一道2009年高考题的推广

2009年全国高考数学福建卷理科第15题题目背景是斐波那契(Fibonacci)数列.（2009•福建）五位同学围成一圈依次循环报数，规定①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学报出的数之和，②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次．已知甲同学第一个报数．当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为5．【解法二】归纳猜想：1．列举：五个数一圈，则分为五个一群。

如下：|| 1、1、2、3、5；|| 8、13、21、34、55；|| 89、144、233、377、610；|| 987……2．观察：上面分群数列中，显然，甲所报数各群首数，呈周期性出现，周期为５。

而所报数为３的倍数的数也呈周期性出现，周期为4。

３．找首数：即找甲同学第一次拍手时，所报数。

易得第16个数987既是3的倍数，又是甲报的数。

４．规律：由第二步可知，甲所报数为３的倍数的数也呈周期性出现，周期为4与５的最小公倍数，即为２０．以后每报数增加4×5=20个时，甲同学拍一次手。

５．结论：所以甲报第16个，第36个，第56个，第76个，第96个数时拍手，１００个数之内，甲共拍手5次。

解法三：由题意可知：（1）将每位同学所报的数排列起来，即是“雯波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，…（2）该数列的一个规律是，第4，8，12，16，…4n项均是3的倍数．（3）甲同学报数的序数是1，6，11，16，…，5m-4．（4）．问题可化为求数列{4n}与{5m-4}的共同部分数，易知，当m=4k，n=5k-4时，5m-4=20k-4=4n，又1＜4n≤100，∴20k-4＜100．∴k≤5∴甲拍手的总次数为5次．即第16，36，56，76，96次报数时拍手．故答案为：5变式训练：五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为。

2009年普通高校招生统一考试（xx卷）语文本试卷第I卷和第II 卷两部分，共150分。

考试时间150分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1，考生务必将答案打在答题卡上，在试卷上作答无效。

2，答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B铅笔将与准考证号对应的信息点xx。

3，答题卡上第I卷必修用2B铅笔作答，将选中项xx黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。

第II卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

第I卷（选择题共30分）一、本大题共5小题，每小题3分，共15分。

1.下列词语中，字形和加点的字的读音全部正确的一项是A.诠释出其制胜瞩（zhǔ）目人才荟( kuài )萃B.杀戮宁静致远莅(wèi )临鸢( yuān )飞鱼跃C.xx励精图治缜( zhěn )密鹬( yù )xx相争D.松弛老奸巨猾揣度( duó)深陷囹圄( wú )2.依次填入下列各句横线处的词语，最恰当的一组是①逐步推广使用清洁的可再生能源，减少使用污染环境的能源，是＿环境恶化的正确选择。

②随着人们自律程度的不断提高，过去有些需要用铁栏杆来维持＿的地方，现在只要拉绳或画线就行了。

③具有世界影响的中国画大师xx千，人物、花鸟、鱼虫、走兽无一不精，尤其＿画xxA.遏制次序善于B.遏制秩序擅长C.遏止秩序擅长D.遏止次序善于3.下列句子中，加点的成语使用不恰当的一项是A.xx幼年从艺时嗓音毫无优势，后来却以清亮驰名，耄耋之年行腔依然高亢悦耳，她81年的舞台生涯中有多少值得探寻的xx啊！B“魔幻现实主义大师”xx.马尔克斯获得诺贝尔文学奖的名著《百年孤独》，一度在国内各大书店杳无踪迹，据说是因为版权问题。

