高中物理竞赛之力学部分：刚体力学大解析(可编辑精品)

第五章 刚体力学研究有一定大小及质量分布的物体的动力学规律。

（对于刚体可以看作（利用微元法）由无数质点构成的质点组，从而利用质点动力学规律推导刚体的动力学规律。

）平动规律（1）、平衡条件 0=F （2）、牛顿定律 ma F = （3）、动量定理 p I ∆= （I 为冲量） （4）、动量守恒 0=∆p （合外力为0 ） （5）、动能定理 K E W ∆=（6）、机械能守恒 0=∆E （只有重力做功） （7）、总能量守恒 0=∆总E转动规律（1）、平衡条件 0=M （M 为力矩） （2）、转动定律 βI M = （I 为转动惯量）（3）、角动量定理 L t M ∆=∆ （L 为角动量ωI =） （4）、角动量守恒 0=∆L （条件：M=0）研究转动规律关键是过轴的力不产生力矩，对转动无影响。

转动规律独立于平动规律。

知识点1、刚体：刚体的形状不能发生变化。

刚体上各点的相互距离不变。

2、刚体的运动 （1）、平动：刚体上各点的运动完全相同。

（2）、定轴转动 角位移θ 角速度 d dt θωθ== 角加速度 ==d dtωβωθ= 某点角量与线量之间的关系 θr l = ωr v = βr a t = rv r a n 22==ω（3）、一般运动（平动+转动）运动=随A 点的平动+绕A 点的转动（一般A 点取质心）某点的速度 A V V r ω=+ 22A t A a a a r a r r ωβω=++=++ 3、质心 1122c mx m x m x =+=⎰xdm1122c mv m v m v =+ 1122c ma m a m a =+4、牛顿定律 1122c F m a m a ma =+=合5、转动平衡 M=06、转动定律 M I β= 或 211112222M ()()m r r m r rr d m βββ=+=⎰7、转动惯量 2I mr = r 为质点到轴的距离22221122i i I m r m r m r r dm =++⋅⋅⋅=∑∆=⎰质点对转轴 2I m l =细圆环对经过中心的垂直于环面的转轴的转动惯量2I mR = 匀质实心圆柱体对中心轴的转动惯量 212I m R = 匀质杆过中点轴的转动惯量 I =2112ml 匀质球，以任一直径为转轴的转动惯量225I mR =8、平行轴定理：2c I I mD =+ 正交轴定理： z x y I I I =+ 9、角动量定理 21=Mt I I L ωω=-∆2211()Mt dm r v rv =-⎰10、角动量守恒定律 I ω=恒量 或 2211()()=d m vr d m v r -⎰⎰恒量条 件： 0M =11、重力势能 p c E mgh = 12、动能 221122K c c E I mv ω=+第一讲 刚体动力学规律一、刚体的运动 1、平动刚体上各点的运动完全相同。

力、物体的平衡补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。

一、力学中常见的三种力 1.重力、重心①重心的定义：++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。

②重心与质心不一定重合。

如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合。

如将质量均匀的细杆AC （AB =BC =1m ）的BC 部分对折,求重心。

以重心为转轴，两边的重力力矩平衡（不是重力相等）：（0.5-x ）2G =(x +0.25)2G ,得x =0.125m （离B 点）. 或以A 点为转轴：0.5⨯2G +(1+0.5)2G =Gx ', 得x '=0.875m ，离B 点x =1-x '=0.125m.2.巴普斯定理：①质量分布均匀的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积乘平面薄板重心通过的路程。

如质量分布均匀的半圆盘的质心离圆心的距离为x ，绕直径旋转一周，2321234R x R πππ⋅=，得π34R x = ②质量分布均匀的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度乘曲线的重心通过路程。

如质量分布均匀的半圆形金属丝的质心离圆心的距离为x ，绕直径旋转一周，R x R πππ⋅=242，得πR x 2= 1. （1）半径R =30cm 的均匀圆板上挖出一个半径r =15cm 的内切圆板，如图a 所示，求剩下部分的重心。

（2）如图b 所示是一个均匀三角形割去一个小三角形AB 'C '，而B 'C '//BC ，且∆AB 'C '的面积为原三角形面积的41，已知BC 边中线长度为L ，求剩下部分BCC 'B '的重心。

[答案：(1) 离圆心的距离6R ；(2)离底边中点的距离92L ] 解(1)分割法:在留下部分的右边对称处再挖去同样的一个圆,则它关于圆心对称,它的重心在圆心上,要求的重心就是这两块板的合重心,设板的面密度为η，重心离圆心的距离为x .有力矩平衡: ),2()2(])2(2[222x R R x R R -=-ηπηπ得6R x ==5cm. 填补法:在没挖去的圆上填上一块受”重力”方向向上的圆,相当于挖去部分的重力被抵消,其重心与挖去后的重心相同,同理可得6R x =. 能量守恒法:原圆板的重力势能等于留下部分的重力势能和挖去部分的重力势能之和,可得6R x =. (2) ∆AB 'C '的面积为原三角形面积的1/4，质量为原三角形质量的41，中线长度应为原三角形中线长度的21。

