华师大版八下数学-同步辅导-矩形判定在图中

3．如图，在▱ABCD中，点M为CD边的中点，且AM＝BM.求证：四边形ABCD是矩 形．
易证△AMD≌△BMC(SSS)，∴∠C＝∠D.又∵∠C＋∠D＝180°，∴∠C＝∠D＝ 90°，∴四边形ABCD是矩形
知识点❷：矩形的判定定理1——有三个角是直角的四边形是矩形 4．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合 作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( D ) A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量四边形其中的三个角是否都为直角
11．(安顺中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜
边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连结MN，则线 段MN的最小值为__15_2_．
12．(202X·连云港)如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形． (1)求证：四边形ACED是平行四边形； (2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形． 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC.∵点C是BE的中 点，∴BC＝CE，∴AD＝CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形 (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∵AB＝AE，∴DC＝AE，∵四边形 ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形
数学 八年级下册 华师版
第19章 矩形、菱形与正方形
19．1 矩形19．1.2 矩形的判定
知识点❶：有一个角是直角的平行四边形是矩形 1．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是( B ) A.AB＝BC B．∠ABC＝90° C．∠1＝∠2 D．AC⊥BD
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F， 连结DE，FD，当△ABC满足条件____∠__B__A_C_＝__9_0时°，四边形AEDF是矩形．

(3)
□ABCD
AC=BD
A
D
O
B
C
ABCD 是矩形四边形ABCD ຫໍສະໝຸດ 矩形ABCD 是矩形7
例1.已知,如图,平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H。求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：∵AB∥CD ∴∠ABC＋∠BCD=180° ∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD ∴∠GBC＝1/2∠ABC， ∠GCB＝1/2∠DCB ∴∠GBC + ∠GCB =1/2×180°=90 ° 即:∠BGC=90° 同理:∠AFB=∠AED=90° ∴四边形EFGH是矩形 ( ？ )
∴ 四边形ABCD是矩形 ( ? )
几何语言:
矩形判定定理1： 有三个角是直角的四边形是矩形.
∵∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形
想想：为何不说四个角是直角的四边形是矩形?
4
思考与探究
一天,小丽和吴娟到一个商店准备给今天要过生日的肖华买生 日礼物,选了半天,她们俩最后决定买相框送给她,在里面摆放她们 三个好朋友的相片,为了保证相框摆放的美观性,她们选择了矩形的 相框,那么她们是用什么方法可以知道她们拿的就是矩形相框呢?
∴四边形ABCD是矩形( ? ) 矩形判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
O
B
C
几何语言:
∵ 四边形ABCD是平行四边形, AC=BD
∴平行四边形ABCD是矩形
思考:对角线互相平分且
相等的四边形是矩形吗?
对角线相等且平分的四边形是矩形
6
归纳
(1)
□ABCD
∠A=90°
(2) ∠A=∠B=∠C=90°
二.选择:

5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：① AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝ OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的条件组合是( C) A．①②③ B．①②④ C．②⑤⑥ °，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝11，过
如图③，若点P是BC延长线上任意一点，其他条件不变，则PE，PF与CD有何 数量关系？请你写出结论并说明理由．
解：PE－PF＝CD，理由如下：过点C作CG⊥PE于点G，∵PE⊥AB， CD⊥AB，∴∠CDE＝∠DEG＝∠EGC＝90°，∴四边形CGED是矩形，∴CD ＝GE，CG∥AB，∴∠GCP＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠FCP ＝∠ACB＝∠B＝∠GCP，∴△PFC≌△PGC(AAS)，∴PF＝PG，∴PE－PF ＝PE－PG＝GE＝CD，即PE－PF＝CD
19．1 矩形
19．1.2 矩形的判定
第2课时 矩形的判定的应用
知识点：矩形的判定的相关应用 1．下列说法正确的是( D ) A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线垂直的四边形是矩形 D．四个角都是直角的四边形是矩形 2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB， 若∠OAD＝65°，则∠ODC等于( B ) A．15° B．25° C．45° D．65°
9．请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：如图①，已知△ABC中， AB＝AC，CD⊥AB，垂足是D，P是BC边上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂 足分别是E，F.
求证：PE＋PF＝CD. 证明思路：
如图②，过点P作PG∥AB交CD于G，则四边形PGDE为矩形，则PE＝GD；又 可证△PGC≌△CFP，则CG＝PF.所以PE＋PF＝DG＋GC＝CD.

【证明(zhèngmíng)】(1)连结AC. ∵∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2. ∵CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2. 又∵AD2+CD2=2AB2， ∴AB2+BC2=2AB2， ∴AB=BC.
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(2)过C点作CF⊥BE于F. ∵BE⊥AD,∴四边形CDEF是矩形( jǔxíng).
H分别为各边的中点,∴EF∥GH∥AC,
E F G H 1 A C ,E H F G 1 B D ,E H F G B D ,
2
2
∵DB⊥AC,∴EF⊥EH,∴四边形EFGH是矩形,
E H 1 B D 3 ， E F 1 A C 4 , H F E H 2 E F 2 5 .
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(2)①根据已知条件,初步得出四边形AECF是什么特殊(tèshū)四边形? 说明理由. 答:四边形AECF是平行四边形.理由: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,且AB=CD. ∵E,F分别是AB,CD的中点,
AE=1AB,CF=1CD.
∴AE=2CF.
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【证明(zhèngmíng)】∵EB=EC,∠AEB=∠DEC,EA=ED, ∴△ABE≌△DCE, ∴AB=DC.又∵AD=BC, ∴四边形ABCD为平行四边形.
∵△ABE≌△DCE,∴∠ABE=∠DCE. ∵EB=EC,∴∠EBC=∠ECB, ∴∠ABC=∠DCB. ∵∠ABC+∠DCB=180°,
(C)测量一组对角是否都为直角
(D)测量其中三角是否都为直角
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