点差法求椭圆中点弦

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

本文用这种方法作一些解题的探索。

一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴21244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 。

例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。

若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。

策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。

本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B则221=+x x ，221=+y y122121=-y x ，122222=-y x 两式相减，得0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。

东光一中高二年级 数学 学科课时练出题人： 许淑霞 出题时间：2015.1.22椭圆的中点弦问题学案学习目标：会求与椭圆的中点弦有关的问题掌握一种思想：设而不求，整体代换的思想体会两种方法：判别式法与点差法学习重点：能解决与椭圆的中点弦有关的问题 学习过程：一、方法总结：1、与椭圆的弦的中点有关的问题，我们称之为椭圆的中点弦问题。

2、解椭圆的中点弦问题的一般方法是：（1）判别式法：联立直线和椭圆的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解。

（2）点差法：若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

3、设直线的技巧：（1）直线过定点时引入参数斜率，利用点斜式设方程，注意讨论斜率存在与不存在两种情况。

（2）直线斜率一定时引入参数截距，利用斜截式设方程。

（3）已知一般直线可设直线的斜截式方程，利用条件寻找k 与b 的关系。

3、直线与椭圆相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。

这类问题一般有以下三种类型：（1）求过中点的弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程二、题型复习：（一）、求过中点的弦所在直线方程问题例1、已知椭圆1222=+y x ，求过点p (12,12)且被点p 平分的弦所在直线方程 注意：解决过中点的弦的问题时判断点M 位置非常重要。

（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。

结论：（1） 设椭圆12222=+b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y ，则0022y x a b k AB•-=,22AB op b k k a=- （2） 设双曲线12222=-b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0022y x a b k AB •=。

点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。

【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200a b x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN=⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．【解】 法一：如图，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0， (*)又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1、x 2是(*)方程的两个根，∴x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1.解得k ＝－12，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A 、B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．【解答】解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．（﹣＜x ＜）∴点P 的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x ＜）；3、（2013秋•启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ．【解答】解：设椭圆=1（a ＞b ＞0），则a 2﹣b 2=50①又设直线3x ﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=，∴代入直线方程得y 0=﹣2=﹣，由 ，得，∴AB 的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a 2=3b 2②联解①②，可得a 2=75，b 2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．4、例1（09年四川）已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P .由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=P F .∴.926)1(22=+-y x ①y D若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F N F M F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22a b x y k MN -=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x . 解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意. ∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .6、（2009秋•工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M ，则点M 的坐标为．【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，两式相减，得=0，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=﹣3（x 1﹣x 2）（x 1+x 2），=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x 1+x 2=1，∴3=﹣3×1÷（y 1+y 2），∴=﹣．所以中点M 坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．7、如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠ED EF EF DEF ，椭圆C ：12222=+by a x ，以E 、F为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。

⾼中数学：中点弦问题
⼀、⽤点差法求斜率及常⽤公式
在圆锥曲线中涉及弦中点问题，如果涉及斜率，则常⽤点差法求斜率，关于点差法求斜率的⽅法，证明过程如下：
这是⼀个标准的点差法求斜率的例题，不过需要注意最后的结论，
因为⽅法过程简单但是繁琐，在⼩题⾥⾯可以直接利⽤结论来求
出相关的斜率，常⽤结论如下：
⼆、利⽤导数法求解中点弦问题
探究：在点差法中我们设了两个点，每个点中⼜有两个量，能不能减少未知量的个数，利⽤中点坐标公式我们可以将四个未知量变成两个，如下：
从图左中可以看出点A其实是两个椭圆的对称点，⽽过A点的直线则是两个椭圆的公共弦，两个椭圆式⼦相减得到公共弦，这跟两个圆⽅程相减得到相交弦⽅程⼀样。

那么如果点A的位置不在椭圆内⽽在椭圆上的话，从上⾯可知点A依旧是两椭圆的对称点，此时两个椭圆的位置关系相切，如上图右。

所以上⾯的结论可以直接⽤来写出椭圆的切线⽅程，当然先⽤导数求得斜率，再⽤点斜式写出切线⽅程也可以，只不过没有上⾯的结论简洁直接，但是这跟⽤导数法求斜率有什么关系？我们继续以这个例题为例：
很多学⽣问点A⼜不在椭圆上，为什么求导可以直接代⼊点A呢，其实很简单，点A虽然不在椭圆上，但是⼀定在把椭圆按⽐例缩⼩的椭圆上，此时对缩⼩之后的椭圆进⾏求导可以发现不改变原椭圆⽅程求导之后的结果，因此可以直接对原椭圆⽅程进⾏求导，代⼊点求得过点A的直线的斜率。

