高三数学教案 函数与方程思想

城东蜊市阳光实验学校2021届高三数学总复习函数及其表示教案A版1.(必修1P24练习5改编)假设f(x)＝x－x2，那么f＝________，f(n＋1)－f(n)＝________．答案：－2n2.(必修1P29习题8改编)假设函数f(x)和g(x)分别由下表给出：那么f(g(1))＝____________，满足g(f(x))＝1的x值是________．答案：31解析：f(g(1))＝f(2)＝3；由g(f(x))＝1，知f(x)＝2，所以x＝1.3.(必修1P31练习4)以下列图象表示函数关系y＝f(x)的有________．(填序号)答案：①④解析：根据函数定义，定义域内任意的一个自变量x的值都有唯一一个y与之对应．4.(必修1P31练习3改编)用长为30cm的铁丝围成矩形，假设将矩形面积S(cm2)表示为矩形一边长x(cm)的函数，那么函数解析式为____________，其函数定义域为______________.答案：S＝x(15－x)x∈(0，15)解析：矩形的另一条边长为15－x，且x>0，15－x>0.5.(必修1P32习题7改编)函数f(x)＝假设f(a)＝a，那么实数a＝________．答案：或者者－1解析：假设a≥0，那么1－a＝a，得a＝；假设a<0，那么＝a，得a＝－1.1.函数的定义一般地，设A、B是两个非空的数集，假设按照某种对应法那么f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的一个元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A．2.函数的三要素函数的构成三要素为定义域、值域、对应法那么．由于值域是由定义域和对应法那么决定的，所以假设两个函数的定义域和对应法那么完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．3.函数的表示方法表示函数的常用方法有列表法、解析法、图象法．4.分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．5.映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，假设按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．[备课札记]题型1函数的概念例1判断以下对应是否是从集合A到集合B的函数．(1)A＝B＝N*，对应法那么f：x→y＝|x－3|，x∈A，y∈B；(2)A＝[0，＋∞)，B＝R，对应法那么f：x→y，这里y2＝x，x∈A，y∈B；(3)A＝[1，8]，B＝[1，3]，对应法那么f：x→y，这里y3＝x，x∈A，y∈B；(4)A＝{(x，y)|x、y∈R}，B＝R，对应法那么：对任意(x，y)∈A，(x，y)→z＝x＋3y，z∈B.解：(1)对于A中的元素3，在f的作用下得到0，但0不属于B，即3在B中没有元素与之对应，所以不是函数．(2)集合A中的一个正数在集合B中有两个元素与之对应，所以不是函数．(3)由y3＝x，即y＝，因为A＝[1，8]，B＝[1，3]，对应法那么f：x→y，符合函数对应．(4)由于集合A不是数集，所以此对应法那么不是函数．以下说法正确的选项是______________．(填序号)①函数是其定义域到值域的映射；②设A＝B＝R，对应法那么f：x→y＝＋，x∈A，y∈B，满足条件的对应法那么f构成从集合A到集合B的函数；③函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点有且只有1个；④映射f：{1，2，3}→{1，2，3，4}满足f(x)＝x，那么这样的映射f一一共有1个．答案：①④解析：②中满足y＝＋的x值不存在，故对应法那么f不能构成从集合A到集合B的函数；③中函数y ＝f(x)的定义域中假设不含x＝1的值，那么其图象与直线x＝1没有交点．题型2函数的解析式例2求以下各题中的函数f(x)的解析式．(1)f(＋2)＝x＋4，求f(x)；(2)f＝lgx，求f(x)；(3)函数y＝f(x)满足2f(x)＋f＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)；(4)f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．解：(1)(解法1)设t＝＋2，那么＝t－2，即x＝(t－2)2，∴f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4，∴f(x)＝x2－4(x≥2)．(解法2)∵f(＋2)＝(＋2)2－4，∴f(x)＝x2－4(x≥2)．(2)设t＝＋1，那么x＝，∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．(3)由2f(x)＋f＝2x，①将x换成，那么换成x，得2f＋f＝，②①×2－②，得3f(x)＝4x－，得f(x)＝x－.(4)∵f(x)是二次函数，∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝(ax2＋bx＋1)＋2x，整理，得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，由恒等式原理，知∴f(x)＝x2－x＋1.求以下函数f(x)的解析式．(1)f(1－x)＝2x2－x＋1，求f(x)；(2)f＝x2＋，求f(x)；(3)一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；(4)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)．解：(1)(换元法)设t＝1－x，那么x＝1－t，∴f(t)＝2(1－t)2－(1－t)＋1＝2t2－3t＋2，∴f(x)＝2x2－3x＋2.