Kalman滤波LMS算法RLS算法清华大学《现代信号处理》讲义

自适应滤波第1章绪论 (1)1．1自适应滤波理论发展过程 (1)1．2自适应滤波发展前景 (2)1．2．1小波变换与自适应滤波 (2)1．2．2模糊神经网络与自适应滤波 (3)第2章线性自适应滤波理论 (4)2．1最小均方自适应滤波器 (4)2．1．1最速下降算法 (4)2．1．2最小均方算法 (6)2．2递归最小二乘自适应滤波器 (7)第3章仿真 (12)3.1基于LMS算法的MATLAB仿真 (12)3.2基于RLS算法的MATLAB仿真 (15)组别：第二小组组员：黄亚明李存龙杨振第1章绪论从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波。

相应的装置称为滤波器。

实际上，一个滤波器可以看成是一个系统，这个系统的目的是为了从含有噪声的数据中提取人们感兴趣的、或者希望得到的有用信号，即期望信号。

滤波器可分为线性滤波器和非线性滤波器两种。

当滤波器的输出为输入的线性函数时，该滤波器称为线性滤波器，当滤波器的输出为输入的非线性函数时，该滤波器就称为非线性滤波器。

自适应滤波器是在不知道输入过程的统计特性时，或是输入过程的统计特性发生变化时，能够自动调整自己的参数，以满足某种最佳准则要求的滤波器。

1．1自适应滤波理论发展过程自适应技术与最优化理论有着密切的系。

自适应算法中的最速下降算法以及最小二乘算法最初都是用来解决有／无约束条件的极值优化问题的。

1942年维纳(Wiener)研究了基于最小均方误差(MMSE)准则的在可加性噪声中信号的最佳滤波问题。

并利用Wiener．Hopf方程给出了对连续信号情况的最佳解。

基于这～准则的最佳滤波器称为维纳滤波器。

20世纪60年代初，卡尔曼(Kalman)突破和发展了经典滤波理论，在时间域上提出了状态空间方法，提出了一套便于在计算机上实现的递推滤波算法，并且适用于非平稳过程的滤波和多变量系统的滤波，克服了维纳(Wiener)滤波理论的局限性，并获得了广泛的应用。

现代信号处理（离散随机信号处理）电子工程系本课程要讨论的主要问题：（1）对信号特性的了解随机信号（随机过程，时间序列––随机过程的一个实现）信号模型→参数估计→现代谱估计：参数化谱估计讨论信号模型及模型参数的估计问题，比较参数谱估计方法和周期图方法的优劣。

（2）对统计意义下最优滤波器设计的研究平稳条件下：Wiener滤波器理论非平稳条件下：Kalman滤波理论上的目标，实际算法可达到的最佳结果（3）对环境的自适应，具备“学习能力”的滤波算法自适应均衡、波束形成、线性自适应滤波器（4）更多信息的利用，挖掘（针对非高斯问题）线性系统、功率谱：二阶矩，高斯过程的完全刻划非线性、多谱：高阶量，循环平稳（5）对时间（空间）–––频率关系的适应性：全局特性与局域特性，小波变换，时频分析信号处理算法设计面向的几个主要因素n信噪比n先验知识n雷达n通信系统n电子对抗n对先验知识的利用：统计基础上的假设、学习过程n算法复杂性与性能要求的匹配性一些进展中的课题盲自适应信号处理序列贝叶斯估计、粒子滤波阵列信号处理等等与信号处理紧密关联的学科人工神经网络统计学习理论模式识别等等教材n张旭东，陆明泉：离散随机信号处理，2005年10月，清华大学出版社主要参考书①S. Haykin, Adaptive Filter theory, Third Edition, Prentice-Hall, 1996，//Fouth Edition 2001 (电子工业出版社均有影印本)①S.M. Kay, Modern Spectral Estimation: Theory & Application,Prentice-Hall, 1988①S.M. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory, Prentice Hall PTR, 1993.①S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic press, 1998，Second Edition 1999①扬福生, 小波变换的工程分析与应用, 科学出版社, 2000.① D. G. Manolakis, et,al. Statistical and Adaptive Signal Processing, Mcgraw-Hall, 2000.①J. G. Proakis, et al. Algorithms for Statistical Signal Processing, Prentice hall, 2002①张贤达现代信号处理第2版清华大学出版社课程成绩n平时作业10％n2个Matlab作业40％（布置后2周内提交）n期末开卷考试50％1.1随机信号基础被噪声干扰的初相位是随机值的正弦波信号本质上均是随机的，但将信号作为随机信号处理，还是做为确定信号处理，与我们的应用目标和我们的先验知识有关，一般地，我们总是选择对应用有利的处理方式。

