2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科(带答案)

2018年合肥一模数学试卷(理)(含答案)合肥市2018年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1.A2.C3.B4.C5.C6.D7.D8.A9.C10.B11.B12.D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

21.13.14.3.(4,4)三、解答题：17.Ⅰ）根据正弦定理，由已知得：sinA/sinC=sin(A+C)/sinB 即sinAcosC=sinBcosAcosCsin(A+C)=2sinBcosCcosA，……1分sinCcosA=2sinBcosC。

sin(A+C)/sinB=2cosC。

cosC=(XXX)/2cosA，……5分A+C=180°-B。

sinB=sin(180°-A-C)=sin(A+C)，……6分sinB=2cosC。

C(0,a),A(a,0),B(b,0)。

sin(ACB)=sinB。

2cosC=sin(ACB)=b/a。

cosC=b/(2a)，∴C(0,b/(2a))，……7分B(b,0)，∴XXX√(a²+b²)，……8分sinA=2cosCsinB=2b/(a²+b²)。

sinC=2sinBcosC=b/√(a²+b²)，……9分Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理得cosC=[a²+b²-(2ab)/(2ab)]/2ab=1/2。

即a²+b²=2ab，即(a-b)²=0，∴a=b。

sin(ACB)=sinB=b/√(2a²)=1/√2，……11分sin(ACB)的最大值为1/√2，所以cos(ACB)的最小值为1/√2，即cos(ACB)≥1/√2，……12分故选D。

18.Ⅰ）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M，则P(M)=1-C(3,2)/C(6,3)=5/9， (5)分Ⅱ）随机变量X的所有可能取值有0,1,2,3，……6分因为P(X=0)=C(3,0)C(3,3)/C(6,3)=1/20，P(X=1)=C(3,1)C(3,2)/C(6,3)=3/8，P(X=2)=C(3,2)C(3,1)/C(6,3)=3/8，P(X=3)=C(3,3)C(3,0)/C(6,3)=1/20，……10分所以X的分布列为X 0 1 2 3P 1/20 3/8 3/8 1/20故E(X)=0×1/20+1×3/8+2×3/8+3×1/20=33/20，……12分故选C。

2018安徽数学<理科）试题 第Ⅰ卷<选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选题中，只有一项是符合题目要求的.fB1ZBk3ZyS <1）设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 为 (A>2(B> -2(C> 21-(D>21<2）双曲线8222=-y x 的实轴长是 (A>2(B> 22(C> 4(D> 24<3）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(,则=)1(f(A>-3 (B>-1 (C> 1(D>3<4）设变量x,y 满足|x|+|y|≤1，则x+2y 的最大值和最小值分别为 (A> 1,-1(B> 2,-2(C>1,-2(D>2,-1<5）在极坐标系中，点)3,2(π到圆θρcos 2=的圆心的距离为 (A> 2(B> 942π+(C>912π+(D>3<6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(A>48(B> 17832+(C>17848+(D>80<7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 (A> 所有不能被2整除的整数都是偶数 (B> 所有不能被2整除的整数都不是偶数 (C>存在一个不能被2整除的整数是偶数(D> 存在一个能被2整除的整数不是偶数<8）设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8}，则满足A S ⊆且φ≠B S I 的集合S 的个数是(A>57 (B> 56 (C> 49(D>8<9）已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对Rx ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是(A> )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B>)(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ (C>)(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ (D>)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ <10）函数n m x ax x f )1()(-=在区间[0,1]上的图像如图所示，则m,n 的值可能是(A> m=1,n=1(B> m=1,n=2(C> m=2,n=1(D> m=3,n=1fB1ZBk3ZyS 第Ⅱ卷<非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

