2016年陕西省西安一中高考一模试卷数学文

2016年普通高等学校招生全国统一考试【陕西省】文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。

写在本试卷上无效。

3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,2,3},B={x|x 2<9},则A ∩B=( ) A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}2.设复数z 满足z+i=3-i,则z =( ) A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i3.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )A.y=2sin (2x -π6) B.y=2sin (2x -π3) C.y=2sin (x +π6)D.y=2sin (x +π3)4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12πB.323π C.8π D.4π5.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )A.12B.1 C.32D.26.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-43B.-34C.√3D.27.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.3109.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( )A.7B.12C.17D.3410.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( )A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=√x11.函数f(x)=cos 2x+6cos (π2-x)的最大值为( ) A.4B.5C.6D.712.已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x 2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i=1mx i =( )A.0B.mC.2mD.4m第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a ∥b,则m= .14.若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x +y -3≥0,x -3≤0,则z=x-2y 的最小值为 .15.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b= . 16.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.18.(本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010 (Ⅰ)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(Ⅱ)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(Ⅲ)求续保人本年度平均保费的估计值.19.(本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(Ⅰ)证明:AC⊥HD';(Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=2√2,求五棱锥D'-ABCFE的体积.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(Ⅰ)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.21.(本小题满分12分)已知A是椭圆E:x24+y23=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(Ⅰ)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(Ⅱ)当2|AM|=|AN|时,证明:√3<k<2.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD 中,E,G 分别在边DA,DC 上(不与端点重合),且DE=DG,过D 点作DF ⊥CE,垂足为F.(Ⅰ)证明:B,C,G,F 四点共圆;(Ⅱ)若AB=1,E 为DA 的中点,求四边形BCGF 的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25.(Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(Ⅱ)直线l 的参数方程是{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数),l 与C 交于A,B 两点,|AB|=√10,求l 的斜率.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x -12|+|x +12|,M 为不等式f(x)<2的解集. (Ⅰ)求M;(Ⅱ)证明:当a,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案第Ⅰ卷一. 选择题（1）【答案】D （2）【答案】C (3) 【答案】A (4) 【答案】A (5)【答案】D(6) 【答案】A(7) 【答案】C(8) 【答案】B(9)【答案】C(10) 【答案】D (11)【答案】B(12) 【答案】B二．填空题(13)【答案】6-(14)【答案】5-（15）【答案】2113（16）【答案】1和3三、解答题（17）(本小题满分12分) 【答案】（Ⅰ）235n n a +=；（Ⅱ）24. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 根据等差数列的性质求1a ，d ，从而求得n a ；（Ⅱ）根据已知条件求n b ，再求数列{}n b 的前10项和.试题解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：等茶数列的性质，数列的求和. 【结束】（18）(本小题满分12分) 【答案】（Ⅰ）由6050200+求P(A)的估计值；（Ⅱ）由3030200+求P(B)的估计值；（III ）根据平均值得计算公式求解. 【解析】 试题分析：试题解析：(Ⅰ)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为60500.55200+=， 故P(A)的估计值为0.55.（Ⅱ）事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30300.3200+=， 故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为：调查200名续保人的平均保费为0.850.300.25 1.250.15 1.50.15 1.750.3020.10 1.1925a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. 考点：样本的频率、平均值的计算. 【结束】（19）（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）694. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证//.AC EF 再证//.'AC HD （Ⅱ）证明.'⊥OD OH 再证'⊥OD 平面.ABC 最后呢五棱锥体积.