Kalman滤波原理及算法kalman滤波器一(什么是卡尔曼滤波器卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯, 我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》(线性滤波与预测问题的新方法)。

二.卡尔曼滤波器算法的介绍以下是卡尔曼滤波器核心的5个式子。

X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2)X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) (3)Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) (4)P(k|k)=(I-Kg(k) H)P(k|k-1) (5)下面我们详细介绍卡尔曼滤波的过程。

首先，我们要引入一个离散控制过程的系统。

该系统可用一个线性随机微分方程来描述:X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值:Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。

A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。

Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。

W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。

他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance分别是Q，R(这里我们假设他们不随系统状态变化而变化)。

对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。

下面我们来用他们结合他们的covariances来估算系统的最优化输出。

首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。

卡尔曼滤波总结假设条件：系统的状态由图1所给出的模型决定。

假定),1(k k+Φ，),1(k k+Γ，)0(P 和)(k Q 是已知的，并且是确定性的。

而观测模型由图2给出，其中)1(+kH 和)(k R 也是已知的，并且是确定性的。

它们可以写为,1,0),(),1()(),1()1(=+Γ++Φ=+k k w k k k x k k k x 状态方程)1()1()1()1(++++=+k v k x k H k z 量测方程)1(+k w激励)1(+k图1 一个离散-时间线性系统的状态方程和输出方程的矢量结构图观测转移矩阵 )1(+k xv (k+1)矢量求和激励)1(+k观测矢量 观测误差新状态矢量图2 观测模型的矢量结构图卡尔曼滤波算法：滤波估计由Kalman 所给出的最优线性滤波估计)1|1(ˆ++k k x是由下面的递归矩阵公式决定的，即,0)0|0(ˆ)]|(ˆ),1()1()1()[1()|(ˆ),1()1|1(≥=+Φ+-++++Φ=++k xk k xk k k H k z k K k k xk k k k x 初始条件这里)1(+kK 称为卡尔曼增益卡尔曼增益卡尔曼增益的表达式为,1,0,)]1()1()|1()1([)1()|1()1(1=+++++⨯++=+-k k R k H k k P k H k H k k P k K TT其中)|1(k kP +表示单步预测误差协方差矩阵。

单步预测误差协方差矩阵（单步性能）1,0)0()0|0(),1()(),1(),1()|(),1()|1(==+Γ+Γ++Φ+Φ=+k P P k k k Q k k k k k k P k k k k P TT，初始条件滤波误差的误差协方差矩阵（协方差递归形式）1,0),|1()]1()1([)1|1(=+++-=+k k k P k H k K I k k P ＋性能评价（系统状态的卡尔曼滤波估计的协方差矩阵）1,0],))1|1(ˆ)1(ˆ))(1|1(ˆ)1([()1|1(=++-+++-+=+k k k x k x k k xk x E k k P T＋11|11|----Γ+Φ=k k k k k k kW XXkkk k V XH Z +=式中：k X —— 是一个1⨯n 维矢量，称为k t 时刻的状态矢量。

RLS和LMS自适应算法分析RLS (Recursive Least Squares) 和 LMS (Least Mean Squares) 是两种常见的自适应滤波算法。

