的意义和性质ABCDE12AB DE FCG1H IABC DE2、平行线的基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（2）平行线之间的距离处处相等；（3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）．（4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等．例题解析【例12】已知直线a//b，b//c，那么a________c．【难度】★【答案】平行【解析】平行于同一条直线的两直线平行．【总结】考查平行线的传递性．【例13】a、b、c是直线，且a//b，b⊥c，则a与c的位置关系是________．【难度】★【答案】垂直【解析】∵a∥b，b⊥c，∴a⊥c．【总结】考查直线的位置关系．【例14】下列说法中，正确的是（）．A．两直线不相交则平行B．两直线不平行则相交C．若两线段平行，那么它们不相交D．两条线段不相交，那么它们平行【难度】★【答案】C【解析】两条直线还可能重合，所以A、B错；D错误．【总结】考查同一平面内线段、直线的位置关系．【例15】在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】★【答案】C【解析】第三条直线与这两条直线都相交，所以有两个交点．【总结】考查直线的位置关系及交点个数．- 6 -- 7 -【例16】下列说法中，错误的有（）．①若a 与c 相交，b 与c 相交，则a 与b 相交； ②若a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【难度】★★【答案】A【解析】①a 与b 可能平行，错误；②平行线的传递性，正确；③这个点必须不在已知直线 上，错误；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，错误． 【总结】考查同一平面内两直线的位置关系．【例17】如图，按要求画平行线．（1）过P 点画AB 的平行线EF ； （2）过P 点画CD 的平行线MN ． 【难度】★★ 【答案】如右图． 【解析】如右图．【总结】考查基本的作图能力．【例18】如图，点A ，B 分别在直线1l ，2l 上， （1）过点A 画到2l 的垂线段； （2）过点B 画直线CD ∥1l ． 【难度】★★ 【答案】如右图． 【解析】如右图．【总结】考查基本的作图能力，此题中注意垂线段是一条线段，不要画成直线．平行线的三种判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．知识精讲模块三：平行线的判定CDEFMN- 8 - 简单地说，同位角相等，两直线平行．（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单地说，内错角相等，两直线平行．（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单地说，同旁内角互补，两直线平行．【例19】如图，请写出能判定CE ∥AB 的一个条件______________． 【难度】★【答案】∠DC E=∠A 等．【解析】可以通过同位角相等两直线平行来判定．【总结】考查平行线的判定定理的运用，答案不唯一，只要成立即可．【例20】如图，AB ∥CD ， AC ⊥BC ，∠BAC =65°，则∠BCD =_______度． 【难度】★【答案】25°． 【解析】因为AB ∥CD （已知），所以ACE BAC ∠=∠（两直线平行，内错角相等），因为∠BAC =65°（已知）， 所以65ACE ∠=（等量代换）． 因为AC ⊥BC （已知）， 所以90ACB ∠=（垂直的意义） 因为180ACE ACB BCD ∠+∠+∠=（邻补角的意义）， 所以180659025BCD ∠=--=（等式性质）． 【总结】考查平行线的性质及邻补角性质的综合运用．【例21】如图，下列说法错误的是（ )．A ．∠1和∠3是同位角；B ．∠1和∠5是同位角；C ．∠1和∠2是同旁内角；D ．∠5和∠6是内错角．【难度】★【答案】B 【解析】同位角像字母Z ． 【总结】考查同位角的概念．【例22】已知，△ABC 中，DE 垂直于AC 于E ，△ACB=90°，试说明DE△BC 的理由． 【难度】★★【答案】略． 【解析】因为DE ⊥AC （已知），所以90AED ∠=（垂直的意义）．例题解析CA BD E ABCDE 12 34 5 6 ABC DE- 9 -因为∠ACB =90°（已知），所以∠ACB =∠AED （等量代换）， 所以DE ∥BC （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的意义的综合运用．【例23】如图，∠5=∠CDA =∠ABC ，∠1=∠4，∠2=∠3，∠BAD +∠CDA =180°，填空：∵∠5=∠CDA （已知）∴_______//_______（内错角相等，两直线平行） ∵∠5=∠ABC （已知）∴_______//_______（同位角相等，两直线平行） ∵∠2=∠3（已知）∴_______//_______（内错角相等，两直线平行） ∵∠BAD +∠CDA =180°（已知）∴_______//_______（同旁内角互补，两直线平行） ∵∠5=∠CDA （已知），又∵∠5与∠BCD 互补，∠CDA 与_______互补（邻补角定义） ∴∠BCD =∠6（等角的补角相等）∴_______//_______（同位角相等，两直线平行） 【难度】★★【答案】AD 、BC ；AB 、CD ；AB 、CD ；AB 、CD ；∠6；AD 、BC ． 【解析】解题时要看清题目，根据条件判断出哪一组直线平行，不能混淆． 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【例24】如图，AB ⊥BC ，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，那么BE 与DF 平行吗?为什么? 【难度】★★ 【答案】平行【解析】因为AB ⊥BC （已知），所以∠ABC =90°（垂直的意义），即3490∠+∠=（角的和差） 因为∠2=∠3（已知）， 所以2490∠+∠=（等量代换）因为∠1+∠2=90°（已知）， 所以∠1=∠4（同角的余角相等）， 所以BE ∥DF （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的综合运用，注意分析题目中条件．AB CDEF4321435261ABCD E【例25】如图，∠2=3∠1，且∠1+∠3=90°，试说明//AB CD．【难度】★★【答案】略【解析】因为∠2=3∠1（已知），∠2+∠1=180°（邻补角的意义），所以∠1=45°，∠2=135°（等式性质）．又因为∠1+∠3=90°（已知），所以∠3=45°（等式性质），所以∠2+∠3=180°（等式性质），所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理的运用．【例26】已知∠1=∠2，DE平分∠BDC，DE交AB于点E，试说明AB//CD．【难度】★★【答案】略．【解析】因为DE平分∠BDC（已知），所以∠2=∠EDC（角平分线的意义）因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠EDC（等量代换）所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及角平分线的意义的综合运用．【例27】已知AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN，且∠1与∠2互余，试说明PQ//MN．【难度】★★【答案】略【解析】因为AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN（已知）所以∠1=12∠QAB，∠2=12∠ABN（角平分线的意义）因为∠1+∠2=90°（互余的意义）所以∠QAB+∠ABN=180°（等式性质）所以PQ∥MN（同旁内角互补，两直线平行）【总结】考查平行线的判定及角平分线的意义的综合运用，注意分析条件，得出角度间的关系．【例28】如图，直线AB分别与直线CD、EF交于点O、点E，GO⊥OH，OH平分∠AOC，且∠EDO与∠GOB互余，试说明OH //EF．【难度】★★★【答案】略【解析】因为GO⊥OH（已知），所以90GOH∠=（垂直的意义），因为OH平分∠AOC（已知），A BCDEFGHOABCP Q M N21A BC DEF123ABCDEFG21- 10 -所以AOH COH ∠=∠（角平分线的意义）．因为180BOC COA ∠+∠=（邻补角的意义），所以∠GOB +∠HOC =90°（等式性质） 因为∠EDO +∠GOB =90°（已知）所以∠EDO =∠HOC （同角的余角相等）所以OH ∥EF （同位角相等，两直线平行）【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及同角的余角相等的综合运用，解题时认真分析，找出角度间的关系．【例29】如图，∠ABE =∠E +∠D ，试说明AB //CD 的理由． 【难度】★★★【答案】略【解析】因为180D E ECD ∠+∠+∠=（三角形内角和等于180°） 又180ECD DCB ∠+∠=（邻补角的意义） 所以∠DCB =∠E +∠D （等式性质） 因为∠ABE =∠E +∠D （已知） 所以∠DCB =∠ABE （等量代换）， 所以AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及三角形内角和的综合运用，综合性较强，解题时要认真分析．【习题1】观察图，下列说法中，正确的是（ ）．A ．3∠和4∠是内错角B ．1∠和4∠是同位角C ．5∠和2∠是内错角D ．4∠和6∠是同旁内角 【难度】★【答案】D【解析】考查同位角、内错角和同旁内角的概念及判定．【习题2】如图，能使AB ∥CD 的条件是()．A. ∠1=∠BB ．∠3=∠AC ．∠1+∠2+∠B =180°D ．∠1=∠A【难度】★【答案】C【解析】同旁内角互补，两直线平行，C 选项满足条件． 【总结】考查平行线的判定定理的运用．随堂检测ABCDE1 7 3 56 24321ABCDE- 12 - 53486721【习题3】一学员在广场上练习驾车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度是()A ．第一次向左拐，第二次向右拐B ．第一次向右拐，第二次向左拐C ．第一次向右拐，第二次向右拐D ．第一次向左拐，第二次向左拐【难度】★【答案】A【解析】B 向左拐了50°，C 、D 都朝相反方向开去． 【总结】考查平行线的判定定理在实际问题中的运用． 【习题4】如图，在下列条件中，能判定AB //CD 的是（）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠1=∠4D ．∠3=∠4 【难度】★ 【答案】C【解析】A 错误；B 能推出AD ∥BD ；D 错误． 