曲线坐标系下流体力学基本方程组的推导

Chapter 3 流体动力学基本方程例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。

本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。

I 质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。

质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。

在此假设下，对物质体τ有0dd dt τρτ=⎰。

根据输运定理，设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，则有0 CV CSd v ds t ρτρ∂+⋅=∂⎰⎰⎰——质量守恒方程积分形式。

上式亦表明，CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。

由奥高公式得()CSCVv ds v d ρρτ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，于是有()0 CV v d t ρρτ∂⎡⎤+∇⋅=⎢⎥∂⎣⎦⎰。

考虑到τ的任意性，故有()0v t ρρ∂+∇⋅=∂，即 0d v dtρρ+∇⋅= ——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动0=∂∂t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。

2）由0=dt m d δ（m δ为微团的质量）知11d d dt dtρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ∇⋅=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。

3）不可压缩流体0d dt ρ=，故有 0v ∇⋅=。

由奥高公式有 CVCSv ds vd τ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0 CSv ds ⋅=⎰⎰。

不可压缩流动满足的0v ∇⋅=或CSv ds ⋅=⎰⎰是对速度场的一个约束。

例1、1）定常流场中取一段流管，则由CSv ds ⋅=⎰⎰易知：222111S V S V ρρ=；如为均质不可压缩流动，则1122V S V S =。

流体力学动量方程的积分推导理论说明1. 引言1.1 概述本文旨在探讨流体力学中的动量方程，并对其进行积分推导和理论说明。

流体力学是研究液体和气体运动规律的学科，对于各个领域都具有重要意义，如工程、地质等。

而动量方程是描述流体运动的基本方程之一，通过对其积分推导可以得到更加普适且应用广泛的形式。

1.2 文章结构本文主要由四部分组成：引言、流体力学动量方程的积分推导、理论说明和结论。

首先，在引言部分，我们将简要介绍文章的概述、目的以及结构安排，为读者提供一个整体的了解和预期。

然后，在流体力学动量方程的积分推导部分，我们将深入探讨动量守恒定律、Eulerian描述和Lagrangian描述，并详细介绍积分推导过程。

接下来，在理论说明部分，我们将解释动量守恒方程的意义和应用场景，并探讨积分形式与微分形式之间的关系以及考虑动量通量项和边界条件时所需注意的问题。

最后，在结论部分，我们将总结动量方程积分推导的过程，并讨论实际应用中可能遇到的局限性和改进方法，同时探讨流体力学研究的重要性和未来展望。

1.3 目的本文的目的在于提供读者对流体力学动量方程积分推导及其理论说明的全面了解。

通过对动量守恒定律、Eulerian描述和Lagrangian描述进行讨论，我们将详细探究动量方程的积分推导过程，并阐述其在实际应用中的意义和应用场景。

通过理论说明部分，我们将帮助读者理解积分形式与微分形式之间的关系以及考虑边界条件时需要注意的问题。

最后，我们将总结动量方程积分推导过程，并就实际应用中可能遇到的局限性提出一些改进方法，并强调流体力学研究在现实世界中所起到的重要性和未来展望。

通过阅读本文，读者将对流体力学动量方程有一个更加深入和全面的了解。

2. 流体力学动量方程的积分推导:2.1 动量守恒定律:在流体力学中，动量守恒是一个基本原理。

根据牛顿第二定律和质点的动能定理，我们可以得出流体力学中的动量守恒定律。

该定律表明，在一个封闭系统中，流体粒子总动量的变化率等于作用在其上的合外力矢量之和。

一、曲线坐标系下连续性方程的推导曲线坐标系下流体力学基本方程组的推导一、曲线坐标系下连续性方程的推导首先对有限体积内的质量运动运用拉格朗日观点并根据质量守恒定律推导与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程：质量守恒定律告诉我们，同一流体的质量在运动过程中不生不灭。

在流体中取由一定流体质点组成的物质体，其体积为τ，质量为m ，则m τρδτ=⎰()1.1为了与随体符号d 区别开来，这里用δ来表示对坐标的微分。

根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立()0dm ddt dtτρδτ==⎰()1.2根据公式：()()d div dttττϕϕδτϕδτ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭⎰⎰v ()1.3，得 ()()0dm ddiv dt dtt ττρρδτρδτ∂⎛⎫==+= ⎪∂⎝⎭⎰⎰v ()1.4因τ是任意取的，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，于是有：()0div tρρ∂+=∂v()1.5()1.5式就是与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程。

