高三数学09年《新课标》数学一轮复习 第三讲 函数的基本性质

《新课标》必修Ⅰ复习 第三讲 函数的基本性质一．课标要求1．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； 2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；二．命题走向从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。

预测2009年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。

预测明年的对本讲的考察是：（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。

三．要点精讲1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ，则称f (x )为偶函数。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否 ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 = 0，则f (x )是奇函数。

（3）函数的图像与性质：奇函数的图象关于 对称；偶函数的图象关于 对称； 2．单调性（1）定义： ；注意：① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；② 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是 或是 ，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有 ，区间D 叫做y =f (x )的 。

（3）判断函数单调性的方法（ⅰ）定义法：利用定义严格判断（ⅱ）利用已知函数的单调性如若()f x 、)(x g 为增函数，则①()f x +)(x g 为 ；②1()f x 为 （()f x ＞0）；为 （()f x ≥0）；④-()f x 为（ⅲ）利用复合函数【y = f （u ），其中u =g(x ) 】的关系判断单调性： 复合函数的单调性法则是“ ” （ⅳ）图象法（ⅴ）利用奇偶函数的性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反； （ⅵ）导数法 3．最值（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： ○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2 利用图象求函数的最大（小）值； ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 4．周期性（1）定义：如果存在一个 常数T ，使得对于函数定义域内的 ，都有 ，则称f (x )为周期函数；（2）f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(Tx f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||ωT 。

(3)设a 为非零常数，若对()f x 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立：①()()f x a f x +=-；②1()()f x a f x +=；③1()()f x a f x +=-；④()1()()1f x f x a f x ++=-；⑤1()()1()f xf x a f x -+=+；⑥()()f x a f x a +=-，则()f x 函数， 是它的一个周期（上述式子分母不为零）若()f x 同时关于x a =与x b =对称（a ＜b ），则()f x 是周期函数， 是它的一个周期；若()f x 关于x a =对称同时关于点（b,0）对称（b a ≠）则()f x 的一个周期T ＝ ；若()f x 关于（a ，0）对称同时关于（b ，0）对称，则()f x 是一个周期函数，周期T ＝ 。

四．典例解析题型一：判断函数的奇偶性 例1．讨论下述函数的奇偶性：);111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)()1(222+-+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=>-+=++=x x og x f x x x n x x x x n x f x f xxx （4）()(f x x =-例2．(2002天津文.16)设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①y =－|f （x ）|；②y =xf （x 2）；③y =－f （－x ）；④y =f （x ）－f （－x ）。

必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号）题型二：判断证明函数的单调性及单调区间 例 3.11x y x -=+的递减区间是 ；)23(log 221-+-=x x y 的单调递增区间是 。

例4．（1）已知函数)(x f =22++x x （R x ∈），证明函数y =)(x f 在R 上是单调递增函数；（2）说出函数4()f x x x=+（x >0）的单调区间，并给出证明。

巩固练习．已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+)(1x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论。

题型三：奇偶性与单调性的应用例5．⑴已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0，解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0。

⑵已知定义在R 上的函数y = f (x )满足f (2+x )= f (2－x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )=2x －1，求x ∈[－4，0]时f (x )的表达式。

例6．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (x )在［0，+∞］上是增函数，是否存在实数m ，使f (c os2θ－3)+f (4m －2mc os θ)>f (0)对所有θ∈［0,2π］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由。

例7．山东省潍坊市2008年高三教学质量检测已知函数bax cx x f ++=2)(为奇函数，)3()1(f f <，且不等式23)(0≤≤x f 的解集是]1,2[--∪]4,2[ （1）求a,b,c 。

（2）是否存在实数m 使不等式23)sin 2(2+≤+-m f θ对一切R ∈θ成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

例8．（2008上海文，19） 已知函数||1()22xx f x =-． （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．题型四：最值问题例9．设m 是实数，记M ={m |m >1}，f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2+m +11-m )。

(1)证明：当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M ；(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值；(3)求证：对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1。

题型五：周期问题例10（Ⅰ）. 函数y =)(x f 分别满足下列各式：（1）)()2(x f x f =+；（2）)()2(x f x f -=+；（3）)(1)2(x f x f =+；（4）)2()2(-=+x f x f ；（5）)1()1(x f x f --=+；（6）)2()2(x f x f -=+ 。

则能判断函数y =)(x f 具有周期性的式子有 （填上所有满足条件的序号）。

（Ⅱ）．若y =f (2x )的图像关于直线2a x =和)(2a b bx >=对称，则f (x )的一个周期为（ ）A ．2b a + B ．)(2a b - C ．2ab - D ．)(4a b - 例11．已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-。

①证明：(1)(4)0f f +=； ②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式； ③求()y f x =在[4,9]上的解析式。

【课外作业】1. 【08全国一1】函数y = ） A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2.【08全国二3】函数1()f x x x=-的图像关于（ ） A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称3.【08湖北卷4】函数1()f x x=的定义域为 A. (,4][2,)-∞-+∞ B. (4,0)(0.1)- C. [-4,0)(0,1] D. [4,0)(0,1)-4.【08重庆卷6】若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确的是 (A)f (x )为奇函数（B ）f (x )为偶函数 (C) f (x )+1为奇函数（D ）f (x )+1为偶函数5.【08陕西卷11】定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ ） A ．2B ．3C ．6D ．96.【08重庆卷4】已知函数M ,最小值为m ,则m M的值为(A)14(B)12(C)27．【08年四川延考卷理11】设函数()y f x =()x R ∈的图像关于直线0x =及直线1x =对称，且[0,1]x ∈时，2()f x x =，则3()2f -=（ ）A ．12 B ．14 C ．34 D ．948．【08年四川延考卷文142()cos f x x x -的最大值是____________．五．思维总结1．判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f (-x )= ±f (x ) f (-x ) +f (x )=0；2．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f (-x )=f (x )和f (-x )=-f (x )这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x ，都有f (-x )=f (x )，f (-x )=-f (x )的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。