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题5】如图，图中所标号的8个角，是∠1的同位角的是_________；∠3的内错角是 _________；∠7的同旁内角是_________；∠4的同位角是_________；∠6的内错角是_________；∠2的同旁内角是_________．【难度】★【答案】∠2；∠5；∠6、∠8；∠3、∠7； ∠4；∠5．【解析】考查同位角、内错角、同旁内角的概念．【习题6】如图，已知直线b ⊥a ，c ⊥a ．那么直线b 与c 平行吗？如果平行，请给出证明；如果不平行，举出反例．【难度】★★ 【答案】平行．【解析】因为b ⊥a ，c ⊥a （已知）， ∴∠1=∠2=90°（垂直的意义）， ∴b ∥c （同位角相等，两直线平行）．【总结】考查平行线的判定定理及垂直的意义的综合运用．3030501305013050130abc123421ABCDF E21DCBA【习题7】如图，已知AC ⊥AE ，BD ⊥BF ，∠1=35°，∠2=35°，AC 与BD 平行吗?AE 与BF平行吗?为什么? 【难度】★★ 【答案】平行．【解析】因为∠1=35°，∠2=35°（已知），所以∠1=∠2（等量代换），因为AC ⊥AE ，BD ⊥BF （已知）， 所以90DBF CAE ∠=∠=（垂直的意义） 所以∠NBF =∠BAE （等式性质） 所以AE ∥BF （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及垂直的意义的综合运用．【习题8】如图，∠1+∠2=180°．AE 与FC 会平行吗? 说明理由． 【难度】★★【答案】平行．【解析】因为∠1+∠2=180°（已知），∠2+∠BDC =180°（邻补角的意义） 所以∠1=∠BDC （同角的补角相等） 所以CF ∥AE （同位角相等，两直线平行） 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题9】根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理） （1）∵∠1=∠4（已知）∴_________∥_________（）（2）∵∠ABC +∠_________=180°（已知）∴AB ∥CD （）（3）∵∠_________=∠_________（已知）∴AD ∥BC （）（4）∵∠5=∠_________（已知）∴AB ∥CD （）【难度】★★【答案】（1）AB ∥CD 、内错角相等，两直线平行； （2）∠BCD 、同旁内角互补，两直线平行； （3）∠2=∠3、内错角相等，两直线平行； （4）∠ABC 、同位角相等，两直线平行． 【解析】考查平行线的判定定理的综合运用．ABC DEF 12NM54321ABCDE- 14 -【习题10】已知DE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∠DEH =∠GFC ，试说明EH ∥FC 的理由．【难度】★★ 【答案】略．【解析】因为DE ⊥BC ，FG ⊥BC （已知） 所以∠DEC =∠FGC =90°（垂直的意义）所以∠GFC +∠FCG =90°（三角形内角和等于180°）因为∠DEH =∠GFC （已知）， 所以∠HEC =∠FCG （等角的余角相等） 所以EH ∥FC （内错角相等，两直线平行） 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题11】 已知∠EDC +∠B =180°，∠EDC =∠A ，试说明AE //BC 的理由． 【难度】★★【答案】略【解析】因为∠EDC +∠B =180°，∠EDC =∠A （已知） 所以∠A +∠B =180°（等量代换）所以AE ∥BC （同旁内角互补，两直线平行） 【总结】考查平行线的判定定理的运用．【习题12】已知：∠ABC ＝∠ADC ，BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，12∠=∠．试说明DE ∥BF 的理由． 【难度】★★ 【答案】略【解析】因为BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ADC （已知） 所以112ADC ∠=∠，12ABF ABC ∠=∠（角平分线的意义）因为∠ABC ＝∠ADC （已知），所以∠1=∠ABF （等式性质） 因为∠1=∠2（已知）， ∴∠2=∠FBA （等量代换） 所以DE ∥BF （同位角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及角平分线意义的综合运用．【习题13】已知直线a ，b ，c 被直线d 所截，01334180∠=∠∠+∠=，，试说明a ∥c ．【难度】★★【答案】略． 【解析】因为∠1=∠3（已知）ABCDE 82453671a bcd BCD EF GH 12ABCDEF2431EDCBA所以a ∥b （同位角相等，两直线平行）因为∠3+∠4=180°（已知），∠3+∠5=180°（邻补角的意义） 所以∠4=∠5（同角的补角相等） 所以b ∥c （同位角相等，两直线平行） 所以a ∥c （平行的传递性）【总结】考查平行线的判定定理及平行的传递性的综合运用．【作业1】下列说法中正确的是（ ）A ．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则两条直线平行【难度】★【答案】D【解析】A 这个点必须是直线外的点，错误；B 同位角相等的前提是两直线平行，错误； C 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，错误；故选D 【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业2】在同一平面内，若a ⊥b ，c ⊥b 则a 与c 的关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都不对【难度】★【答案】A【解析】垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业3】如图，∠ADE 和∠CED 是（ ）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．互为补角【难度】★【答案】B 【解析】内错角像字母Z ．【总结】考查内错角的特点及判定．【作业4】如图，属于内错角的是（）A ．∠1和∠2B ．∠2和∠3C ．∠1和∠4D ．∠3和∠4【难度】★课后作业- 16 - α【答案】D【解析】内错角像字母Z ． 【总结】考查基本角的特点．【作业5】下列有关垂直相交的说法：①同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直； ③同一平面内， 一条直线不可能与两条相交直线都垂直； 其中说法正确个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【难度】★★【答案】B【解析】①、③正确，②要在同一平面内才成立，故选C ． 【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业6】下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（ ）A ．①、②是正确的命题B ．②、③是正确命题C ．①、③是正确命题D ．以上结论皆错【难度】★★【答案】A【解析】①正确；②两直线平行，同旁内角互补，此时又相等，所以两个角分别为90°， 即垂直，正确；③这个点必须是直线外的一点，错误，故选A ． 【总结】考查平面内直线的位置关系．【作业7】如图，能与α∠构成同旁内角的角有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【难度】★★【答案】A 【解析】同旁内角像字母U【总结】考查基本角的特点及判定．NMFEDCBAHGNMFE DCB A【作业8】如图，AB ⊥BD ，CD ⊥MN ，垂足分别是B 、D 点，∠FDC =∠EBA ．（1）判断CD 与AB 的位置关系； （2）BE 与DF 平行吗?为什么? 【难度】★★【答案】（1）平行 （2）平行【解析】（1）因为AB ⊥BD ，CD ⊥MN （已知），所以CD ∥AB （垂直于同一条直线的两条直线互相平行）；（2）因为∠CDM =∠ABM 90 （垂直的意义），又∠FDC =∠EBA （已知）， 所以∠MDF =∠MBE （等式性质） 所以BE ∥DF （同位角相等，两直线平行） 【总结】考查平行线的判定定理及垂直的综合运用．【作业9】 如图CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，试说明DG //BC 的理由． 【难度】★★ 【答案】略【解析】因为CD ⊥AB ，EF ⊥AB （已知），所以EF ∥CD （垂直于同一条直线的两条直线互相平行） 所以∠2=∠DCB （两直线平行，同位角相等）因为∠2=∠1（已知）， 所以∠1=∠DCB （等量代换） 所以DG ∥BC （内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业10】如图，AB 、CD 被EF 所截，MG 平分∠BMN ，NH 平分∠DNM ，已知∠GMN +∠HNM =90°，试问：AB ∥CD 吗？请说明理由．【难度】★★★ 【答案】平行．【解析】因为MG 平分∠BMN ，NH 平分∠DNM （已知） 所以∠BMN =2∠GMN ，∠DNM =2∠HNM （角平分线的意义）因为∠FMG +∠HNM =90°（已知） 所以∠BMN +∠DNM =180°（等式性质） 所以AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行） 【总结】考查平行线的判定定理及角平分线的综合运用．12ABCDE FG- 18 -【作业11】 如图， ∠B =∠C ，∠A =∠D ，试说明AE //DF ． 【难度】★★★ 【答案】略【解析】因为180A B AEB ∠+∠+∠=，180C D CFD ∠+∠+∠=（三角形内角和等于180°） 又1180AEB ∠+∠=，2180CFD ∠+∠=（邻补角的意义） 所以1A B ∠=∠+∠，2C D ∠=∠+∠（等式性质）因为∠B =∠C ，∠A =∠D （已知）， 所以12∠=∠（等式性质）， 所以AE ∥DF （内错角相等，两直线平行）【总结】考查平行线的判定定理及三角形内角和定理的综合运用，综合性较强，建议老师选择性讲解．【作业12】如图，已知：∠B +∠D ＝∠BED ．AB 与CD 平行吗，说明理由． 【难度】★★★ 【答案】略【解析】过点E 作EF ∥AB ，则∠B =∠BEF （两直线平行，内错角相等）因为∠BED =∠BEF +∠FED =∠B +∠D （已知）， 所以∠FED =∠D （等式性质）所以CD ∥EF （内错角相等，两直线平行） 所以AB ∥CD （平行的传递性）【总结】考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，教师可选择性的讲解．21ABCDE FABCDEF。