试题解析：（I ）由已知得，,.⊥=AC BD AD CD又由=AE CF 得=AE CFAD CD，故//.AC EF由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD . （II ）由//EF AC 得1.4==OH AE DO AD 由5,6==AB AC 得 4.===DO BO所以1, 3.'===OH D H DH于是2222219,''+=+==OD OH D H 故.'⊥OD OH'ABCEF D -由（I ）知'⊥AC HD ，又,'⊥=AC BD BD HD H ，所以⊥AC 平面,'BHD 于是.'⊥AC OD 又由,'⊥=OD OH AC OH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC又由=EF DH AC DO 得9.2=EF 五边形ABCFE 的面积11969683.2224=⨯⨯-⨯⨯=S所以五棱锥体积169342=⨯⨯=V 考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积. 【结束】（20）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）220.x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程得点斜式可求曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（Ⅱ）构造新函数(1)()ln 1-=-+a x g x x x ，对实数a 分类讨论，用导数法求解. 试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，1()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+-f x x x x f x x x，(1)2,(1)0.'=-=f f 曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x 令(1)()ln 1-=-+a x g x x x ，则 222122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ，（i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，222(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；'ABCEF D -（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得1211=-=-+x a x a ，由21>x 和121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在2(1,)∈x x 单调递减，因此()0<g x .综上，a 的取值范围是(],2.-∞ 考点：导数的几何意义，函数的单调性. 【结束】（21）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k . 试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故1||2|AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k=-+，故同理可得||AN =.由2||||AM AN =得2223443kk k=++，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又260,(2)60f f =<=>，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在2)2k <<. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【结束】请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF ∆~∆再证,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）证明,Rt BCG Rt BFG ∆~∆四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍.试题解析：（I ）因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF ∆~∆则有,,DF DE DGGDF DEF FCB CF CD CB∠=∠=∠== 所以,DGF CBF ∆~∆由此可得,DGF CBF ∠=∠ 由此0180,CGF CBF ∠+∠=所以,,,B C G F 四点共圆.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ， 由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆ 因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点：三角形相似、全等，四点共圆 【结束】（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±. 【解析】试题分析：（I ）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（II ）先将直线l 的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得l 的斜率．试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 83αα==±，所以l . 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式. 【结束】（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x <-，1122x -≤≤和12x >三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．试题解析：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时，()2f x <； 当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此|||1|.a b ab +<+考点：绝对值不等式，不等式的证明. 【结束】一、选择题1.D 由已知得B={x|-3<x<3},∵A={1,2,3},∴A ∩B={1,2},故选D.2.C z=3-2i,所以z =3+2i,故选C.3.A 由题图可知A=2,T 2=π3-(-π6)=π2,则T=π,所以ω=2,则y=2sin(2x+φ),因为题图经过点(π3,2),所以2sin (2×π3+φ)=2,所以2π3+φ=2kπ+π2,k ∈Z,即φ=2kπ-π6,k ∈Z,当k=0时,φ=-π6,所以y=2sin (2x -π6),故选A.4.A 设正方体的棱长为a,则a 3=8,解得a=2.设球的半径为R,则2R=√3a,即R=√3,所以球的表面积S=4πR 2=12π.故选A. 5.D 由题意得点P 的坐标为(1,2).把点P 的坐标代入y=kx (k>0)得k=1×2=2,故选D.6.A 由圆的方程可知圆心为(1,4).由点到直线的距离公式可得√a 2+1=1,解得a=-43,故选A.7.C 由三视图知圆锥的高为2√3,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面积为12×4π×4=8π.