(2)(配凑法)∵f＝x2＋＝2＋2，∴f(x)＝x2＋2.(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，那么f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.∵f(f(x))＝4x－1，∴解得或者者∴f(x)＝2x－或者者f(x)＝－2x＋1.(4)(消去法)当x∈(－1，1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①以－x代替x得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，②由①②消去f(－x)得，f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)．题型3分段函数例3实数a≠0，函数f(x)＝(1)假设a＝－3，求f(10)，f(f(10))的值；(2)假设f(1－a)＝f(1＋a)，求a的值．解：(1)假设a＝－3，那么f(x)＝所以f(10)＝－4，f(f(10))＝f(－4)＝－11.(2)当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－，不合，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－，符合．综上可知，a＝－.如下列图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)画出y＝f(x)的图象．解：(1)y＝(2)y＝f的图象如图．1.(2021·期末)假设函数f(x)＝那么f(f(0))＝________．答案：0解析：f(0)＝30＝1，f(f(0))＝f(1)＝log21＝0.2.(2021·一模)定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝4x，那么f(2013)＝________．答案：解析：由，f(x)是以2为周期的周期函数，故f(2013)＝f(－1)＝4－1＝.3.(2021·期末)函数f(x)＝那么使f(f(x))＝2成立的实数x的集合为________．答案：{x|0≤x≤1或者者x＝2}解析：当x∈[0，1]时，f(f(x))＝f(2)＝2成立；当x[0，1]时，f(f(x))＝f(x)＝x，要使f(f(x))＝2成立，只需x＝2.综上，实数x的集合为{x|0≤x≤1或者者x＝2}．4.(2021·苏南四一模)函数f(x)＝＋＋＋，那么f＋f＝________．答案：8解析：因为f(x)＝＋＋＋＝4－.设g(x)＝＋＋＋，那么g(－5－x)＝－，所以g(x)＋g(－5－x)＝0，从而f(x)＋f(－5－x)＝8，故f＋f＝8.1.函数f(x)＝alog2x－blog3x＋2，假设f＝4，那么f(2014)的值是________．答案：0解析：∵f＝alog2－blog3＋2＝－(alog22014－blog32014)＋2＝4，∴f(2014)＝alog22014－blog32014＋2＝(－2)＋2＝0.2.函数f(x)＝那么满足不等式f(f(x))>1的x的取值范围是________．答案：(4，＋∞)解析：当x≤0时，2x∈(0，1]，f(f(x))＝log22x＝x>1，不符合；当0<x≤1时，log2x≤0，f(f(x))＝2log2x＝x>1，不符合；当x>1时，log2x>0，f(f(x))＝log2(log2x)>1，解得x>4.3.集合M＝{f(x)|存在实数t使得函数f(x)满足f(t＋1)＝f(t)＋f(1)}，那么以下函数(a、b、c、k都是常数)：①y＝kx＋b(k≠0，b≠0)；②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；③y＝ax(0<a<1)；④y＝(k≠0)；⑤y＝sinx.其中属于集合M的函数是________．(填序号)答案：②⑤解析：对于①，由k(t＋1)＋b＝kt＋b＋k＋b，得b＝0，矛盾，不符合；对于②，由a(t＋1)2＋b(t ＋1)＋c＝at2＋bt＋c＋a＋b＋c，得t＝，符合题意；对于③，由at＋1＝at＋a1，所以at＝，由于0<a<1，at＝<0，无解；对于④，由＝＋k，无解；对于⑤，由sin(t＋1)＝sint＋sin1，取t＝2kπ，k∈Z，符合题意．综上，属于集合M的函数是②⑤.4.f(x)为二次函数，不等式f(x)＋2＜0的解集是，且对任意α、β∈R恒有f(sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，求函数f(x)的解析式．解：设f(x)＝a(x＋1)－2(a＞0)，∵函数f(x)对任意α、β∈R恒有f(sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，取sinα＝1，cosβ＝－1，那么f(1)≤0与f(1)≥0同时成立，∴f(1)＝0，∴a＝，∴f(x)＝x2＋x－.1.函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B 的映射；而映射不一定是函数从A到B的一个映射，A、B假设不是数集，那么这个映射不是函数．2.函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应法那么是否给出；②根据给出的对应法那么，自变量在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．3.函数解析式的求解方法通常有：配凑法，换元法，待定系数法及消去法．用换元法求解时要特别注意新元的范围，即所求函数的定义域；而消去法表达的方程思想，即根据条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[备课札记]。

沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习函数方程专题之函数与不等式② 教学目标 理解并充分掌握基本的函数与不等式题型之间的转换问题，即函数题型用不等式来解，不等式题型用函数来做的思想．知识梳理函数与不等式（方程）是相互联系的，在一定条件下，他们可以相互转化，例如解方程()0f x =就是求函数的零点，解不等式()()f x g x >，就是当两个函数的函数值的大小关系确定后，求自变量的取值范围。

正确理解函数与不等式（方程）的这种对立统一关系，有利于提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力．典例精讲例1．（★★★）已知函数()24f x mx =+，若在[2,1]-上存在唯一零点，则实数m 的取值范围是___________．解：由题意得：(2)(1)0f f -⋅≤，即(,2][1,)m ∈-∞-+∞例2．（★★★）函数3()log (3)1f x x =+-的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为___________． 解：由题意得点A 的坐标为(2,1)--,代入直线方程得：21m n +=．∴121244()(2)2244248n m n m m n m n m n m n m n +=++=+++=++≥+=，当且仅当4n m m n=．即1412m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立． 例3．（★★★）已知2()221f x x mx m =+++．（1）若函数有两个零点，且其中一个在区间(1,0)-，另一个在区间(1,2)内，求m 的取值范围（2）若函数的两个零点均在区间(0,1)内，求m 的取值范围．解：（1）(1)0122101(0)0210512(,)5(1)012210626(2)044210f m m m f m m f m m m f m m ->-++>⎧⎧⎧<-⎪⎪⎪<+<⎪⎪⎪⇒⇒⇒∈--⎨⎨⎨<+++<⎪⎪⎪>-⎪⎪⎪⎩>+++>⎩⎩． （2）221(22)1,2(1)x m x x m x --+=--=+.令1,(1,2)t x t =+∈. 所以221(1)11221212(2)()12222t t t m t t t t t t----+-=⋅=⋅=--+=-++. 所以212(1),222(1)3,122t m m m t +=--≤--<-<≤-. 课堂检测1．（★★）使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是___________．解：结合函数图象可知：(1,0)x ∈-2．（★★★）设函数2()|45|f x x x =--，若在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方，则实数k 的取值范围是___________．解：由题意得：2345kx k x x +>-++在区间[1,5]-上恒成立． 即：2453x x k x -++>+在区间[1,5]-上恒成立， 由2453x x x -+++在[1,5]-上的最大值为2，得出2k >． 3．（★★★）三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+，对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析” ．乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”．丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是___________．解：原式⇔ 22()y y a x x≥-在[1,2],[2,3]x y ∈∈上恒成立， 令[1,3]y t x=∈，则函数22t t -在[1,3]的最大值为1-，则1a ≥-． 4．（★★★★）已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x bx =-，其中,,a b c 满足a b c >>，0(,,)a b c a b c R ++=∈．（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A 、B ；（2）求线段AB 在x 轴上的射影11A B 的长的取值范围．解：（1）222220444()y ax bx c ax bx c b ac b ac y bx⎧=++⇒++=⇒∆=-⇒∆=-⎨=-⎩． 因为a b c >>且0a b c ++=，所以0a >且0c <，20b ac ->，即0∆>．所以两函数图像有两个交点． （2）22221124()()13||221()2()24b ac a c ac c c c A B a a a a -+-===++=++ 因为0()()a b c b a c a a c c ++=⇒=-+⇒>-+>， 所以1(2,)2c a ∈--．故11||(3,23)A B ∈． 回顾总结1．在写不等式解集的时候一定要注意答案要写__________集合或区间形式．。