翰林教育授课案卷学生姓名年级初一辅导科目数学辅导教师袁慧授课时间年月日时至时课题三线八角及平行的条件教学构想教学目标熟练识别三线八角，并会用同位角、内错角、同旁内角判定两直线平行教学重点熟练识别三线八角，并会用同位角、内错角、同旁内角判定两直线平行教学难点熟练识别三线八角，并会用同位角、内错角、同旁内角判定两直线平行教学环节(120分钟）一、认识同位角1、【画一画】两条直线AB、 CD与直线EF相交，交点分别为E F如图8.1-4则称直线AB 、CD 被直线EF所截，直线EF为截线。

图8.1-4【说一说】二条直线AB 、CD 被直线EF所截可得8个角，即所谓“三线八角”。

这八个角中对顶角、邻补角各有哪些？【分析】这八个角中有对顶角：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8。

邻补角有：∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠5与∠6，∠6与∠7，∠7与∠8，∠8与∠5。

【总结】同位角：两条直线被第三条直线所截，在二条直线的同侧，且在第三条直线的同旁翰林教育授课案卷教学环节（12 0分钟）的二个角叫同位角。

如图中的∠1与∠5分别在直线AB、 CD的上侧，又在第三条直线EF的右侧，所以∠1与∠5是同位角，它们的位置相同，在图中还有∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7也是同位角。