下面将写出它在曲线坐标下的形式。

因为()()()1232313121231231a H H a H H a H H div H H H q q q ∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦a()1.6所以()()()()1232313121231231v H H v H H v H H div H H H q q q ρρρρ∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦v()1.7将()1.7式代入()1.4得到曲线坐标下连续性方程的形式为：()()()12323131212312310v H H v H H v H H t H H H q q q ρρρρ∂∂∂⎡⎤∂+++=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦()1.8二、曲线坐标系下N S -方程的推导首先根据动量定理推导与坐标系选取无关的微分形式的N S -方程：任取一体积为τ的流体如图1所示，设其边界面为S ，根据动量定理，体积τ中流体动量的变化率等于作用在该体积上质量力和面力之和。

Chapter 3Basic Concepts and Equations of Fluids in Motion第三章流体流动的基本概念与方程质量守恒定律、牛顿第二定律、能量守恒定律等是物质运动的普遍原理，流体作为一类物质也应该遵循这些原理。

这些原理刚体运动的方程式在物理学和理论力学中大家已经学习过，适用于流体运动的方程式将在本章讨论。

本章首先介绍描述流体流动的一些基本概念，然后推导出流体流动的基本方程，即连续方程、动量方程、能量方程等。

这些基本概念与方程在流体运动学中的研究中是十分重要的。

3.1 描述流体流动的方法在流体力学的研究中，描述流体的运动一般有两种方法，即拉格朗日法与欧拉法。

3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法着眼于单个流体质点是怎样运动的，以及流体质点的特性是如何随时间变化的。

为了区别流体质点，使用某特定质点在某瞬时的坐标(a, b, c)是比较方便的，坐标(a, b, c)描述的只是某一特定的质点。

在任何瞬时质点的位置可表示为(,,,)(,,,)(,,,)x x a b c t y y a b c t z z a b c t =⎫⎪=⎬⎪=⎭(3.1)对于一给点的坐标(a, b, c)，上述方程组代表的是一特定流体质点的轨迹。

此时，质点是速度可以通过将质点是位置矢量对时间求导数得到。

在笛卡尔坐标系中，质点的速度可表示为(,,,)(,,,)(,,,)x y z dx dx a b c t v dt dtdy dy a b c t v dt dt dz dz a b c t v dt dt ⎫==⎪⎪⎪==⎬⎪⎪==⎪⎭(3.2)加速度为Basic Concepts and Equations of Fluids in Motion222222222222(,,,)(,,,)(,,,)x y z d x d x a b c t a dt dt d y d y a b c t a dt dt d z d z a b c t a dt dt ⎫==⎪⎪⎪==⎬⎪⎪==⎪⎭(3.3)3.1.2欧拉法流体是由无数流体质点组成的连续介质，充满流动流体的空间称为流场。

流体力学的路线图（之一）流体力学基础理论的学习历来被初学者视为畏途，每到学习结束要进入期末考试的时候，老师和学生一样心中难免忐忑，在流体力学这门课上挂科已经成为某种常态。

即使是学习多年的老手也会在具体问题面前感到基础尚不完备，还不够扎实。

这个问题的起源当然与流体运动规律本身的复杂性有关，这个复杂性导致流体力学与大家印象中的“学科”概念有一定的出入。

比如我们在学习高等数学时，很容易发现，数学是一门“咬文嚼字”的学科，里面充满严格定义的概念，不论学习线性代数还是微积分，都是从一些基本公理出发，循着一条严格的逻辑路线，架构起整门课程。

因为数学有这样逻辑严密的特点，所以虽然学起来也不容易，但大家一致认为数学是美的，而且不论谁写的数学书，比如微积分的书，内容都只有程度深浅的差异，而绝没有内容上的巨大差异。