它们在信号处理、通信系统和自适应控制等领域得到广泛应用。

本文将对这两种算法进行分析比较。

首先，我们来看看RLS算法。

RLS算法使用最小均方误差准则来自适应调整滤波器系数。

它利用递归方式计算出均方误差的最小值。

RLS算法基于Wiener-Hopf方程，通过解析方法来计算最优系数。

这种方法计算量较大，但是提供了更好的性能。

RLS算法根据观测数据和期望输出之间的误差信号来不断调整滤波器的权重，并且在递归过程中更新这些权重。

相比于LMS算法，RLS算法具有更快的收敛速度和更高的精度。

但是，RLS 算法也存在一些问题，比如计算复杂度高、存储要求大以及对噪声和系统不确定性敏感。

接下来，我们来看看LMS算法。

LMS算法是一种基于随机梯度下降的自适应算法。

在LMS算法中，滤波器的系数通过逐步调整以减小误差标准差。

LMS算法利用误差信号和输入信号之间的乘积来更新滤波器系数。

这种算法简单易于实现，计算复杂度低，并且对存储要求不高。

LMS算法适用于非平稳环境下的自适应滤波问题。

然而，LMS算法的收敛速度较慢，需要一定的迭代次数才能达到最优解，而且对于高阶滤波器，可能存在稳定性问题。

此外，LMS算法对输入信号的统计特性有一定的要求。

综上所述，RLS算法和LMS算法都是常见的自适应滤波算法，它们在不同的应用领域有不同的适用性和特点。

RLS算法在计算复杂度和存储要求上较高，但是具有更快的收敛速度和更高的精度。

LMS算法计算复杂度低，存储要求小，但是收敛速度较慢。

一般情况下，对于较小的系统和较简单的滤波器，可以使用LMS算法，而对于复杂的系统和高阶滤波器，可以使用RLS算法。

在实际应用中，需要根据具体的要求和约束来选择合适的算法。

此外，还可以根据实时计算需求和系统资源限制等因素，对RLS 和LMS算法进行优化和改进，如考虑快速RLS算法和正则化LMS算法等。

卡尔曼滤波算法原理及应⽤卡尔曼滤波是⼀种⾼效率的递归滤波器，它能够从⼀系列的不完全及包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。

卡尔曼滤波在技术领域有许多的应⽤，常见的有飞机及太空船的导引、导航及控制。

卡尔曼算法主要可以分为两个步骤进⾏：预测和更新。

基于最⼩均⽅误差为最佳估计准则，利⽤上⼀时刻的估计值和状态转移矩阵进⾏预测，⽤测量值对预测值进⾏修正，得到当前时刻的估计值。

卡尔曼算法公式预测：1. ˆs(n |n −1)=A ˆs (n −1|n −1)2. P (n )=A ξ(n −1)A T +Q 更新：3. G (n )=P (n )C T [CP (n )C T +R ]−14. ξ(n )=(I −G (n )C )P (n )5. ˆs(n |n )=ˆs (n |n −1)+G (n )[x (n )−C ˆs (n |n −1)]利⽤上⾯五个式⼦可以递推得到状态的估计值ˆs (n |n )。

⽂章的组织如下：1.基本模型及假设2.卡尔曼算法原理及推导3.卡尔曼滤波算法举例4.Matlab 程序1.基本模型与假设状态⽅程（描述物体运动状态）s (n )=As (n −1)+w (n )测量⽅程（利⽤探测器等器件获取物体状态参数）x (n )=Cs (n )+v (n )其中w (n )为过程噪声，v (n )为测量噪声。

假设：w (n )，v (n )，为独⽴零均值的⽩噪声过程，即E [w (n )w T (k )]=Q (n ),n =k 0,n ≠k E [v (n )v T (k )]=R (n ),n =k 0,n ≠kv (n )和s (n )、w (n )不相关，即E [v (n )s (n )]=0E [v (n )w (n )]=02.卡尔曼算法原理及推导基于最⼩均⽅误差准则，通过观测值x (n )求真实信号s (n )的线性⽆偏最优估计。

已知上⼀时刻的估计值ˆs(n −1|n −1)利⽤状态⽅程对s (n )进⾏预测，最佳预测为{{ˆs(n|n−1)=Aˆs(n−1|n−1)利⽤测量⽅程对x(n)进⾏预测，最佳预测为ˆx(n|n−1)=Cˆs(n|n−1)=CAˆs(n−1|n−1)噪声不参与预测。

自适应滤波LMS算法及RLS算法及其仿真1.引言2.自适应滤波LMS算法LMS（Least Mean Square）算法是一种最小均方误差准则的自适应滤波算法。

其基本原理是通过不断调整滤波器的权值，使得输出信号的均方误差最小化。

LMS算法的迭代公式可以表示为：w(n+1)=w(n)+μ*e(n)*x(n)其中，w(n)为滤波器的权值向量，μ为步长因子，e(n)为误差信号，x(n)为输入信号。

通过迭代更新权值，LMS算法逐渐收敛，实现了自适应滤波。

3.RLS算法RLS（Recursive Least Square）算法是一种递归最小二乘法的自适应滤波算法。

相比于LMS算法，RLS算法具有更好的收敛性能和适应性。

RLS算法基于最小二乘准则，通过递归式地计算滤波器权值矩阵，不断优化滤波器的性能。

迭代公式可以表示为：P(n)=(P(n-1)-P(n-1)*x(n)*x(n)'*P(n-1)/(λ+x(n)'*P(n-1)*x(n))) K(n)=P(n)*x(n)/(λ+x(n)'*P(n)*x(n))w(n+1)=w(n)+K(n)*e(n)其中，P(n)为滤波器的协方差矩阵，K(n)为最优权值，λ为遗忘因子（用于控制算法的收敛速度），e(n)为误差信号。