函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点．1．函数的思想用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识．2．方程的思想在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．题型二 函数与方程思想在方程问题中的应用例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围．变式训练 已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，求实数k 的取值范围．题型三 函数与方程思想在不等式问题中的应用例3 已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有的实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．变式训练 设不等式2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围．第1讲 函数与方程思想(推荐时间：60分钟)一、填空题1．双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为________．2．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零，则x 的取值范围是________．3．已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－6,1)，而(λa ＋b )⊥(a －λb )，则实数λ＝__________.4．方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 的最大值为________．5．已知R 上的减函数y ＝f (x )的图象过P (－2，3)、Q (3，－3)两个点，那么|f (x ＋2)|≤3的解集为________．6．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为__________．7．若关于x 的方程4cos x －cos 2x ＋m －3＝0恒有实数解，则实数m 的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )－2，其中a <b ，且α，β(α<β)是函数f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系为________．9．已知等差数列{a n }共有10项，其奇数项的和为15，偶数项的和为30，则它的公差d ＝________.10．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是__________．11．若存在a ∈[1,3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2>0成立，则实数x 的取值范围是____________．12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2， －3≤x ≤3，x 2－6，x <－3或x >3，若0<m <n ，且f (m )＝f (n )，则mn 2的取值范围是________．二、解答题13．设P (x ，y )是椭圆x 24＋y 22＝1上的动点，定点M (12，0)，求动点P 到定点M 距离的最大值与最小值．14.已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．15．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ，b 为常数，且a ≠0)满足条件：f (x －1)＝f (3－x )，且方程f (x )＝2x 有等根．是否存在实数m ，n (m <n )，使f (x )定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m,4n ]，如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，说明理由．。