圆柱的底面积为4π,圆柱的侧面积为4×4π=16π,从而该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π,故选C. 8.B 行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P=2540=58,故选B.9.C 执行程序框图,输入a 为2时,s=0×2+2=2,k=1,此时k>2不成立;再输入a 为2时,s=2×2+2=6,k=2,此时k>2不成立;再输入a 为5,s=6×2+5=17,k=3,此时k>2成立,结束循环,输出s 为17,故选C. 10.D 函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lgx 的值域为R,排除B,故选D.11.B f(x)=1-2sin 2x+6sin x=-2(sinx -32)2+112,当sin x=1时, f(x)取得最大值5,故选B.12.B 由题意可知f(x)的图象关于直线x=1对称,而y=|x -2x-3|=|(x-1)-4|的图象也关于直线x=1对称,所以两个图象的交点关于直线x=1对称,且每对关于直线x=1对称的交点的横坐标之和为2,所以∑i=1mx i =m,故选B.二、填空题 13.答案 -6解析 因为a ∥b,所以m 3=4-2,解得m=-6.14.答案 -5解析 由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线x-2y-z=0过点B(3,4)时,z 取得最小值,z min =3-2×4=-5.15.答案2113解析 由cos C=513,0<C<π,得sin C=1213. 由cos A=45,0<A<π,得sin A=35. 所以sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sin Acos C+sin Ccos A=6365,根据正弦定理得b=asinB sinA=2113.16.答案 1和3解析 丙的卡片上的数字之和不是5,则丙有两种情况:①丙的卡片上的数字为1和2,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和3,满足题意;②丙的卡片上的数字为1和3,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和2,这时甲与乙的卡片上有相同的数字2,与已知矛盾,故情况②不符合,所以甲的卡片上的数字为1和3.祝福语祝你考试成功!。

2016年陕西省西安一中高考一模试卷数学文一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x2-2x＞0}，则A∩B=( )A.{3}B.{2，3}C.{-1，3}D.{0，1，2}解析：由B中不等式变形得：x(x-2)＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={-1，0，1，2，3}，∴A∩B={-1，3}.答案：C.2.若z(1+i)=i(其中i为虚数单位)，则|z|等于( )A.2B.2C.1D.1 2解析：∵z(1+i)=i，∴()()()1111122i ii izi i i-===-++-，∴2z==.答案：A.3.设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解.因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如-2＞-3，但(-2)2＜(-3)2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如(-3)2＞(-2)2，但-3＜-2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件.即“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件.答案：D4.已知5125()sinπα+＝，那么cosα=( )A.2 5 -B.1 5 -C.1 5D.2 5解析：5122225 sin sin sin cos πππαπααα+=++=+==（）（）（）.答案：C.5.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是( )A.1B.2C.4D.7解析：由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i ≤3，即i=1，2，3.模拟程序的运行结果，即可得到输出的S 值. 当i=1时，S=1+1-1=1； 当i=2时，S=1+2-1=2； 当i=3时，S=2+3-1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4. 答案：C.6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1解析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA ⊥底面ABC ，PA=2，AB ⊥BC ，AB=BC=1. ∴21111222ABCSAB BC ⨯⨯⨯＝＝＝.因此111123323ABCV S PA =⨯⨯=⨯⨯=. 答案：B.7.在函数①y=cos 丨2x 丨，②y=丨cosx 丨，③y=cos(2x+6π)④y=tan(2x-4π)中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③解析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论.①y=cos 丨2x 丨=cos2x ，它的最小正周期为22ππ=， ②y=丨cosx 丨的最小正周期为1221ππ=， ③y=cos(2x+π6)的最小正周期为22ππ=， ④y=tan(2x-π4)的最小正周期为2π. 答案：A.8.已知D 为△ABC 的边BC 的中点，△ABC 所在平面内有一个点P ，满足PA PB PC =+，则PD AD的值为( )A.13B.12C.1D.2解析：如图所示，∵PA PB PC =+，∴PA 是平行四边形PBAC 的对角线，PA 与BC 的交点即为BC 的中点D. ∴1PD AD=.答案：C.9.已知a ＞0，实数x ，y 满足：()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若z=2x+y的最小值为1，则a=( )A.2B.1C.12 D.14解析：作出不等式对应的平面区域，(阴影部分)由z=2x+y，得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+z的截距最小，此时z最小.即2x+y=1，由121xx y⎧⎨+⎩＝＝，解得11xy⎧⎨-⎩＝＝，即C(1，-1)，∵点C也在直线y=a(x-3)上，∴-1=-2a，解得a=12.答案：C.10.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C的方程是( )A.221 34x y+＝B.221 43x y+＝C.221 42x y+＝D.221 43x y+＝解析：由题意设椭圆的方程为22221x ya b+＝ (a＞0，b＞0).因为椭圆C 的右焦点为F(1，0)，所以c=1，又离心率等于12， 即12c a ＝，所以a=2，则b 2=a 2-c 2=3.所以椭圆的方程为22143x y +＝. 答案：D.11.在△ABC 中，A=60°，D 是AB 边上的一点，BCD 的面积为1，则AC 的长为( )解析：∵BCD 的面积为1，∴121DCB ∠=，∴sin DCB ∠=，则cos DCB ∠= 则BD 2=CB 2+CD 2-2CD ·CBcos ∠DCB=4，得BD=2，在△BDC 中，由余弦定理可得2cos BDC ∠==- ∴∠BDC=135°，∠ADC=45°，在△ADC 中，∠ADC=45°，A=60°，由正弦定理可得，45AC sin ︒∴3AC =.答案：D.12.已知函数()2ln xf x x x=-，则函数y=f(x)的大至图象是( )A.B.C.D.