(精品)数学讲义3分数指数幂(教师)

教师姓名 冯娜娜 学生姓名 年 级 初一 上课时间单击此处输入日期。

学 科数学课题名称分数指数幂1、分数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：(0)m nmna a a =≥，1(0)m nnmaa a-=>，其中m 、n 为正整数，1n >．上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数．2、有理数指数幂：整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂．3、有理数指数幂的运算性质：分数指数幂1=14a a -+【例12】化简：523107a a a a⋅⋅【答案】解：75a【习题1】 4的平方根是（ ）A ．2B ．2-C ．2±D ．4 【答案】C 【习题2】7-的立方根用符号表示是（ ）A ．37-±B ．37C ．37-D ．37-- 【答案】C【习题3】 下列说法正确的是（ ） A ．()4832-=-- B ．6427的立方根是43± C ．125-没有立方根 D ．立方根等于它本身的数是0和1【答案】A【习题4】 27-的立方根与9的平方根的和是（ ）A ．0B ．6C ．6-D ．0或6- 【答案】D 【习题5】 如果()012552=-x ，那么x 等于（ ）A ．5±B ．5C ．25D ．25- 【答案】A【习题6】 在实数1.414，23，Λ3030030003.0,341，4π-，3216，2131⎪⎭⎫⎝⎛--中，无理数的个。

一、教材分析1、教育教学目标：（1）知识目标：通过对根式的概念和性质研究，使学生理解、掌握分数指数幂的概念和性质。

（2）能力目标：通过对分数指数幂的基本性质的探究和应用，帮助学生通过问题解决获得数学知识；在交流过程中，养成表述、抽象、类比、推理、总结的思维习惯。

（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度、勇于探索和敢于创新的精神。

（4）情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。

2、教学重点、难点及关键重点：分数指数幂概念和性质；难点：负分数指数幂的理解；关键：类比转化数学思想的应用。

二、教学方法和手段（1）教学方法：观察发现、启发引导、探索相结合的教学方法。

启发、引导学生积极的思考并对学生的思维进行调控，帮助学生优化思维过程；在此基础上，提供给学生交流的机会，学生学会对自己的数学思想进行组织和澄清，并能清楚地、准确地表达自己的数学思想；能通过对其他人的思维和策略的考察扩展自己的数学知识和使用数学语言的能力。

学生会自觉地、主动地、积极地学习。

（2）教学手段：利用多媒体等教学手段。

主要目的，通过上述教学手段，再现知识产生的过程，尤其是多媒体的动态演示，提高了课堂的教学效率，节省了时间，激发了学生的学习兴趣。

三、教学过程四．教学设计说明1、学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。

有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性，为此先将平方根与立方根的概念扩充到 n 次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步介绍了分数指数幂及其运算性质。

这样设计的目的是讲清知识发生、形成的过程及引入根式、分数指数幂的必要性，激发学生的学习兴趣。

2、本课例是根式的拓展与延伸，处处注意与初中所学知识的类比，如根式与平方根、立方根的类比，分数指数幂与整数指数幂的类比，使知识的形成水到渠成，学生在原有认知的基础上进行有益的推广，其学习是主动的、积极的，知识形成是自然的，没有强加之嫌，在教师的引导下，学生始终处于“我要学”的状态，并自觉去探究新的教学任务。

初中数学备课组教师：班级：学生：日期：上课时间：学生情况：主课题：分数指数幂、实数的运算教学目标：1、学习将无理数用数轴上的点表示，理解实数与数轴上的点的对应关系；2、会求无理数的绝对值、相反数，会对实数进行大小比较；3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点—一对应；4、理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质。

教学重点：1、理解数轴为实数轴，并掌握实数的大小比较方法，理解实数的绝对值、相反数的意义；2、了解近似数与有效数字的概念.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值；3、理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质。

教学难点：1、探索同一数轴上两点的距离；2、了解近似数与有效数字的概念.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值。

考点及考试要求：基本内容 分数指数幂、实数的运算知识精要 一、分数指数幂1、整数指数幂运算性质 根式运算性质 (1)a m ·a n =a m +n (m ,n ∈Z )(2)(a m )n =a m ·n (m ,n ∈Z )nn a ＝⎩⎨⎧为偶数为奇数n a n a |,|;,(3)(a ·b )n =a n ·b n (n ∈Z ) 2、分数指数幂)0(1 )0(>=≥=-a aaa a anmnmnm nm（其中m 、n 为整数，1>n ）上面规定中的nma 和nm a -叫做分数指数幂，a 是底数。

