姜启源《数学模型》第三版课件ch2

第二章初等模型2.1 公平的席位分配2.2 录像机计数器的用途2.3 双层玻璃窗的功效2.4 汽车刹车距离2.5 划艇比赛的成绩2.6 实物交换2.7 核军备竞赛2.8 启帆远航2.9 量纲分析与无量纲化2.1公平的席位分配103 51.5 63 31.534 17.0结果10.815问题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。

若增加为21席，又如何分配。

比例加惯例对丙系公平吗系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲103 51.5 10.3 10乙63 31.5 6.3 6丙34 17.0 3.4 4总和200 100.0 20.0 2021席的分配比例1173―公平”分配方法衡量公平分配的数量指标人数席位A 方p 1n 1B 方p 2 n 2当p 1/n 1= p 2/n 2时，分配公平p 1/n 1–p 2/n 2~ 对A 的绝对不公平度p 1=150, n 1=10, p 1/n 1=15p 2=100, n 2=10, p 2/n 2=10p 1=1050, n 1=10, p 1/n 1=105p 2=1000, n 2=10, p 2/n 2=100p 1/n 1–p 2/n 2=5但后者对A 的不公平程度已大大降低!虽二者的绝对不公平度相同若p 1/n 1> p 2/n 2，对不公平A p 1/n 1–p 2/n 2=5公平分配方案应使r A , r B 尽量小设A, B 已分别有n 1, n 2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时p 1/n 1> p 2/n 2，即对A 不公平),(///21222211n n r n p n p n p A =-~ 对A 的相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义r B (n 1,n 2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即―公平”分配方法若p 1/n 1> p 2/n 2，定义1）若p 1/(n 1+1)> p 2/n 2，则这席应给A2）若p 1/(n 1+1)< p 2/n 2，3）若p 1/n 1> p 2/(n 2+1)，应计算r B (n 1+1, n 2)应计算r A (n 1, n 2+1)若r B (n 1+1, n 2) < r A (n 1, n 2+1), 则这席应给应讨论以下几种情况初始p 1/n 1> p 2/n 2问：p 1/n 1<p 2/(n 2+1)是否会出现？A 否!若r B (n 1+1, n 2) >r A (n 1, n 2+1), 则这席应给B当r B (n 1+1, n 2) < r A (n 1, n 2+1), 该席给Ar A , r B 的定义)1()1(11212222+<+n n p n n p 该席给A ,2,1,)1(2=+=i n n p Q i i i i 定义该席给Q 值较大的一方推广到m 方分配席位该席给Q 值最大的一方Q 值方法mi n n p Q i i i i ,2,1,)1(2 =+=计算，三系用Q 值方法重新分配21个席位按人数比例的整数部分已将19席分配完毕甲系：p 1=103, n 1=10乙系：p 2= 63, n 2= 6丙系：p 3= 34, n 3= 3用Q 值方法分配第20席和第21席第20席3.964334,5.947663,4.961110103232221=⨯==⨯==⨯=Q Q Q 第21席3221,,4.801211103Q Q Q =⨯=同上Q 3最大，第21席给丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q 值方法公平吗？Q 1最大，第20席给甲系进一步的讨论Q 值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？席位分配的理想化准则已知: m 方人数分别为p 1,p 2,… , p m , 记总人数为P = p 1+p 2+…+p m , 待分配的总席位为N 。

设理想情况下m 方分配的席位分别为n 1,n 2,… , n m(自然应有n 1+n 2+…+n m =N )，记q i =Np i /P , i =1,2, … , m , n i 应是N 和p 1, … , p m 的函数，即n i =n i (N ,p 1, … , p m )若q i 均为整数，显然应n i =q iq i =Np i /P 不全为整数时，n i 应满足的准则：记[q i ]–=floor(q i ) ~ 向≤q i 方向取整；[q i ]+ =ceil(q i ) ~ 向≥q i 方向取整.1) [q i ]–≤n i ≤[q i ]+ (i =1,2, … , m ),2) n i (N , p 1, … , p m ) ≤n i (N +1, p 1, … , p m ) (i =1,2, … , m )即n i 必取[q i ]–, [q i ]+ 之一即当总席位增加时，n i 不应减少―比例加惯例”方法满足1），但不满足2）Q 值方法满足2）,但不满足1）。

令人遗憾！问题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。

思考计数器读数是均匀增长的吗？2.2 录像机计数器的用途经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。

