积分上限函数的极限问题

考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt=⎰形如上式的积分，叫做变限积分。

注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。

2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量在积分区间上变动。

t ],[x a （即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。

）关于积分上限函数的理论定理1如果在上连续，则在（a ，b ）上可积，而可积，则)(x f ],[b a )(x f )(x f 在上连续。

⎰=xa dt t f x F )()(],[b a 定理2如果在上有界，且只有有限个间断点，则在（a ，b ）上可积。

)(x f ],[b a )(x f 定理3如果在上连续，则在上可导，而且有)(x f ],[b a ⎰=xa dt t f x F )()(],[b a ).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：)(x f 可积改进为连续；连续改进为可导。

这是积分上限函数的良好性质。

而我们知道，可导函数经过求导后，其导函数甚至不一定是连续的。

)(x f )(x f ' （Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。

它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。

我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。

定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

重要推论及计算公式：推论1 <变上限积分改变上下限，变号。

>)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰推论2 <上限是复合函数的情况求导。

>)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3 <上下限都是变的时候，用上限的减去)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰下限的。

含积分的极限之求解方法李庆娟【期刊名称】《《贵阳学院学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(014)003【总页数】3页(P4-6)【关键词】极限; 积分; 洛必达法则; 夹逼定理【作者】李庆娟【作者单位】大连财经学院基础教育学院辽宁大连116600【正文语种】中文【中图分类】O172极限是微积分的重要理论基础和研究工具，从一元函数到多元函数的微积分研究中，几乎所有重要概念都是通过极限给出的，微积分也是随着极限概念的建立才不断完善起来的。

在高等数学中，极限的求解方法有很多，如重要极限法、极限准则、洛必达法则、等价无穷小替换法[1-4]等等。

而含有积分的极限问题是一类相对较难的极限问题，大部分学生在遇到这类极限问题时，往往会感到束手无策、无从下手，事实上，在求解时要根据所给积分的形式采用相应的求解方法，本文主要通过实例分析的形式总结了求解含积分的极限问题的典型方法与技巧。

1 洛必达法则在求解中的应用洛必达法则是求解函数极限的典型方法，它能够解决7种类型的极限，分别为七个类型，其中与是两个基本类型，其余的五个类型的极限均可以通过变形转化基本型求解。

含有积分的极限问题同样也可以采用洛必达法则求解。

例解极限为型，且分子分母均可导，考虑用洛必达法则求解，适当时结合等价无穷小替换法。

原式例2 设函数f(x)可导，且f(0)=0，F(x)=tn-1f(xn-tn)dt，求解极限形式虽然为型，但是不能直接应用洛必达法则，因为积分上限函数的被积函数中含有自变量x，需要进行处理，这里采用换元法变形。

令u=xn-tn，则du=-ntn-1dt，t=0,u=xn;t=x,u=0.故进而在利用洛必达法则求解含积分的极限问题时，往往遇到的是关于积分上限函数求导问题，切记在求导时要符合求导法则，若不符合，一定要变形。

2 夹逼定理在求解中的应用夹逼定理：若已知数列极限且对数列{zn},∃N,使得当n>N时，总有xn≤zn≤yn，则数列{zn}极限存在，且在利用夹逼定理求解极限问题时，关键是对所求的极限式子进行适当的放缩，使得两边的极限存在且相等，从而判定所求极限的值。

编号学士学位论文关于积分上限函数的主要性质及其应用学生姓名：艾合买提·黑力力学号：***********系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2004-3班木台指导教师：力甫·努尔完成日期：2009 年 5 月22 日中文摘要积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的初等性质及分析性质进行研究，深入讨论了特性，并用于解决一些微积分问题，并且得到了相应的比较好的结论。