椭圆的弦长公式与中点弦问题1.k 为何值时,直线y=kx+2和曲线2x +3y =6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?秒杀秘籍：椭圆的弦长公式与面积（不过焦点的弦）椭圆()222210,0x y a b a b+=>>与直线l ：y kx m =+相交于AB 两点，求AB 的弦长。

设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将y kx m =+代入22221x y a b +=得：()22222222220b k a x a km x a m a b +++-=()212222222122222a kmx x b k a a m b x x b k a ⎧-+=⎪+⎪∴⎨-⎪⋅=⎪+⎩()22222222221121222221141ab b k a m AB k x x k x x x x kb k a +-∴=+-=++-=++例1：已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A、B 两点，求AB 的弦长解：设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将12y x =+代入2212x y +=得：233202x x +-=12122312x x x x ⎧+=-⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩222121113AB k x x ∴=+-=椭圆与直线交点的判别式：()2222224a b b k a m ∆=+-用来判断是否有交点问题。

面积问题：椭圆与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆。

设C 到l 的距离为d ，则22220000222211221ABCkx y m kx y m ab b k a m S AB d AB b k a k ∆-+-+⋅+-===++例2：已知椭圆C :22221x y a b +=22221(0)x y a b a b+=>>A B 、的一个顶点为(2,0)A ,离心率为22.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M 、N .(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当△AMN 得面积为103时,求k 的值.解：(Ⅰ)22;2,22c a e c b a ===⇒==；故椭圆方程为22142x y +=；(Ⅱ)12AMN S MN d ∆=，设()()1122,,,M x y N x y 则()()()22222121121214MN x x y y k x x x x =-+-=++-；将y kx k=-代入22142x y +=得：()2222428480k x k x k +---=212221228424842k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨--⎪⋅=⎪+⎩；222011k k k d k k --==++；22422222411072502243AMN k k k S MN d k k k ∆⋅⋅+-===⇒--=+，即()()2275101k k k +-=⇒=±。

点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

用点差法时计算量较少,解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点,故有时要用到判别式加以检验。

【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅. 证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200ab x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0。

椭圆点差法中点弦斜率公式
椭圆点差法是一种用于确定椭圆的参数的一种数值方法。

椭圆点差法的基本思想是建立一个椭圆和已知点之间的差分方程，通过解决这个方程，求出最优参数，从而拟合出最佳椭圆。

在椭圆点差法中，求得椭圆的参数最重要的是求解点弦斜率公式。

点弦斜率公式是椭圆点差法中用来求椭圆的参数的一种重要的方法，它可以用于计算椭圆上任意点的斜率。

设特定椭圆F为方程：
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，点P(x,y)位于椭圆上，点弦斜率公式可以表示为：$\frac{dy}{dx}=\frac{b^2x}{a^2y}$ 。

椭圆点差法中使用点弦斜率公式可以求解椭圆的参数。

首先，我们需要选择有限个已知点，例如P1(x1,y1)，P2(x2,y2)、P3(x3,y3)…，计算点弦斜率，求得其总和Σdy/dx。

然后将Σdy/dx代入椭圆的极坐标方程F中，以b2/a2 为未知数，可以求出a2、b2，进而获得椭圆的长轴、短轴长度。

通过点弦斜率公式，我们可以实现椭圆点差法求椭圆参数的目标。

结合实际应用，通过该方法可以获得准确的椭圆参数，为图像处理、3D计算等领域提供有效的方法。

1. 知识与技能：让学生掌握椭圆中点弦问题的解法——点差法，能运用点差法解决相关问题。

2. 过程与方法：通过引导学生发现中点弦的性质，培养学生观察、分析、解决问题的能力。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

二、教学重点与难点1. 教学重点：椭圆中点弦问题的解法——点差法。

2. 教学难点：如何灵活运用点差法解决实际问题。

三、教学方法1. 引导发现法：引导学生发现中点弦的性质，自主探究解法。

2. 案例分析法：通过分析具体案例，让学生学会点差法的应用。

3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队合作精神。

四、教学过程1. 导入新课：回顾椭圆的基本性质，引导学生关注椭圆的中点弦问题。

2. 自主探究：让学生尝试解决椭圆中点弦问题，发现解题规律。

3. 讲解点差法：根据学生的探究结果，讲解点差法的原理和步骤。

4. 案例分析：分析具体案例，让学生学会点差法的应用。

5. 巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

6. 拓展提高：引导学生思考如何将点差法应用于其他几何问题。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