3、有理数指数幂：整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂。

有理数指数幂的运算性质：设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么（ⅰ）q p q p a a a +=⋅，qp q p a a a -=÷ （ⅱ）pq q p a a =)(（ⅲ）pppb a ab =)(，p pp ba b a =)(二、实数的运算 1）用数轴的点表示实数1、一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

上海市七年级第二学期数学专题03 分数指数幂【考点剖析】1.分数指数幂：分数指数幂就是一个数的指数为 . 即 叫分数指数幂. 整数指数幂和分数指数幂统称为 .=（0a ≥）=（0a >）。

2.有理数指数幂的运算性质： 设0,0,a b >>,p q 为有理数，那么 （1）p q a a g ＝，p q a a ÷＝;（2）()p qa ＝;（3）_______(),_______pp a ab b ⎛⎫== ⎪⎝⎭【典例分析】例1 （松江2018期末7）计算：1416= . 例2 （浦东2018期末9）计算：113339⨯= .例3 （崇明2018期中8）把257写成方根的形式是 .例4 （普陀2018期末20例5 （浦东2018期末20）利用幂的性质计算（写出计算过程）【真题训练】 一、填空题1.（长宁2018期末4）计算：238= .2.（浦东四署2019期中9）把345表示成幂的形式是 . 3．（杨浦2019期中3）把753化成幂的形式是 .4.（松江2018期中4）５２３表示为分数指数幂是 .5．（闵行2018期末11）把写成幂的形式： ．6.（金山2018期中11347化成幂的形式是 .7.（浦东四署2019期中12）计算：1233)8+= .8.（杨浦2019期中4）计算：324()9-= .9.（普陀2018期中9）计算：1264-= . 10.（杨浦2019期末3）计算：2327= . 11.（宝山2018期末3）计算：113248⨯= . 三、解答题12.（浦东四署2019期中2136927313.（崇明2018期中19）计算：（4626482；（利用幂的运算性质计算）14.（松江2018期中2463816215.（虹口2018期中25）计算：11632(32)-⨯.16.（金山2018期中23）计算：1131322211()(2)()28-÷⨯.（结果表示为含幂的形式）17.（杨浦2018期末23）用幂的运算性质计算：111362132()()()2427-⨯÷.（结果表示为含幂的形式）18.（浦东四署2019期中22）计算：1201901(1)43-⎛⎫--+⨯ ⎪⎝⎭.19.（崇明2018期中19）计算：（5）123081(2272-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.20.（松江2018期中211301(3.14)27π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.21．（长宁2019期末21）计算：（2）1301()20.1252019|1|2--⨯++-；22．（闵行2018期末22）计算：111111332222(53)(53)-⨯+；23.（长宁2018期末20）利用幂的运算性质进行计算：3.24.（杨浦2018期末21）计算：012)--+-.专题03 分数指数幂【考点剖析】1.分数指数幂：分数指数幂就是一个数的指数为分数. 即m m nna a -和叫分数指数幂.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.mna =（0a ≥）m na-=（0a >）。