解析：由题意可得，函数的定义域x ≠0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足f(-1)=f(1)=1，可排除B 、C 两个选项. ∵当x ＞0时，ln x lnx t x x==在x=e 时，t 有最小值为1e ，∴函数()2lnx y f x x x ==-，当x ＞0时满足()210y f x e e=≥-＞， 因此，当x ＞0时，函数图象恒在x 轴上方，排除D 选项.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知a 与b 为两个不共线的单位向量，若向量a b +与向量ka b -垂直，则实数k= . 解析：∵向量a b +与向量ka b -垂直， ∴它们的数量积为零，即：()()0a bka b +-=.∴()2210ka k a b b +--=…①. ∵a 与b 为两个单位向量， ∴221a b ==.所以①式化为：()110k k a b +--= 即：()()110k a b --= ∵单位向量a 与b 不共线，∴110a b a b -≠⇒＜. 因此：k=1.答案：114.若曲线y=ax 2-lnx 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，则a= . 解析：由题意得y ′＝2ax-1x， ∵在点(1，a)处的切线平行于x 轴， ∴2a-1=0，得a=12. 答案：12.15.设数列{a n }是首项为1，公比为-2的等比数列，则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|= .解析：∵数列{a n }是首项为1，公比为-2的等比数列，∴a n =a 1·q n-1=(-2)n-1， ∴a 1=1，a 2=-2，a 3=4，a 4=-8，∴则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=1+2+4+8=15， 答案：15.16.A 、B 、C 、D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=4，AB=2，则该球的表面积为 .解析：由题意画出几何体的图形如图，把A 、B 、C 、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A 的距离 为球的半径，AD=4，ABC 是正三角形，所以AE=2，所求球的表面积为：4π×(22=32π.答案：32π.三、解答题(本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.已知{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足2221n n n S a S =-.(Ⅰ)求证：数列{1nS }是等差数列. 解析：(Ⅰ)根据数列的递推关系进行化简结合等差数列的定义即可证明数列{1nS }是等差数列.答案：(Ⅰ)当n ≥2时，21221n n n n n S a S S S -=-=-，即S n-1-S n =2S n S n-1， 则1112n n S S --＝， 从而{1Sn}构成以1为首项，2为公差的等差数列.(Ⅱ)证明：1231113232n S S S S n +++⋯+＜. 解析：(Ⅱ)求出1n S n的通项公式，利用放缩法进行证明不等式.答案： (Ⅱ)∵{1nS }构成以1为首项，2为公差的等差数列， ∴1nS =1+2(n-1)=2n-1，即121n S n =-，∴当n ≥2时，()()1112122n S n n n n n =--＜. 从而123111111111313112322231222n S S S S n n n n +++⋯++-+-+⋯+---＜（）＜＜.18.截至2014年11月27目，我国机动车驾驶人数量突破3亿大关，年均增长超过两千万.为了解我地区驾驶预考人员的现状，选择A ，B ，C 三个驾校进行调查.参加各驾校科目一预考人数如下：若用分层抽样的方法从三个驾校随机抽取24人进行分析，他们的成绩如下：(Ⅰ)求三个驾校分别应抽多少人？ 解析：(Ⅰ)求出A 、B 、C 三个驾校的总人数，根据同一比例求出从三个驾校分别应抽的人数. 答案：(Ⅰ)∵A 、B 、C 三个驾校的人数分别是150、200、250， ∴从三个驾校分别应抽的人数是150246150200250⨯=++，200248150200250⨯=++，2502410150200250⨯=++.(Ⅱ)补全下面的茎叶图，并求样本的众数和极差.解析：(Ⅱ)根据表中数据，补全茎叶图，求出样本的众数与极差.答案：(Ⅱ)根据表中数据，补全茎叶图如图所示：根据茎叶图，得；样本的众数是92，极差是99-64=35.(3)在对数据进一步分析时，满足|x-96.5|≤4的预考成绩，称为具有M特性.在样本中随机抽取一人，求此人的预考成绩具有M特性的概率.解析：(3)求出满足|x-96.5|≤4的预考成绩的个数，计算满足条件的概率.答案：(3)根据题意，满足|x-96.5|≤4的预考成绩，有99、99、99、98、97、97、94、93、93共9个，在样本数据中随机抽取一人，则此人的预考成绩具有M特性的概率是38924P==.19.如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4.(Ⅰ)求证：AF∥平面BCE.解析：(Ⅰ)AF∥BE，BE平面BCE，AF平面BCE，运用判定定理可判断.答案：(Ⅰ)∵四边形ABEF为矩形，⊂⊂∴AF∥BE，BE⊂平面BCE，AF⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.(Ⅱ)求证：AC⊥平面BCE.解析：(Ⅱ)运用勾股定理可判断AC⊥BC，再根据线面的转化，AF⊥平面ABCD，AF∥BE，BE ⊥平面ABCD，BE⊥AC，得出AC⊥平面BCE.答案：(Ⅱ)过C作CM⊥AB，垂足为M，∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形，∴AM=MB=2∵AD=2，AB=4.∴CM=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∵BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE.(Ⅲ)求三棱锥E-BCF的体积.解析：(Ⅲ)CM⊥平面ABEF，V E-BCF=V C-BEF得出体积即可判断.答案：(Ⅲ)∵AF⊥平面ABCD，AF⊥CM，∵CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB=A，∴CM⊥平面ABEF，∴111242326E BCF C BEFV V BE CM--==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯.20.已知椭圆C：x2+2y2=4. (Ⅰ)求椭圆C的离心率.解析：(Ⅰ)椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为22142x y+＝，求出a，c，即可求椭圆C的离心率.答案：(Ⅰ)椭圆C ：x 2+2y 2=4化为标准方程为22142x y +＝， ∴a=2，∴椭圆C的离心率2c e a ==.(Ⅱ)设O 为原点，若点A 在直线y=2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值.解析：(Ⅱ)先表示出线段AB 长度，再利用基本不等式，求出最小值. 答案：(Ⅱ)设A(t ，2)，B(x 0，y 0)，x 0≠0，则 ∵OA ⊥OB ， ∴0OA OB =， ∴tx 0+2y 0=0，∴02y t x =-， ∵x 02+2y 02＝4，∴()()()()2222200000022202220000022002200202222(44444284042)y AB x t y x y x x y x x y x x x x x x =-+-=++---=+++=+⎛⎫ ⎪⎝⎭++=++≤＜，因为2020842x x +≥ (0＜x 02≤4)，当且仅当202082x x =，即x 02=4时等号成立，所以|AB|2≥8.