函数与方程思想和数形结合思想主干知识整合1．函数与方程思想(1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决；(2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决；(3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系．2．数形结合思想(1)根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面；(2)数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合思想，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程；(3)数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野． 【百度百科】函数思想/view/2045453.htm 【百度百科】属性结合/view/134322.htm 要点热点探究► 探究点一 列方程（组）解题例1 (1)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90(2)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.【分析】 (1)根据数列中的基本量方法，列方程组求数列的首项和公差；(2)根据弦长公式建立关于p 的方程．(1)C (2)2 【解析】 (1)由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，得2a 1＋3d ＝0，再由S 8＝8a 1＋562d ＝32得2a 1＋7d ＝8，则d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋902d ＝60.故选C.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知过焦点的直线方程为y ＝x －p2，联立有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，消元后得x 2－3px ＋p 24＝0.又|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8，解得p ＝2.► 探究点二 使用函数方法解决非函数问题例2 (1)已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5，则数列{a n }前n 项和S n 的最大值是________．(2)长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________．【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立S n 关于n 的函数；(2)将向量坐标化，建立m ＋n 关于动向量OC →的函数关系．(1)4 (2)233 【解析】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2.S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.(2)建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA →＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )，即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3≤233. 变式题若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5)B 【解析】 e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋(a ＋1)2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋1a 2，因为1a 是减函数，所以当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.► 探究点三 联用函数与方程的思想例3 已知函数f (x )＝x (x －a )2，g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a (其中a 为常数)．(1)设a >0，问是否存在x 0∈⎝⎛⎭⎫－1，a3，使得f (x 0)>g (x 0)？若存在，请求出实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由；(2)记函数H (x )＝[f (x )－1]·[g (x )－1]，若函数y ＝H (x )有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．【解答】 (1)假设存在，即存在x 0∈⎝⎛⎭⎫－1，a3，使得， f (x 0)－g (x 0)＝x 0(x 0－a )2－[－x 20＋(a －1)x 0＋a ]＝x 0(x 0－a )2＋(x 0－a )(x 0＋1)＝(x 0－a )[x 20＋(1－a )x 0＋1]>0，当x 0∈⎝⎛⎭⎫－1，a3时，又a >0，故x 0－a <0， 则存在x 0∈⎝⎛⎫－1，a 3，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0， ①当a －12>a 3即a >3时，⎝⎛⎭⎫a 32＋(1－a )⎝⎛⎭⎫a 3＋1<0得a >3或a <－32，∴a >3； ②当－1≤a －12≤a 3即0<a ≤3时，4－(a －1)24<0得a <－1或a >3，∴a 无解．综上：a >3.(2)据题意有f (x )－1＝0有3个不同的实根，g (x )－1＝0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．(i)g (x )－1＝0有2个不同的实根，只需满足g ⎝⎛⎭⎫a －12>1⇒a >1或a <－3； (ii)f (x )－1＝0有3个不同的实根，①当a3>a 即a <0时，f (x )在x ＝a 处取得极大值，而f (a )＝0，不符合题意，舍；②当a3＝a 即a ＝0时，不符合题意，舍；③当a 3<a 即a >0时，f (x )在x ＝a3处取得极大值，f ⎝⎛⎭⎫a 3>1⇒a >3322；所以a >3322； 因为(i)(ii)要同时满足，故a >3322.(注：a >334也对)下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在x 0使得f (x 0)－1＝0和g (x 0)－1＝0同时成立； 若存在x 0使得f (x 0)＝g (x 0)＝1， 由f (x 0)＝g (x 0)，即x 0(x 0－a )2＝－x 20＋(a －1)x 0＋a ，得(x 0－a )(x 20－ax 0＋x 0＋1)＝0，当x 0＝a 时，f (x 0)＝g (x 0)＝0，不符合，舍去； 当x 0≠a 时，即有x 20－ax 0＋x 0＋1＝0 ①；又由g (x 0)＝1，即－x 20＋(a －1)x 0＋a ＝1 ②； 联立①②式，可得a ＝0；而当a ＝0时，H (x )＝[f (x )－1]·[g (x )－1]＝(x 3－1)(－x 2－x －1)＝0没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．综上，当a >3322时，函数y ＝H (x )有5个不同的零点．变式题函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2(a >0)，满足f (x )<g (x )的整数x 恰有4个，则实数a 的取值范围是________．⎝⎛⎦⎤4916，8125 【解析】 在同一坐标系内分别作出满足条件的函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2的图象，则由两个函数的图象可知，y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象在区间(0,1)内总有一个交点，令：h (x )＝f (x )－g (x )＝(4－a )x 2－4(2x －1)2<ax 2的解集中的整数解恰有4个，则需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)<0，h (5)≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧49－16a <0，81－25a ≥0⇒4916<a ≤8125.► 探究点四 以形助数探索解题思路例4 (1)不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，－1B ．⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 【分析】 (1)把不等式的左端看作一个函数，问题等价于这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值，通过画出函数图象找到这个函数的最大值即可；(2)画出抛物线，根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，把问题归结为两点之间的距离．(1)A (2)A 【解析】 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4(x <－3)，2x ＋2(－3≤x <1)，4(x >1).画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.(2)点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，PF ＋PQ ＝PS ＋PQ ，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，代入y 2＝4x 得x ＝14，故点P 坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1，正确选项为A.► 探究点五 数量分析解决图形问题（以数助形）例5 (1)下列四个函数图象，只有一个是符合y ＝|k 1x ＋b 1|＋|k 2x ＋b 2|－|k 3x ＋b 3|(其中k 1，k 2，k 3为正实数，b 1，b 2，b 3为非零实数)的图象，则根据你所判断的图象，k 1，k 2，k 3之间一定成立的关系是( )图22－1A．k1＋k2＝k3B．k1＝k2＝k3 C．k1＋k2>k3D．k1＋k2<k3(2)“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……，用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是()图22－2【分析】(1)含有绝对值问题的函数，常去绝对值，转化为分段函数来解决；(2)乌龟的速度是恒定的，表现在时间和路程的图象上是直线上升的，这个过程没有变化；兔子的速度也是恒定的，表现在时间与路程的图象上也是直线上升的，并且比乌龟的时间和路程的图象上升的要快，但中间一段时间内，函数图象是水平的．(1)A(2)B【解析】(1)当x足够小时，y＝－(k1＋k2－k3)x－(b1＋b2－b3)，当x足够大时，y＝(k1＋k2－k3)x＋(b1＋b2－b3)，可见，折线的两端的斜率必定为相反数，此时只有③符合条件．此时k1＋k2－k3＝0.(2)根据时间和路程的关系以及乌龟首先达到目的地，故选B.规律技巧提炼1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当试题与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量．2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．3．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过形分析这些数量关系，达到解题的目的．4．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．。