【练习】如图8.1-5中，同位角各有多少对？2、认识同位角的注意点看两个角是不是同位角，（1）看它们是不是在一条直线的同侧，（2）看截它们的两条直线是什么，这两个角是不是在截它们的直线的同旁。

也就是说，是否满足“F”型。

二、探索“同位角相等，两直线平行”1、操作引入：（1）利用三角板和直尺画平行线：（2）观察：∠1与∠2相等时，所画的直线a、b是否平行？（3）探索：∠1与∠2不相等，所画的直线a、b平行吗？cba1a1b1a21211111211b1c图8.1—6c翰 林 教 育 授 课 案 卷N1PMQF ED CBA定义：两条直线a 、b 被第三条直线所截而成的8个角中，像∠1与∠2这样的一对角称为同位角。

专题1.3 平行线的判定1.掌握同位角相等，两直线平行；2.掌握内错角相等，两直线平行；3.掌握同旁内角互补，两直线平行；4.掌握垂直同一直线的两条直线互相平行；知识点01 同位角相等两直线平行【知识点】判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。

几何语言：∵∠1＝∠2∴ AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）【典型例题】例1．（2022秋·内蒙古乌兰察布·七年级校考期末）如图是两条直线平行的证明过程，证明步骤被打乱，则下列排序正确的是（ ）如图，已知13Ð=Ð，2+3=180Ðа，求证：AB 与DE 平行．证明：①：AB DE ∥；②：24180Ð+Ð=°，23180Ð+Ð=°；③：3=4ÐÐ；④：14Ð=Ð；⑤：13Ð=Ð．A ．①②③④⑤B ．②③⑤④①C ．②④⑤③①D ．③②④⑤①【答案】B 【分析】先证明3=4ÐÐ，结合13Ð=Ð，证明14Ð=Ð，从而可得结论．【详解】根据平行线的判定解答即可．证明：∵24180Ð+Ð=°（已知），24180Ð+Ð=°（邻补角的定义），∴3=4ÐÐ（同角的补角相等）．∵13Ð=Ð（已知），∴14Ð=Ð（等量代换），∴AB DE ∥（同位角相等，两直线平行）．所以排序正确的是②③⑤④①，故选：B ．【点睛】本题考查的是补角的性质，平行线的判定，证明14Ð=Ð是解本题的关键．例2．2．（2022春·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）如图，两直线a ，b 被直线c 所截，已知,162a b Ð=°∥，则2Ð的度数为（ ）A ．62°B ．108°C ．118°D ．128°【答案】C 【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数．【详解】解：∵a ∥b ，∠1=62°，∴∠3=∠1=62°，∴∠2=180°-∠3=118°．故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．例3．（2022春·甘肃陇南·七年级校考期末）如图，AB MN ^，垂足为B ，CD MN ^，垂足为D ，1Ð＝2Ð．在下面括号中填上理由．因为AB MN ^，CD MN ^，所以ABM Ð＝CDM Ð＝90°．又因为1Ð＝2Ð( )，所以1ABM Ð-Ð＝2CDM Ð-Ð()，即EBM Ð＝FDM Ð．所以EB FD ∥( )【答案】 已知 等量减等量，差相等 同位角相等，两直线平行【分析】根据垂线的定义，得出ABM Ð＝CDM Ð＝90°，再根据角的等量关系，得出EBM Ð＝FDM Ð，然后再根据同位角相等，两直线平行，得出EB FD ∥，最后根据解题过程的理由填写即可．【详解】因为AB MN ^，CD MN ^，所以ABM Ð＝CDM Ð＝90°．又因为1Ð＝2Ð（已知），所以1ABM Ð-Ð＝2CDM Ð-Ð（等量减等量，差相等），即EBM Ð＝FDM Ð．所以EB FD ∥（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了垂线的定义、平行线的判定，解本题的关键在熟练掌握平行线的判定定理．【即学即练】P的是1．（2022春·浙江温州·七年级瑞安市安阳实验中学校考期中）下列图形中，能由∠1＝∠2得到AB CD（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．P，【详解】∵中由∠1＝∠2不能得到AB CD∴不符合题意；∥，∵中由∠1＝∠2得到AD CB∴不符合题意；P，∵中由∠1＝∠2不能得到AB CD∴不符合题意；P，∵中由∠1＝∠2得到AB CD∴符合题意；故选D．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．2．（2022秋·八年级单元测试）如图，1Ð和2Ð分别为直线3l与直线1l和2l相交所成角．如果162Ð=°，那么添加下列哪个条件后，可判定12l l ∥．（ ）．A ．2118Ð=°B ．4128Ð=°C ．328Ð=°D ．528Ð=°【答案】A 【分析】通过同位角相等两直线平行进行判定即可.【详解】A.∵2118Ð=°，∴∠3=180 º-∠2=62 º=∠1，∴能判定12l l ∥，此选项正确；B.∵4128Ð=°，∴∠3=180 º-∠4=52 º≠∠1，∴不能判定12l l ∥，此选项错误；C.∵328Ð=°，∴∠3≠∠1，∴不能判定12l l ∥，此选项错误；D.∵528Ð=°，∴∠3=∠28º≠∠1，∴不能判定12l l ∥，此选项错误；故选：A【点睛】此题考查平行线的判定，掌握同位角相等两直线平行是解答此题的关键.3．（2021·浙江·统考模拟预测）如图，用直尺和三角尺画图：已知点P 和直线a ，经过点P 作直线b ，使//b a ，其画法的依据是（ ）A ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．两直线平行，同位角相等C ．同位角相等，两直线平行D ．内错角相等，两直线平行【答案】C【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论．【详解】解：由画法可知，其画法的依据是同位角相等，两直线平行．故选：C．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．4．（2022春·天津滨海新·七年级统考期末）李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法：①以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；②作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④过点F作射线CP，则∠PCD=∠BOA．如图1：李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2．（1）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？______（填“能”或“不能”）.（2）如果能，请在图2中作出直线a, 保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由：________________．【答案】能图见解析，同位角相等，两直线平行【分析】（1）根据题目中所列的方法即可判断；（2）根据题目中所列的方法即可画出图形【详解】解：（1）根据题目中的方法，作出角与已知角相等，再由平行线的判定从而得到平行线，即可用上述方法作出直线l的平行线a；（2）如图所示，证明这两条直线平行的理由：同位角相等，两直线平行故答案为：能；图见解析；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2020春·广东广州·七年级统考期末）完成下面的证明．如图，AC⊥BC，DG⊥AC，垂足分别为点C，G，∠1＝∠2．求证：CD//EF．证明：∵AC⊥BC，DG⊥AC，（已知）∴∠DGA＝∠BCA＝90°，（垂直的定义）∴ // （ ）∴∠2＝∠BCD，（ ）又∵∠l＝∠2，（已知）∴∠1＝∠ ，（等量代换）∴CD//EF．（同位角相等，两直线平行）【答案】DG，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，BCD．【分析】根据垂直的定义求出∠DGA＝∠BCA＝90°，根据平行线的判定得出DG//BC，根据平行线的性质得出∠2＝∠BCD，求出∠1＝∠BCD，根据平行线的判定得出即可．【详解】∵AC⊥BC，DG⊥AC（已知），∴∠DGA＝∠BCA＝90°，（垂直的定义），∴DG//BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），又∵∠l＝∠2，（已知）∴∠1＝∠BCD（等量代换），∴CD//EF（同位角相等，两直线平行），故答案为：DG，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，BCD．【点睛】本题考查平行的证明，解题关键是通过角度的转化，推导得出∠1=∠BCD，从而证明平行．6．（2022秋·全国·八年级专题练习）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图①～④)．从图中操作过程你知道小敏画平行线的依据吗？请把你的想法写出来．【答案】见解析【分析】由折叠的性质可得∠1=∠2=90°，根据同位角相等，即可证明两直线平行．【详解】由折叠得：AB⊥PE，CD⊥PE，∴∠1=∠2=90°，∥．∴AB CD∴依据是：同位角相等，两直线平行【点睛】本题考查了折叠的性质及平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．知识点02 内错角相等两直线平行【知识点】判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。

