一道高考解析几何题的求解及其推广

一道高考解析几何题的求解及其推广2011年全国高考（山东卷）数学理科试题第22题（压轴题）是一道解析几何题，以椭圆为背景，涉及三角形、定值、最值以及探索性问题等知识，综合性比较强，尽管山东省这么多考生只是为数不多的学生得了满分，仔细分析试题难度并不太大，解题路子也比较宽，可以多个角度进行求解。

若进一步对试题研究可发现该试题的结论可进行推广，得到一类曲线的相应性质，颇具有一定学习价值。

下面对高考题进行多角度求解及其推广，以飨读者。

高考题目 已知动直线l 与椭圆C ：22132xy+=交于()()1122,,,P x y Q x y 两不同点，且OPQ ∆的面积2O PQ S ∆=，其中O 为坐标原点．（Ⅰ）证明：2212x x +和2212y y +均为定值；（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点,,D E G ，使得2O D E O D G O EG S S S ∆∆∆===？若存在，判断D E G ∆的形状；若不存在，请说明理由．试题求解证明：（Ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，由()11,P x y 在曲线C 上，则2211132x y +=，而112OPQ S x y ∆==，则11,12x y ==.于是22123x x +=，22122y y +=.当直线l 的斜率存在，设直线l 为y kx t =+，代入22132xy+=可得2223()6x kx t ++=，即222(23)6360k x ktx t +++-=， 0∆>，即2222364(23)(36)0k t k t -+->，整理得2223k t +>2121222636,2323kt t x x x x kk-+=-=++12PQ x =-==d =11222PO Q S d PQ ∆=⋅⋅==解得22322k t +=，满足0∆>222221212122263(2)()2()22323kt t x x x x x x kk-+=+-=--⨯++22222224222366(2)3(32)3(2)342k t t k t t t tttt-+--=-===，222222121212222(3)(3)4()2333y y x x x x +=-+-=-+=，综上可知22123x x +=，22122y y +=.另证1：若点11(,)P x y 不在y 轴上时，直线1111:,0O P y l y x x y y x x =-=，点22(,)Q x y 到直线O P l的距离为d =，即121211222PO Q S O P d x y y x ∆===-=则1212x y y x -=当1212x y y x -=12122)x y y x =-而2211132x y +=，2222132x y +=，则2222122203232x y x y -++-=，即220x y x y +-=，于是2222122133,22x y x y ==，而222212123(1),3(1)22y y x x =-=-则22123x x +=，22122y y +=。

同理当1212x y y x -=时可得22123x x +=，22122y y +=。

若点11(,)P x y 在y 轴上时，点(0,P ，而2O PQ S ∆=，则点(0)Q ，此时结论22123x x +=，22122y y +=也成立。

综上可知22123x x +=，22122y y +=。

另证2：由题意可设),Pαα )Qββ12211sin cos sin )2S x y x y αβαβαβ∆=-=-=-因为2O PQ S ∆=，则sin()1αβ-=±，即()2k k παβπ-=+∈Z则222222123cos 3cos 3(cos sin )3x x αβαα+=+=+=，222222122sin 2sin 2(sin cos )2y y αβαα+=+=+=.（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，由（Ⅰ）知1212O M x PQ =⋅=⨯=当直线l 的斜率存在时，由（Ⅰ）知122332232x x kt k kt+=-=-+，2212123221()2222y y x x kt k t t t tt t++-=+=-+=-+=，2222222121222222949443(22)11()()(3)2244442x x y y k k t om ttttt++++-=+=+===-2222222222224(32)6(1)6(22)21(1)2(2)(23)k t k t PQk k ttt+-++-=+===++2222211(23)25(3)(2)44OMPQtt+=-+=≤，当且仅当221132tt-=+，即t = 即OM PQ ⋅52≤。

综上可知OM PQ ⋅的最大值为52。

另证1：222222121212121[()()][()()]4O MPQx x y y x x y y ⋅=+++⋅-+-22222121212121{[()()][()()]}16x x y y x x y y ≤++++-+-22222212121125()(32)444x x y y =+++=+=，即52O M P Q ⋅≤另证2：222222121212124()()()()OMPQx x y y x x y y +=++++-+-222212122[()()]2(32)10x x y y =+++=+=224252O MP QO M P Q +≤=，即52O M P Q ⋅≤，当且仅当2OM PQ ==故OM PQ ⋅的最大值为52。

另证3：设设),P αα )Qββ，则cos sin ))M αβαβ++由（Ⅰ）知()2k k παβπ-=+∈Z ，22222243(cos cos )2(sin sin )3(cos cos )2(sin sin )OMPQαβαβαβαβ+=++++-+-22226(cos cos )4(sin sin )αβαβ=+++22226(cos sin )4(sin cos )10αααα=+++=224252O MP QO M P Q +≤=，即52O M P Q ⋅≤当且仅当2OM PQ ==故OM PQ ⋅的最大值为52。

（Ⅲ）假设曲线C 上存在三点,,D E G ，使得2O D E O D G O EG S S S ∆∆∆===，由（Ⅰ）知2222223,3,3D E E G G D x x x x x x +=+=+=，2222222,2,2D E E G G D y y y y y y +=+=+=.解得22232D E G x x x ===,2221D E G y y y ===，因此,,D E G x x x 只能从2±中选取，,,D E G y y y 只能从1中选取，因此,,D E G 只能从(,1)2±±中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与2O D E O D G O EG S S S ∆∆∆===故曲线C 上不存在三点,,D E G ，使得2O D E O D G O EG S S S ∆∆∆===。

另证：由（Ⅰ）另证2可知，若2O D E O D G O EG S S S ∆∆∆===，则向量,,O D O E O G 两两所成的角均为2π，则必有三点,,D O E 、或三点,,D O G 、或三点,,E O G 共线，这与2O D E O D G O EG S S S ∆∆∆===矛盾。

故曲线C 上不存在三点,,D E G ，使得2O D E O D G O EG S S S ∆∆∆===。

试题推广 已知动直线l 与曲线C ：221(0,0)xym n mn+=>>交于()11,,P x y()22,Q x y 两不同点，且OPQ ∆的面积2O PQ S ∆=，其中O 为坐标原点．（Ⅰ）证明：2212x x +和2212y y +均为定值；（Ⅱ）若线段PQ 的中点为M ，则OM PQ ⋅的最大值为m 与n 的算术平均数。

（Ⅲ）曲线C 上是否存在三点,,D E G ，使得2O D E O D G O EG S S S ∆∆∆===？若存在，判断D E G ∆的形状；若不存在，请说明理由．通过上述推广可以看出，此题的结论不仅仅局限于焦点在x 轴上的椭圆有，对于焦点在y 轴上的椭圆也有，甚至圆也有类似的结论，但若曲线C 表示圆时第（Ⅱ）问不再是最大值，而是一定值（圆的半径）。

对于本试题的推广的证明可以仿照上述高考试题的求解进行解决（请读者自行证明或求解），在此不再给出证明或求解。