分数指数幂课时目标1. 理解分数指数幂的意义，会进行方根和分数指数幂间的转化；2. 理解有理数数指数幂的运算性质，并能熟练应用于计算；知识精要1. 分数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，规定：(0)m na a =≥m na-=(0)a >，其中m ，n 为正整数，1n >.m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数.注：当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数. 2. 有理数指数幂整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 3. 有理数指数幂运算性质设0,0a b >>，,p q 为有理数，那么 （1）()p q pq a a =，p q p q a a a -÷= （2）()p q pq a a =（3）(),()ppppp p a a ab a a b b==4. 分数指数幂的运算（1）应用幂的运算性质进行分数指数幂的运算.（2）将方根化成幂的形式后能运用幂的性质，可使运算简便，所得结果中如有分数指数幂一般应化为方根.热身练习1. 把下列方根化为幂的形式（1 （2） （3 解：原式132= 解：原式1310=- 解：原式145=±（4） （5 （6 解：原式13(7)=-- 解：原式=31a - 解：原式12()a =-说明：根据1na =0a ≥）进行求解，但要记住：当n 是偶数时，若0a <，则没有意义. 2. 计算（1）131()27- （2）238()27（3）121()16-解：原式13=- 解：原式49=解：原式14=-（4）0.57(1)9（5）12(32) （6）3121)64(解：原式43=解：原式= 解：原式=23. 计算（1）138()27（2）21331010⨯ （3）112228⨯解：原式=32解：原式=10 解：原式=4（4）111362a a a ÷g （5）211055(25)⨯ 解：原式=31a 解：原式=4004. 利用幂的运算性质运算：（1 （2 （3解：原式565= 解：原式=542 解：原式=1623g精解名题例1 计算（1）43555÷⋅ （2）251232)3(32)27(2-+---解：原式=1275 解：原式=－12（3）643321648⋅÷⋅ （4）1243aaa a ⋅⋅解：原式=312 解：原式=a（5）05321)15(125)259(+--- （6）34141331064.028|48|÷⨯--解：原式=323解：原式=5（7）4141241)21()41()21(+⋅+⋅-a a a （8）)4()2(3312161326561y x y x y x ⨯-÷解：原式=211644-a 解：原式=6y（9）212131])27[()3()6427(-+---- （10）22121])32()32[(--++解：原式=33834+- 解：原式=61例2 94,24==βα，求βα2122-的值.解：33232)4(4241212==÷=--βαβα例3 ）（，求下列各式的值已知121211:3--+=+x x xx ）（222-+x x解：由已知得：72)(221211=-+=+--x x x x∴472)(2122=-+=+--x x x x例4 的值，求已知32131313133124---++⨯⨯=a a a a . 解：由已知得：a =2 ∴原式=819例5 化简a b c解：原式=ac cb b a cb ba c a ba ac c b xxx --+--+--+⋅⋅111111))(())(())((=ac c b b a c b b a c a b a a c c b x-⋅-++-⋅-++-⋅-+111=1备选例题例1 已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+.解：（1）∵13x x -+= ∴ 11222()23x x -+-= ∴1122x x-+=（2）3322x x-+=113322()()x x -+=11122()(1)x x x x --+-+=例2 已知210(0)xaa =>，求x xx xa a a a --+-的值.解：222222()212.1;()28.1x x x x x x x x a a a a a a a a ----+=++=-=+-=∴原式=91181121=例3 已知：01522≤--x x ，化简25109622+--++x x x x . 解：∵ 01522≤--x x ∴ 0)3)(5(≤+-x x ∴ 53≤≤-x∴ 03≥+x ，05≤-x∴ 原式53)5()3(22--+=--+=x x x x 2253-=-++=x x x巩固练习1.用幂的形式表示下列各数 （1）635-323- 解：2166= 31355-=-21)32(32= 2133-=-（2）3m 错误!未找到引用源。