平行线概念、基本事实及三线八角课件.一、教学内容本节课将深入探讨平行线的概念、基本事实以及三线八角的关系。

教学内容主要基于教材第3章“几何图形与证明”的第2节“平行线与相交线”。

详细内容包括：1. 平行线的定义与性质；2. 判断两条直线是否平行的方法；3. 三线八角的概念及其应用；4. 平行线的判定与性质的应用。

二、教学目标1. 让学生掌握平行线的定义，理解平行线的性质；2. 使学生学会判断两条直线是否平行的基本方法；3. 培养学生运用三线八角关系解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：判断两条直线是否平行的方法，三线八角的关系。

教学重点：平行线的定义与性质，平行线判定方法的运用。

四、教具与学具准备1. 教师准备：多媒体课件、几何画板、直尺、量角器；2. 学生准备：直尺、量角器、练习本。

五、教学过程1. 导入：通过展示实际生活中的平行线实例，引导学生发现平行线的特点，激发学生的学习兴趣。

2. 基本概念讲解：（1）平行线的定义：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线。

（2）平行线的性质：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

3. 判断两条直线是否平行的方法：（1）同位角相等法；（2）内错角相等法；（3）同旁内角互补法。

4. 三线八角关系：（1）两条平行线与第三条直线交于两点，所形成的八个角中，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；（2）运用三线八角关系解决实际问题。

5. 例题讲解：选取具有代表性的例题，结合平行线的定义、性质和判定方法进行讲解。

6. 随堂练习：布置一些有关平行线与三线八角关系的练习题，让学生独立完成，并及时给予反馈。

六、板书设计1. 平行线的定义与性质；2. 判断两条直线是否平行的方法；3. 三线八角关系；4. 例题解析；5. 随堂练习。

七、作业设计1. 作业题目：（1）判断下列各题中，哪些直线是平行线，并说明理由；（2）已知直线a、b平行，求证：∠1=∠2，∠3=∠4；（3）运用三线八角关系，求出图中所有未知角的度数。

初中数学说课教案:平行线的判定《平行线的判定》说课稿今天我说课的内容是新教材浙教版八年级上册《平行线的判定》的第二课时。

下面，我将从“教学内容”、“教学目标”、“教学方法及手段”和“教学过程”这四个部分来汇报对本节课的设计。

一、教学内容“平行线”是我们在日常生活中都经常接触到的。

它是学生学习几何的重要基础之一，也是学习其他学科知识的重要基础。

在七（上）的第七章，学生已经学习了平行线的概念，知道平行线的表示方法，以及过直线外一点画一条直线与已知直线平行的画法。

在前一节课，学生接触了“三线八角”，了解同位角、内错角、同旁内角等概念，掌握“同位角相等，两直线平行”的判定方法。

经过直线外一点画一条直线与已知直线平行——这种画法的依据其实就是我们刚学过的平行线的判定方法：“同位角相等，两直线平行”。

因此，这一节课将在学生这样的知识基础上继续学习判定两直线平行的另两种方法：“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。

在老教材中，平行线的判定是作为公理出现的，在新教材中却至始至终没有出现“公理”二字，只是作为一种方法出现。

它是学生在已学知识的基础上通过合作、探究得到的判定两直线平行的方法，这里更注重学生的观察、分析、概括能力的培养。

在七年级的学习中，学生已经初步接触了简单的说理过程。

因此本节学习时，将在直观认识的基础上，继续加强培养学生这方面的能力。

二、教学目标基于上述内容、学情的分析，在新课程的理念下，数学教学应以学生的发展为本，以学生的能力培养为重。

由此确定本节课的教学目标为：1、让学生通过直观认识，掌握平行线的判定方法；2、会根据判定方法进行简单的推理并能写出简单的说理过程；3、运用“转化”的数学思想，培养学生“观察——分析”和“归纳——概括”的能力。

同时确定本节课的重难点：重点：在观察实验的基础上进行判定方法的概括与推导．难点：方法的归纳、提炼；例2教学中的辅助线的添加。

三、教学方法及手段布鲁纳说过：“发现包括用自己的头脑来获得知识的一切形成。

三线八角、平行线的判定【知识点归纳】 一、三线八角：1、同位角：如果其中的两个角都在第三条直线l 的同旁，且又在直线a 、b 的同一侧，这两个角叫做同位角．．．. （类似字母“F ”） 如3∠与7∠等。

