江苏省无锡市太湖高级中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题

江苏省无锡市太湖高级中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列关系中正确的个数是（ ）①12Q ∈ R ③*0N ∈ ④π∈Z A ．1B ．2C ．3D ．42．已知集合{}220A x x x =-=，{}20B x x x =+=，则A B =（ ）A ．{}1,2-B ．{}1C ．{}1,0,2-D ．03．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R（ ）A ．{}12-<<x xB ．{}12x x -≤≤C ．{}{}12x x x x <-⋃>D ．{}{}12x x x x ≤-⋃≥4．已知命题:N p n ∃∈，225n n >+，则p 的否定为（ ） A ．,n N ∀∈225n n >+ B ．n N ∀∈，225n n ≤+ C ．N n ∃∈，225n n ≤+D ．N n ∃∈，225n n <+5．若一次函数的图象经过点()1,6A 和()2,8B ，则该函数的图象还经过的点的坐标为（ ） A ．1,52⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,3-D ．()2,1-6．已知函数()2135f x x +=-，若()10f a =，则实数a 的值为（ ） A ．5B ．10C ．11D ．27．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．y ，2s =B ．y x =，u =C ．211x y x -=-，1m n =+D ．y =，y 8．已知2x >，则22x x -的最小值是（ ）A ．2B ．6C ．4D ．8二、多选题9．下列选项中p 是q 的充分不必要条件的是（ ） A ．:12p x <<，:12q x ≤≤ B ．:1p xy >，:1q x >，1y > C ．1:1p x>，:1q x < D ．p ：两直线平行，q ：内错角相等10．某工厂八年来产品累积产量C (即前t 年年产量之和)与时间t (年)的函数如图，下列四种说法中正确的是（ ）A ．前三年中，产量增长的速度越来越快B ．前三年中，产量增长的速度越来越慢C ．第三年后，这种产品停止生产D ．第三年后，年产量保持不变11．下列说法中正确的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b >>且0c <，则c c a b > D ．若a b >且11a b>，则0ab > 12．已知x ，y 为正数，且1xy =，a x y =+，14b x y=+，下列选项中正确的有（ ） A ．a 的最小值为2 B ．b 的最小值为4 C ．+a b 的最小值为5 D ．ab 的最小值为9三、填空题 13．函数()f x =的定义域为__________.14．设函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()()2f f -=__________. 15．已知集合{}13A x x =-≤≤，{}2,B y y x x A ==∈，{}2,C y y x a x A ==+∈，若C B ⊆，则实数a 的取值范围为__________.四、双空题16．在R 上定义运算：a b ad bc c d=-，则2234=__________，若不等式1211x a a x--≥+对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为__________.五、解答题17．若不等式2520ax x +->的解集是1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（1）求a 的值； （2）求不等式151axa x ->++． 18．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 19．已知函数()()22323x x x f x -=<-≤+.（1）用分段函数的形式表示函数()f x ； （2）画出函数()f x 的图象； （3）写出函数()f x 的值域.20．已知x ，y 均为正数，且()450xy x y -+-=. （1）求xy 的最小值； （2）求x y +的最小值.21．某厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每一小时可获得的利润是350(51)x x-+元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元，求x 的取值范围；(2) 要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．22．已知a 为常数，二次函数()23f x x ax a =-++.（1）若该二次函数的图象与x 轴有交点，求实数a 的取值范围； （2）已知()4f x ≥，求x 的取值范围；（3）若对任意的实数[]2,4x ∈，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．A 【分析】根据集合的概念、数集的表示判断． 【详解】12是实数，0不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键． 2．