8. 作业布置：布置作业，巩固所学知识。

课后对本节课的教学进行反思，了解学生的掌握情况，针对性地调整教学方法和策略。

关注学生的个体差异，力求让每个学生都能在课堂上发挥潜能。

六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。

2. 练习反馈：分析学生的练习作业，评估学生对点差法的掌握程度及应用能力。

3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的合作精神和问题解决能力。

七、教学拓展1. 对比教学：对比椭圆与其他圆锥曲线的性质，探讨它们的中点弦问题解法。

2. 实际应用：引导学生关注椭圆中点弦问题在实际生活中的应用，如地球卫星轨道等。

八、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，辅助讲解和展示椭圆中点弦问题的解法。

2. 练习题库：准备一定数量的练习题，供学生巩固所学知识。

运用点差法解决中点弦问题，运算是解析几
何学习中的难点
第一问由点M在线段PD上以及满足的条件，很容易得出M是中点，既然求点M的轨迹，就设其坐标为(x,y)，从而得到点P坐标，由于P是圆上动点，所以满足圆的方程，继而带入化简得出一个椭圆
这个题呢其实再配个图就好啦，同学们自己动手画一个呗，圆，椭圆，还有直线l的位置关系一目了然，所以解的时候自然能先想到垂直的情况是不行的，也就是斜率存在，直接设直线解析式，再由直线与椭圆相交，联立方程组，利用韦达定理得出中点坐标相关的关系式，求出k，直线方程也就求出来啦
点差法解决中点弦问题也是常规方法，注意要熟练利用韦达定理，设而不求方法和整体思想，简化计算，准确求解，方法1思路直接，但是计算量稍大，方法2，计算简捷，所列式子整齐，对称性强，但是要求灵活性高，整体意识强，运算是解析几何学习中的难点，平时必须认真训练，仔细，体会算理和一些常用技巧，提高运算的速度和准确度！
下面一题，大家自己动手试一试哦。