2、内错角：如果其中的两个角分别在第三条直线l 的两旁，且又在直线a 、b 之间，这两个角叫做内错角．．．. （类似字母“Z ”） 如2∠与8∠等。

3、同旁内角：如果其中的两个角都在第三条直线l 的同旁，且又在直线a 、b 之间，这两个角叫做同旁内．．．角．. （类似字母“C ”） 如3∠与8∠等。

（请找出其它的同位角、内错角、同旁内角）二、平行线的定义及判定方法1、平行线的定义：同一平面内．．．．．不相交的两条直线叫做平行线。

“平行”用符号“∥”表示.2、结论：（1）平行线的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

（2）平行线的基本性质： 经过直线．．外．的一点，有且只有一条直线与已知直线平行. 3、平行线的判定方法：（1） 同位角相等，两直线平行. （2） 内错角相等，两直线平行.（3） 同旁内角互补，两直线平行.4、结论：同一平面内．．．．．，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. （为什么？）（同位角相等，两直线平行）例1. 如图，1∠和B ∠是直线________和_________被直线_________所截而成的____________；A ∠和1∠是直线________和________ 被直线_________所截而成的____________； 1∠和2∠是直线_________和_________被直线_________所截而成的____________.（第1题） （第2题）例2. 看图填空：（1）∵3∠=∠A （已知），∴ ___ ∥ ___ . （ ）； （2）∵2∠4∠=（已知），∴ ______∥ _______ . （ ）； （3）∵︒=∠+∠1806C (已知），∴ ___ ∥ ___ （ ）.例3. 如图，已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，︒=∠70A ，︒=∠40ABE ，BF 平分EBC ∠.试说明AD ∥BF 的理由.（第3题）BC1. 如图所示，同位角共有（ ）A .6对B .8对C .10对D .12对2. 如图所示，图中1∠与2∠是_________与_________被________所截得的_________角；3∠和4∠是_________与_________被__________所截得的_________角.3. 如图所示，下列条件中，能判断直线21//l l 的是（ ） A.32∠=∠B.31∠=∠C.18054=∠+∠ D.42∠=∠4. 如图，已知21∠=∠，43∠=∠，说明：EF AB //。