C 【分析】先解方程求出集合A ，B ，然后再求交集 【详解】解：由220x x -=，得0x =或2x =，所以{}{}2200,2A x x x =-==，由20x x +=，得0x =或1x =-，所以{}{}201,0B x x x =+==-， 所以A B ={}1,0,2-，故选：C 【点睛】此题考查集合的并集运算，考查一元二次方程的解法，属于基础题 3．B 【分析】解一元二次不等式得到A 的解集，结合数轴表示A 的解集，进而可知A R【详解】由220x x -->有(2)(1)0x x -+>，则2x >或1x <- ∴{|2A x x =>或1}x <-，数轴上表示如下∴A =R{}12x x -≤≤故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，应用了一元二次不等式的解法，结合数轴求解集的补集 4．B 【分析】按存在性命题的否定规则判断. 【详解】p 的否定为: n N ∀∈，225n n ≤+. 所以B 正确，A 、C 、D 错误. 故选:B 【点睛】此题考查全称命题与存在性命题的否定，属于基础题. 5．A 【分析】先求出一次函数的解析式，然后把点的坐标代入验证即可得答案 【详解】解：设一次函数为y kx b =+，则682k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得24=⎧⎨=⎩k b ， 所以一次函数的解析式为24y x =+，对于A ，当12x =时，12452y =⨯+=，所以一次函数的图像经过点1,52⎛⎫⎪⎝⎭，对于B ，当14x =时，1924442y =⨯+=≠，所以一次函数的图像不经过点1,44⎛⎫⎪⎝⎭，对于C ，当1x =-时，2(1)423y =⨯-+=≠，所以一次函数的图像不经过点()1,3-， 对于D ，当2x =-时，2(2)401y =⨯-+=≠，所以一次函数的图像不经过点()2,1-， 故选：A【点睛】此题考查一次函数解析式的求法，考查函数与方程，属于基础题 6．C 【分析】由换元法求得函数的解析式，代入即可得解. 【详解】令21t x =+，则12t x -=， 所以()()313135222t t f t -=-=-，即()31322x f x =-， 所以()3131022a f a =-=，解得11a =. 故选：C. 【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 7．B 【分析】根据定义域和函数关系式是否相同作出判定即可. 【详解】A 中，y x ==，定义域为R ,2(0s t t ==≥）,定义域为[)0,+∞ , 定义域不同，不是同一函数；B 中，,y x u v ===,两函数的解析式相同，定义域都是R ,是同一函数；C 中，()21101x y x x x -==+≠-,定义域为{|1}x x ∈≠R ,1m n =+中自变量n R ∈,两函数的定义域不同，不是同一函数；D 中1y x =-中解析式有意义，当且仅当1010x x +≥⎧⎨-≥⎩,解得1≥x ，故定义域为[)1,,∞+y 要有意义，当且仅当210x -≥，解得1x ≤-或1≥x ，故定义域为][()11,-∞-⋃+∞，,定义域不同，故不是同一函数. 故选：B. 【点睛】本题考查判定两函数是否是同一函数问题，属基础题.关键要准确掌握函数是同一函数的条件. 8．D 【分析】把22x x -变形为22(2)4(2)44(2)4222x x x x x x x -+-+==-++---，然后利用基本不等式求解即可 【详解】解：因为2x >，所以20x ->，所以22(2)4(2)44(2)4222x x x x x x x -+-+==-++---48≥=，当且仅当4(2)2x x -=-，即4x =时取等号， 所以22x x -的最小值是8，故选：D 【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题 9．AC 【分析】判断命题“若p ，则q ”，与命题“若q,则p”的真假即可. 【详解】A:集合()1,2是集合[]1,2的真子集，所以p 是q 的充分不必要条件； B:1412⨯>,故p 不能推出q ，由1,11x y xy >>⇒>，q p ⇒所以p 是q 的必要不充分条件. C: 1:1p x>可得01x <<，集合()0,1是集合(),1-∞的真子集， 所以p 是q 的充分不必要条件；D:根据平面几何中平行直线的判定定理和性质定理可知，是充要条件. 故选: AC 【点睛】此题为基础题，考查充要条件. 10．BC 【分析】利用函数的图象，结合问题的实际意义，即可求解. 【详解】 由函数图象可知,在区间[0，3]上，图象凸起上升的，表明年产量增长速度越来越慢； 在区间(3，8]上，如果图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0. B 、C 正确 故选：BC 【点睛】本题主要考查了函数图象的应用，考查了数形结合的思想，属于中档题. 11．BC 【分析】 当0c时，可判定A 不正确；根据不等式的性质，可判定B 正确；由0a b >>，得到11a b>，又由0c <，由不等式的性质，可判定C 正确；根据110b a a b ab--=>，可判定D 不正确. 【详解】对于A 中，若0a b >>，当0c时，则22ac bc =，所以A 不正确；对于B 中，若0a b <<，根据不等式的性质，可得22a ab b >>，所以B 正确； 对于C 中，由0a b >>，可得11a b>，又由0c <，根据不等式的性质，可得c ca b >，所以C 正确；对于D 中，若a b >，可得0b a -<，由110b a a b ab--=>，可得0ab <，所以D 不正确. 