2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案：第三章 3.1 椭圆

§1椭__圆1．1椭圆及其标准方程[对应学生用书P43]设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点，用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？提示：相同．问题2：这种游戏设计的原理是什么？提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点间的距离．椭圆的定义在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，－2)．问题1：若动点P 满足|P A |＋|PB |＝6，则P 点的轨迹方程是什么？ 提示：x 29＋y 25＝1.问题2：若动点P 满足|PC |＋|PD |＝6，则动点P 的轨迹方程是什么？ 提示：y 29＋x 25＝1.椭圆的标准方程1．平面内点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为常数2a ， 当2a >|F 1F 2|时，点M 的轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，点M 的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程有两种形式，若含x 2项的分母大于含y 2项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之焦点在y 轴上．[对应学生用书P44][例1] (1)a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上； (2)a ＋b ＝8，c ＝4；(3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．[思路点拨] 求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定a 和b 的值．[精解详析] (1)焦点在y 轴上，设标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程为y 216＋x 27＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，a 2－b 2＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，(a ＋b )(a －b )＝16 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，a －b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.(3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.所以所求椭圆的方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.舍去，故所求椭圆的方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的方程为x 215＋y 25＝1.[一点通]求椭圆标准方程的一般步骤为：1．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－6，－2)∪(3，＋∞)解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)＞0，a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D.答案：D2．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为______________．解析：由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y 216＋x 2＝13．求焦点在坐标轴上，且过点A (2,0)和B ⎝⎛⎭⎫1，32的椭圆的标准方程． 解：法一：若焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意，有⎩⎨⎧4a 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，同理⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 矛盾．故所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.法二：设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 将A ，B 坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，m ＋34n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.[例2] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在椭圆上，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨] 因为∠PF 1F 2＝120°，|F 1F 2|＝2c ，所以要求S △PF 1F 2，只要求|PF 1|即可．可由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，并结合余弦定理求解．[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|.② 将②代入①解得|PF 1|＝65，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335.因此所求△PF 1F 2的面积是35 3.[一点通]椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求面积，这时可把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2－2|PF 1||PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出|PF 1|和|PF 2|，这样可以减少运算量．4．平面内有一个动点M 及两定点A ，B .设p ：|MA |＋|MB |为定值，q ：点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．那么( )A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，又不是q 的必要条件解析：若|MA |＋|MB |为定值，只有定值>|AB |时，点M 轨迹才是椭圆．故p 为q 的必要不充分条件．答案：B5．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AF 2|＋|BF 2|＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|AF 2|＋|BF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：86．点P 在椭圆x 24＋y 2＝1上，且PF 1⊥PF 2，求S △PF 1F 2.解：∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝16，又PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝12， ∴|PF 1||PF 2|＝2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝1.[例3] AC 的垂直平分线l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程．[思路点拨] P 为AC 垂直平分线上的点，则|P A |＝|PC |，而BC 为圆的半径，从而4＝|P A |＋|PB |，可得点P 轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆．[精解详析] 如图所示，连接AP ，∵l 垂直平分AC ，∴|AP |＝|CP |.∴|PB |＋|P A |＝|BP |＋|PC |＝4，∴P 点的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆． ∵2a ＝4,2c ＝|AB |＝2， ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3. ∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.[一点通]求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程； (2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a ，b 的值，得到标准方程．7．△ABC 的两个顶点坐标分别是B (0,6)和C (0，－6)，边AB ，AC 所在直线的斜率的乘积是－23，求顶点A 的轨迹方程．解：设顶点A 的坐标为(x ，y )，由题意得 y －6x ·y ＋6x ＝－23，化简整理，得x 254＋y 236＝1， 又A ，B ，C 是△ABC 的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，因此y ≠±6，所以顶点A 的轨迹方程为x 254＋y 236＝1(y ≠±6)．8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 和定圆B 内切于点C ，由|MA |＝|MC |得|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝8，即动圆圆心M 到两定点A (－3,0)，B (3,0)的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 且2a ＝8,2c ＝6，b ＝a 2－c 2＝7， ∴M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.1．