C国外一些公司不明说裁员，而是给出几种让员工很难接受的“选择”，使员工只得主动请辞，有人说这是明修栈道，暗度陈仓。

2009年某某省高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕〔2009•某某〕假如复数z=〔x2﹣1〕+〔x﹣1〕i为纯虚数，如此实数x的值为〔〕A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1【考点】复数的根本概念．【专题】计算题．【分析】复数z=〔x2﹣1〕+〔x﹣1〕i为纯虚数，复数的实部为0，虚部不等于0，求解即可．【解答】解：由复数z=〔x2﹣1〕+〔x﹣1〕i为纯虚数，可得x=﹣1应当选A．【点评】此题考查复数的根本概念，考查计算能力，是根底题．2．〔5分〕〔2009•某某〕函数的定义域为〔〕A．〔﹣4，﹣1〕B．〔﹣4，1〕C．〔﹣1，1〕D．〔﹣1，1]【考点】对数函数的定义域；函数的定义域与其求法．【专题】计算题．【分析】由题意知，解得﹣1＜x＜1，由此能求出函数的定义域．【解答】解：由题意知，函数的定义域为，解得﹣1＜x＜1，应当选C．【点评】此题考查对数函数的定义域，解题时要注意不等式组的解法．3．〔5分〕〔2009•某某〕全集U=A∪B中有m个元素，〔∁U A〕∪〔∁U B〕中有n个元素．假如A∩B非空，如此A∩B的元素个数为〔〕A．mnB．m+nC．n﹣mD．m﹣n【考点】Venn图表达集合的关系与运算．【专题】数形结合．【分析】要求A∩B的元素个数，可以根据绘制出满足条件的韦恩图，根据图来分析〔如解法一〕，也可以利用德摩根定理解决〔如解法二〕．【解答】解法一：∵〔C U A〕∪〔C U B〕中有n个元素，如下列图阴影局部，又∵U=A∪B中有m个元素，故A∩B中有m﹣n个元素．解法二：∵〔C U A〕∪〔C U B〕=C U〔A∩B〕有n个元素，又∵全集U=A∪B中有m个元素，由card〔A〕+card〔C U A〕=card〔U〕得，card〔A∩B〕+card〔C U〔A∩B〕〕=card〔U〕得，card〔A∩B〕=m﹣n，应当选D．【点评】解答此类型题目时，要求对集合的性质与运算非常熟悉，除教材上的定义，性质，运算律外，还应熟练掌握：①〔C U A〕∪〔C U B〕=C U〔A∩B〕②〔C U A〕∩〔C U B〕=C U 〔A∪B〕③card〔A∪B〕=card〔A〕+card〔B〕﹣card〔A∩B〕等．4．〔5分〕〔2009•某某〕假如函数，如此f〔x〕的最大值是〔〕A．1B．2C．D．【考点】同角三角函数根本关系的运用．【分析】先对函数f〔x〕=〔1+tanx〕cosx进展化简，再根据x的X围求最大值．【解答】解：f〔x〕=〔1+tanx〕cosx=cosx+sinx=2sin〔x+〕∵0≤x，∴≤x+∴f〔x〕∈[1，2]应当选B．【点评】此题主要考查三角函数求最值问题．一般都是先将函数式进展化简再求值，这里一定要注意角的取值X围．5．〔5分〕〔2009•某某〕设函数f〔x〕=g〔x〕+x2，曲线y=g〔x〕在点〔1，g〔1〕〕处的切线方程为y=2x+1，如此曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处切线的斜率为〔〕A．4B．﹣C．2D．﹣【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率．【专题】计算题．【分析】欲求曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处切线的斜率，即求f′〔1〕，先求出f′〔x〕，然后根据曲线y=g〔x〕在点〔1，g〔1〕〕处的切线方程为y=2x+1求出g′〔1〕，从而得到f′〔x〕的解析式，即可求出所求．【解答】解：f′〔x〕=g′〔x〕+2x．∵y=g〔x〕在点〔1，g〔1〕〕处的切线方程为y=2x+1，∴g′〔1〕=2，∴f′〔1〕=g′〔1〕+2×1=2+2=4，∴y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处切线斜率为4．应当选：A．【点评】此题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关根底知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于根底题．6．〔5分〕〔2009•某某〕过椭圆+=1〔a＞b＞0〕的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，假如∠F1PF2=60°，如此椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．【解答】解：由题意知点P的坐标为〔﹣c，〕或〔﹣c，﹣〕，∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=〔a2﹣c2〕．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣〔舍去〕．应当选B．【点评】此题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的根底知识和分析推理的能力．7．〔5分〕〔2009•某某〕〔1+ax+by〕n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，如此a，b，n的值可能为〔〕A．a=2，b=﹣1，n=5B．a=﹣2，b=﹣1，n=6C．