直线与圆的方程

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第七章:直线和圆的方程

7.1:直线方程

一、直线方程

知识要点:

1. 直线的倾斜直角和斜率:

(1) 倾斜角:一条直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角,叫直线的倾斜角.范围为0,

(2) 斜率:不等于的倾斜角的正切值叫直线的斜率,即k=tana(a≠90°).

(3) 过两点P1(x1.y1)、P2（x2.y2）(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=tana=2121yyxx

2. 直线方程的五种表示形式：

（1） 斜截式：y=kx+b;

（2） 点斜式：y-y0=k(x-x0);

（3） 两点式：112121yyxxyyxx

（4） 截距式：1xyab

（5） 一般式：Ax+By+C=0

3. 有斜率的两条直线的平行、垂直的充要条件：

若L1: y=k1x+b1 L2: y=k2x+b2 则: (1) L1∥L2k1=k2且b1≠b2; (2) L1⊥L2 k1×k2=-1

4两条直线所成的角的概念与夹角公式

两条直线相交所成的锐角或直角，叫做这两条直线所成的角，简称夹角，如果直线L1、L2的斜率分别是k1、k2，L1和L2所成的角是，且090 则有夹角公式：tan=12121kkkk

5点到直线的距离公式：点P（x0.y0）到直线Ax+By+C=0（A、B不同时为零）的距离d=0022AxByCAB

题型1 直线的倾斜角与斜率

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1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为a，且sin+cos=0,则a,b满足（ ）

A.a+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0

题型2 直线方程

1.设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且PA=PB，若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是（ ）

A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2y-x-4=0 D2x+y-7=0

2在同一直角坐标系中, 表示直线y=ax与y=x+a正确的是( )

Y Y Y Y

O X O X O X O X

A B C D

3.如果直线ax+by+1=0平行于x轴，则有（ ）

A.a≠0,b≠0 B.a=0,b=0 C.a≠0,b=0 D.a=0,b≠0

题型3 两直线的位置关系

1. a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a-1）y=a-7平行且不重合的（ ）

A.充分非和要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

2.已知直线L1：（a+1）x+y-2=0与直线L2：ax+(2a+2)y+1=0互相垂直，则实数a的值为（）

A.-1或2 B.-1或-2 C.1或2 D.1或-2

题型4 直线与直线所成的角

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1.直线L1：y=3x+1与直线L2：y=2的夹角是（ ）

A.15° B.30° C.60° D.120°

2.过坐标原点且与点（3，1）的距离都等于1的两条直线的夹角为（ ）

A.90° B.45° C.30° D.60°

题型5 点到直线的距离

1.已知点（a,2）（a＞0）到直线L：x-y+3=0的距离为1，则a等于（）

A.2 B.2-2 C. 2-1 D2+1.

题型6. 对称问题

1. 已知直线L: x-y-1=0, L1: 2x-y-2=0, 若直线L2与直线L1关于L对称,则L2的方程是( )

A. X-2Y+1=0, B. X-2Y-1=0, C. X+Y-1=0, D. X+2Y-1=0

2. 直线L1的方程为Y=-2X+1,直线L2与直线L1关于直线Y=X对称,则直线L2经过点( )

A. ( -1, 3 ) B. ( 1, -3 ) C. (3, -1 ) D.（1，0）

7.2圆的方程

知识要点:

1. 圆的标准方程.

(x-a)2+(y-b)2=r2,方程表示圆心为O ( a, b ),半径为r的圆.

2. 圆的一般方程

X2+Y2+DX+EY+F=0

(1) 当D2+E2-4F>0时,表示圆心为( -D/2 , -E/2 ),半径为22142DEF的圆.

(2) 当D2+E2-4F=0时,表示一个点( -D/2 , -E/2 );

(3) 当D2+E2-4F<0时,它不表示任何图形.

3. 圆的参数方程.

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cossin,().(,),xarybrab为参数表示圆心为半径为r的圆.

4. 圆的标准方程与一般方程的比较

圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了方程形式上的特点;

(1) x2和y2的系数相同,不等于0

(2) 没有xy这样的二次项.

以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,表示圆的必要条件,但不是充分条件.

5. 直线和圆.

判定直线和圆的位置关系主要有两种方法:方法一是把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式△来讨论位置关系:

△>0 直线和圆相交

△=0 直线和圆相切

△<0 直线和圆相离

方法二是把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较 d

d=R 直线和圆相切

d>R 直线和圆相离

6. 圆和圆

(1) 代数法: 解两个圆的方程所组成的二元二次方程组,若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交;若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切;若无实数解,则两圆相离.

(2) 几何法: 设两圆的半径分别为R1,R2,两圆心分别为C1 , C2 则

当∣C1C2∣> R1+R2时,两圆相离;

当∣C1C2∣= R1+R2时,两圆外切;

当∣C1C2∣=∣R1-R2∣时,两圆外切;

当∣R1-R2∣<∣C1C2∣<∣R1+R2∣时,两圆相交;

当∣C1C2∣<∣R1-R2∣时,两圆内含;

题型1 圆的方程

1.圆X2+Y2-2X+4Y+3=0的圆心到直线X-Y=1的距离为( )

A. 2 B. 22 C. 1 D. 2

2..已知圆C与圆(X-1)2+Y2=1关于直线Y=-X对称,则圆C的方程为( )

A. (X+1)2+Y2=1 B. X2+Y2=1

C. X2+(Y+1)2=1 D. X2+(Y-1)2=1

3. 圆(X+2)2+Y2=5 关于原点( O, O )对称的圆的方程为( )

A. (X-2)2+Y2=5 B. X2+(Y-2)2=5

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C. (X+2)2+(Y+2)2=5 D. X2+(Y+2)2=5

4圆X2+Y2 –2X+2MY=0的圆心在直线X+Y=0上,则实数M的值为__________

5. 已知圆的半径为2,圆心在X轴的正半轴上,且与直线3X+4Y+4=0相切,则圆的方程是( )

A. X2+Y2-2X-3=0

B. X2+Y2+4X=0

C. X2+Y2+2X-3=0

D. X2+Y2-4X=0

题型2 直线与圆的位置关系

6. 若过定点M( -1, 0)且斜率为K的直线与圆X2+4X+Y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则K的取值范围是( )

A. 0

7. 若P( 2, -1)为圆 (X-1)2+Y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是( )

A. X-Y-3=0 B. 2X+Y-3=0 C. X+Y-1=0 D. 2X-Y-5=0

8. 若直线AX+Y=1与圆(X-3)2+(Y-2)2=1有两个不同的交点,则A的取值范围是( )

A. ( 0 , 3) B. (-3,0) C. (3, +) D. (- , -3)

9.已知圆C:(X-A)2+(Y-2)2=4 (A>0)及直线L:X-Y+3=0,当直线L被C截得的弦长为23时,则A等于( )

A. 2 B.2-2 C. 2-1 D. ,3

10. 能够使得圆x2+y2 –2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为( )

A. 2 B. 5 C. 3. D. 3 5

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题型3 圆的切线

11. 圆x2+y2 –4=0点P ( 1 , 3 )处的切线方程是( )

A. x+3y-2=0 B. x+3y-4=0 C. x-3y+4=0 D. x-3y+2=0