数学寒假班（教师版）模块一：三线八角的意义知识精讲同位角、内错角、同旁内角（三线八角）若直线 a， b 被直线l 所截：（ 1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．（如1和5）（ 2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．（如3和5 ）（ 3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．（如3和6 ）注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系． 2 178三线八角及平行线的判定34知∠2 与∠4 是 __ 角． ∠2 与∠5 是 __ 角． ∠1 与∠5 是 __ 角． ∠3 与∠5 是 __ 角． ∠3 与∠7 是 __ 角． ∠3 与∠8 是 __ 角． ∠2 与∠8 是 __ 角．例题解析1】如图，∠______________ 2 与∠ 3 是 角． (1)∠ B 和∠ 1 是两条直线 ___ ___和 __ ___被第三条直线 __ ___ 所截构成的 ___ __ ___(2)ACB 与∠ 7 是两条直线_____ 和 _ ___ 被第三条直线___ _ ___ 所截构成的____ __ ___ (3)∠ 3 与∠ 5 是两条直线 ____ ___和 ____被第三条直线 __所截构成的 __ ___角． (4) 3 与∠ B 是两条直线 ___和 __ __被第三条直线 ___ __所截构成的 __ ___角． (5) 2 与∠ 7 是两条直线 ___和 __ __被第三条直线 __所截构成的 __ ___角．BC 、 DE 、 AB 、同位角；( 2) BC 、 DE 、 AC 、同位角；3) BA 、 CA 、 DC 、内错角； 4) DC 、 BC 、 B A 、同旁内角；5) DC 、 AC 、 DE 、内错角．C3】如图，同旁内角有 ( A ． 4对B ． 3对C ． 2对3 对．2】角角EBD24】如图，同位角共有( )对．A． 1 对B． 2对C． 3对【答案】 BF 形，由 F 形找同位角．5】如图，是同位角关系的是( )．A．∠ 3 和∠ 4 B．∠ 1 和∠ 4【答案】 BA 是内错角；B 内错角；C 同旁内角．6】如图，内错角共有( )对．A． 1 对B． 2对C． 3对【答案】 DEDB 与∠DBC、∠ EDB 与∠DBA、∠ FDB 与∠ DBC、∠ FDB 与∠ DBA，共 4 对7】如图，同旁内角共有( )对．A． 10对B． 8对C． 6对【答案】 C4 组，四边形上方和右边各有一组，共 6 组．8】如图，∠ 1 与∠ 2 是两条直线 _____ 和被第三条直线所截构成的 _____ 角．3 与∠4 是两条直线___ _______ 和被第三条直线______ 所截构成的______ 角．AD、 BC、 AC、内错角； AB、 CD、 AC、内错角．Z．1、平行线的定义同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．9】 如图， ∠ C 的同位角有同旁内角是 _________________1 与∠2 是 _____ 角． 直线 AB 和 CD 被 AD 所截， ∠ A 的内错角是 _ _________________ ， ∠ A 与∠ ADC 是 __ 角．ADE 、∠ BDE ；∠ABC 、∠ D BC 、∠ A DC 、∠BDC ；内错角；∠ ADE ；同旁内角． F ，内错角像字母Z ，同旁内角像字母U ．10】如图，∠ 1 的同位角是∠ _____ ，∠ 1的内错角是∠ _____ ，∠ 1 的同旁内角是____ ， ∠ 1 的对顶角是∠ ___ ，∠ 1 的邻补角是∠ _____ ．DEB 、∠ EBH ；∠ AEF 、∠ IBF ；∠ BEF 、∠ EBF ； ∠ CFG ；∠ CFD 、∠ GFH ．F ，内错角像字母 Z ，同旁内角像字母找的时候要注意找全．11】 如图， DC 垂直于 AE ，已知∠ DCE 的同位角是它的一半，∠ B=2∠ ACB ，试判断 △ ABC 的形状．DC ⊥ AE ，∴∠ DCE=90 DCE 的同位角是∠BAC ，由题已知∠ BAC=45 B+∠ ACB=180° -45° =135° 又∵∠ B=2∠ ACB ∴∠ B=90°，∠ ACB=45° ∴△ ABC 为等腰直角三角形模块二：平行线的意义和性质知识精讲2、平行线的基本性质1 ）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；2）平行线之间的距离处处相等；3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）．4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等．12】已知直线________________________ a// b ，b //c，那么a c 【答案】平行13】 a、 b、 c 是直线，且a//b， b⊥ c，则a 与 c 的位置关系是．【答案】垂直a∥ b， b⊥ c，∴a⊥ c．14】下列说法中，正确的是（）．A．两直线不相交则平行B．两直线不平行则相交C．若两线段平行，那么它们不相交D．两条线段不相交，那么它们平行【答案】 CA、 B 错； D 错误．15】在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（）．A． 0个B． 1 个C． 2个D． 3个C16】下列说法中，错误的有（）．①若 a 与 c相交， b与 c相交，则 a 与 b 相交；②若 a∥ b， b∥ c，那么a∥ c；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种A． 3 个B． 2 个C． 1 个D． 0 个【答案】 Aa 与b 可能平行，错误；②平行线的传递性，正确；③这个点必须不在已知直线上，错误；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，错误．17】如图，按要求画平行线．（ 1）过P 点画AB 的平行线EF；（ 2）过P 点画CD 的平行线MN ．18】如图，点A， B 分别在直线 l1， l2上，（ 1 ）过点 A 画到l 2的垂线段；（ 2）过点 B 画直线 CD∥ l1．模块三：平行线的判定知识精讲平行线的三种判定方法： （ 1 ）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，同位角相等，两直线平行．2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，内错角相等，两【答案】∠DCE=∠ A等．CEAB19】如图，请写出能判定CE∥ AB 的一个条件．D20】如图， AB∥ CD， AC⊥BC，∠【答案】25°．AB∥ CD（已知），所以ACE BAC（两直线平行，内错角相等），因为∠BAC =65°（已知），所以BAC =65°，则∠_________ BCD = 度．ACE 65o（等量代换）．E C D ACB 90o（垂直的意义）ACE ACB BCD 180o（邻补角的意义），21】如图，下列说法错误的是（）．A．∠ 1 和∠ 3 是同位角；B．∠C．∠ 1 和∠ 2 是同旁内角；D．∠【答案】 BZ．22】已知，△ ABC 中， DE 垂直于AC 于E，1和∠ 5 是同位角；5和∠ 6 是内错角．1 2365 4△ ACB=90° ，试说明DE△ BC 的理由．E CAD因为∠ACB=90°（已知），所以∠ACB=∠ AED（等量代换），所以 DE ∥ BC（同位角相等，两直线平行）例23】如图，∠5=∠CDA =∠ABC，∠1=∠4，∠2=∠3，∠BAD +∠CDA=180° ，填空：5=∠ CDA（已知）______ // ____ （内错角相等，两直线平行）5=∠ ABC（已知）______ // ____ （同位角相等，两直线平行）2=∠ 3（已知）______ // ____ （内错角相等，两直线平行）BAD+∠ CDA=180° （已知）∴ _____ // ____ （同旁内角互补，两直线平行）∵∠5=∠ CDA（已知），又∵∠ 5 与∠ BCD 互补，∠C DA 与互补（邻补角定义）∴∠B CD=∠ 6（等角的补角相等）∴ _____ // ____ （同位角相等，两直线平行）AD、 BC； AB、CD； AB、C D；AB、CD；∠6；AD、BC．AB⊥ BC，∠1+∠ 2=90° ，∠2=∠ 3，那么BE 与24】如图，DF 平行吗 ?为什么AB⊥ BC（已知），所以∠ ABC=90 °（垂直的意义），即 3 4 90o（角的和差）因为∠2=∠ 3（已知），所以 2 4 90o（等量代换）因为∠1+∠ 2=90°（已知），所以∠1=∠ 4（同角的余角相等），所以 BE∥ DF （同位角相等，两直线平行）1+∠ 3=90° ，试说明 AB//CDE B 2 3CDAFCDGQP1C2MNBCHBAEOD10/ 18所以 GOHAC 、 BC 分别平分∠ QAB 、∠ ABNO 、点 E ， GO ⊥ OH ， OH 平分∠ AOC2=3∠1AC 、 BC 分别平分∠ QAB 、∠ ABN （已知）1∠ QAB ，∠ 2= 1 ∠ ABN （角平分线的意义）B1E所以AOH COH （角平分线的意义）．