a=﹣1，b=2，n=6D．a=1，b=2，n=5【考点】二项式系数的性质．【分析】据〔1+ax+by〕n展开式中不含x的项是n个〔1+ax+by〕都不出ax即〔1+ax+by〕n展开式中不含x的项的系数绝对值的和就是〔1+by〕n展开式中系数绝对值的和，同样的道理能得不含y的项的系数绝对值的和，列出方程解得．【解答】解：不含x的项的系数的绝对值为〔1+|b|〕n=243=35，不含y的项的系数的绝对值为〔1+|a|〕n=32=25，∴n=5，，将各选项的参数取值代入验证知，a=1，b=2，n=5应当选D．【点评】利用分步乘法原理得展开式中各项的情况．8．〔5分〕〔2009•某某〕数列{a n}的通项a n=n2〔cos2﹣sin2〕，其前n项和为S n，如此S30为〔〕A．470B．490C．495D．510【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】利用二倍角的公式化简可得一个三角函数，根据周期公式求出周期为3，可化简S30，求出值即可．【解答】解：由于{cos2﹣sin2}以3为周期，故S30=〔﹣+32〕+〔﹣+62〕+…+〔﹣+302〕=∑[﹣+〔3k〕2]=∑[9k﹣]=﹣25=470应当选A【点评】考查学生会求数列的和，掌握三角函数周期的计算方法．9．〔5分〕〔2009•某某〕如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，如此在如下命题中，错误的为〔〕A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【考点】空间点、线、面的位置．【专题】空间位置关系与距离．【分析】结合图形，逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC⊥AM，∴M为BC中点，同理可证，连接交AB于P，如此P为AB中点，∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥，故A正确．对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如下列图，显然OB与平面ACD不平行．如此答案B不正确．对于C，AD和OB成的角，即为AD和AE成的角，即∠DAE=45°，故C正确．对于D，二面角D﹣OB﹣A即平面FDBO与下底面AEBO成的角，故∠FOA为二面角D﹣OB﹣A的平面角，显然∠FOA=45°，故D正确．综上，应当选：B．【点评】此题主要考查直线和平面的位置关系，直线和平面成的角、二面角的定义和求法，结合图形分析答案，增强直观性，属于中档题．10．〔5分〕〔2009•某某〕为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一X卡片，集齐3种卡片可获奖，现购置该食品5袋，能获奖的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】3种不同的卡片分别编号1、2、3，购置该食品5袋，能获奖的情况有两种①〔5X 中有3X一样的〕12311；12322；12333；②〔5X中有2X一样的〕12312；12313；12323，且两事件互斥，根据概率的加法公式可求【解答】解析：获奖可能情况分两类：①12311；12322；12333；②12312；12313；12323．①P1=，②P2=，∴P=P1+P2==．应当选D【点评】此题主要考查了古典概率的计算，在试验中，假如事件的发生不只一种情况，且两事件不可能同时发生，求解概率时，利用互斥事件的概率求解．还要熟练应用排列、组合的知识．11．〔5分〕〔2009•某某〕一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径〞，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率〞，下面四个平面区域〔阴影局部〕的周率从左到右依次记为τ1，τ2，τ3，τ4，如此如下关系中正确的为〔〕A．τ1＞τ4＞τ3＞τ2B．τ3＞τ4＞τ1＞τ2C．τ4＞τ2＞τ3＞τ1D．τ3＞τ2＞τ4＞τ1【考点】三角形的面积公式．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意设出边长，求出四个图形的直径，四个图形的周长，计算它们的比值，即可比拟大小．【解答】解：由题意，设图形的边长或直径为a，如此第一个图的直径为a，后三个图形的直径都是a，第一个封闭区域边界曲线的长度为4a，所以t1=，第二个封闭区域边界曲线的长度为×2，所以t2==π；第三个封闭区域边界曲线的长度为a+2×+2×2×=3a，所以t3==3，第四个封闭区域边界曲线的长度为2a，所以t4==2，所以τ4＞τ2＞τ3＞τ1应当选C．【点评】此题是中档题，考查具体图形的周长的求法，考查计算能力，考查发现问题解决问题的能力．12．〔5分〕〔2009•某某〕设函数的定义域为D，假如所有点〔s，f〔t〕〕〔s，t∈D〕构成一个正方形区域，如此a的值为〔〕A．﹣2B．﹣4C．﹣8D．不能确定【考点】二次函数的性质．【专题】常规题型；计算题；压轴题．【分析】此题考查的是二次函数的性质问题．在解答时可以先将问题转化为方程，因为一个方程可以求解一个未知数．至于方程的给出要充分利用好“构成一个正方形区域〞的条件．