故选：BC 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质及其应用，其中解答中熟记不等式的基本性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 12．ABD 【分析】利用基本不等式一一判断即可. 【详解】2a x y =+≥=当且仅当1x y ==时取等号，则a 的最小值为2144b x y =+≥=当且仅当1,22x y ==时取等号，则b 的最小值为441126a b x y x x y x +=+++⋅+=，当且仅当1,2x y ==取等号，由于1xy =，则+a b 无最小值144()5529y x y ab x y x y x y x ⎛⎫=++=+++⋅= ⎪⎝⎭当且仅当2x y ==号，则ab 的最小值为9 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题. 13．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】由于二次根式在分母上，所以只要被开方数大于零，解不等式可得答案 【详解】解：由题意得，320x ->，解得32x <， 所以函数的定义域为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故答案为：,2-∞ ⎪⎝⎭【点睛】 此题考查求函数的定义域，属于基础题14．12- 【分析】先求出(2)f -，再求出()()2f f -的值即可【详解】解：因为2(2)(2)4f -=-=，所以()()612(4)4642f f f -==+-=-， 故答案为：12-【点睛】此题考查分段函数求值，求值时要注意自变量的取值范围，属于基础题15．[]2,3【分析】 转化条件为{}09B y y =≤≤、{}26C y a y a =-+≤≤+，再由集合间的关系即可得解.【详解】 因为{}13A x x =-≤≤， 所以{}{}2,09B y y x x A y y ==∈=≤≤，{}{}2,26C y y x a x A y a y a ==+∈=-+≤≤+，又C B ⊆，C ≠∅，所以2069a a -+≥⎧⎨+≤⎩，解得23a ≤≤， 所以实数a 的取值范围为[]2,3.故答案为：[]2,3.【点睛】本题考查了常见函数值域的求解及由集合间的关系确定参数范围，属于基础题.16．2 ,22-⎢⎥⎣⎦【分析】 （1）根据新定义法则运算；（2）转化为二次不等式大于零恒成立，0∆≤可得a 的范围.【详解】（1）222432234=⨯-⨯=；（2）由1211x a a x --≥+得2221x x a a --++≥，即2210x x a a --++≥在R 上恒成立，所以()()2221414430a a a a ∆=---++=--≤， 解得1322x -≤≤ 故答案为: 2 , 13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题为新定义题，同时考查二次不等式恒成立问题，属于容易题.17．（1）2a =-（2）{|21}x x -<<-【分析】（1）根据方程与不等式关系，可知2520ax x +-=的两个根分别为12和2，结合韦达定理即可求得a 的值；（2）代入a 的值，可得1231x x +>+．通过移项，通分、合并同类项，即可解不等式． 【详解】（1）依题意知，0a <且2520ax x +-=的两个实数根为12和2 由韦达定理可得1522a+=-， 解得2a =-（2）将2a =-代入不等式得1231x x +>+ 即12301x x +->+，整理得(2)01x x -+>+ 即(1)(2)0x x ++<，解得21x -<<-，故不等式的解集为{|21}x x -<<-【点睛】本题考查了一元二次方程与二次不等式的关系，分式不等式的解法，特别注意解分式不等式不能够去分母，属于基础题．18．（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ .【分析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可.【详解】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ，①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1,②B ≠∅时，则有，∴, 综上所述，所求a 的取值范围为.【点睛】 本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.19．（1）()2,2012,033x x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；（2）图象答案见解析；（3）(]0,2. 【分析】（1）分20x -<≤和03x <≤两种情况去掉绝对值可求出函数的解析式；（2）根据（1）的解析式画出函数的图像；（3）根据函数图像可求出函数的值域【详解】（1）()2,2012,033x x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩. （2）函数()f x 的图象如下图所示.（3）由图得函数()f x 的值域为(]0,2.【点睛】此题考查分段函数，考查由函数解析式画函数图像，根据图像求出函数的值域，属于基础题 20．（1）25；（2）11.