沪科版-数学-九年级上册-23.2.2 仰角与俯角问题(1) 教案

232 解直角三角形及其应用第2课时仰角与俯角问题教学目标【知识与技能】使学生掌握仰角、俯角的概念,并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题【过程与方法】让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途【情感、态度与价值】使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义重点难点【重点】将实际问题转化为解直角三角形问题【难点】将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解教学过程一、创设情境,导入新知教师多媒体课件出示南浦大桥建桥时为世界第三大斜拉桥,桥全长8346米,6车道,主塔高154米,塔柱中间,由两根高8米、宽7米的上下拱梁牢牢地连接着,呈“H”型南浦大桥于1991年12月1日建成通车南浦大桥横卧在黄浦江上,它使上海人圆了“一桥飞架黄浦江”的梦想问题南浦大桥主塔高154米,最高的一根钢索与桥面的夹角为30°,问最高的钢索有多长?追问第二根钢索与桥面的夹角为35°,如何求第二根钢索的长呢?教师带领学生看题目二、共同探究师请同学们思考这个问题这是一个实际问题,我们将它转换为数学模型后是不是很简单了?你能求出最高的钢索长度吗?生能教师找一生回答量你能求出第二根钢索的长吗?生能,与最长的一根钢索长的求法一样教师多媒体课件出示操场上有一根旗杆,老师让小明去测量旗杆的高度,小明站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34°,并已知目高为1米然后他很快就算出旗杆的高度了师请同学们思考这个问题,想想他是如何计算的学生思考,讨论师如果我们把已知的条件转化为三角形的一些元素,你能不能算出?生能师很好!现在请同学们想想已知了或容易算出哪些量,需要求的是什么量?生已知了一个直角梯形的一条底边,一条腰长,并且容易算出它的一个内角,求它的另一底师对,那你知道小明是怎么算的吗?学生思考,交流生先把各个顶点用字母标出,然后作辅助线,构造直角三角形教师找一生板演,并让他解释自己的思路三、继续探究,层层推进1讲解师在实际生活中,解直角三角形有着广泛的应用,例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形教师在黑板上作图师当我们测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角;在水平线以下的角叫做俯角注意(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角,而不是与铅垂线所夹的角;(2)仰角和俯角都是锐角师我们自己测量角时用什么工具啊?生量角器量测量仰角、俯角也有专门的工具,是测角仪2练习新知教师多媒体课件出示(1)如图,∠=∠DEB=90°,FB∥A,从A看D的仰角是;从B看D的俯角是;从A看B的角是;从D看B的是;从B看A的角是师你能根据仰角和俯角的概念回答这些问题吗?生能教师找一生回答,然后集体订正得到从A看D的仰角是∠2,从B看D的俯角是∠FBD,从A看B的仰角是∠BA,从D看B的仰角是∠3,从B看A的俯角是∠1教师多媒体课件出示(2)如图,线段AB、D分别表示甲、乙两幢楼的高,AB⊥BD,D⊥BD,从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部的仰角α=30°,测得乙楼底部D的俯角β=60°已知甲楼的高AB=24米,求乙楼的高D学生看题思考师这道题也需要我们把它转化为解直角三角形解决,但现在还没有直角三角形呢,你怎样求?生因为AB⊥BD,D⊥BD,所以过A作AE∥BD,即有AE⊥BD,得到 Rt△AE和Rt△ADE,确定仰角和俯角已知AB=24米,可知DE=24米,可求出AE,进而求出E 教师作图师然后怎样做呢?老师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正解在Rt△AE中,∠AE=90°∠EA=α=30°∵tanα==,∴E=8tanα=8×tan30°=8×=8(米)∴D=E+DE=24+8=32(米)四、例题讲解【例1】如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度他站在距离水杉树8 的E处,测得树顶的仰角∠AD=52°已知测角器的架高E=16 ,问树高AB为多少米?(精确到01 )解在Rt△AD中,∠AD=52°,D=E B=8由tan∠AD=,得AD=D·tan∠AD=8×tan52°=8×12799≈102()由DB=E=16 得AB=AD+DB=102+16=118()答树高AB为118【例2】解决本章引言所提问题如图,某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB,因为不能直接到达塔底B处,他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的、D两处地面上,用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°,同时量得D为50 ,已知测角器高为1 ,问电视塔的高度为多少米?(精确到1 )解设AB1=在Rt△A1B1中,由∠A1B1=45°,111在Rt△AD1B1中,由∠AD1B1=30°,得tan∠AD1B1==,即=解方程,得=25(+1)≈68∴AB=AB1+B1B≈68+1=69()答电视塔的高度为69五、巩固提高师同学们,刚才的讲解你们都听明白了吗?还有什么不懂的地方可以在下课后问我,现在让我们一起解决几个关于直角三角形应用的问题老师多媒体课件出示题目1如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500 处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB长是( )A250B250D250【答案】A2王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树D的顶端的俯角为60°,已知水平距离BD=10 ,楼高AB=24 ,则树D的高度为( )A(24-) B(24-10)(24-5) D93升国旗时,某同学站在距离旗杆底部24米处行注目礼,当国旗升到主旗杆顶端时,该同学视线的仰角恰为30°若该同学的双眼距离地面15米,则旗杆的高度大约为(精确到01米)【答案】154米4如图,某飞机在空中A处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B的俯角为α,若测得飞机与目标B之间的距离AB大约为2400米,且sinα=052,求飞机的飞行高度【答案】1248米5如图,为测量某塔AB的高度,在距离该塔底部20米的处目测塔的顶端A,仰角为60°已知目高为15米,求该塔的高度(≈17)【答案】355米六、课堂小结师本节课,我们学习了什么内容?学生回答师你还有什么不懂的地方吗?学生提问,教师解答教学反思多媒体课件简洁生动,通过图片形象地向学生展示出所提出的问题,吸引学生的注意,使学生解决问题的同时,吸收了数学中的转化思想、建模思想、方程思想,即把现实问题通过建立数学模型转化成数学问题,并运用构建方程的思想达到数与形的结合解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一,使学生对所学知识有了更好的巩固,同时让学生体会到数学与实际的联系例题设置具有一定坡度,由浅入深,步步深入。