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解．2．解决与椭圆有关的轨迹问题时，要注意检验所得到的方程的解是否都在曲线上． 3．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF 1|＋|PF 2|＝2a 求解，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．[对应课时跟踪训练(十四)]1．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是( ) A ．(±3,0)B ．(±13，0)C ．(±320，0)D ．(0，±320)解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c 2＝a 2－ b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为(0，±320)，故选 D.答案：D2．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．1解析：由椭圆的定义知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.答案：A3．已知椭圆的焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴|F 1F 2|＝2， 又∵|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，即2a ＝4. 又c ＝1，∴b 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：C4．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P ⎝⎛⎭⎫52，－32的椭圆的标准方程是( )A.x 210＋y 26＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1 D.y 294＋x 2254＝1 解析：由椭圆定义知：2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫322＝3102＋102＝210. ∴a ＝10.∴b ＝a 2－c 2＝ 6.答案：A5．椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k ＝________. 解析：椭圆方程可化为：x 2＋y 2－5k＝1，则a 2＝－5k ，b 2＝1，又c ＝2，∴－5k －1＝4，∴k ＝－1.答案：－16．设P 是椭圆x 29＋y 25＝1上一点，F 1，F 2是其左、右两焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝8，则|OP |＝________.解析：由题意，|PF 1|＋|PF 2|＝6，两边平方得|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝36.因为|PF 1|·|PF 2|＝8，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.以PF 1，PF 2为邻边做平行四边形，则|OP |正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP |)2＋(2c )2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)．所以4|OP |2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP |＝ 6.答案： 67．求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)的椭圆的标准方程． 解：法一：方程9x 2＋5y 2＝45可化为x 25＋y 29＝1.则焦点是F 1(0,2)，F 2(0，－2)． 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵M 在椭圆上，∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2| ＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2 ＝(23－2)＋(23＋2) ＝43，∴a ＝23，即a 2＝12. ∴b 2＝a 2－c 2＝12－4＝8. ∴椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.法二：由题意知，焦点F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则 设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)，将x ＝2，y ＝6代入，得6λ＋4＋4λ＝1，解得λ＝8，λ＝－2(舍去)． 所求椭圆方程为y 212＋x 28＝1.8．点P 为椭圆x 24＋y 2＝1上一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解：由题意知，a ＝2，b ＝1，c ＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝4.① 在△F 1PF 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即12＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|.② ①2得：|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝16.③ 由②③得：|PF 1||PF 2|＝43.∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×43×32＝33.1．2 椭圆的简单性质[对应学生用书P46]中国第一颗探月卫星－－“嫦娥一号”发射后，首先进入一个椭圆形地球同步轨道，在第16小时时它的轨迹是近地点200 km ，远地点5 100 km 的椭圆，地球半径约为6 371 km.问题1：此时椭圆的长轴长是多少？提示：⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝6 371＋200，a ＋c ＝6 371＋5 100⇒2a ＝18 042 (km)．问题2：此时椭圆的离心率为多少？ 提示：∵a ＝9 021，c ＝2 450， ∴e ＝ca＝0.271 6.椭圆的简单性质1．椭圆上到中心距离最远和最近的点：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远．2．椭圆上一点与焦点距离的最值：点(a,0)，(－a,0)与焦点F 1(－c,0)的距离，分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离．3．椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，ba 越接近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时，ba 越接近于1，椭圆越接近于圆．当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x 2＋y 2＝a 2.所以e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆．[对应学生用书P47][例1] 已知椭圆轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[思路点拨] 将椭圆方程化为标准形式，用m 表示出a ，b ，c ，再由e ＝32，求出m 的值，然后再求2a,2b ，焦点坐标，顶点坐标．[精解详析] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1(m >0)，∵m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3＞0，∴m ＞m m ＋3，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3.∴c ＝a 2－b 2＝ m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为 F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0， 顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. [一点通] 求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，准确地写出a ，b 的数值，进而求出c 及椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．1．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同D ．C 1与C 2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程可知，C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为42，故选D.答案：D2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是( )A ．(±1,0)B ．(0，±1)C ．(±7，0)D ．(0，±7)解析：由题意，椭圆的焦点在y 轴上，a ＝4，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝42－32＝7，所以椭圆的焦点坐标是(0，±7)，故选D.答案：D3．