4.仿真实验为了验证LMS算法和RLS算法的性能，我们进行了一组仿真实验。

假设输入信号为一个正弦信号，噪声为高斯白噪声。

我们分别使用LMS和RLS算法对输入信号进行自适应滤波，比较其输出信号和原始信号的均方误差。

在仿真中，我们设置了相同的滤波器长度和步长因子，比较LMS和RLS算法的收敛速度和输出质量。

实验结果表明，相对于LMS算法，RLS 算法在相同条件下具有更快的收敛速度和更低的均方误差。

这验证了RLS 算法在自适应滤波中的优越性。

5.结论本文介绍了自适应滤波LMS算法和RLS算法的原理及其在仿真中的应用。

实验结果表明，相对于LMS算法，RLS算法具有更好的收敛性能和适应性。

第一章 随机信号本章首先介绍了随机信号的基本概念、协方差函数和功率谱密度的定义与性质。

接着，从独立性、不相关性、正交性和相干性这四种基本统计关系出发，讨论了如何进行两个随机信号之间的比较与识别。

随后，介绍了正交信号变换、双正交信号变换和非正交信号变换的基本理论。

最后，以被随机信号激励的线性关系为对象，分析了系统输出与输入之间的统计量的关系，对两个随机信号之间的关系作了更深一步的描述。

一、信号分类连续时间信号 s(t) -∞﹤t ﹤∞离散时间信号 s(k) k 为整数确定性信号（按某函数取值，每时刻值可知）随机信号（每时刻取值未知）：⑴取值是随机的（不能确切已知）⑵取值服从概率分布规律（统计特性确定，但未知）二、两个随机信号的统计量1、互相关函数Rxy （τ）=E{x(t)y *(t-τ)}互相关函数描述的是两个信号共同的部分（特征）。

2、互相关系数τXY ρ()=3、互协方差函数*(){[()][()]}xy x y C E x t m y t m ττ=---4、功率谱：协方差函数的Fourier 变换2()()j f xy P f C e d πτττ∞--∞=⎰三、两个随机信号的统计关系1、统计独立,(,)()()X Y X Y f x y f x f y =2、统计不相关 若C xy （）=0，，则称x(t)和y(t)统计不相关。

3、正交若R xy ()=E{x(t)y *(t-)}=0, ,则称随机信号x(t)和y(t)正交，记作x(t)⊥y(t)。

四、信号变换1、正交信号变换 (1）Фk （t ）=g k (t) （2）(),()()k l t t k l δ<ΦΦ>=-2、双正交信号变换（1）()()k k t g t Φ≠ （2）(),()0k k t g t <Φ>= 3、非正交信号变换（1）()()k k t g t Φ≠ （2）(),()0k k t g t <Φ>≠第二章 参数估计理论本章的核心是参数估计的基本理论与方法。