【解答】解：由题意可知：所有点〔s，f〔t〕〕〔s，t∈D〕构成一个正方形区域，如此对于函数f〔x〕，其定义域的x的长度和值域的长度是相等的，f〔x〕的定义域为ax2+bx+c≥0的解集，设x1、x2是方程ax2+bx+c=0的根，且x1＜x2如此定义域的长度为|x1﹣x2|==，而f〔x〕的值域为[0，]，如此有，∴，∴a=﹣4．应当选B．【点评】此题考查的是二次函数的性质问题．在解答的过程当中充分表现了问题转化的思想、解方程的思想以与运算的能力．值得同学们体会反思．二.填空题：本大题共4小题，每一小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上13．〔4分〕〔2009•某某〕向量=〔3，1〕，=〔1，3〕，=〔k，7〕，假如〔〕∥，如此k=5．【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量与应用．【分析】由题意可得=〔3﹣k，﹣6〕，由〔〕∥，可得〔3﹣k，﹣6〕=λ〔1，3〕，解出k 值．【解答】解：由题意可得=〔3﹣k，﹣6〕，∵〔〕∥，∴〔3﹣k，﹣6〕=λ〔1，3〕，∴3﹣k=λ，﹣6=3λ，解得k=5，故答案为5．【点评】此题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到〔3﹣k，﹣6〕=λ〔1，3〕，是解题的关键．14．〔4分〕〔2009•某某〕正三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于半径为2的球，假如A，B两点的球面距离为π，如此正三棱柱的体积为8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】由中正三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于半径为2的球，假如A，B两点的球面距离为π，我们易求出∠AOB的大小，进而求出棱柱底面棱长，进而求出棱柱的高和底面面积，代入棱柱体积公式，即可求出答案．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于半径为2的球又∵A，B两点的球面距离为π，故∠AOB=90°，又∵△OAB是等腰直角三角形，∴AB=2，如此△ABC的外接圆半径为如此O点到平面ABC的距离为∴正三棱柱高h=，又∵△ABC的面积S=∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S•h=8．故答案为：8【点评】此题考查的知识点是棱柱的体积公式，球内接多面体，其中根据条件计算出棱柱的底面面积和高是解答此题的关键．15．〔4分〕〔2009•某某〕假如不等式≤k〔x+2〕﹣的解集为区间[a，b]，且b﹣a=2，如此k=．【考点】其他不等式的解法．【专题】压轴题．【分析】此不等式属根式不等式，两边平方后再解较繁，可以从数形结合寻求突破．【解答】解：设y1=，y2=k〔x+2〕﹣，如此在同一直角坐标系中作出其图象草图如所示y1图象为一圆心在原点，半径为3的圆的上半局部，y2图象为过定点A〔﹣2，﹣〕的直线．据此，原不等式解集可理解为：半圆上圆弧位于直线下方时圆弧上点的横坐标x所对应的集合．观察图形，结合题意知b=3，又b﹣a=2，所以a=1，即直线与半圆交点N的横坐标为1，代入y1==2，所以N〔1，2〕由直线过定点A知直线斜率k==．故答案为：．【点评】数形结合是研究不等式解的有效方法，数形结合使用的前提是：掌握形与数的对应关系．根本思路是：①构造函数f〔x〕〔或f〔x〕与g〔x〕〕，②作出f〔x〕〔或f〔x〕与g〔x〕〕的图象，③找出满足题意的曲线〔局部〕，曲线上点的横坐标为题目的解，并研究解的特性来确定解题的切入点．16．〔4分〕〔2009•某某〕设直线系M：xcosθ+〔y﹣2〕sinθ=1〔0≤θ≤2π〕，对于如下四个命题：A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数n〔n≥3〕，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是BC〔写出所有真命题的代号〕．【考点】命题的真假判断与应用；过两条直线交点的直线系方程．【专题】简易逻辑．【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+〔y﹣2〕sinθ=1〔0≤θ≤2π〕表示圆x2+〔y﹣2〕2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点〔0，2〕是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．C．对于任意整数n〔n≥3〕，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．【解答】解：因为点〔0，2〕到直线系M：xcosθ+〔y﹣2〕sinθ=1〔0≤θ≤2π〕中每条直线的距离d==1，直线系M：xcosθ+〔y﹣2〕sinθ=1〔0≤θ≤2π〕表示圆x2+〔y﹣2〕2=1的切线的集合，A．由于直线系表示圆x2+〔y﹣2〕2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点〔0，2〕不可能，故A不正确；B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M〔0，2〕即符合条件，故B正确；C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n〔n≥3〕，存在正n 边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；D．