因为 BOC COA 180o（邻补角的意义），所以∠GOB+∠ HOC=90°（等式性质）因为∠EDO+∠ GOB=90°（已知）所以∠EDO =∠ HOC （同角的余角相等）所以 OH ∥ EF（同位角相等，两直线平行）【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及同角的余角相等的综合运用，解题时认真分析，找出角度间的关系．29】如图，∠ABE=∠ E+∠ D，试说明A B//CD 的理由．【答案】略D E ECD 180o（三角形内角和等于又 ECD DCB 180o（邻补角的意义）所以∠ DCB=∠ E+∠ D（等式性质）因为∠ABE=∠ E+∠ D（已知）所以∠DCB=∠ ABE（等量代换），所以AB ∥ CD（内错角相等，两直线平行）综合性较强，解题时要认真分考查平行线的判定定理及三角形内角和的综合运用，析1】观察图，下列说法中，正确的是（习题2】如图，能使AB∥ CD 的条件是（）．A. ∠ 1=∠ BC．∠1+∠ 2+∠ B=180B ．∠3=∠AC 选项满足条件．3】一学员在广场上练习驾车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次 拐弯的角度是（ ）A ．第一次向左拐 30o，第二次向右拐 30oB ．第一次向右拐 50o，第二次向左拐 130oC ．第一次向右拐 50o，第二次向右拐 130oD ．第一次向左拐 50o，第二次向左拐 130o【答案】 A B 向左拐了50°， C 、 D 都朝相反方向开去．4】如图，在下列条件中，能判定AB//CD 的是（）A ．∠ 1=∠ 3B ．∠ 2=∠ 3 CA 错误；B 能推出 AD ∥ BD ； D 错误．5】如图，图中所标号的 8 个角，是∠ C ．∠ 1=∠ 4 D ．∠ 3=∠ 4 A2143DB C1 的同位角的是 ______ ；∠ 3 的内错角是4 的同位角是 ______ ；∠ 6 的内错角是 2；∠ 5；∠ 6、∠ 8；∠ 3、∠ 7； ∠ 4；∠ 5． 习题 6】 如图，已知直线b ⊥ a ，c ⊥ a ．那么直线 b 与 如果不平行，举出反例． b ⊥ a ， c ⊥ a （已知），∴∠ 1=∠ 2=90°（垂直的意义）， ∴ b ∥ c （同位角相等，两直线平行）．76284315c 平行吗？如果平行，请给出证明； bc 1 a7】如图，已知AC⊥ AE， BD⊥ BF，∠1=35°，∠2=35°， AC 与 BD 平行吗 ?AE 与 BF平行吗?为什么?1=35° ，∠2=35°（已知），所以∠ 1=∠ 2（等量代换），因为 AC⊥ AE， BD⊥ BF（已知），所以∠ NBF=∠ BAE（等式性质）所以 AE ∥ BF（同位角相等，两直线平行）FA 8】如图，∠1+∠ 2=180° ． AE 与 FC 会平行吗? 说明理由． D【答案】平行．1+∠ 2=180°（已知），∠2+∠ BDC=180°（邻补角的意义） B1 所以∠ 1=∠ BDC（同角的补角相等）CE 所以 CF ∥ AE（同位角相等，两直线平行）9】根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理）1 ）∵∠1= ∠ 4（已知）2）∵∠ ABC +∠ ____ =180°（已知）∴ AB∥ CD（3）∵∠______ =∠ _______ （已知）∴ AD ∥ BC（）4）∵∠5=∠ ______ （已知）∴ AB∥ CD（）1 ） AB ∥ CD、内错角相等，两直线平行；（ 2）∠ BCD 、同旁内角互补，两直线平行；（ 3）∠2=∠ 3、内错角相等，两直线平行；（ 4）∠ ABC 、同位角相等，两直线平行．10】已知DE⊥ BC， FG⊥ BC，∠ DEH=∠ GFC，试说明EH∥ FC 的理由．DE⊥ BC， FG⊥ BC（已知）所以∠ DEC=∠ FGC=90°（垂直的意义）所以∠ GFC+∠ FCG=90°（三角形内角和等于DEH =∠ GFC（已知），所以∠ HEC=所以 EH ∥ FC（内错角相等，两直线平行）AE//BC 的理由．11】已知∠EDC+∠ B=180°，∠EDC=∠ A，试说明【答案】略EDC+∠ B=180°，∠EDC=∠ A（已知）所以∠ A+∠ B=180 °（等量代换）所以 AE ∥ BC（同旁内角互补，两直线平行）习题12】已知：∠ABC＝∠ADC， BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ ADC， 1 2．试说明 DE∥ BF 的理由．BF 和 DE 分别平分∠ABC 和∠ ADC（已11所以 1 ADC ， ABF ABC （角平分线的意义）ABC＝∠ADC（已知），所以∠1=∠ ABF（等式性质）因为∠1=∠ 2（已知），∴∠2=∠ FBA（等量代换）所以 DE ∥ BF（同位角相等，两直线平行）13】已知直线a， b， c被直线 d所截，1 3， 3 4 1800，试说明 a∥ c．所以 a∥ b（同位角相等，两直线平行）因为∠ 3+∠ 4=180°（已知），∠3+∠ 5=180°（邻补角的意义）所以∠ 4=∠ 5（同角的补角相等）所以 b∥ c（同位角相等，两直线平行）所以 a∥ c（平行的传递性）课后作业【作业 1 】下列说法中正确的是（）A．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则两条直线平行【难度】★【答案】D【解析】 A 这个点必须是直线外的点，错误； B 同位角相等的前提是两直线平行，错误；C 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，错误；故选 D【总结】考查平面内直线的位置关系．2】在同一平面内，若a⊥ b，c⊥ b 则 a 与 c的关系是（）A．平行B．垂直C．相交 D ．以上都不对【答案】 A3】如图，∠ADE 和∠ CED 是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角【答案】 BZ．C4】如图，属于内错角的是（）A．∠1 和∠ 2 B．∠ 2 和∠ 3 C．∠1 和∠ 4 D ．∠ 3 和∠ 4DZ．5】下列有关垂直相交的说法：①同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直；③同一平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直；其中说法正确个数有（）A． 3个B． 2个C． 1 个D． 0个【答案】BC．6】下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（）A．①、②是正确的命题B．②、③是正确命题C．①、③是正确命题D．以上结论皆错【答案】A90°，即垂直，正确；③这个点必须是直线外的一点，错误，故选A．7】如图，能与构成同旁内角的角有（）A． 5个B． 4个C． 3个D． 2个【答案】AU8】如图，AB⊥ BD， CD⊥ MN，垂足分别是B、 D 点，∠FDC =∠ EBA．1）判断CD 与 AB 的位置关系；2） BE 与 DF 平行吗?为什么 ?1 ）平行（ 2）平行1 ）因为AB⊥ BD， CD⊥ MN（已知），所以CD ∥ AB（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）；2）因为∠CDM=∠ ABM 90o（垂直的意义），又∠FDC=所以∠MDF =∠ MBE（等式性质）所以 BE∥ DF（同位角相等，两直线平行）作业9】如图 CD⊥ AB， EF⊥ AB，∠ 1=∠ 2，试说明DG//BC 的理由．CD ⊥ AB， EF⊥ AB（已知），所以EF ∥ CD（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）所以∠2=∠ DCB（两直线平行，同位角相等）因为∠2=∠ 1 （已知），所以∠ 1=∠ DCB（等量代换）所以 DG∥ BC（内错角相等，两直线平行）作业10】如图，AB、 CD 被 EF 所截， MG 平分∠ BMN ， NH 平分∠ DNM ，已知∠GMN +∠ HNM =90°，试问：AB∥ CD 吗？请说明理由．MG 平分∠ BMN， NH 平分∠DNM（已知）所以∠BMN=2∠ GMN，∠DNM =2∠ HNM （角平分线的意义）因为∠FMG+∠ HNM =90°（已知）所以∠BMN+∠ DNM =180°（等式性质）所以A B ∥ CD（同旁内角互补，两直线平行）所以 1 A B ， 2 C D （等式性质）B=∠ C ，∠ A=∠ D （已知）， 所以 1 2（等式性质），所以 AE ∥ DF （内错角相等，两直线平行）【总结】 考查平行线的判定定理及三角形内角和定理的综合运用，择性讲解．12】如图，已知：∠ B+∠ D ＝∠BED ． AB 与 CD 平行吗，说明理由．E 作 EF ∥ AB ，则∠ B=∠ BEF （两直线平行，内错角相等） 因为∠ BED =∠ BEF+∠ FED =∠ B+∠ D （已知），所以∠ FED =∠ D （等式性质）所以 CD ∥ EF （内错角相等，两直线平行）所以 AB ∥ CD （平行的传递性） 11】 如图， 因为 A B=∠ C ，∠ B AEB又 AEB 1 180o ， 2 A=∠ D ，试说明 AE//DF ． 180o ， C D CFD 180o （三角形内角和等于CFD 180o （邻补角的意义） 180°) D 综合性较强， 建议老师选。