∴线段AB 长度的最小值为21.已知函数()1alnx bf x x x=++，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(Ⅰ)求a 、b 的值.解析：(Ⅰ)根据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a ，b 的值.答案：(Ⅰ) ()()221 1x a lnx b x f x x x ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+-'-＝. 由于直线x+2y-3=0的斜率为12-，且过点(1，1) 所以1122b a b ⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得11a b =⎧⎨=⎩.(Ⅱ)证明：当x ＞0，且x ≠1时，()1lnxf x x -＞. 解析：(Ⅱ)构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式. 答案：(Ⅱ)由(I)知()11lnx f x x x=++， 所以()2211211lnx x f x lnx x x x ⎛---⎪--⎫⎝⎭＝. 考虑函数()21)20(x h x lnx x x--＝＞， 则()()()222222112x x x h x x x x---'--＝＝， 所以当x ≠1时，h ′(x)＜0而h(1)=0， 当x ∈(0，1)时，h(x)＞0可得()2101h x x -＞； 当x ∈(1，+∞)时，h(x)＜0，可得()2101h x x-＞. 从而当x ＞0且x ≠1时，()01lnx f x x --＞即()1lnxf x x -＞.请考生在22.23.24三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分.22.已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ：BC=1：2，BA 、CD 的延长线交于点E ，且EF 切⊙O 于F.(Ⅰ)求证：EB=2ED.解析：(Ⅰ)根据圆内接四边形的性质，可得∠EAD=∠C ，进而可得△AED ∽△CEB ，结合相似三角形的性质及已知可得结论.答案：(Ⅰ)∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠EAD=∠C ， 又∵∠DEA=∠BEC ， ∴△AED ∽△CEB ，∴ED ：EB=AD ：BC=1：2， 即EB=2ED.(Ⅱ)若AB=2，CD=5，求EF 的长.解析：(Ⅱ)根据切割线定理可得EF 2=ED ·EC=EA ·EB ，设DE=x ，由AB=2，CD=5构造方程，解得DE ，进而可得EF 长. 答案：(Ⅱ)∵EF 切⊙O 于F.∴EF 2=ED ·EC=EA ·EB ，设DE=x ，则由AB=2，CD=5得： x(x+5)=2x(2x-2)，解得：x=3， ∴EF2=24，即.23.在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cos θ，直线l的参数方程为：24x y ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝(t 为参数)，两曲线相交于M ，N 两点.(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.解析：(Ⅰ)根据x=ρcos θ、y=ρsin θ，写出曲线C 的直角坐标方程；用代入法消去参数求得直线l 的普通方程.答案：(Ⅰ)根据x=ρcos θ、y=ρsin θ，求得曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ， 用代入法消去参数求得直线l 的普通方程x-y-2=0.(Ⅱ)若P(-2，-4)，求|PM|+|PN|的值.解析：(Ⅱ)把直线l 的参数方程代入y 2=4x，得到2408t -+＝，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，利用韦达定理以及|PM|+|PN|=|t 1+t 2|，计算求得结果.答案：(Ⅱ)直线l的参数方程为：24x y ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝(t 为参数)， 代入y 2=4x，得到2408t -+＝，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则 t 1+t 2t 1·t 2=48，∴|PM|+|PN|=|t 1+t 224.设函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a ＞1)，且f(x)的最小值为3.(Ⅰ)求a 的值.解析：(Ⅰ)由条件利用绝对值的意义可得|a-4|=3，再结合a ＞1，可得a 的值.答案：(Ⅰ)函数f(x)=|x-4|+|x-a|表示数轴上的x 对应点到4、a 对应点的距离之和，它的最小值为|a-4|=3， 再结合a ＞1，可得a=7.(Ⅱ)若f(x)≤5，求满足条件的x 的集合.解析：(Ⅱ)把f(x)≤5等价转化为的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.答案：(Ⅱ)2114473472117x x f x x x x x x -+⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-⎩，＜（）， ，＞，故由f(x)≤5可得， 42115x x ⎧⎨-+≤⎩＜ ①，或4735x ≤≤⎧⎨≤⎩②，或 72115x x ⎧⎨-≤⎩＞ ③.解①求得3≤x ＜4，解②求得4≤x ≤7，解③求得7＜x ≤8， 所以不等式的解集为[3，8].。

西安市第一中学2016届高三第二学期第一次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合{}02-2x ≤))(+(=x x M ，N={x|x ﹣1＜0}，则M∩N=( )A ．{x|﹣2≤x＜1}B ．{x|﹣2≤x≤1} C．{x|﹣2＜x≤1} D．{x|x ＜﹣2}2.设i 是虚数单位，则复数（1﹣i ）(1+2i ）=( )A ．3+3iB ．﹣1+3iC ．3+iD ．﹣1+i 3.已知函数f （x ）为奇函数，且当x ＜0时，f （x ）=2x 2﹣1，则f （1）的值为( )A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣24.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 的离心率为( )A ．B ．2C ．D ．5.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A ．B ．C ．D ．6.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于（ ） A ．1 B ． 725- C ．257 D ．2524- 7.已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan （α﹣4π）等于( ) A ．3 B ．﹣3 C ． D ．8.下面命题中假命题是（ ）A ． ∀x ∈R ，3x ＞0B ． ∃α，β∈R ，使sin （α+β）=sinα+sinβ俯视图 主视图侧视图 342C ． ∃m ∈R ，使是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增D ． 命题“∃x ∈R ，x 2+1＞3x”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1＞3x”9. 执行如图所示的程序框图，则输出的S=( )A ．