本文利用积分上限函数的性质讨论一些特殊函数的求导数，求极限，证明单调性，连续性，证明不等式和恒等式，证明积分中值定理，定义有关函数等方面的一些应用。

关键词：积分上限函数；性质；定积分；连续。

1目录中文摘要 (1)引言 (3)1.积分上限函数的性质 (3)定理1.1 (3)定理1.2 (4)定理1.3 (5)定理1.4 (5)定理1.5 (7)定理1.6 (8)2. 积分上限函数的应用 (8)2.1积分上限函数在求导数中的应用 (8)2.2积分上限函数在极限中的应用 (9)2.3积分上限函数在单调性的应用 (10)2.4积分上限函数在函数关系中的应用 (11)2.5在讨论函数连续性方面的应用 (13)2.6证明方程根的应用 (13)2.7积分上限函数在证明等式题中的应用 (14)2.8积分上限函数在计算重积分中的应用 (15)2.9积分上限函数在证明不等式题中的应用 (16)2.10积分上限函数在求解函数方程的应用 (17)2.11积分上限函数在证明恒等式题中的应用 (18)2.12积分上限函数在证明中值定理中的应用 (19)总结 (21)参考文献 (22)致谢 (23)23引言积分上限函数问题是教学和实际生活中有特殊位置，一方面比较简单，另一方面它包括很多实际问题，有着非常广泛的应用。

在积分学中，为证明原函数存在定理及牛顿—莱布尼兹公式，引进积分上限函数的概念。

本文讨论此函数导数的存在性，周期性；并讨论了它在求导数，求极限，证明单调性及连续性，证明积分中值定理，证明不等式和恒等式，定义有关函数等方面的一些应用。

变积分上限函数求极限变积分上限函数求极限是我们在数学课上经常遇到的一种问题，求解这种问题并不难，只需要按照一定的步骤进行求解即可。

首先，我们需要理解什么是变积分上限函数。

变积分上限函数通常是指一个函数，它的自变量是变化的积分上限。

换句话说，这是一个以x作为自变量的函数，这个自变量x是由积分上限t所确定的，而积分下限是一个常数。

例如，f(x)=∫0^x g(t) dt，这就是一个变积分上限函数。

接下来，让我们从定义上来讲述如何求解变积分上限函数的极限：第一步，我们需要确定变积分上限函数的最大值和最小值，以确保极限的存在。

我们可以通过对变积分上限函数求导得到其导函数，然后再令导函数等于0，求解出所有可能的最大值和最小值。

第二步，我们需要检查这些最大值和最小值是否为有效的极限值。

我们可以通过二阶导数测试来判断这些值是否为极大值或极小值。

如果是极大值或极小值，则它们是极限值。

第三步，我们需要将极限值带入变积分上限函数，求解出相应的极限值。

这就是我们所要求解的答案。

举个例子来说明：假设有函数f(x)=∫0^x e^{t^2} dt，我们需要求解该函数在x=2处的极限值。

首先，我们对该函数求出导函数，即f'(x)=e^{x^2}。

我们可以看出，该导函数始终大于0，因此该函数无极小值和极大值。

由于我们无法通过导数测试来判断极限值，所以我们只能尝试将x=2代入变积分上限函数中，得到f(2)=∫0^2 e^{t^2} dt的近似值。

我们可以通过数值算法求解该积分，并最终得到f(2)的极限值。

综上所述，变积分上限函数求极限并不是一件难事，只要按照一定的步骤进行求解，就可以得到所要求的答案。

运用定积分求极限修正后：求极限的方法层出不穷，但最常用的方法有极限的定义和性质、重要极限的结论、洛必达法则以及泰勒公式等。

应用极限的定义时，往往是在极限的结果已经比较明显，只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果。

但这种方法一方面叙述上比较麻烦，另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子。

重要极限的结论形式上要求非常严格，只能解决两种形式的极限问题。

洛必达法则是用于解决“$\frac{0}{0}$”型的极限和“$\frac{\infty}{\infty}$”型极限的。

泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题，通过___展式后可以达到某些项抵消效果。

但若仔细观察这些方法，其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识。

事实上，微分学和积分学的关系正如中小学时代研究过的加法与减法、乘法与除法、乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样，它们互为逆运算。

如果也能用到积分学知识来解决求极限的问题，那么求极限的方法才算完美。

而利用定积分求极限正体现了这一理念。

下面回顾一下定积分以及极限的定义：定积分：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义，在闭区间$[a,b]$内任意插入$n-1$个分点将$[a,b]$分成$n$个区间$[x_{i-1},x_i]$，记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,2,\dots,n)$，$\forall \xi\in[x_{i-1},x_i]$，作乘积$f(\xi_i)\Delta x_i$（称为积分元），把这些乘积相加得到和式$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Deltax_i$（称为积分形式）。

