下载文档原格式
第7讲 函数的图象[考纲解读] 1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练地运用基本初等函数的图象解决问题.2.掌握作函数图象的常用方法：①描点法；②平移法；③对称法．(重点)3.能运用函数图象理解和研究函数的性质、解决方程解的个数或与不等式相关的问题．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测2021年高考将会考查：①已知函数解析式识别函数的图象；②利用函数图象求函数零点的个数、解不等式或求参数的取值范围．题型以客观题为主，在解答题中也会用到数形结合的思想进行求解.1．利用描点法作函数图象的流程2．变换法作图 (1)平移变换提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减． (2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝□03－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝□04f (－x )；③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝□05－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝□06log a x (a >0且a ≠1)． (3)翻折变换①y ＝f (x )―――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝□07|f (x )|；②y ＝f (x )―――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝□08f (|x |)． (4)伸缩变换y ＝□09f (ax )；②y ＝f (x )―――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝□10af (x )．1．概念辨析(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (x )与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．( )(3)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) (4)若函数y ＝f (x )满足f (π＋x )＋f (π－x )＝0，则函数f (x )的图象关于点(π，0)中心对称．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．小题热身(1)设a ＜b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )答案 C解析 因为(x －a )2≥0，所以当x ＞b 时，y ＞0，当x ＜b 时，y ≤0，对照四个选项，C 中的图象符合题意．(2)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位长度得到( )A．函数y＝f(－x－1)的图象B．函数y＝f(－x＋1)的图象C．函数y＝f(－x)－1的图象D．函数y＝f(－x)＋1的图象答案 B解析函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(－(x－1))的图象，即y＝f(－x＋1)的图象．(3)把函数y＝ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________．答案y＝ln x2解析函数f(x)＝ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是f⎝⎛⎭⎫x2＝ln x2，即y＝ln x2.(4)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．答案(－1,1]解析作出函数y＝log2(x＋1)的图象，如图所示：其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象的交点为D(1,1)，由图象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．题型一函数图象的画法作出下列函数的图象： (1)y ＝2－x x ＋1；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x ＋1|； (3)y ＝|log 2x －1|；(4)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)易知函数的定义域为{x |x ≠－1，x ∈R }．y ＝2－x x ＋1＝－1＋3x ＋1，因此由函数y ＝3x 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y ＝2－xx ＋1的图象，如图1所示．(2)先作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y 轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y ＝⎝⎛⎭⎫12|x ＋1|的图象，如图2所示．(3)先作出y ＝log 2x 的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得到y ＝|log 2x －1|的图象，如图3所示．(4)y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1(x ≥0)，x 2＋2x －1(x <0)的图象如图4所示．条件探究 将本例(4)改为y ＝|x 2－2x －1|，其图象怎样画？解 先作出y ＝x 2－2x －1的图象，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得到y ＝|x 2－2x －1|的图象．图象如图所示．函数图象的画法(1)直接法：当函数的表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．如举例说明(4).(3)图象变换法：若函数的图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．如举例说明(1)、(2)、(3).作出下列函数的图象： (1)y ＝1x －1＋1；(2)y ＝x 2－2x ＋2，x ∈(－1,2]； (3)y ＝10|lg x |.解 (1)函数图象如图1所示. (2)函数图象如图2所示.(3)y ＝10|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x <1，其图象如图3所示.题型二 函数图象的辨识1.(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D解析 ∵f (－x )＝sin (－x )－x cos (－x )＋(－x )2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A.又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1＋π2⎝⎛⎭⎫π22＝4＋2ππ2>1， 排除B ，C.故选D.2.已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )答案 B解析 解法一：由y ＝f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧ x ，0≤x ≤1，1，1<x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎨⎧1，0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎨⎧－1，0≤x <1，x －2，1≤x ≤2.图象应为B.解法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项，可知应选B.函数图象辨识的策略(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性，如举例说明1. (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复.(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象，如举例说明1,2.1.函数f (x )＝sin(πx )e －|x |2的图象可能是( )答案 A解析 由f ⎝⎛⎭⎫12＝e －14 ＞0，排除D ；由f (－x )＝－f (x )，可知f (x )是奇函数，可排除C ；由f ⎝⎛⎭⎫32＝sin 3π2e －34 ＝－e －34 ＞－e 0＝－1，可排除B.故选A.2．如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于点E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )答案 D解析 直线l 在AD 圆弧段时，面积y 的变化率逐渐增大，l 在DC 段时，y 随x 的变化率不变；l 在CB 段时，y 随x 的变化率逐渐变小，故选D.