1023B ．512C ．511D ．25510.已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若=3，则|QF|=( )A ．B ．C ．3D ．6 11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积( )A.29πB.30πC.292πD.216π 12.若函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 有极值点x 1，x 2，且 f （x 1）=x 1＜x 2，则关于x 的方程3（f （x ））2+2af （x ）+b=0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.（a+x ）（1+x ）4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=______．14.已知p ：﹣2≤x≤11，q ：1﹣3m≤x≤3+m（m ＞0），若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为_______．15.如图，菱形ABCD 的边长为1，∠ABC=60°，E 、F 分别为AD 、CD 的中点，则=__________．16.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2ccosB=2a+b ，△ABC 的面积为S=123c ，则ab 的最小值为_______． 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3=7且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）令b n =lna n ，n=1，2，…，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.（本题满分12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：（1）求表中a ，b 的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和期望．19.（本题满分12分）如图，在三棱锥D -ABC 中，DA =DB =DC , D 在底面ABC 上的射影E ，AB ⊥BC ，DF ⊥AB 于F ．（Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面DEF ；（Ⅱ）若AD ⊥DC ，AC =4，∠BAC =60°，求直线BE 与平面DAB 所成的角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左右焦点分别为F 1,F 2，离心率为33，点M 在椭圆上，且满足MF 2⊥x 轴， 3341=MF . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线y =kx +2交椭圆于A ,B 两点，求△ABO （O 为坐标原点）面积的最大值.21.（12分）已知a ∈R ，函数f （x ）=xln （﹣x ）+（a ﹣1）x ．（Ⅰ）若f （x ）在x=﹣e 处取得极值，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）求函数f （x ）在区间[12,---e e ]上的最大值g （a ）．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时请在答题卡上涂黑所做题号.22.已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ：BC=1：2，BA 、CD 的延长线交于点E ，且EF 切⊙O 于F ．（Ⅰ）求证：EB=2ED；（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF的长．23.在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．24.设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且f（x）的最小值为3．（1）求a的值；（2）若f（x）≤5，求满足条件的x的集合．试卷答案1.A2.C3.B4.D5.C6.B7.B8.D9.C 10.B 11.A 12.A 13.3 14.[8，+∞） 15.16.17.解：（I ）设{a n }是公比q 大于1的等比数列，∵a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列，∴6a 2=a 3+4+a 1+3，化为6a 1q=+7+a 1，又S 3=a 1（1+q+q 2）=7， 联立解得a 1=1，q=2．∴a n =2n ﹣1．6分 （II ）b n =lna n =（n ﹣1）ln2，∴数列{b n }的前n 项和T n =21n )+(n ln2． 12分 18.解：（1）∵=50∴a==0.5，b==0.3 3分（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5设5天中该种商品有X 天的销售量为1.5吨，则X ～B （5，0.5）P （X=2）=C 52×0.52×（1﹣0.5）3=0.3125 7分②X 的可能取值为4，5，6，7，8，则p （X=4）=0.22=0.04 p （X=5）═2×0.2×0.5=0.2 p （X=6）═0.52+2×0.2×0.3=0.37 p （X=7）═2×0.3×0.5=0.3 p （X=8）=0.32=0.09 所有X 的分布列为：EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2． 12分19.（Ⅰ）如图，由题意知⊥DE 平面ABC所以 DE AB ⊥，又DF AB ⊥，所以 ⊥AB 平面DEF又⊂AB 平面ABD 所以平面⊥ABD 平面DEF ……4分（Ⅱ）如图建系，则)0,2,0(-A ，)2,0,0(D ，)0,1,3(-B ，所以)2,2,0(--=DA ，)2,1,3(--=DB设平面DAB 的法向量为),,(z y x n =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DB n DA n 得⎩⎨⎧=--=--023022z y x z y ，取)1,1,33(-=n设EB 与n 的夹角为θ，所以7213722||||cos ==⋅⋅=n EB nEB θ 所以BE 与平面DAB 所成的角的正弦值为721 8分 20.(I)由已知得3122=ac ，又由222c b a +=，可得223c a =，222c b =， 得椭圆方程为2222132x y c c +=，因为点M 在第一象限且x MF ⊥2轴，可得M 的坐标为23,3c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由334344221=+=c c M F ，解得1c =，所以椭圆方程为22132x y += 5分 (II)设()()1122,,,A x y B x y 将2+=kx y 代入椭圆，可得0612)23(22=+++kx x k 由0∆> ，可得0232>-k ，则有221221326,3212kx x k k x x +=+-=+ 所以23121822221+-=-k k x x 因为直线2+=kx y 与轴交点的坐标为)2,0( 所以OAB ∆的面积23)23(6223)1218(2221222221+-⨯=+-=-⨯⨯=k k k k x x S 令t k =-232 , 由①知),0(+∞∈t 2681662168624622≤++=++=+=tt t t t t t S 所以4=t 时，面积最大为26. 12分 21.