如如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC 型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故本命题不正确．故答案为：BC．【点评】此题考查直线系方程的应用，要明确直线系M中直线的性质，依据直线系M表示圆x2+〔y﹣2〕2=1 的切线的集合，结合图形，判断各个命题的正确性．此题易因为观察不知直线系所具有的几何特征而导致后两个命题的真假无法判断，对问题进展深入分析是发现其意义的捷径．三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．〔12分〕〔2009•某某〕设函数f〔x〕=，〔1〕求函数f〔x〕的单调区间；〔2〕假如k＞0，求不等式f′〔x〕+k〔1﹣x〕f〔x〕＞0的解集．【考点】函数的单调性与单调区间；简单复合函数的导数；不等式．【分析】〔1〕对函数f〔x〕进展求导，当导数大于0时是单调递增区间，当导数小于0时是原函数的单调递减区间．〔2〕将f'〔x〕代入不等式即可求解．【解答】解：〔1〕∵f〔x〕=∴由f'〔x〕=0，得x=1，因为当x＜0时，f'〔x〕＜0；当0＜x＜1时，f'〔x〕＜0；当x＞1时，f'〔x〕＞0；所以f〔x〕的单调增区间是：[1，+∝〕；单调减区间是：〔﹣∞，0〕，〔0，1]〔2〕由f'〔x〕+k〔1﹣x〕f〔x〕==＞0，得：〔x﹣1〕〔kx﹣1〕＜0，故：当0＜k＜1时，解集是：{x|1＜x＜}；当k=1时，解集是：φ；当k＞1时，解集是：{x|＜x＜1}．【点评】此题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减性的问题．当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．18．〔12分〕〔2009•某某〕某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进展评审．假设评审结果为“支持〞或“不支持〞的概率都是．假如某人获得两个“支持〞，如此给予10万元的创业资助；假如只获得一个“支持〞，如此给予5万元的资助；假如未获得“支持〞，如此不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．〔1〕写出ξ的分布列；〔2〕求数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量与其分布列．【专题】应用题．【分析】〔1〕ξ的所有取值为0，5，10，15，20，25，30，然后根据相互独立事件的概率公式解之，得到分布列；〔2〕利用数学期望公式Eξ=ξ1×p1+ξ2×p2+ξ3×p3+…+ξn×p n直接解之即可．【解答】解：〔1〕ξ的所有取值为0，5，10，15，20，25，30；依此类推；；；所以其分布列为：ξ0 5 10 15 20 25 30P〔2〕∴数学期望Eξ=15【点评】此题主要考查了离散型随机变量的期望以与分布列．同时考查了相互独立事件的概率以与计算能力，属于根底题．19．〔12分〕〔2009•某某〕△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin〔B﹣A〕=cosC．〔1〕求A，C；〔2〕假如S△ABC=，求a，c．【考点】余弦定理的应用；两角和与差的余弦函数；正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】〔1〕先根据同角三角函数的根本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin〔B﹣A〕=cosC可求出答案．〔2〕先根据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案．【解答】解：〔1〕因为所以左边切化弦对角相乘得到sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB，所以sin〔C﹣A〕=sin〔B﹣C〕．所以C﹣A=B﹣C或C﹣A=π﹣〔B﹣C〕〔不成立〕即2C=A+B，C=60°，所以A+B=120°，又因为sin〔B﹣A〕=cosC=，所以B﹣A=30°或B﹣A=150°〔舍〕，所以A=45°，C=60°．〔2〕由〔1〕知A=45°，C=60°∴B=75°∴sinB=根据正弦定理可得即：∴a=S=acsinB==3+∴c2=12∴c=2∴a==2【点评】此题主要考查同角三角函数的根本关系和正弦定理与三角形面积公式的应用．对于三角函数这一局部公式比拟多，要强化记忆．20．〔12分〕〔2009•某某〕在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N 〔1〕求证：平面ABM⊥平面PCD；〔2〕求直线CD与平面ACM所成的角的大小；〔3〕求点N到平面ACM的距离．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间向量与应用．【分析】法一：〔1〕要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；〔2〕先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h，即可求直线PC与平面ABM所成的角；〔3〕先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h，再利用第二问的结论即可得到答案．