【分析】（1）由已知可得54xy x y -=+≥=50xy -≥，然后解不等式可得答案；（2）由()450xy x y -+-=得54x y x +=-，所以()549945444x x x y x x x x x x +-++=+=+=-++---，然后利用基本不等式可得答案，或由()450xy x y -+-=得()()419x y --=，所以()()415x y x y +=-+-+，再利用基本不等式求解即可【详解】（1）∵x ，y 均为正数，且()450xy x y -+-=，∴54xy x y -=+≥=当且仅当()4450x y xy x y =⎧⎨-+-=⎩即1052x y =⎧⎪⎨=⎪⎩取“=”，∴50xy -≥，∴)510≥，5，即25xy ≥.∴xy 的最小值为25.（2）(方法一)∵()450xy x y -+-=，∴()45x y x -=+.∵x ，y 均为正数，∴4x >， ∴54x y x +=-， ∴()549945444x x x y x x x x x x +-++=+=+=-++---511≥+=， 当且仅当944x x -=-即7x =取“=”，此时4y =， ∴x y +的最小值为11.(方法二)∵()450xy x y -+-=，∴()()419x y --=，又()45x y x -=+且x ，y 均为正数，∴4x >，1y >，∴()()4155511x y x y +=-+-+≥+=+=，当且仅当()()()()41419x y x y ⎧-=-⎪⎨--=⎪⎩即74x y =⎧⎨=⎩取“=”， ∴x y +的最小值为11.【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题21．（1）310x ≤≤；（2）该厂以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为122000元.【解析】试题分析：（1）由于生产了2小时 ，故利润为3100511500x x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，解得310x ≤≤.（2）依题意，要生产480x小时，乘以每小时的利润，可得利润的表达式为213240005x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，利用配方法可求得当6x =时利润取得最大值，并由此求出最大值. 试题解析：（1）根据题意，有3100511500x x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 得251430x x --≥，得3x ≥或15x ≤-，又110x ≤≤，得310x ≤≤． （2）生产480千克该产品获得的利润为 213240005u x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，110x ≤≤， 记()2315f x x x=-++，110x ≤≤， 则()211135612f x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭， 当且仅当6x =时()f x 取得最大值6112，则获得的最大利润为612400012200012u =⨯=（元）， 故该厂以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为122000元．点睛：本题主要考查函数实际应用问题.对于函数实际应用问题要注意三点，第一点是要慢阅读，将实际生活问题，转化为数学问题，特别是其中的数量和表达式，要注意它们表示的意思.第二是要总结常见的题型，如本题中求利润的问题.第三点是求出表达式后，往往利用二次函数求最值的方法来求最值.22．（1）(][),26,-∞-⋃+∞；（2）答案见解析；（3）(],6-∞.【分析】（1）由二次函数的图象与x 轴有交点，得()2430a a ∆=-+≥，从而可求出a 的取值范围； （2）由()4f x ≥，得()()110x x a ---≥⎡⎤⎣⎦，然后分类讨论解不等式即可；（3）对任意的实数[]2,4x ∈，()230f x x ax a =-++≥恒成立，可得2min 31x a x ⎛⎫+≤ ⎪-⎝⎭，然后利用基本不等式求出231x x +-的最小值即可 【详解】（1）若该二次函数的图象与x 轴有交点，则()2430a a ∆=-+≥ ∴()()620a a -+≥，∴6a ≥或2a ≤，∴a 的取值范围为(][),26,-∞-⋃+∞.（2）∵()234f x x ax a =-++≥， ∴210x ax a -+-≥即()()110x x a ---≥⎡⎤⎣⎦.当11a -=即2a =时，()210x -≥，解集为R ；当11a ->即2a >时，1x ≤或1x a ≥-，当11a -<即2a <时，1x a ≤-或1≥x .综上，当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为(][),11,a -∞-+∞；当2a <时，不等式的解集为(][),11,a -∞-+∞.（3）若对任意的实数[]2,4x ∈，()230f x x ax a =-++≥恒成立，即()213a x x -≤+恒成立， ∵[]2,4x ∈，∴[]11,3x -∈， ∴2min31x a x ⎛⎫+≤ ⎪-⎝⎭. 设[]11,3t x =-∈，则1x t =+， ∴()2213342261t x t x t t +++==++≥+=-. 当且仅当4t t=即2t =取“=”，此时3x =， ∴2min361x a x ⎛⎫+≤= ⎪-⎝⎭，即a 的取值范围为(],6-∞. 【点睛】此题考查一元二次不等式的解法，考查分类思想，考查一元二次不等式恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题。