解：（Ⅰ）f'（x ）=ln （﹣x ）+a ，由题意知x=﹣e 时，f'（x ）=0，即：f'（﹣e ）=1+a=0，∴a=﹣1∴f（x ）=xln （﹣x ）﹣2x ，f'（x ）=ln （﹣x ）﹣1令f'（x ）=ln （﹣x ）﹣1=0，可得x=﹣e令f'（x ）=ln （﹣x ）﹣1＞0，可得x ＜﹣e令f'（x ）=ln （﹣x ）﹣1＜0，可得﹣e ＜x ＜0∴f（x ）在（﹣∞，﹣e ）上是增函数，在（﹣e ，0）上是减函数， 6分（Ⅱ）f'（x ）=ln （﹣x ）+a ，∵x∈ ， ∴﹣x ∈ ， ∴ln（﹣x ）∈ ，①若a≥1，则f'（x ）=ln （﹣x ）+a≥0恒成立，此时f （x ）在上是增函数，f max（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1②若a≤﹣2，则f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在上是减函数，f max（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2③若﹣2＜a＜1，则令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a∵f'（x）=ln（﹣x）+a是减函数，∴当x＜﹣e﹣a时f'（x）＞0，当x＞﹣e﹣a时f'（x）＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上左增右减，∴f max（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，（13分）综上：（12分）22.证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD=∠C，又∵∠DEA=∠BEC，∴△AED∽△CEB，∴ED：EB=AD：BC=1：2，即EB=2ED；（Ⅱ）∵EF切⊙O于F．∴EF2=ED•EC=EA•EB，设DE=x，则由AB=2，CD=5得：x（x+5）=2x（2x﹣2），解得：x=3，∴EF2=24，即EF=223.解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x，用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则 t1+t2=12，t1•t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=．24.解：（1）函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到4、a对应点的距离之和，它的最小值为|a﹣4|=3，再结合a＞1，可得a=7．（2）f（x）=|x﹣4|+|x﹣7|=，故由f（x）≤5可得，①，或②，或③．解①求得3≤x＜4，解②求得4≤x≤7，解③求得7＜x≤8，所以不等式的解集为．。

西安市第一中学2016届高三第二学期第一次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{}0(+M，N={x|x﹣1＜0}，则M∩N=())(=xx2)-x≤2A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤1}C．{x|﹣2＜x≤1}D．{x|x＜﹣2}2.设i是虚数单位，则复数（1﹣i）(1+2i）=()A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i3.已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣1，则f（1）的值为()A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为()A．B．2 C．D．5.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A．B．C．D．6.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角俯视图主视图侧视图342为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于（） A ．1B ．725-C ．257D ．2524-7.已知向量=（cos α，﹣2），=（sin α，1），且∥，则tan （α﹣4π）等于() A ．3 B ．﹣3 C ． D ．8.下面命题中假命题是（ ） A ．∀x ∈R ，3x＞0B ．∃α，β∈R ，使sin （α+β）=sin α+sin βC ．∃m ∈R ，使是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增D ．命题“∃x ∈R ，x 2+1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1＞3x ” 9.执行如图所示的程序框图，则输出的S=()A ．1023B ．512C ．511D ．25510.已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点， 若=3，则|QF|=() A ．B ．C ．3D ．611.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示， 则该三棱锥的外接球表面积() A.29πB.30πC.292πD.216π 12.若函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 有极值点x 1，x 2，且 f （x 1）=x 1＜x 2，则关于x 的方程3（f （x ））2+ 2af （x ）+b=0的不同实根个数是() A ．3 B ．4 C ．5 D ．6二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.（a+x ）（1+x ）4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=______． 14.已知p ：﹣2≤x ≤11，q ：1﹣3m ≤x ≤3+m （m ＞0），若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为_______．15.如图，菱形ABCD 的边长为1，∠ABC=60°，E 、F 分别 为AD 、CD 的中点，则=__________．16.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2ccosB=2a+b ，△ABC 的面积为S=123c ，则ab 的最小值为_______．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3=7且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）令b n =lna n ，n=1，2，…，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.（本题满分12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下： （1）求表中a ，b 的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立， ①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和期望．19.（本题满分12分）如图，在三棱锥D -ABC 中，DA =DB =DC ,D 在底面ABC 上的射影E ， AB ⊥BC ，DF ⊥AB 于F ． （Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面DEF ； （Ⅱ）若AD ⊥DC ，AC =4，∠BAC =60°， 求直线BE 与平面DAB 所成的角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左右焦点分别为F 1,F 2，离心率为3，点M 在椭圆上，且满足MF 2⊥x 轴，3341=MF . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线y =kx +2交椭圆于A ,B 两点，求△ABO （O 为坐标原点）面积的最大值. 21.（12分）已知a ∈R ，函数f （x ）=xln （﹣x ）+（a ﹣1）x ． （Ⅰ）若f （x ）在x=﹣e 处取得极值，求函数f （x ）的单调区间； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[12,---e e ]上的最大值g （a ）．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请在答题卡上涂黑所做题号.22.已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ：BC=1：2，BA 、CD 的 延长线交于点E ，且EF 切⊙O 于F ． （Ⅰ）求证：EB=2ED ；（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF 的长．23.在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．24.设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且f（x）的最小值为3．（1）求a的值；（2）若f（x）≤5，求满足条件的x的集合．试卷答案1.A2.C3.B4.D5.C6.B7.B8.D9.C10.B11.A12.A13.314.[8，+∞）15.16.17.解：（I ）设{a n }是公比q 大于1的等比数列，∵a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列，∴6a 2=a 3+4+a 1+3，化为6a 1q=+7+a 1，又S 3=a 1（1+q+q 2）=7， 联立解得a 1=1，q=2．∴a n =2n ﹣1．6分（II ）b n =lna n =（n ﹣1）ln2，∴数列{b n }的前n 项和T n =21n )+(n ln2．12分18.解：（1）∵=50∴a==0.5，b==0.33分（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5 设5天中该种商品有X 天的销售量为1.5吨，则X ～B （5，0.5） P （X=2）=C 52×0.52×（1﹣0.5）3=0.31257分 ②X 的可能取值为4，5，6，7，8，则p （X=4）=0.22=0.04p （X=5）═2×0.2×0.5=0.2p （X=6）═0.52+2×0.2×0.3=0.37 p （X=7）═2×0.3×0.5=0.3p （X=8）=0.32=0.09所有X 的分布列为：EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2．12分 19.（Ⅰ）如图，由题意知⊥DE 平面ABC所以DE AB ⊥，又DF AB ⊥，所以⊥AB 平面DEF 又⊂AB 平面ABD 所以平面⊥ABD 平面DEF ……4分 （Ⅱ）如图建系，则)0,2,0(-A ，)2,0,0(D ，)0,1,3(-B ， 所以)2,2,0(--=，)2,1,3(--= 设平面DAB 的法向量为),,(z y x =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00得⎩⎨⎧=--=--023022z y x z y ，取)1,1,33(-=设与的夹角为θ，所以7213722||||cos ==⋅=n EB θ 所以BE 与平面DAB 所成的角的正弦值为7218分 20.(I)由已知得3122=ac ，又由222c b a +=，可得223c a =，222c b =， 得椭圆方程为2222132x y c c +=，因为点M 在第一象限且x MF ⊥2轴，可得M的坐标为c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由334344221=+=c c M F ，解得1c =，所以椭圆方程为22132x y +=5分 (II)设()()1122,,,A x y B x y 将2+=kx y 代入椭圆，可得0612)23(22=+++kx x k由0∆>，可得0232>-k ，则有221221326,3212k x x k k x x +=+-=+ 所以23121822221+-=-k k x x 因为直线2+=kx y 与轴交点的坐标为)2,0( 所以OAB ∆的面积23)23(6223)1218(2221222221+-⨯=+-=-⨯⨯=k k k k x x S 令t k =-232,由①知),0(+∞∈t 2681662168624622≤++=++=+=tt t t t t t S 所以4=t 时，面积最大为26.12分 21.解：（Ⅰ）f'（x ）=ln （﹣x ）+a ，由题意知x=﹣e 时，f'（x ）=0，即：f'（﹣e ）=1+a=0，∴a=﹣1 ∴f （x ）=xln （﹣x ）﹣2x ，f'（x ）=ln （﹣x ）﹣1 令f'（x ）=ln （﹣x ）﹣1=0，可得x=﹣e 令f'（x ）=ln （﹣x ）﹣1＞0，可得x ＜﹣e 令f'（x ）=ln （﹣x ）﹣1＜0，可得﹣e ＜x ＜0∴f （x ）在（﹣∞，﹣e ）上是增函数，在（﹣e ，0）上是减函数，6分 （Ⅱ）f'（x ）=ln （﹣x ）+a ，∵x ∈，∴﹣x ∈，∴ln （﹣x ）∈，①若a ≥1，则f'（x ）=ln （﹣x ）+a ≥0恒成立，此时f （x ）在上是增函数，f max（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1②若a≤﹣2，则f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在上是减函数，f max（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2③若﹣2＜a＜1，则令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a∵f'（x）=ln（﹣x）+a是减函数，∴当x＜﹣e﹣a时f'（x）＞0，当x＞﹣e﹣a时f'（x）＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上左增右减，∴f max（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，（13分）综上：（12分）22.证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD=∠C，又∵∠DEA=∠BEC，∴△AED∽△CEB，∴ED：EB=AD：BC=1：2，即EB=2ED；（Ⅱ）∵EF切⊙O于F．∴EF2=ED•EC=EA•EB，设DE=x，则由AB=2，CD=5得：x（x+5）=2x（2x﹣2），解得：x=3，∴EF2=24，即EF=223.解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x，用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=12，t1•t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=．24.解：（1）函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到4、a对应点的距离之和，它的最小值为|a﹣4|=3，再结合a＞1，可得a=7．（2）f（x）=|x﹣4|+|x﹣7|=，故由f（x）≤5可得，①，或②，或③．解①求得3≤x＜4，解②求得4≤x≤7，解③求得7＜x≤8，所以不等式的解集为．。