初一数学春季班（教师版）近似数的精确度、分数指数幂及运算知识结构.模块一：近似数的精确度知识精讲知识点：有关概念1．准确数概念：一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数．2．近似数概念：与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）．☆在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数．☆取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用）3．精确度概念：近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度．☆近似数的精确度通常有两种表示方法：（1）精确到哪一个数位；（2）保留几个有效数字．4．有效数字概念：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．【例1】 一个正数的平方是3，这个数的准确数_________；近似数（精确到千分之一位）是_______；近似数的有效数字有_______位，有效数字是_______． 【难度】★【答案】3； 1.732； 四； 1、7、3、2．【解析】3 1.732≈，所以有效数字是四位，有效数字是 1、7、3、2． 【总结】本题主要考查了准确度、近似数和有效数字的概念.【例2】 写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位?1)2000；2）4.523亿 ；3）57.3310⨯；4）0.00125．【难度】★【答案】1)有效数字：2、0、0、0，精确到个位；2）有效数字：4、5、2、3，精确到十万位；3)有效数字：7、3、3，精确到千位；4）有效数字：1、2、5，精确到十万分位．【解析】对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字， 叫做这个近似数的有效数字．【总结】解答此题的关键在于掌握近似数、有效数字与科学记数法的知识点．【例3】 用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．（1）0.008435(保留三个有效数字) ≈_________； （2）12.975(精确到百分位) ≈_________； （3）548203(精确到千位) ≈_________； （4）5365573(保留四个有效数字) ≈_________． 【难度】★【答案】（1）0.00844； （2）12.98； （3）55.4810⨯； （4）65.36610⨯． 【解析】（1）0.00844； （2）12.98； （3）55.4810⨯； （4）65.36610⨯． 【总结】解答本题的关键是理解有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．例题解析【例4】 已知 3.1415926π=，按四舍五入法取近似值．（1）π≈__________（保留五个有效数字）； （2）π≈_________（保留三个有效数字）；（3）0.045267≈_________（保留三个有效数字）．【难度】★★【答案】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或24.5310-⨯． 【解析】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或24.5310-⨯． 【总结】本题主要考查的是有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．【例5】 用四舍五入法得到：小智身高1.8米与小智身高1.80米，两者有什么区别? 【难度】★★【答案】精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位．【解析】根据末尾数字所在的数位解答，精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位. 【总结】本题主要考查了精确度的概念．【例6】 下列近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字? （1）3.201； （2）0.0010； （3）2.35亿； （4）107.6010⨯．【难度】★★【答案】（1）精确到千分位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有两个有效数字； （3）精确到百万位，有三个有效数字； （4）精确到亿位，有三个有效数字． 【解析】（1）精确到千分位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有两个有效数字； （3）精确到百万位，有三个有效数字； （4）精确到亿位，有三个有效数字． 【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．【例7】 废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量)．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为________立方米． 【难度】★★ 【答案】4310⨯．【解析】45060030000310⨯==⨯．【总结】本题主要考查了科学记数法的表示方法．1、有理数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：(0)m nmna a a =≥，1(0)m nnmaa a-=>，其中、n 为正整数，1n >．上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数．整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂． 2、有理数指数幂的运算性质：设0a >，0b >，p 、q 为有理数，那么 （1）p q p q a a a +⋅=，p q p q a a a -÷=； （2）()p q pq a a =；（3）()pppab a b =，()pp p a a b b=．【例8】 把下列方根化为幂的形式：（1）32； （2）310-； （3）28(5)-；（4）37--；（5）3a -；（6）a -．【难度】★【答案】（1）132； （2）1310-； （3）145； （4）137； （5）13a -； （6）12()a -． 