LMS与RLS自适应滤波算法性能比较LMS(最小均方)自适应滤波算法和RLS(递推最小二乘)自适应滤波算法是两种常见的自适应滤波算法。

它们都可用于滤波器自适应参数的更新，以便满足所需的滤波器性能。

以下是对LMS和RLS自适应滤波算法性能进行比较的一些主要方面。

1.算法原理和复杂度LMS算法是一种梯度下降法，基于误差信号和输入信号的乘积构建更新过程。

它的更新过程简单，易于实现，并且具有较低的计算复杂度。

相比之下，RLS算法不仅考虑了误差信号和输入信号的乘积，还包括过去输出和输入信号的一些特定值，以构建更准确的更新过程。

这导致了更复杂的计算，因此RLS算法的计算复杂度较高。

2.收敛速度和稳定性LMS算法的收敛速度通常较慢，这是因为它只使用局部梯度信息来进行参数更新。

它可能需要更多的迭代次数才能达到所需的滤波器性能。

相反，RLS算法具有更快的收敛速度，这是因为它利用全局信息进行参数更新。

然而，RLS算法对计算误差更敏感，当计算误差较大时，参数更新可能会变得不稳定。

3.对突变信号的适应性LMS算法通常对突变信号有较好的适应性，这是因为它每次只使用部分信息进行参数更新。

当输入信号突然发生变化时，LMS可以相对更快地适应。

与之相反，RLS算法对突变信号的适应性较差，因为它更关注整个信号的统计特性。

当输入信号发生突变时，RLS可能需要更长的时间来重新估计滤波器参数。

4.计算复杂度由于LMS算法只使用局部信息进行参数更新，其计算复杂度较低。

通常，LMS算法的计算复杂度与滤波器长度成正比。

相反，RLS算法会使用全局信息进行参数更新，因此其计算复杂度较高。

通常情况下，RLS算法的计算复杂度与滤波器长度的平方成正比。

综上所述，LMS算法和RLS算法在性能方面有一些明显的区别。

LMS 算法适用于计算资源有限的应用，但它的收敛速度相对较慢。

相反，RLS 算法具有更快的收敛速度，但计算复杂度较高。

因此，对于不同的应用需求，可以选择适合的算法来实现自适应滤波器的性能优化。

卡尔曼滤波详解这篇主要介绍卡尔曼滤波公式详细推导，使用示例参考卡尔曼滤波示例。

Kalman Filter简单介绍主要讲解基本的卡尔曼滤波算法，有时候也说是离散或者线性卡尔曼滤波。

首先来看一个数学公式，这部分仅仅是给定一个思路，和最后实际算法无关。

目前考虑到要估计当前系统的状态，而且有两个已知量，一个上一个状态的估计值以及当前状态的测量值，这两个都有一定的噪声，需要做的就是把这两个结合起来，很简单的思路就是按照比例相加得到当前状态的估计值：X ^ k = K k ⋅ Z k + ( 1 − K k ) ⋅ X ^ k − 1 \hat{X}_k = K_k \cdot Z_k + (1 - K_k) \cdot \hat{X}_{k-1} X^k=Kk⋅Zk+(1−Kk)⋅X^k−1k k k 表示离散的状态量，可以把它简单的理解为离散的时间间隔。

k=1 表示1ms，k=2 表示2ms；X ^ k \hat{X}_k X^k 是对当前状态的估计值，希望利用上面的公式对每一个 k 都能得到一个较为准确的 X 的值；Z k Z_k Zk 是对当前状态的测量值，当然这个值并不是绝对准确的，会有一定的误差噪声（如果绝对准确，直接用就可以了，也就没必要搞这个卡尔曼滤波算法了）；X ^ k − 1 \hat{X}_{k-1} X^k−1 是对上一状态的估计值，利用这个以及测量值对当前状态进行估计；K k K_k Kk 是卡尔曼增益(kalman gain)，在这里唯一未知的就是这个值，也是需要去求的值。

当然可以直接设置值为0.5，但是这样比较暴力。

最好的方式就是根据每一时刻的状态求一个当前状态最好的增益值，这样的话更好利用以前状态的估计值以及当前测量值来估计一个最优的当前值。

后面卡尔曼滤波算法就是按照上面思路利用上一状态以及测量值去估计当前状态，只不过模型要更加复杂。

基本模型卡尔曼滤波的状态方程，利用线性随机差分方程（Linear Stochastic Difference equation）利用上一个系统状态估计当前系统状态（这里假设上一状态与下一一状态有某种线性关系，比如恒温环境的温度，匀速运动的速度等，但是因为现实环境的复杂，这种线性关系不是完全平滑的，也就是会有一些扰动）：x k = A x k − 1 + B u k − 1 + w x_k = Ax_{k-1} + Bu_{k-1}+w xk=Axk−1+Buk−1+w使用时一般忽略 u u u 控制输入，得到：x k = A x k − 1 + w ( 1.1 ) x_k = Ax_{k-1} + w \qquad {(1.1)} xk=Axk−1+w(1.1)加上对于当前状态的测量方程（简单来说就是测量值和状态值的线性函数）：z k = H x k + v ( 1.2 ) z_k = Hx_k + v \qquad {(1.2)} zk=Hxk +v(1.2)k − 1 k-1 k−1 和 k k k 分别表示上一状态和当前状态；x ∈ R n x \in R^n x∈Rn 表示要估计的状态；A ∈ R n × n A \in R^{n \times n}A∈Rn×n 表示上一状态到当前状态的转换矩阵；u ∈ R l u \in R^l u∈Rl 表示可选的控制输入，一般在实际使用中忽略；B ∈ R n × l B \in R^{n \times l}B∈Rn×l 表示控制输入到当前状态的转换矩阵；z ∈ R m z \in R^m z∈Rm 表示测量值；H ∈ R m × n H \in R^{m \times n}H∈Rm×n 表示当前状态到测量的转换矩阵；w ∈ R n w \in R^n w∈Rn 表示过程噪声，主要是从上一状态进入到当前状态时，会有许多外界因素的干扰；v ∈ R m v \in R^m v∈Rm 表示测量噪声，主要是任何测量仪器都会有一定的误差；在上面转换矩阵 A A A B B B H H H w ww v v v 是随着状态变化的，在这里没有添加下标，假设是不变的。