行列式计算方法20页PPT

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性质
行列式具有以下基本性质
行列式转置不变
行列式的值与其转置行列式的值相 等。
行列式按行（列）展开
行列式的值等于其任意一行（列）元 素与其对应代数余子式的乘积之和。
行列式的倍数性质
行列式中某一行（列）的所有元素 都乘以一个常数k，则行列式的值也 乘以k。
行列式的消元性质
若行列式中两行（列）成比例，则 行列式的值为0。
例题3
利用数学归纳法计算分块矩阵的行列式。对于具有某种递推关系的分块矩阵，可以利用数 学归纳法进行证明和计算。通过假设当n=k时结论成立，进而证明当n=k+1时结论也成 立，从而得出对于任意正整数n结论都成立的结论。
06
特殊类型行列式的计算方法
箭型行列式的计算
箭型行列式的定义
箭型行列式是一种具有特殊形状的行列式，其主对角线上方的元素构成了一个箭头形状。
计算方法
对于 n 阶箭型行列式，可以先将其化为上三角或下三角行列式，然后直接计算对角线元素的乘积。具体步骤包括 ：利用行列式的性质，将第 1 列的 -1 倍加到其他列上，从而将箭型行列式化为上三角或下三角行列式；计算对 角线元素的乘积。
两三角型行列式的计算
两三角型行列式的定义
两三角型行列式是指行列式的上半部分和下半部分分别呈现三角形形状的行列式。
80%
典型方法
拉普拉斯展开定理，将高阶行列 式按某一行（列）展开为低阶行 列式的和。
典型例题解析
例题1
利用数学归纳法计算范德蒙德 行列式。
例题2
计算含有特定元素的行列式， 如含有三角函数、指数函数等 。
例题3
利用归纳法证明某些特殊类型 的行列式具有特定的性质，如 对称性、反对称性等。

xnx1 xn(xnx1)
0 x2n2(x2x1) x3n2(x3x1)
xnn2(xnx1)
按第一列展开,并提出每一列的公因子(xi -x1)(i=1,2,…,n),得递推
公式:
111
1
x2 x3 x4
xn
Dn(x1,x2, , xn) (x2 x1)(x3 x1) (xn x1) x22 x32 x42
[(x2x1)
(xnx1)][(x3x2)
(xnx2)]
1 [(xn1xn2)(xnxn2)]xn1
1 xn
[(x2x1) (xnx1)][(x3x2) (xnx2)] [(xn1xn2)(xnxn2)](xnxn1)
(xi xj) 1jin
17
（六）拆项法（主对角线上、下元素相同）
ax1 a
23
a1 0
00
0 a2 0 0
0
0
0
ak
0 ak1Dk 0
a 1 a 2 a k a k 1 D k
1 1 1 11
a1a2 a1a2
ak ak1a1a2
ak1(1ki11a1i )
ak(1ik1a1i )
所以 nk1时结论成立，故原命题得证．
24
（八） 范德蒙行列式
11
x1 x2
例、计算行列式 Dn
x
2 1
x 22
x
n
2 1
x n22
x n1 x n2
解：考察 n 1 阶范德蒙行列式
11 x1 x2 f (x) x21 x22
11 xn x x2n x2
1 xn x 2n
x n2n xnn
xn11 xn12 xn1 xn2

2
②
D a xa x D n n n 1 n 2
依次下去，得
2 n 2 ③ D a xa x D x D n n n 1 n 2 2
而
2 D a a x x 2 2 1 a a x 2 1
x
1
④
将 ④代入 ③中得
n 1 n D aa x a x x n n n 1 1
xn x1 xn x2 xn xn 2 1
给加边后的行列式的第1行乘 x
1 x 1 x 2 x 1 0 1 D x n 2 0 1 x 0 0 n
加到第i行上(i=1,2,…,n)得
x n 0 0 1
2 2 2 x 1 x x x x n 1 2 n 1 x 2 0 0 1 0 0 0 0 1
再把第１个行列式按第３列展开，第２个行列式按第２列展开．最终得
x D= ( a 3 b 3 ) y z
y z x
z x y
方法4
降阶法
利用行列式按行按列展开定理将高阶行列式转化为 较低阶行列式求解的方法叫做降阶法. 它可以分为直接降阶法和递推降阶法
直接降阶法用于只需经少量几次降阶就可求得行列 式值的情况。
x1x2 x22 1 xn x2
x1xn x2 xn xn2 1
解 行列式第1列有共同元素 x
1 0 Dn 0 0 x1 x12 1 x2 x1 xn x1
i
1
共同元素 x n .根据这些特点给原行列式加边得
x2 x1 x2 x2 2 1 xn x2
,第2列有共同元素 x ,2…,第 n 列有
n 1 x y 0 0 D x ( 1 ) y n 0 0 x y 0 0 0 x 0 0 x y