第六讲刚体动力学1.刚体动力学描述方式。

2.转动惯量的理解以及转动定律的运用。

3.寇尼西定理的运用。

说明：学习刚体力学最重要的是把刚体的几个基本概念建立起来：转动惯量，质心，力矩，力矩冲量，角加速度。

质心动能，相对质心动能等等。

概念清晰了，对于公式的记忆和使用并不难，完全类比质点力学体系就可以了。

某种程度上本讲也是对质点力学体系的一次很好的复习。

比较难的问题是联立平动方程与转动方程处理的问题，不过初学的同学做起来不痛快仅仅是因为不熟练而已，本讲整体上不算难。

第一部转动惯量描述刚体运动的方法与参数引入：刚体就是不考虑形状改变的物体，生活中刚体旋转的例子很多，我们本讲带领大家学习这些现象背后的规律。

首先我们注意观察刚体的旋转的描述方式，不难发现刚体上每一个点都在绕着一个轴运动，所有的点角速度一致。

进一步的分析陀螺的运动我们会发现，我们用鞭子抽打，让陀螺越转越快，刚体的动力学也可以用伽利略的观点“力是改变运动状态的原因”去理解。

只不过，我们如何去定量描述呢？知识模块本讲提纲知识点睛1. 转动惯量：先研究一个很简单的问题：一跟长为L 的轻杆，一段可以围绕着固定点O 无阻力的转动，另一端用一个外力F 垂直作用在上面，现在在距离O 点r 远处固定一个质量为m 的质点，质点的运动情况如何？首先我们去描述这种运动，质点做圆周运动，F 的作用点与质点位移x ，速度v ，加速度a 并不一样，但是它们的转动角度θ，角速度ω，角加速度β（有些参考书用α，不过这个字母太容易和a 弄混）是一样的。

复习一下它们的关系： r v ω= 且 r a β=注意r 为到圆周运动圆心的距离。

那么解答这个问题并不难，可以使用牛顿定律进行计算，注意到轻杆受合外力为零，所以质点对杆的力必然向下，设这个力大小为N ，根据力矩平衡：Nr FL = (想不起为什么了？)再隔离质点，由牛顿定律知道： N=ma代入得： β2mr FL =写成这样的式子原因是因为这根杆角加速度一致，用这个参数更加能高效率的描述这种加速转动。

高中物理竞赛辅导教程(新大纲版)一、力学部分1. 运动学- 基本概念：位移、速度、加速度。

位移是矢量，表示位置的变化；速度是描述物体运动快慢和方向的物理量，加速度则反映速度变化的快慢。

- 匀变速直线运动公式：v = v_0+at，x=v_0t+(1)/(2)at^2，v^2-v_{0}^2 = 2ax。

这些公式在解决直线运动问题时非常关键，要注意各物理量的正负取值。

- 相对运动：要理解相对速度的概念，例如v_{AB}=v_{A}-v_{B}，在处理多个物体相对运动的问题时很有用。

- 曲线运动：重点掌握平抛运动和圆周运动。

平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动；圆周运动中要理解向心加速度a =frac{v^2}{r}=ω^2r，向心力F = ma的来源和计算。

2. 牛顿运动定律- 牛顿第二定律F = ma是核心。

要学会对物体进行受力分析，正确画出受力图。

- 整体法和隔离法：在处理多个物体组成的系统时，整体法可以简化问题，求出系统的加速度；隔离法用于分析系统内单个物体的受力情况。

- 超重和失重：当物体具有向上的加速度时超重，具有向下的加速度时失重，加速度为g时完全失重。

3. 动量与能量- 动量定理I=Δ p，其中I是合外力的冲量，Δ p是动量的变化量。

- 动量守恒定律：对于一个系统，如果合外力为零，则系统的总动量守恒。

在碰撞、爆炸等问题中经常用到。

- 动能定理W=Δ E_{k}，要明确功是能量转化的量度。

- 机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的系统内，机械能守恒。

要熟练掌握机械能守恒定律的表达式E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}。

二、电磁学部分1. 电场- 库仑定律F = kfrac{q_{1}q_{2}}{r^2}，描述真空中两个静止点电荷之间的相互作用力。

- 电场强度E=(F)/(q)，电场线可以形象地描述电场的分布情况。

- 电势、电势差：U_{AB}=φ_{A}-φ_{B}，电场力做功与电势差的关系W = qU。