录像机计数器的工作原理主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数器录像带录像带运动方向录像带运动右轮盘半径增大右轮转速不是常数录像带运动速度是常数计数器读数增长变慢问题分析观察计数器读数增长越来越慢！模型假设•录像带的运动速度是常数v；•计数器读数n与右轮转数m成正比，记m=kn；•录像带厚度（加两圈间空隙）为常数w；•空右轮盘半径记作r；•时间t=0 时读数n=0.建模目的建立时间t与读数n之间的关系（设v,k,w ,r为已知参数）模型建立建立t 与n 的函数关系有多种方法1. 右轮盘转第i 圈的半径为r +wi,m 圈的总长度等于录像带在时间t 内移动的长度vt , 所以kn m =nvrk n vwkt ππ222+=∑==+mi vtwi r 1)(2π2. 考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即wvt r wkn r =-+])[(22πnvrk n v wkt ππ222+=3. 考察t 到t+dt 录像带在右轮盘缠绕的长度，有vdtkdn wkn r =+π2)(⇓⇓模型建立思考nvrk n vwkt ππ222+=3种建模方法得到同一结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释。

模型中有待定参数,,,,k v w r 一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。

∑==+m i vtwi r 1)(2πwvtr wkn r =-+])[(22πvdtkdn wkn r =+π2)(思考参数估计另一种确定参数的方法——测试分析将模型改记作,2bn an t +=只需估计a,b理论上，已知t =184, n =6061,再有一组(t, n )数据即可实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：t 0 20 40 60 80n 0000 1141 2019 2760 3413t 100 120 140 160 184n 4004 4545 5051 5525 6061用最小二乘法可得.1045.1,1061.226--⨯=⨯=b a模型检验应该另外测试一批数据检验模型：bn an t +=2)1045.1,1061.2(26--⨯=⨯=b a 模型应用回答提出的问题：由模型算得n = 4450 时t = 116.4分，剩下的录像带能录184-116.4= 67.6分钟的节目。

揭示了“t 与n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录像带的状态改变时，只需重新估计a,b 即可。

2d墙室内T 1室外T 2d d墙l 室内T 1室外T 2问题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失假设热量传播只有传导，没有对流T 1,T 2不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数建模热传导定律dTkQ ∆=Q 1Q 2Q ~单位时间单位面积传导的热量∆T ~温差, d ~材料厚度, k ~热传导系数2.3双层玻璃窗的功效dd墙l室内T 1室外T 2Q 1T a Tb 记双层玻璃窗传导的热量Q 1T a ~内层玻璃的外侧温度T b ~外层玻璃的内侧温度k 1~玻璃的热传导系数k 2~空气的热传导系数dT T k l T T k d T T k Q b b a a 212111-=-=-=dl h k k h s s d T T k Q ==+-=,,)2(212111建模记单层玻璃窗传导的热量Q 2dT T k Q 22112-=2d墙室内T 1室外T 2Q 2双层与单层窗传导的热量之比dl h k k h s s Q Q ==+=,,22212121Q Q <k 1=4⨯10-3 ~8 ⨯10-3, k 2=2.5⨯10-4, k 1/k 2=16 ~32对Q 1比Q 2的减少量作最保守的估计，取k /k =16dlh h Q Q =+=,18121)2(2111+-=s d T T k Q 建模hQ 1/Q 200.060.030.02模型应用取h =l/d =4, 则Q 1/Q 2=0.03即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。

结果分析Q 1/Q 2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数k 2, 而这要求空气非常干燥、不流通。

房间通过天花板、墙壁… …损失的热量更多。

dlh h Q Q =+=,18121双层窗的功效不会如此之大2.4 汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背景与问题•正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。

•实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：•后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样；建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。

问题分析常识：刹车距离与车速有关10英里/小时(≈16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(≈9米)>>车身的平均长度15英尺(=4.6米)―2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同刹车距离反应时间司机状况制动系统灵活性… …车速常数反应距离制动距离常数假设与建模1. 刹车距离d 等于反应距离d 1与制动距离d 2 之和2. 反应距离d 1与车速v 成正比3. 刹车时使用最大制动力F ，F 作功等于汽车动能的改变;vt d 11=F d 2=m v 2/2F ∝m21kvv t d +=t 1为反应时间21d d d +=且F 与车的质量m 成正比22k vd =•反应时间t 1的经验估计值为0.75秒参数估计•利用交通部门提供的一组实际数据拟合k21kvv t d +=模型最小二乘法⇒k=0.06计算刹车距离、刹车时间车速(英里/小时) (英尺/秒)实际刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）2029.342（44）39.0 1.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.2 2.15073.3173（186）187.8 2.56088.0248（268）261.4 3.070102.7343（372）347.1 3.680117.3464（506）444.84.3―2秒准则”应修正为“t 秒准则”22106.075.0vv kv v t d +=+=模型车速(英里/小时)刹车时间（秒）201.530 1.840 2.150 2.5603.070 3.6804.3车速（英里/小时）0~1010~4040~6060~80t （秒）12342.5划艇比赛的成绩赛艇2000米成绩t (分)种类 1 2 3 4 平均单人7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇长l 艇宽b(米) (米) l /b 7.93 0.293 27.09.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重w 0(kg)浆手数n 16.313.6 18.114.7对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。