【解析】（1）13322=； （2）1331010-=-；（3）21822884(5)555-===； （4）1333777--==；（5）1333a a a -=-=-； （6）12()a a -=-．【总结】本题主要考查的是将方根化为分数指数幂的运算．模块二：分数指数幂知识精讲例题解析【例9】把下列分数指数幂化为方根形式：（1）131()27-；（2）238()27；（3）121()16-；（4）1132(64)．【难度】★【答案】（1）（2（3）（4．【解析】（1）13127⎛⎫-=⎪⎝⎭；（2）23827⎛⎫=⎪⎝⎭（3）12116⎛⎫-=⎪⎝⎭（4）111362(64)64==【总结】本题考查了分数指数幂与根式之间的互换．【例10】化简：（1）111362a a a÷⋅；（2）8【难度】★【答案】（1）13a；（2）71338x y．【解析】（1）11111113623632a a a a a-+÷==；（2）1211111171 4423333336633 8888 x yx y x y xy x y x y===．【总结】本题主要考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【例11】计算下列各值：（1；（2）201713(4aa+．【难度】★★【答案】（1）565；（2）1-．【解析】（1151362555⨯=；（2）因为3030a a-≥-≥，，所以3a=，所以3a=或3-，因为30a-≠，所以3a=-．故当3a=-时，原式()2017133143⎛⎫⨯-⎪==-⎪-⎪⎪⎝⎭．【总结】本题考查了平方根有意义的条件及混合运算．【例12】计算下列各值：（1）1225232---+（2）11222[(23)(23)]-++．【难度】★★【答案】（1）12-；（2）16．【解析】（1）1225232---+4923=---+12=-；（2）()()21122 22-⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦=16=．【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用公式进行．【例13】计算：（1；（2）1112444111()()()242a a a-⋅++；（3）1521216636333(2)(4)x y x y x y÷-⨯．【难度】★★【答案】（1）a；（2）144116a⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）166x y-．【解析】（111113342341211121212a a a a aa aa a++===；（2）1114442111242a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1114442241114416a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）231521166363324x y x y x y⎛⎫⎛⎫÷-⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1225111633663666x y x y-+-+=-=-．【例14】 4249a b==，，求1222b a -的值．【难度】★★★．【解析】()112222242b a ba -=÷==． 【总结】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质.【例15】 已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+. 【难度】★★★【答案】（1； （2）【解析】（1）13x x -+=， 21112225x x x x --⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭，又11220x x-+>， 1122x x-∴+=（2）()3311122221x xx x x x ---⎛⎫+=++-= ⎪⎝⎭【总结】本题主要考查有理数指数幂的化简求值．【例16】 若11112333342133a a a a ---=⨯⨯++，求的值． 【难度】★★★【答案】198．【解析】()111133334214212a =⨯⨯=⨯⨯=，1231111933332488a a a ---∴++=⨯+⨯+=．【总结】本题主要考查了积的乘方的逆运算及分数指数幂和负指数幂的综合运算．【例17】 化简：a b c 【难度】★★★ 【答案】0或1．【解析】当0x =时，原式0=；当0x ≠时，b c c a a bb ca c a bxx----++()()()()()()b c a c a b a b c a a b b c b c c a xxx+++------=⋅⋅2222220()()()1b c c a a b a b b c c a xx -+-+----===．【总结】本题主要考查了含根式的化简，注意要分类讨论．【例18】 已知122a =，132b =，123c =，133d =，试用a b c d 、、、的代数式表示下列各数值．（1 （2 （3 （4【难度】★★★【答案】（1）20a ； （2）10d； （3）23b ； （4）【解析】（11220220a =⨯=； （213131010d =⨯=；（312112333334323223b =⨯=⨯=⨯⨯=；（411114222232(3)22c c =⨯=⨯==． 【总结】本题考查了根式与分数指数幂的相互转化问题．【例19】 已知：210(0)x xxxxa a a a a a --+=>-，求的值． 【难度】★★★【答案】119．【解析】222112121021010x x x x a a a a --+=++=++=（）， 又0x x a a -+>，x x a a -∴+=， 222181 21021010x x x x a a a a ---=+-=+-=（），又0x xa a-->， xxa a-∴-=， 119x x xx a a a a --+∴==-． 【总结】本题主要考查了负整数指数幂及乘法公式的综合应用．