设$\lambda=\max\{\Delta i\leq n\}$，若$\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$极限存在唯一且该极限值与区间$[a,b]$的分法$\lambda\to 0$及分点$\xi_i$的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数$f(x)$在$[a,b]$上的定积分，记作$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$，即$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$。

积分上限函数
积分上限函数（integrallimitfunction）是一类函数，用来描述某种函数序列的极限情况，它由一个无穷级数的累积和构成，加快无穷级数的收敛速度，可以让无穷级数在有限情况下更好地近似极限函数。

一般来说，积分上限函数可以用数学积分和渐进表示形式定义。

简单地说，积分上限函数就是通过把一系列函数由小到大求和后逐步收敛到极限函数。

其计算结果可以用下列形式表示：如果有序列（fn），则当n→∞时，`lim``(Σ_(n=1)^Nf_n(x)) = F(x)，或lim_(h→0)Σ_(n=1)^Nf_n(x)h = F(x)`。

积分上限函数的实际应用非常广泛，可以用来描述各种现象的变化规律。

例如，它可以用来表示分子的结构变化，描述力学系统的运动规律，以及描述两种不同质量的粒子的交互作用。

此外，它还可以被应用于复杂系统的数值分析中，可以用来计算系统中的关键参数，为系统的优化提供有效支持。

另外，积分上限函数也可以用来描述统计分布的随机性。

它可以用来模拟随机漫步行为，或者描述某些实际问题中随机变量的分布情况，例如随机变量的期望值、方差等。

有时候也可以用来描述不确定性和分布偏差，以及模拟数据分析等场景。

此外，积分上限函数还可以用来对函数的精确结果进行投影，以此来拟合实际问题。

它可以用来拟合函数中的等式到一个给定的上限或下限，并分析函数的变化情况。

总之，积分上限函数在数学中有着广泛的应用，它可以用来描述许多实际问题、实际现象的变化以及解决实际问题的有效支持。

它的计算结果具有一定的可靠性，可以作为支持决策的有力依据。

关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。

弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。

1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。

这是积分上限函数的良好性质。

而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。

（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。

它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。

我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。

定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。

科技信息定理１：连续函数的定积分一定存在根据该定理，只要ｙ＝ｆ（ｘ）是连续函数，ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍλ→０ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）Δｘｉ，而且该极限与｛ξｉ｝的取法无关，与｛ｘｉ｝的分法无关。

其中Δｘｉ＝ｘｉ－ｘｉ－１。

正因为该极限与｛ξｉ｝的取法无关，与｛ｘｉ｝的分法无关，经常取｛ｘｉ｝使［ａ，ｂ］区间等分，取ξｉ＝ｘｉ或ξｉ＝ｘｉ－１所以Δｘｉ＝ｂ－ａｎ，ξｉ＝ａ＋ｂ－ａｎｉ或ξｉ＝ａ＋ｂ－ａｎ（ｉ－１）。

于是：ｌｉｍλ→∞ｂ－ａｎｎｉ＝１"ｆ（ａ＋ｂ－ａｎｉ）＝ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ或ｌｉｍλ→∞ｂ－ａｎｎｉ＝１"ｆ（ａ＋ｂ－ａｎ（ｉ－１））＝ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ一、形如ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）Δｘｉ的极限推论１如果函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上可积，将区间［ａ，ｂ］等分为ｎ个小区间，ξｉ为小区间ｉ－１ｎ（ｂ－ａ），ｉｎ（ｂ－ａ#$）上任意一点，Δｘｉ＝ｂ－ａｎ，则ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍｎ→∞ｂ－ａｎｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）。

例１．求极限ｌｉｍｎ→∞（ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋…＋ｎｎ２＋ｎ２）解：原式＝ｌｉｍｎ→∞１ｎｎｉ＝１"１１＋（ｉｎ）２＝ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"１ｎ１１＋（ｉｎ）２＝ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）１ｎ（１）（１）式是函数ｆ（ｘ）＝１１＋ｘ２在区间［０，１］上的一个积分和，它是把区间［０，１］分成ｎ等份，ξｉ取ｉ－１ｎ，ｉｎ%&的右端点构成的积分和，由推论１可得ｌｉｍｎ→∞（ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋…＋ｎｎ２＋ｎ２）＝１０!１１＋ｘ２ｄｘ＝π４利用定积分求ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）Δｘｉ关键为（１）寻找被积函数；（２）确定积分的下限ａ及上限ｂ。