合肥市第一次教学质量检测数学（理）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数i z 43+=，z 表示复数z 的共轭复数，则iz ＝（ A ．5 B ．5 C ．6 D ．62．设集合{0,},S a =T=2{|2},x x ∈Z <则“1a =”是“ST ⊆ A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的结果是（ ）A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 4．过坐标原点O 作单位圆221x y +=的两条互相垂直的半径O A 、在该圆上存在一点C ，使得O C a O A b O B =+（a b R ∈、）确的是（ ）A ．点(),P a b 一定在单位圆内B ．点(),P a b 一定在单位圆上C ．点(),Pa b 一定在单位圆外 D ．当且仅当0a b =时，点(),P a b 在单位圆上5．过双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．14D ．46． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）221 12正视图侧视图俯视图A ．18+ B ．24+C ．24+．36+7、已知函数()s in s in 44f x x x ππ=--+，则一定在函数()y f x =图像上的点是（ ）A ．(),()x f x -B ．(),()x f x -C ．,()44x f x ππ⎛⎫---⎪⎝⎭ D ．,()44x f x ππ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭8．在ABC ∆中，已知c B a =cos 2， 212sin)cos 2(sin sin 2+=-C C B A ，则ABC ∆为（ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ． 钝角三角形9．已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥511y x y x 时，)0(>≥+=b a b y a x z 的最大值为1，则b a +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1010．对于函数()f x ，若∀,,a b c R ∈， ()()(),,f a f b f c 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”．已知函数()1x xe tf x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ． [)0,+∞B ．[]0,1C ．[]1,2D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若随机变量ξ～)1,2(N ，且)3(>ξP ＝0.1587，则=>)1(ξP __________. 12．已知数列{}n a 满足12()n n a a n N ++=∈且21a =,则=20142log a .13．若nxx )3(-展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为_____________．14．某办公室共有6人，组织出门旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙两人的关系较为亲密，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有 种 15．已知直线：1cos sin =+y bx aθθ（b a ,为给定的正常数，θ为参数，ACDEF)2,0[πθ∈）构成的集合为S,给出下列命题：①当4πθ=时，S 中直线的斜率为ab ；②S 中所有直线均经过一个定点；③当a b =时，存在某个定点，该定点到S 中的所有直线的距离均相等； ④当a ＞b 时，S 中的两条平行直线间的距离的最小值为b 2； ⑤S 中的所有直线可覆盖整个平面．其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．三、解答题：本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知1c o s ()c o s (),(,63432ππππααα+⋅-=-∈求：（Ⅰ）α2sin ； （Ⅱ）1ta n ta n αα-．17．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，且AD=DC=CB=12AB ．直角梯形ACEF 中，1//2E F A C ，F A C ∠是锐角，且平面ACEF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：B C ⊥A F ；（Ⅱ）若直线DE 与平面ACEF 所成的角的正切值是13，试求F A C ∠的余弦值．18．（本小题满分12分）已知函数)(,4)(23R x bx ax x x f ∈+++=在2x =处取得极小值．x（Ⅰ）若函数)(x f 的极小值是4-，求)(x f ；（Ⅱ）若函数)(x f 的极小值不小于6-，问：是否存在实数k ，使得函数)(x f 在[],3k k +上单调递减.若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的右焦点为F （1,0），设左顶点为A ，上顶点为B ,且BF AB FB OF ⋅=⋅，如图．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若)0,1(F ，过F 的直线l 交椭圆于N M ,两点， 试确定FN FM ⋅的取值范围．20．（本小题满分13分）某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检，现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1，2，3，4，…，9；6个国产品牌奶粉的样品编号为10，11，12，…，15，按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样，从其中抽取5个样品进行首轮检验，用),(j i P 表示编号为j i ,)151(≤<≤j i 的样品首轮同时被抽到的概率．（Ⅰ）求)15,1(P 的值；（Ⅱ）求所有的),(j i P )151(≤<≤j i 的和．21．（本小题满分13分） 已知函数xn x x f n +=)(，（x ＞0，),1Z n n ∈≥，以点))(,(n f n n 为切点作函数)(x f y n =图像的切线n l ，记函数)(x f y n =图像与三条直线n l n x n x ,1,+==所围成的区域面积为n a 。