2022届高考数学精品微专题：中点弦问题一、常用结论1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 为例）（1）如图，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22ab k k AB OE -=⋅;（证明：用点差法）（2）注意：若焦点在y 轴上的椭圆)0(12222>>=+b a a y b x ，则22ba k k AB OE -=⋅.2.双曲线中点弦结论（以焦点在x 轴的双曲线方程12222=-by a x 为例）图1 图2（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）注意：若焦点在y 轴上的双曲线12222=-bx a y ，则22b a k k AB OE =⋅3.抛物线中点弦结论（1）在抛物线)0(22≠=p px y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则p y k MN =⋅0. 即：0y p k =（2）同理可证，在抛物线)0(22≠=p py x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.即：px k 0=二、典例【选填+解答题】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（） A ．2 B ．2-C ．12-D ．12【答案】C【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,22c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b b x x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-.2.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为【解析】由椭圆中点弦性质可得1222-=-=⋅e a b k k AB OM ，则⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⨯-1011212e e，故e =．3.【2013全国卷1理科】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ． 【解析】22a b k k AB MF -=⋅，得22)1(13)1(0ab -=-⨯---，∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为，故选D ．(1,1)M 12-C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M AB C 2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +22b a 122c 22a b -2b 2a 221189x y +=4.（2018全国卷Ⅲ第一问）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．证明：12k <-． 【答案】证明见解析．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，上述两式相减，则4322-=-=⋅a b k k AB OM ．由题设知1212x x +=，122y y m +=，故43-=⋅m k ，于是34k m=-． 由⎪⎩⎪⎨⎧<+>134102m m 得302m <<，故12k <-．5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为ABCD ．23【答案】B【解析】方法1：设直线AB 方程为y x n =-+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22221x y a b y x n ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得：22222222()20a b x a nx a n a b +-+-=， ∴212222a nx x a b+=+，12122()y y n x x +=-+，设(,)M x y ， ∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OMy y n x x y n k x x x x x x x +-+====-+++22222113a b b a a +=-==，∴2222223c a b a a -==，∴c e a ==． 故选B ．方法2：（秒杀解）⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-⇒-=-=⋅1031112222e e e a b k k OM AB ，得36=e ． 故选B ．6.【2019一中月考】直线与椭圆：相交于两点，设线段的中点为，则动点的轨迹方程为（ ）D7．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（） A ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=-即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+， 则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++-=，∴22123648(75)02b b b x x ⎧∆=-->⎪⎨+=-⎪⎩，而121x x =+，故2b =-， ∴:32AB y x =-，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =-， 故选：C)(4R m m x y ∈+=C 12322=+y x B A ,AB M M 16.+-=x y A 6.xy B -=)33(16.<<-+-=x x y C )526526(6.<<--=x x y D8．（2020·四川成都市·成都七中）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为（1，1-），则G 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得AB k 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b -，即可求解.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=，①2222221x y a b +=，②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，又ABk =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，9．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（） A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】C【分析】设出椭圆方程，设出A B C ，，的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可．【详解】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =-=-，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，10．（2020·广东广州市·执信中学）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（）A ．22:1:2a b =B ．直线AB 与直线OD 的斜率之积为2-C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12-D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2- 【答案】CD【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2OD k k =-，21·2OE k k =-，31·2OF k k =-，即可判断．【详解】椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>∴222112b e a =-=，222a b ∴=，故A 错；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减可得：21212212121·2y y y y b x x x x a +-=-=-+-．11·2OD k k ∴=-，同理21·2OE k k =-，31·2OF k k =-，故B 错，C 正确． 又1231112()2OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，11．（2020·广东广州市·执信中学）已知直线L 与双曲线22221()00a x y a bb >-=>，相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，若直线L 的斜率为1k ，OM 的斜率为2k ，且122k k =，则双曲线渐近线的斜率等于（） A．2±B ．2± C．D ．12±【答案】C【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y M x y ，则12122,2x x x y y y +=+=，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：()()()()222221221212222211110,220x x y y x x x a a y y y b b---=-⨯--⨯=，∵直线L 的斜率为()110k k ≠，直线OM 的斜率为2k ，212211222y y y b k x x a k x -=⋅==-∴，则ba=12．（2020·四川成都市·成都七中）过点(1,4)P 作直线l 交双曲线2214x y -=于A ，B 两点，而P 恰为弦AB 的中点，则直线l 的斜率为（）. A ．116- B ．-1 C ．116D ．1【答案】C【分析】根据P 为AB 的中点，利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121242x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以121228x x y y +=⎧⎨+=⎩，将A 、B 代入双曲线2214x y -=得，221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得：()()22221212104y y x x ---=， 整理得：1212121214y y x x x x y y -+=⋅-+，所以12121214816ABy y k x x -==⨯=-.13．（2021·全国高二）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（） A ．2 BC ．3 D．2【答案】A【详解】设()()1122,,,B x y D x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-+-=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+，而12121BD y y k x x --==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a-=，可得2c e a ==．14．（2020·广州市天河中学）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB的中点为(M -，则E 的方程为（）A ．22145x y -=B ．22163x y -=C ．22154x y -=D ．22136x y -=【答案】B【详解】设双曲线E 的标准方程为22221x y a b-=，由题意知：3c =，即229a b +=①，设()11,A x y ，()22,B x y ， AB的中点为(M -，124x x ∴+=-，12y y +=，又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：22221212220x x y y a b ---=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b-+-+=， 即()()22212122212125ABb x x y y k x x a y y a +-====--+，又M F ABM F y y kx x -===-， 即2255a -=-，解得：222ab =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y -=.15．（2019·陕西高考模拟）双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（） A.20x y --= B.2100x y +-= C.20x y -= D.280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=． 故选：C16．（2020·河南周口市·高三）已知双曲线2218y x -=上有三个点A ，B ，C 且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，用字母k 表示斜率，若8OD OE OF k k k ++=-（点O 为坐标原点，且OD k ，OE k ，OF k 均不为零），则111AB BC ACk k k ++=________. 【答案】-1【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，221118y x -=，222218y x -=,两式相减得()()()()121212128y y y y x x x x +--+=，整理可得0121208y x x y y x -=-，即18OD AB k k =， 同理得18OE BC k k =，18OF AC k k =.因为8OD OE OF k k k ++=-，所以1111AB BC ACk k k ++=-.17．（2020·全国高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点分别为F ，圆M 的方程为()22252x y b -+=.若直线l 与圆M 相切于点()4,1P ，与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为________.【答案】2214x y -=【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则10145k -⋅=--，所以1k =，()22224512b =-+=，即21b =，则2211221x y a b -=，2222221x y a b -=.两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+= 则()()222121222212128412b x x y y b b k x x a y y a a +-=====-+，即24a =，所以双曲线C 的方程为2214x y -=.18．（2017·河北衡水中学高考模拟）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A.22134x y -= B.22143x y -= C.22152x y -= D.22125x y -= 【答案】D【解析】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由2211221x y a b -=且2222221x y a b-=，得()()12122x x x x a +-=()()12122y y y y b +-，2223a ⨯-=（）2523b ⨯-（），即2225a b=，联立227a b +=，解得22a =，25b =，故所求双曲线的方程为22125x y -=．故选D ．19.已知双曲线的左焦点为，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C. D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设线段AB 的中点坐标为，根据 求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB 的中点坐标为，则有， 设，代入双曲线方程有，两式相减得， 2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>(,0)F c -(2,0)Pc()00,M x y 11,1,MF MP k k ==-AB M ,a c ()00,x y 0000112y x c y x c⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩0,2c x ⇒=032y c =1122(,),(,)A x y B x y 2222112222221,1x y x y a b a b-=-=可得，即， .故选:D.20．直线l 过点(1,1)P 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．2B ．2-C ．12D ．12- 【答案】A【分析】 利用点差法，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212124y y x x -=-， 即()()()1212124y y y y x x +-=-，当12x x ≠时，()1212124y y y y x x -+=-， 因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =，解得：2k =故选：A21．（2019秋•湖北月考）斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P（x 0，y 0）为AB 中点，则ky 0为（ ）A ．定值B ．定值pC ．定值2pD ．与k 有关的值【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ky 0的值为定值．【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（，0），1212121222()()()()1x x x x y y y y a b -+-+-=002210x y a b -⋅=2213,a b=223b a =2,c a ∴=2e =设直线l 为：x ＝my +，且k ＝，A （x ，y ），B （x '，y '），直线与抛物线联立得：y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y +y '＝2pm ，所以由题意得：y 0＝＝pm ，所以ky 0＝•pm ＝p ，故选：B ．22．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______.解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k AB =⋅0得：4=AB k .∴AB 所在的直线方程为)4(41-=-x y ，即0154=--y x .23．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+-=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+-=x y 上，∴253210=+-=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125-⋅=-x y ，即02=+-y x .24．ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ， 则12122132203x x y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩从而12012012412x x x y y y +⎧==-⎪⎪⎨+⎪==-⎪⎩，即1(,1)4M --， 又2211222,2y x y x ==，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212120022112BC y y k x x y y y y -=====--+ 故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x -+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝025．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度. 【答案】（1）2212y x -=；（2【分析】（1）根据双曲线的定义c =a =（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出.【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为则a =c =，而222321b c a =-=-=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x -=； （2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=， 又221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x -+=-+， ∴12122y y x x --=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，由222122y x y x =-⎧⎨-=⎩，即22410x x --=，可得1212x x =-，则MN ===26．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点．（1）若l 的方程为21y x =-，求AB ；（2）若弦AB 的中点为()6,1-，求l 的方程．【答案】（1）4；（2）52280x y +-=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解； （2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程.【详解】设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ． （1）联立25,21,y x y x ⎧=⎨=-⎩得24910,0x x -+=∆>， 因此121291,44x x x x +==，故||4AB ===． （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，得()2221215y y x x -=-， 因为12122y y +=-⨯=-，所以212112552AB y y k x x y y -===--+， 因此l 的方程为5(1)(6)2y x --=--，即52280x y +-=．。