例1 计算下列排列的逆序数.
1） ２１７９８６３５４
解： 2 1 7 9 8 6 3 5 4 01 00 13 4 45
t 5 4 4 3 1 0 0 1 0 18
1.2 行列式的性质
一、行列式的性质 二、利用性质计算行列式
返回
一、行列式的性质
a11
记D
a22
ann
a11
DT
a22
ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行 列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
a11 a12 a1n 上三角行列式 0 a22 a2n
0 0 ann
a11a22 ann .
性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
an1 an2
ann an1 an2
a1n bin . ann
性质6 把行列式的第 j 行(列)元素的 k 倍加到第 i 行(列)的对应元素上去，行列式值不变．
1
2 2, 1
2 2r1r2 1
2 2.
34
34 58
二、利用性质计算行列式
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行
相同
第 j行
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
1 p1 2 p2
npn
an1 an2 ann
特点：1. n2个元素
2. 共有n!项代数和
a a ...a 3.每项为取自不同行不同列的元素构成 1p1 2 p2
npn
4.正负项的个数相等
5.当下标排列为偶排列时, 取正号 当下标排列为奇排列时, 取负号
(1) ( p1 p2 ... pn )
例:写出4阶行列式中带 a12a34 的项
x 3 (2x 3 ) x 3
故 x3 的系数为 1.
Ch1 行列式 §4 行列式的性质
一、行列式的性质
记
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D
a21
a22
a2n
DT
a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
又因为行列式D可表示为
D 1 t ap11ap2 2 apnn . 故 D DT .
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
ri rj
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.

设 D
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0

4 2
1 1
100
4 2
1 1
4 2
1 1
200 6 194
18
性质5 (消法)将行列式的某一行(列)的各 元素乘以常数加到另一行(列)的对 应元素上去,则行列式的值不变,即
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 aj1 aj2
ain ai1 ka j1
a jn
a j1
ai2 ka j2 aj2
当 n 1 时， det( A) a11
n
当 n 1 时，det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1)) k 1
n
设 An aij 则 det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1))
k 1
Aij (1)i j det( A(i, j) ) 为 aij 的代数余子式
40
x (n 1)a a a a
x (n 1)a x a a
解
c1ci (i2,3,,n)
Dn x (n 1)a a x a
x (n 1)a a a x 1 a a a 1 x a a [x (n 1)a] 1 a x a
1 a a x 41
1 a a a 0 xa 0 0
rj r1 ( j:2,3,,n)
[x (n 1)a] 0 0 x a 0
0 0 0 xa
[x (n 1)a](x a)n1
42
例2 计算 n 阶行列式（两道一点）
a1 b1
a2 b2
Dn
an1 bn1
bn
an
解 Dn a1a2 an (1)n1bnb1b2 bn1
a1a2 an (1)n1b1b2 bn1bn

行列式展开定理
总结词
外代数中的行列式展开定理是行列式理论的一个重要推广，它涉及到更广泛的代数结构 ，包括向量空间、线性变换和矩阵等。
详细描述
在外代数中，行列式展开定理表述为在任意维度的向量空间中，任意线性变换的行列式 值等于其各个特征值的乘积。这个定理在向量空间和线性变换的研究中具有重要意义，
因为它提供了一种计算行列式值的方法，并且有助于理解线性变换的性质和行为。
多线性代数中的行列式展开定理
总结词
多线性代数中的行列式展开定理是针对 高阶矩阵和多线性映射的行列式值的计 算。
VS
详细描述
在多线性代数中，行列式展开定理表述为 对于一个给定的n阶矩阵A，其行列式值 可以通过对A的每个元素进行求和得到。 这个定理在研究高阶矩阵和多线性映射时 非常有用，因为它提供了一种计算高阶矩 阵行列式值的方法。
《行列式展开定理》ppt课 件
目录
• 行列式展开定理的概述 • 行列式展开定理的证明 • 行列式展开定理的应用 • 行列式展开定理的推广 • 行列式展开定理的习题与解析
01 行列式展开定理 的概述
定义与性质
定义
行列式展开定理是线性代数中的基本 定理之一，它描述了行列式与矩阵元 素之间的关系。
性质
计算多元函数的偏导数
行列式展开定理可以用于计算多元函数的偏导数，通过偏导数的定 义和行列式展开定理，可以方便地计算出偏导数值。
求解多元函数的极值
通过行列式展开定理，可以求解多元函数的极值，利用极值的必要 条件和行列式展开定理，可以找到函数的极值点。
计算高阶导数
利用行列式展开定理，可以方便地计算高阶导数，从而求解一些复 杂的高阶微分方程。
非交换代数中的行列式展开定理

xn 1 D a 0 ( 1 ) n 1 ( 1 ) n 1
xn D 1a0
由此得递推公式：
x 1 0 0 x0
D nxn D 1a0
Dn1 0
0x
因此有：
a1 a2 an2
D n x n 1 D a 0 x ( x n 2 D a 1 ) a 0
0 0
1 x an1
于 D n 是 x n x n 1 a n 1 得 x n 2 a n 2 ： x 1 a 0 a
解法2：从最后一列开始每列乘以x加到前一列，再按第一列展开。
例2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
Dn 0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 0 0 0
0 2 1 0 0
0 1 2 0 0
1
1
1
1
0
Vn 0
x2x1
x2(x2x1)
x3x1
x3(x3x1)
xnx1
xn(xnx1)
0 x2n2(x2x1) x3n2(x3x1) xnn2(xnx1)
按第1列展开
x2x1
x2(x2x1)
x3x1
x3(x3x1)
xnx1
xn(xnx1)
x2 n2(x2x1) x3 n2(x3x1) xn n2(xnx1)
n(n1) a 2
因为:
对于任何两个数码 i , i jk
,在一排列中要么构
成逆序,要么不构成逆序.
0
a2 0 0
0
0
0
0 an
(a0i n1acii bi)a1an
如:练习册P.2 6(2)题
2. 除对角线以外各行元素对应相同,可化成三角形行 列式或箭形行列式