法二：建立空间直角坐标系，〔2〕求出平面ACM的一个法向量，结合然后求出即可．〔3〕先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，再利用向量的射影公式直接求点P到平面ACM距离h即可得到结论．【解答】解：方法一：〔1〕图1依题设知，AC是所作球面的直径，如此AM⊥MC．又因为P A⊥平面ABCD，如此PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，如此CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD．〔2〕由〔1〕知，AM⊥PD，又PA=AD，如此M是PD的中点可得，如此设D到平面ACM的距离为h，由V D﹣ACM=V M﹣ACD即，可求得，设所求角为θ，如此，．〔3〕可求得PC=6．因为AN⊥NC，由〔7〕，得PN=〔8〕．所以NC：PC=5：9〔9〕．故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的．又因为M是PD的中点，如此P、D到平面ACM的距离相等，由〔2〕可知所求距离为．方法二：〔1〕同方法一；〔2〕如图2所示，建立空间直角坐标系，如此A〔0，0，0〕，P〔0，0，4〕，B〔2，0，0〕，C〔2，4，0〕，D〔0，4，0〕，M〔0，2，2〕；设平面ACM的一个法向量，由可得：，令z=1，如此．设所求角为α，如此，所以所求角的大小为．〔3〕由条件可得，AN⊥NC．在Rt△PAC中，PA2=PN•PC，所以，如此，，所以所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h如此，所以所求距离为．【点评】此题考查直线与平面所成的角，平面与平面垂直的判定，三垂线定理，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．再用空间向量求线面角时，关键是求出平面的法向量以与直线的方向向量．21．〔12分〕〔2009•某某〕点P1〔x0，y0〕为双曲线〔b为正常数〕上任一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于P2．〔1〕求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程；〔2〕设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q〔x1，y1〕〔y1≠0〕，直线QB，QD分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆过两定点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】〔1〕由得，如此直线F2A的方程为：y=﹣〔x ﹣3b〕，令x=0得P2〔0，9y0〕，设P〔x，y〕，如此，由此能求出P的轨迹E的方程．〔2〕在中，令y=0得x2=2b2，设，直线QB的方程为：，直线QD的方程为：，如此M〔0，〕，N〔0，〕，由此能导出以MN为直径的圆过两定点〔﹣5b，0〕，〔5b，0〕．【解答】解：〔1〕由得，如此直线F2A的方程为：y=﹣〔x﹣3b〕，令x=0得y=9y0，即P2〔0，9y0〕，设P〔x，y〕，如此，即代入得：，即P的轨迹E的方程为．〔2〕在中令y=0得x2=2b2，如此不妨设，于是直线QB的方程为：，∴直线QD的方程为：，如此M〔0，〕，N〔0，〕，如此以MN为直径的圆的方程为：，令y=0得：，而Q〔x1，y1〕在上，如此，于是x=±5b，即以MN为直径的圆过两定点〔﹣5b，0〕，〔5b，0〕．【点评】此题考查轨迹方程的求法和求证以MN为直径的圆过两定点．解题时要认真审题，熟练掌握圆锥曲线的性质，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进展等价转化．22．〔14分〕〔2009•某某〕各项均为正数的数列{a n}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有．〔1〕当时，求通项a n；〔2〕证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有．【考点】数列与不等式的综合．【专题】综合题；压轴题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】〔1〕由，令m=1，p=2，q=n﹣1，并将代入化简，可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求数列的通项；〔2〕记为b m+n，如此，考察函数，如此在定义域上有，从而对n∈N*，b n+1≥g〔a〕恒成立，结合，即可得证．【解答】〔1〕解：由得．将代入化简得．所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，从而，即．〔2〕证明：由题设的值仅与m+n有关，记为b m+n，如此．考察函数，如此在定义域上有故对n∈N*，b n+1≥g〔a〕恒成立又，注意到，解上式得，取，即有．【点评】此题考查数列递推式，考查赋值法的运用，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．。