具体步骤如下：（4）通过恒等变形，将Ｓｎ化为特殊形式的积分和：Ｓｎ＝ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）ｂ－ａｎ（5）寻找被积函数ｆ确定积分下限及上限：令ξｉ＝ｘ，被积函数为ｆ（ξｉ）＝ｆ（ｘ）；积分下限ａ＝ｌｉｍｎ→∞ξｋ（ｋ为ｉ的第一个取值）；积分上限ｂ＝ｌｉｍｎ→∞ξｍ（ｍ为ｉ的最后一个取值）。

含变上限积分的极限问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：含变上限积分的极限问题是微积分中一个非常重要且复杂的概念。

在微积分学中，极限是指一个函数在某一点无限逼近某一固定值的过程。

而含变上限积分则是指积分上限是一个变量，而不是一个固定值的积分。

涉及到含变上限积分的极限问题通常会更加复杂和抽象。

在这篇文章中，我们将深入探讨含变上限积分的极限问题，并举例说明其应用。

让我们来回顾一下基本的积分和极限的概念。

在微积分中，定积分的概念表示函数在一个区间上的积分值，可以用来计算曲线下方的面积。

而极限则是指一个函数在某一点无限接近某一固定值的过程。

当我们将积分和极限结合在一起，就会产生含变上限积分的极限问题。

考虑一个含变上限积分的函数f(x)，其极限形式可以表示为：\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b(x)}f(x)dxa为积分的下限，b(x)为积分的上限，并且b(x)是一个关于x的函数。

当我们计算这个极限时，我们需要考虑当n趋近无穷大时，积分上限b(x)的变化对积分结果的影响。

为了更好地理解含变上限积分的极限问题，我们可以以一个具体的例子来说明。

考虑函数f(x) = x^2，我们要计算极限\lim_{n \to\infty} \int_{0}^{x}x^2dx。

在这个例子中，积分的上限是x，这意味着积分上限会随着x的变化而变化。

我们首先对积分进行计算：\int_{0}^{x}x^2dx = \frac{1}{3}x^3 \Big|_{0}^{x} =\frac{1}{3}x^3然后，我们计算极限\lim_{n \to \infty} \frac{1}{3}x^3。

我们可以看到，当x趋于无穷大时，积分结果也会趋于无穷大。

这个例子展示了含变上限积分的极限问题的一个简单应用。

含变上限积分的极限问题在实际应用中也经常出现。

在微积分中，我们经常需要求解各种曲线的长度、面积或体积等问题。

这些问题通常会涉及到含变上限积分的极限计算，而计算这些极限值往往需要复杂的数学推导和技巧。

含变上限积分的极限问题
含有变上限积分的极限问题是数学中的一个重要研究内容。

它涉及到了函数序列、积分和极限的概念。

在这类问题中，我们通常考虑一个序列函数$f_n(x)$，其中x是自变量，n是一个正整数。

假设函数$f_n(x)$在某个区间上连续，我们可以定义一个新的函数$F(x)$，称为变上限积分，其表示为：
$$
F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt
$$
其中$a$是积分的下限。

变上限积分表示了在一个固定区间$[a,x]$上，函数$f(t)$的积分结果随着上限x的变化而改变。

接下来，我们希望研究当n趋向于无穷大时，函数序列
$f_n(x)$的极限行为。

也就是说，我们想要找到函数$F(x)$的极限表达式。

这种极限通常表示为：
$$
\lim_{n\to\infty}F_n(x)=\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{x }f_n(t)\,dt
$$
具体的求解方法和技巧会因具体的问题而有所不同。

有时候我们可以利用积分的性质，例如线性性质、积分中值定理、换元积分法等来求解。

有时候我们可能需要利用数学分析相关的定理和方法，例如一致收敛性、逐项积分、逐项求极限等。

总之，含有变上限积分的极限问题是数学中一个复杂且有趣的问题。

它既涉及到了积分的性质，又涉及到了极限的概念，需要我们综合运用数学分析中的各种方法和技巧来进行求解。

这些问题的求解不仅可以提高我们的数学分析能力，还有助于我们更好地理解函数的性质和变化规律。