东光一中 高二 年级 数学 学科课时练出题人： 许淑霞 出题时间：椭圆的中点弦问题学案学习目标：会求与椭圆的中点弦有关的问题掌握一种思想：设而不求，整体代换的思想体会两种方法：判别式法与点差法学习重点：能解决与椭圆的中点弦有关的问题 学习过程：一、方法总结：1、与椭圆的弦的中点有关的问题，我们称之为椭圆的中点弦问题。

2、解椭圆的中点弦问题的一般方法是：（1）判别式法：联立直线和椭圆的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解。

（2）点差法：若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

3、设直线的技巧：（1）直线过定点时引入参数斜率，利用点斜式设方程，注意讨论斜率存在与不存在两种情况。

（2）直线斜率一定时引入参数截距，利用斜截式设方程。

（3）已知一般直线可设直线的斜截式方程，利用条件寻找k 与b 的关系。

3、直线与椭圆相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。

这类问题一般有以下三种类型：（1）求过中点的弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程二、题型复习：（一）、求过中点的弦所在直线方程问题例1、已知椭圆1222=+y x ，求过点p (12,12)且被点p 平分的弦所在直线方程 注意：解决过中点的弦的问题时判断点M 位置非常重要。

（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。

结论：（1） 设椭圆12222=+b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y ，则0022y x a b k AB•-=,22AB op b k k a=- （2） 设双曲线12222=-b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0022y x a b k AB •=。