题型三 函数图象的应用角度1 研究函数的性质1.(2020·山东济宁模拟)(多选)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x，则下列说法正确的是( )A.2是函数f (x )的周期B.函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增C.函数f (x )的最大值是1，最小值是0D.当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3答案 ABD解析 由已知条件，得f (x ＋2)＝f (x )， 故y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，A 正确； 当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫121＋x ， 函数y ＝f (x )的图象如图所示，当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝⎛⎭⎫12x －3，因此B ，D 正确，C 不正确．故选ABD. 角度2 解不等式2.(2019·昆明检测)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( )A.(－∞，－2]∪[2，＋∞)B.[－4，－2]∪[0，＋∞)C.(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D.(－∞，－4]∪[0，＋∞) 答案 C解析 依题意，画出函数g (x )的大致图象如图，则xg (x )≤0⇔⎩⎨⎧ x ≥0，g (x )≤0或⎩⎨⎧x ≤0，g (x )≥0，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞).3.不等式3sin π2x －log 12x <0的整数解的个数为( )A.2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 A解析 不等式3sin π2x －log 12 x <0可化为3sin π2x <log 12 x ，作出函数y ＝3sin π2x 和y ＝log 12 x的图象如下图所示：结合图象可知，3sin π2x <log 12 x 的整数解为3和7，共2个.角度3 求取值范围4.设函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x －1|，x ≤2，－x ＋5，x ＞2，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则2a＋2b ＋2c 的取值范围是( )A.(16,32) B．(18,34)C.(17,35) D．(6,7)答案B解析画出函数f(x)的图象如图所示.不妨令a＜b＜c，则1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2.结合图象可得4＜c＜5，故16＜2c＜32.所以18＜2a＋2b＋2c＜34.故选B.5.若关于x的不等式4a x－1＜3x－4(a＞0，且a≠1)对于任意的x＞2恒成立，求a的取值范围.解不等式4a x－1＜3x－4等价于a x－1＜34x－1.令f(x)＝a x－1，g(x)＝34x－1，当a＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图2所示，当x≥2时，f(2)≤g(2)，即a2－1≤34×2－1，解得a≤12，所以a的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.1.利用图象研究函数性质问题的思路对于已知解析式易画出其在给定区间上函数的图象，其性质常借助图象研究：2.利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．如举例说明3.3.利用函数图象解答求取值范围问题(1)借助函数图象．由参数满足的等量关系分析出参数满足的其他等量关系或不等关系，如举例说明4.(2)解不等式恒成立问题，通常在同一坐标系中分别作出两函数的图象，利用数形结合求解．如举例说明5.1.已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A.f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B.f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C.f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1) D.f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 答案 C解析 函数f (x )＝x |x |－2x 的定义域是R ，且f (－x )＝－x |－x |－2(－x )＝－x |x |＋2x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，f (x )＝x |x |－2x ＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.如图所示．函数f (x )的单调递减区间是(－1，1).2.若a ＝2x ，b ＝x ，c ＝log 12 x ，则“a >b >c ”是“x >1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由图可知，“x>1”⇒“a>b>c”，但“a>b>c” ⇒/“x>1”，即“a>b>c”是“x>1”的必要不充分条件．故选B.3.(2019·山西四校联考)已知函数f(x)＝|x2－1|，若0＜a＜b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是()A.(0，＋∞) B．(1，＋∞)C.(1，2) D．(1,2)答案C解析依题意，f(x)＝|x2－1|，作出f(x)的图象如图所示.因为0＜a＜b且f(a)＝f(b)，设直线y＝1与函数f(x)图象的最右边的交点是A，函数f(x)图象与x轴正半轴的交点是B，所以要使得在(0，＋∞)上存在两个数a，b，使得它们的函数值f(a)＝f(b)，则a∈(0，x A)，b∈(0，x A)，又b＞a，所以b∈(x B，x A)，易得x B＝1，当y＝1时，|x2－1|＝1，x＝±2.所以x A＝2，b∈(1，2).高频考点高考中的函数图象及应用问题考点分析高考中函数图象问题的考查主要有函数图象的识别、变换及应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决，所以熟练掌握高中所学的几种基本初等函数的图象是解决问题的前提．1．特殊点法[典例1]函数y＝lg1|x＋1|的大致图象为()答案 D解析函数y＝lg 1|x＋1|的定义域为{x|x≠－1}，由此排除A，C.当x＝9时，y＝lg 110＝－1＜0.由此排除B.故选D.2．性质检验法[典例2](2019·全国卷Ⅲ)函数y＝2x32x＋2－x在[－6,6]的图象大致为()答案 B解析∵y＝f(x)＝2x32x＋2－x，x∈[－6,6]，∴f(－x)＝2(－x)32－x＋2x＝－2x32－x＋2x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除C.当x＝4时，y＝2×4324＋2－4＝12816＋116∈(7,8)，排除A，D.故选B.3．导数法[典例3]若函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是()A．f(x)＝x＋sin xB．f(x)＝cos xxC．f(x)＝x cos xD．f(x)＝x·⎝⎛⎭⎫x－π2·⎝⎛⎭⎫x－3π2答案 C解析由图象知函数为奇函数，排除D，又f⎝⎛⎭⎫π2＝0，排除A，又当0<x<π2时，⎝⎛⎭⎫cos xx′＝－sin x·x－cos xx2＜0，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数，排除B，故选C.4．图象变换法[典例4]函数f(x)＝则y＝f(1－x)的图象是()答案 C解析因为f(x)＝所以f(1－x)＝＝故选C.方法指导 1.用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项.在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断.2.已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项.若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破.3.判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选.要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的单调性、极值或最值.4.有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题.。