已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解：把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1.可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3，短半轴长b ＝2；又得半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.因此，椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e ＝53.[例2] (1)离心率e ＝23，短轴长为85；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.[思路点拨] (1)焦点的位置不确定，可设标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．(2)画出图形，结合图形明确已知条件． [精解详析] (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知得e ＝c a ＝23，2b ＝85，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝49，b 2＝80. ∴a 2＝144.∴所求椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1.(2)如图所示，△A1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且OF ＝c ，A 1A 2＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.[一点通]利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置．(2)设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．(3)根据已知条件建立关于参数的方程，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式为b 2＝a 2－c 2，e ＝ca等．4．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－233，233B.⎝⎛⎭⎫233，＋∞∪⎝⎛⎭⎫－∞，－233 C.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43 解析：因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123＞1，解得a ＞233或a ＜－233，故选B.答案：B5．已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，则椭圆的标准方程为____________．解析：∵椭圆的长轴长是6，cos ∠OF A ＝23，∴点A 不是长轴的端点(是短轴的端点)． ∴|OF |＝c ，|AF |＝a ＝3，∴c 3＝23.∴c ＝2，b 2＝32－22＝5.∴椭圆的方程是x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.答案：x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝16．已知椭圆的对称轴为坐标轴，椭圆上的点到焦点的最近距离为4，短轴长为85，求椭圆的方程．解：由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝45，a －c ＝4，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，c ＝8，∴椭圆的方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1.[例3] 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．[思路点拨] 求椭圆的离心率就是设法建立a ，c 的关系式，此题可利用kPF 2＝k AB 以及a 2＝c 2＋b 2来建立a ，c 的关系．[精解详析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．则有F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A (0，b )，B (a,0)， 直线PF 1的方程为x ＝－c ， 代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a，∴P ⎝⎛⎭⎫－c ，b2a .又PF 2∥AB ，∴kPF 2＝k AB ， ∴b 2－2ac ＝－b a，即b ＝2c . ∴b 2＝4c 2，∴a 2－c 2＝4c 2，∴c 2a 2＝15.∴e 2＝15，即e ＝55，所以椭圆的离心率为55. [一点通]1．求椭圆离心率的方法：(1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca，也可利用e ＝1－b 2a2求解； (2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成关于ca的方程，即为关于离心率e 的方程，进而求解．2．求离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围．7.如图，A，B，C分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为()A.5－12 B.3－12C.2－12 D.5＋14解析：∵∠ABC＝90°，∴|BC|2＋|AB|2＝|AC|2，∴c2＋b2＋a2＋b2＝(a＋c)2，又b2＝a2－c2，∴a2－c2－ac＝0.∴e2＋e－1＝0，e＝5－12⎝⎛⎭⎪⎫e＝－5－12舍去.答案：A1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，要先化成标准形式，再确定焦点位置，求准a，b.2．求离心率e时，注意方程思想的运用．[对应课时跟踪训练(十五)]1．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是( )A ．3B ．3或253C.15D.5或5153解析：若焦点在x 轴上，则a ＝5，由c a ＝105得c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝3，∴m ＝b 2＝3.若焦点在y 轴上，则b 2＝5，a 2＝m .∴m －5m ＝25，∴m ＝253.答案：B2．(广东高考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：由右焦点为F (1,0)可知c ＝1，因为离心率等于12，即c a ＝12，故a ＝2，由a 2＝b 2＋c 2知b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.故选D.答案：D3．(新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23 C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c . ∴3a ＝4c .∴e ＝34.答案：C4．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2，故选B.答案：B5．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________． 解析：由题意2b >2c ，即b >c ，即a 2－c 2>c ， ∴a 2－c 2>c 2，则a 2>2c 2. ∴c 2a 2<12，∴0<e <22. 答案：⎝⎛⎭⎫0，22 6．焦点在x 轴上的椭圆，焦距|F 1F 2|＝8，离心率为45，椭圆上的点M 到焦点F 1的距离2，N 为MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为________．解析：∵|F 1F 2|＝2c ＝8，e ＝c a ＝45，∴a ＝5，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8. 又∵O ，N 分别为F 1F 2，MF 1的中点，∴ON 是△F 1F 2M 的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|＝4.答案：47．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．解：(1)依题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a ＝12，即a ＝6.∵椭圆的离心率为32， ∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴36－b 26＝32，∴b 2＝9.∴椭圆的标准方程为x 236＋y 29＝1.(2)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则b ＝9，因为c ＝7，所以a 2＝b 2＋c 2＝81＋49＝130， 所以椭圆的标准方程为y 2130＋x 281＝1.8．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的0，椭圆的离心率等于22，△AOF 2的面积为22，求椭圆的方程．解：0， ∴AF 2⊥F 1F 2，∵椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴b 2＝12a 2，设A (x ，y )(x >0，y >0)，由AF 2⊥F 1F 2知x ＝c ，∴A (x ，y )代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2b 2＝1，∴y ＝b 2a .∵△AOF 2的面积为22，∴S △AOF 2＝12c ·b 2a ＝22，而c a ＝22，∴b 2＝8，a 2＝2b 2＝16， 故椭圆的标准方程为：x 216＋y 28＝1.。