流体力学则有所不同，流体的流动本身是一种连续不断的变形过程，经典的流体力学理论以连续介质假设为基础，将整个流体看作连续介质，同时将其运动看作连续运动。

但是由于流体是复杂的，实际上至今还没有完全掌握其全貌，因此流体力学在建立了基本控制方程后，就开始转而从一些特殊的流动出发，采用根据流动特点进行简化的方式，先建立物理模型，再得到数学模型，进而得到我们在书中经常看到的很多“理论”，比如不可压无旋流、旋涡动力学、水波动力学、气体动力学等等，甚至理论中还包括理论，比如不可压无旋流中还有自由流线理论，等等。

形成一个类似于俄罗斯套娃的学科结构，这种结构容易给人一种支离破碎的印象。

特别是在各个理论之间联系比较薄弱的时候，更容易给人这种印象。

似乎一门课中又包含了很多门“小课”，每门“小课”使用的数学工具也完全不同，甚至很多同行还进一步把自己分成是学气的（比如空气动力学），或者是学水的（比如学船舶的）等等。

就象旅行者要有一张地图才能更高效率地到达目的地一样，如果能有一张流体力学的地图，或者叫路线图（roadmap），应该对初学者有很大帮助。

第三章流体动力学基础本章是流体动力学的基础。

主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。

此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。

第一节流体流动的基本概念1.流线（1）流线的定义流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。

图3-1为流线谱中显示的流线形状。

（2）流线的作法：在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。

流线是欧拉法分析流动的重要概念。

图3-1 图3-2（3）流线的性质（图3-3）a.同一时刻的不同流线，不能相交。

图3-3因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。

b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。

因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。

c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。

因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。

（4）流线的方程（图3-4）根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4设d s为流线上A处的一微元弧长:u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。

所以即展开后得到：——流线方程（3-1）（或用它们余弦相等推得)2.迹线(1)迹线的定义迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。

图3-5中烟火的轨迹为迹线。

(2)迹线的微分方程（3-2）式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。

第四章恒定总流基本方程本章是流体力学在工程上应用的基础。

它主要利用欧拉法的基本概念，引入了总流分析方法及总流运动的三个基本方程式：连续性方程、能量方程和动量方程，并且阐明了三个基本方程在工程应用上的分析计算方法。

第一节总流分析法一、概念1.流管（stream tube ):在流场中取任一封闭曲线（不是流线），通过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成的管状空间称为流管。

判断：棱柱形明渠不存在流管。

错图4-1 流管与元流图4-22.元流（tube flow)流管中的液流称为元流或微小流束（图4-1）。

元流的极限是一条流线（图4-2）。

3.总流（total flow）：把流管取在运动液体的边界上，则边界内整股液流的流束称为总流。

4.过水断面（cross section）：即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流动方向的横断面，如图4-3中的1-1，2-2断面。

判断：均匀流过水断面是一平面，渐变流过水断面近似平面。

对5.控制体：即在流场中划定的一个固定的空间区域，该区域完全被流动流体所充满。

6.控制断面：即控制体（流管）有流体流进流出的两个断面，如图4-4中的3-3，4-4断面。

图4-3 过水断面图4-4 总流、控制体与控制断面判断：恒定总流的能量方程可通过元流的能量方程在整个总流上积分而得。

对二、控制断面的选取1.渐变流的性质渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于平行直线的流动。

均匀流是渐变流的极限。

动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强按静压强的规律（2-11）式分布，如图4-5，即图4-5求证：在恒定渐变流的同一过流断面上各点动水压强按静水压强规律分布，即：。

证明：列出z1方向的N—S方程有：对恒定流，当地加速度为0；对渐变流，迁移加速度近似为0，故根据欧拉加速度的定义：又如图4-6所示：图4-6积分得：即证。

注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上的各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。

流体力学连续性方程，动量方程，能量守恒方程推导过程——广州新宿一次狼我在做热设计仿真的时候复习了流体力学的连续性方程，动量方程和能量守恒方程，就整理出来，分享一下。

其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。

最后就是能量守恒方程。

首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。

我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。

欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。

设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。

如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。

欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。

u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。

p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。

这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。

这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。

前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。

),(t r νν=随体导数表示流体质点在欧拉场内（见流体运动学）运动时所具有的物理量对时间的全导数。