【例20】 材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：n a aa 个记为n a ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若n a b =（0a >且 1a ≠，0b >），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b n =）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）；（1）计算以下各对数的值：log 24=______，log 216=______，log 264=______；（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264之间又 满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗? log log a a M N +=______；（且1a ≠，M ＞0，N ＞0）． 【难度】★★★【答案】（1）2，4，6； （2）416=64⨯，222log 4log 16log 64+=；（3）log ()a MN ． 【解析】（1）2log 42=，2log 16=4，2log 646=；（2）416=64⨯，222log 4log 16log 64+=； （3）log log log ()a a a M N MN +=．【总结】本题考查学生对新概念的理解及运用．在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．实数运算常用到的公式有：2a a =；(0,0)ab a b a b =≥≥；(0,0)a aa b b b=≥>；2()(0)a a a =≥． 知识精讲模块三：实数的运算【例21】 5的整数部分为a ，小数部分为b ，则a b =_________．【难度】★ 【答案】945-．【解析】253<<，2a ∴=，52b =-，2(52)945a b ∴=-=-． 【总结】本题主要考查了无理数的估算及完全平方公式的运用．【例22】 计算：（1）321232416(80.1)3(2)(2)81-⎡⎤-÷-⨯---+-⎣⎦； （2）20152014(76)(67)+-； （3）()()2356315-++-．【难度】★★【答案】（1）19； （2）76+； （3）6563-．【解析】（1）32123241683(2)(2)81-⎡⎤-÷⨯---+-⎣⎦（-0.1）221410982(6)1339=-÷-⨯++=-÷-⨯=（）（-）；（2）()()201520147667-+()()201520147676=+-()()2014767676=+-=+；（3）()()2356315-++-()()32352+35=⨯-+-()()=3235235⎡⎤⎡⎤⨯--+-⎣⎦⎣⎦()23235⎡⎤=⨯--⎢⎥⎣⎦()3232155=⨯-+-6563=-．【总结】本题主要考查了实数的混合运算，注意能简算时要简算．例题解析【例23】 计-．【难度】★★【答案】2==【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用因式分解的思想去化简．【例24】 计算：（1）11032238[1(0.2)]4271000π--+--⨯-（2112133211127883---⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）7208-； （2）32．【解析】（1）原式2111111()3125125167⎡⎤=+--⨯-÷⎢⎥⎣⎦ 11723721201688=⨯-⨯=-=-；（2）原式()9382296922=----=+-=． 【总结】本题主要考查了实数的混合运算．【例25】 设：73121(3)(3)(1)8433M =÷-⨯-÷-，42211(2)(2)5()0.25326N =-÷+⨯--试比较113M 与1N -的大小． 【难度】★★【答案】1113M N >-．【解析】∵73121(3)(3)(1)8433M =÷-⨯-÷-15151051541031843381535=-÷⨯÷=-⨯⨯⨯=-， 42211(2)(2)5()0.25326N =-÷+⨯-- 42211(2)(2)5()0.2532664111116()9264=-÷+⨯--=÷+⨯--91114124=-- 1312=， ∴11=1313M -，131111212N -=-=-， ∴1113M N >-．【总结】本题主要考查了有理数的综合运算及大小比较．【例26】 已知实数x 、y 满足1142(3)(5)0x y x y -+++-=，求51238x y -+的值． 【难度】★★ 【答案】5．【解析】14(3)0x y -+≥，12(5)0x y +-≥， 3050x y x y -+=⎧∴⎨+-=⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩， 51238325x y -∴+=+=．【总结】本题主要考查了对算术平方根的理解及非负性的综合运用．【例27】 已知实数a 、b 、x 、y 满足21y a +=-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值． 【难度】★★★ 【答案】17．【解析】21y x a +-=-，21y a ∴=-，231x y b -=--，2222311x a b a b ∴-=----=--，223+0x a b ∴-=，0a ∴=，0b =，3x =， 1y ∴=，40222+217x y a b ++∴+==．【总结】本题主要考查了学生对实数非负性的应用．【例28】 先阅读下列的解答过程，然后再解答：的化简，只要我们找到两个数a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22m +=()a b >，这里7m =，12n =，由于4+3=7，4312⨯=即227+=2=（12；（3． 【难度】★★★【答案】（1； （2）3； （3）【解析】（113m =，42n =，6713+=，6742⨯=，即2213+==；（211m =，24n =，3811+=，3824⨯=，即2211+=，3；（359m =，864n =，322759+=，3227864⨯=，即2259+=． 【总结】本题主要考查了利用新概念对复合平方根进行化简求值．【例29】 已知111333421a =++，求12333a a a ---++的值． 【难度】★★★【答案】1．【解析】设132b =，则3211111b a b b b b -=++==--， 11a b -∴=-， 11b a -∴=+，3131231=33+1b a a a a ----∴=+++（），12333211a a a ---∴++=-=．【总结】本题主要考查了实数的运算和立方和公式的综合运用．一、填空题：【习题1】 下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（）A ．