B 图1 C
B
灿若寒星
图2 C
3.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测 得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确 到0.1米）.
A 解：依题意可知，在Rt∆ADC中
AD tanACD CD tan52 15 1.28015
19.2米
120 3 40 3 3
CD AD tan 120 tan 60
B
αD Aβ
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m 灿若寒星
练一练
A
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观
B
察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角
为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m 在Rt△ACD中
tan ADC AC DC
∴AC tan ADC DC
54°45°
D 40m
C
tan 54 40 1.38 40 55.2
在图中，a=30°,β=60° Rt△ABD中，a =30°，AD＝120，
αD Aβ
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角
BD；类似地可以求出CD，进而灿若求寒星出BC．
C
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
tan a BD , tan CD
AD
AD
BD AD tan a 120 tan 30
∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2 答：旗杆的高度为15.2m灿.若寒星

上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！23.2 解直角三角形及其应用 第2课时 仰角和俯角的问题教学思路 （纠错栏）教学目标：1.知道仰角、俯角等有关概念；2.能把实际问题转化为数学问题来解决.教学重点：利用三角函数解决实际问题； 教学难点：把实际问题转化为数学问题.☆ 预习导航 ☆一、链接：什么叫解直角三角形？在解直角三角形时用到的边、角数量关系有哪些？二、导读：1.阅读课本126页，重点思考如何把实际问题转化为数学问题来解答，边角之间的关系有：sinA = ______ , cosA = ________ , tanA = _______ . 2.仰角、俯角的定义：从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角；从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．☆ 合作探究 ☆1. 上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．运用本章所学过的知识，能测出东方明珠塔的高度来吗？为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔200 米处的地面上，用高1.20 米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为60°48 ′．根据测量的结果，小亮画了一张示意图，其中AB 表示东方明珠塔，DC 为测角仪的支架，DC=1.20米，CB=200米，∠ADE=60°48 ′根据在前一学段学过的长方形对边相等的有关知识，你能求出AB 的长ABE CDA C B相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。

数学思维可以让他们更理性地看待人生。

方向角问题教学目标1．正确理解方向角的概念；(重点)2．灵活运用解直角三角形的知识构建直角三角形模型，会利用所学的知识解决现实生活中的问题．(难点)教学过程一、情境导入如图，一艘轮船从A点出发，航行路线为AC.CB，你知道如何准确描述此过程轮船航行的方向吗？二、合作探究探究点：与方向角有关的实际问题一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30km，B，C间的距离是60km，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离(结果保留根号)．解析：此题针对点P的位置分两种情况讨论，即点P可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上．解：分两种情况：(1)如图①，在Rt△BDC中，CD＝30km，BC＝60km，∴∠B＝30°.∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°.∴在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°，∴DP＝CDtan∠CPD＝30tan60°＝103(km)．在Rt△ADC中，∵∠A＝45°，∴AD＝DC＝30km.∴AP ＝AD ＋DP ＝(30＋103)km ；(2)如图②，同理可求得DP ＝103km ，AD ＝30km.∴AP ＝AD －DP ＝(30－103)km.答：交叉口P 到加油站A 的距离为(30±103)km.方法总结：求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．如图，一架飞机从A 地飞往B 地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km 远了多少？(参考数据：3≈1.73，2≈1.41，要求在结果化简后再代入参考数据运算，结果保留整数)解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则AD ＝CD tan30°，BD ＝CD tan45°， ∵AD ＋BD ＝AB ，∴(3＋1)CD ＝600，∴CD ＝300(3－1)(km)．∴在Rt △BCD 中，BC ＝3002(3－1)(km)，在Rt △ACD 中，AC ＝600(3－1)(km)，∴AC ＋BC ＝600(3－1)＋3002(3－1)≈747(km)，747－600＝147(km)．答：飞机的飞行路程比原来的路程600km 远了147km.方法总结：构造直角三角形，分别解两个直角三角形．三、板书设计方向角问题指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．教学反思通过学习本课时内容，让学生认识到日常生活中许多问题可以转化为直角三角形的问题，并从中体会直角三角形的边角关系在解决实际问题中的作用．。