高中数学专题函数方程教案
一、教学目标
1. 了解函数方程的定义和基本概念；
2. 掌握函数方程的解法和计算方法；
3. 提高学生对函数方程的理解和运用能力。

二、教学重点和难点
重点：函数方程的定义和基本概念；
难点：解决函数方程的方法及计算过程。

三、教学准备
1. 教材：高中数学教材；
2. 工具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。

四、教学过程
1. 引入：通过几个实际问题引导学生认识函数方程的概念，引出本节课的主题；
2. 学习：结合具体例题，介绍函数方程的定义和基本性质，讲解解决函数方程的常见方法；
3. 练习：组织学生进行练习，巩固所学知识，培养学生的解题能力；
4. 拓展：引导学生应用函数方程解决更复杂的问题；
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，梳理知识结构，加深学生印象。

五、课后作业
1. 完成课后习题，巩固所学知识；
2. 总结本节课的重点内容，准备下节课的学习。

六、教学反思
教师根据学生学习情况和反馈，及时调整教学方法和内容，确保教学效果。

高中数学思想和解法教案
学科：数学
年级：高中
课时：1课时
教学目标：了解高中数学的思想和解法，掌握其中的重要概念和方法。

教学重点：数学的思想和解法
教学难点：抽象思维和逻辑推理
教学准备：教材《高中数学》、教学投影仪
教学步骤：
1.导入：通过一道简单的数学问题引入本课的学习内容，激发学生对数学思想和解法的兴趣。

2.讲解：向学生介绍高中数学的核心思想和解法，包括抽象思维、逻辑推理、数学建模等内容，让学生了解数学的本质和意义。

3.示范：通过几个例题演示高中数学的解题方法和思维过程，让学生了解如何运用所学知识解决实际问题。

4.练习：让学生进行一定数量的练习题，巩固所学知识，培养解题能力和思维逻辑。

5.总结：对学生进行总结，强调数学思想和解法在数学学习中的重要性，鼓励学生多动脑思考，勇于挑战问题。

6.作业：布置相关练习题作为课后作业，加深学生对数学思想和解法的理解和掌握。

教学反思：通过本课的教学，希望学生能够认识到数学的思想和解法是数学学习的核心，能够灵活运用所学知识解决各种问题。

同时，也希望能够引导学生养成良好的思维习惯和解题技能，为将来的学习和生活打下坚实的数学基础。