12()(0)x x x -=-> B ．1263(0)y y y =< C ．33441()(0)xx x-=>D ．133(0)xx x -=-≠【难度】★ 【答案】C【解析】12(0)x x x -=->，故选项A 错误； 1263(0)y y y =-<，故选项B 错误；1331xx-=，故选项D 错误．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的互化．【习题2】 下列近似数各精确到哪一个数位?各有几个有效数字? （1）2015；（2）0.6180；（3）7.20万；（4）55.1010⨯．【难度】★【答案】（1）精确到个位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有四个有效数字；（3）精确到百位，有三个有效数字； （4）精确到千位，有三个有效数字．【解析】（1）精确到个位，有四个有效数字为2、0、1、5；（2）精确到万分位，有四个有效数字为6、1、8、0； （3）精确到百位，有三个有效数字为7、2、0； （4）精确到千位，有三个有效数字为5、1、0．【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．【习题3】 把下列带根号的数写成幂的形式，分数指数幂化为带根号的形式：()432，13-，()754，536， 322-，343，324-， 237．【难度】★随堂检测【答案】432；123--；754；356．【解析】4432=；1212133-=-=-；7754=；356；3232122-==；343=3232144-==237=【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．【习题4】 比较大小：（1）与； （22+【难度】★★【答案】（1 （22>．【解析】（1）22- 8=-0=，；（2）22(2- 1110=+-10=>， 2+ 【总结】本题主要考查了利用平方法比较两个无理数的大小．【习题5】 把下列方根化为幂的形式． （1；（2（3）a ．【难度】★★【答案】（1）582； （2）5766a b ； （3）111144a b ． 【解析】（1582；（25766a b =； （3）311111124444aaaa ab a b =⋅=．【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．62+53+（1）2334(9)；（2）113339⨯；（3）1442(35)÷；（4）11632(32)-⨯；（5）833324(25)⨯；（6）7511266323(2)x y x y÷．【难度】★★【答案】（1）3；（2）3；（3）925；（4）98；（5）400；（6）116634x y．【解析】（1）231342(9)93==；（2）1112333339333⨯=⨯=；（3）1442229 (35)3525÷=÷=；（4）11623329 (32)328--⨯=⨯=；（5）83342324(25)251625400⨯=⨯=⨯=；（6）751752111266366366233(2)344x y x y x y xy x y ÷=÷=．【总结】本题主要考查了分数指数幂的运算，注意法则的准确运用．【习题7】利用幂的性质运算：（1）111222133()()()5525-⨯⨯；（2；（3）．【难度】★★【答案】（1）15；（2）4；（3）18．【解析】（1）1111122222111222 1331331 ()()()552555525---⨯⨯=⨯⨯=；（2213236222224⨯÷==；（3）1211333362332239218=⨯⨯⨯⨯=⨯=．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．（1；（2）111111332222113113⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）20142015⋅； （4）)11-+- 【难度】★★【答案】（1）763； （2）2； （3 （4）1-【解析】（1763；（2）11111113332222113113(113)2⎛⎫⎛⎫-⋅+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）201420152014(32)⋅=-=（4）)11-+11=【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．【习题9】 =，其中0ab ≠ 【难度】★★★【答案】57．【解析】(a a +=， 12a b ∴，120a b ∴=， 0∴=，=或=-， 16a b ∴=，165451647b b b b b b -+==++．【总结】本题考查了根式的化简求值问题，注意整体代入思想的运用．【习题10】化简求值：（1）已知：15a a-+=，求22a a-+；1122a a-+；1122a a--；（2）已知：223a a-+=，求88a a-+．【难度】★★★【答案】（1）23，7，3±；（2）18．【解析】（1）1222()225a a a a--+=++=，2223a a-∴+=；15a a-+=0a∴>，11220a a-∴+>，112122()27a a a a--+=++=，11227a a-∴+=；112122()23a a a a---=+-=，11223a a-∴-=±；（2）222(22)2229a a a a--+=++=，22227a a-∴+=，332288(2)(2)(22)(212)a a a a a a a a----+=+=+-+，883618a a-∴+=⨯=．【总结】本题主要考查了有理数指数幂的运算法则及其应用，综合性较强，注意对解题方法的归纳总结．【作业1】若25a=+，a的小数部分是b，则a b⋅的值是（）A．0B．1C．－1D．2【难度】★【答案】B．【解析】4255<+<，452b a∴=-=-，(52)(52)1a b∴⋅=+-=．【总结】本题主要考查了无理数的整数部分与小数部分的综合运用．【作业2】 下列语句中正确的是() A ．500万有7个有效数字B ．0.031用科学记数法表示为33.110-⨯C ．台风造成了7000间房屋倒塌，7000是近似数D ．3.14159精确到0.001的近似数为3.141 【难度】★ 【答案】C ．【解析】500万有三个有效数字，故选项A 错误；0.031用科学记数法表示为23.110-⨯，故选项B 错误； 3.14159精确到0.001的近似数为3.142，故选项D 错误．【总结】本题考查了科学记数法和有效数字的应用．【作业3】 按照要求，用四舍五入法对下列各数取近似值：（1）0.76589（精确到千分位）；（2）289.91（精确到个位）； （3）320541（保留三个有效数字）；（4）41.42310⨯（精确到千位）．【难度】★【答案】（1）0.766； （2）290； （3）53.2110⨯； （4）41.410⨯． 【解析】（1）0.765890.766≈； （2）289.91290≈；（3）5320541 3.2110≈⨯； （4）441.42310 1.410⨯≈⨯．【总结】本题主要考查的是近似数和有效数字以及科学记数法的综合运用．【作业4】 计算： （1；（2；（3．【难度】★★【答案】（1）565； （2）542； （3）．【解析】（1151362555⨯=； （2315424222⨯=； （311136223323⨯÷=⨯= 【总结】本题主要考查了无理数的乘除运算．（1（2【难度】★★【答案】（1）7125；（2）132．【解析】（1111111732342412 55555+-=⋅÷==；（25151112262632222222+-+=⋅÷⋅==．【总结】本题主要考查了根式的乘除运算．【作业6】计算：（1）129()25-；（2）111344(882-⨯；（3）11123227()([(]64----+；（4）11222[(2(23)]-+．【难度】★★【答案】（1）365；（2）11-；（3）43-+（4）16．【解析】（1）129()25-3351655=++=；（2）111344(882--⨯31442(28)225=--⨯÷65=--11=-；（3）11123227()([(]64----+4433=-+=-+；（4）11222[(23)(2]-+211221(23)(2=⎡⎤++⎢⎥⎣⎦16==．【总结】本题主要考查了根式及有理数指数幂的混合运算．（1；（2．【难度】★★★【答案】（1）35x-；（2）1724a．【解析】（135x-===；（21724a==．【总结】本题主要考查了根式的运算及有理数指数幂的化简．【作业8】设的整数部分为，小数部分为，求的立方根．【难度】★★★【答案】2-．【解析】122<<，1a∴=，1b=，22168161)81)8ab b∴--=-⨯-⨯=-，2168ab b∴--的立方根是2-．【总结】本题主要考查的是估算无理数的大小、立方根的定义及完全平方公式的综合应用．【作业9】如果223311320x a x bx x⎛⎫⎛⎫-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求232(43)a b b+-的值．【难度】★★★【答案】0．【解析】223311320x a x bx x⎛⎫⎛⎫-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33130x ax∴-+=，120x bx++=，3313x ax∴+=，2211()(1)3x x ax x∴+-+=，即211()()33x x ax x⎡⎤∴++-=⎢⎥⎣⎦，120x bx++=，12x bx∴+=-，22(43)3b b a∴--=，232(43)0a b b∴+-=．【总结】本题主要考查了非负数的性质及立方和公式的综合应用．0)a>2a b2816bab--【作业10】 已知21xa =，求33x xx xa a a a --++的值．【难度】★★★【答案】1．【解析】33x x x xa a a a--++22()(1)x x x x x x a a a a a a ---+-+=+ 221x x a a -=-+，221x a =， 21x a -∴，2211111x x a a -∴-+-=．【总结】本题主要考查指数幂的化简与求值，利用立方和公式是解决本题的关键．【作业11】 若[]x 表示不超过x 的最大整数（如2[]3[2]33π=-=-，等），求++的值． 【难度】★★★ 【答案】2016．【解析】++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦⎣⎦111=++⋅⋅⋅+ 2016=．【总结】本题主要考查了取整计算，正确利用已知条件中的概念及相关性质进行化简．。

2.3 分数指数幂和指数函数1．根式(1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n ＝a ，则x 叫做底数，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做a 的n 次方根，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号na 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a 的正的n 次方根用符号+n a 表示，负的n 次方根用符号-na 表示．正负两个n 次方根可以合写为±na (a ＞0)． ③(n a )n ＝a④当n 为奇数时，na n ＝a ；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n⑤负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0，记作00=n 。

2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝n a a a ∙∙∙个(n ∈N *)． ②零指数幂：a0＝1 (a≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝ pa 1 (a≠0，p ∈N*)．④正分数指数幂：nm nma a =(a>0，m 、n ∈N*，且n>1)． ⑤负分数指数幂：n m nm n m a a a 11==-(a>0，m 、n ∈N*，且n>1)．⑥0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①r a ·sr r a a += (a>0，r 、s ∈Q)；②rs s r a a =)( (a>0，r 、s ∈Q)；s r r a a ab =)((a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零 和1．2、指数函数的图象和性质函数值的分布情况如下：注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；（4）当底数a 大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。