安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学文试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知集合）B. D.【答案】B本题选择B选项.2. 已知函数）B. 2C. 4D. 11【答案】C本题选择C选项.点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．3.D.【答案】A本题选择A选项.4. 7项的和等于（）A. 112B. 51C. 28D. 18【答案】C，则数列的前7项和为：本题选择C选项.5. 某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是（）【答案】D【解析】每小时60分钟内，新闻播放的时间为10分钟，由几何关系计算公式可得：本题选择D选项.6. ）A. B.C. D.【答案】ACD错误；B错误；本题选择A选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．7. 10，则输出的结果是（）【答案】C【解析】结合流程图可知程序运行如下：此次循环不满足，输出本题选择C选项.点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．8.）【答案】D的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，，本题选择D选项.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）【答案】C，.本题选择C选项.10. 已知数列）C.【答案】A...........................，公比为本题选择A选项.11. 已知直线(其中为自然对数的底数)，则实数的值是（）【答案】C，即,结合题中所给的切线本题选择C选项.12. 如图，的三等分点，则）【答案】D的中点，结合中点坐标公式可得：，则：本题选择D选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】114. __________．【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：15. 若双曲线的一条渐近线被圆2，则该双曲线的离心率等于__________．【解析】圆的标准方程为半径为一条渐近线方程为216. 如图，沿对角线__________．【解析】由题意可知，△ABD是等边三角形，找到△ABD，作，利用面面垂直的性质可知：ABD的外接圆圆心，.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1）求证：（25.【答案】(1)证明见解析；【解析】试题分析：（1（2）由（1由面试题解析：（1，故（2）由（1，得.18. 一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况.调查人员从年龄180人，调查结果如表：（1）为推广移动支付，商场准备对使用移动支付的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该商场预计有12000人购物，试根据上述数据估计，该商场当天应准备多少个环保购物袋？（2）某机构从被调查的使用移动支付的顾客中，按分层抽样的方式抽取7人作跟踪调查，并给其中2人赠送额外礼品，求获得额外礼品的2.【答案】(1)7000个；【解析】试题分析：（1个；（2）按年龄分层抽样时，抽样比例为3211人.列出所有可能的基本事件，结合古典概型计算公式可得获得额外礼品的2试题解析：（1若当天该商场有12000人购物，则估计该商场要准备环保购物袋个；（2，所以应从内抽取3人，2内抽取1人，从内抽取1人.3其他47个人中选取2 人赠送额外礼品，有以下情况：共有21种不同的情况，其中获得额外礼品的23种，所以，获得额外礼品的2人年龄都在19. 如图，中，是正方形，平面，，.（1（2求三棱锥.【答案】(1)证明见解析；【解析】试题分析：（1最后利用面面平行的判断定理可得平面（2由几何关系可证得AC则试题解析：（1为平行四边形，∴平面（2∴AC∴三棱锥的体积为.20. 4 5.（1（2的两条平行直线分别经过点与抛物线..【答案】(2)答案见解析.【解析】试题分析：（15（2联立直线方程与抛物线方程有求解方程可得满足条件的试题解析：（1 5.的准线为，∴抛物线的方程为.（2）由已知得，直线这时，恒成立，，的面积得，有唯一实数解2 (满足大于1)，∴满足条件的的值为.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．21. 已知函数（1）求函数的单调区间；（2时，求证：【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1原问题转化为考查二次函数的性质可得：（2.结合导函数的性质可知当时，取得最大值，即成立.试题解析：（1.恒成立，综上，当时，函数的单调递增区间为，当时，；当时，，在取得最大值，.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 为参数)为极点，.（1）求曲线（2）若曲线上有一动点上有一动点.【答案】【解析】试题分析：（1（2）由（1的圆心为 1..试题解析：（1（2）由（1 1.上的动点23. 已知函数.（1）解关于的不等式（2）若关于的不等式的解集不是空集，求.【答案】【解析】试题分析：（1（2结合绝对值三角不等式的性质可得试题解析：（1所以，原不等式的解集为（2..。

安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则()()2342i i i +-=-（ ）A ．5B ．5iC ．71255i --D ．71255i -+2.已知等差数{}n a ，若2510,1a a ==，则{}n a 的前7项的和是（ ）A ．112B ．51C ．28D ．18 3.已知集合M 是函数12y x=-的定义域，集合N 是函数24y x =-的值域，则M N ⋂=（ ）A ．12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭B ．142x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭C ．()1,2x y x ⎧<⎨⎩且}4y ≥- D ．∅4.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =-，该双曲线的离心率是（ ）A ．5B ．3C ．5D ．23 5.执行如图程序框图，若输入的n 等于10，则输出的结果是（ ）A ．2B ．3-C ．12-D ．136.已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布()100,4N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[]98,104内的产品估计有（ ）（附：若X 服从()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=） A ．3413件 B ．4772件 C ．6826件 D ．8185件7.将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos2sin 2y x x =+的图像，则,a ϕ的可能取值为（ ）A ．,22a πϕ== B ．3,28a πϕ== C ．31,82a πϕ== D ．1,22a πϕ== 8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2018a =（ ）A ．201821- B ．201836- C ．20181722⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．201811033⎛⎫-⎪⎝⎭9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．518π+B ．618π+C ．86π+D ．106π+10.已知直线210x y -+=与曲线x y ae x =+相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．e 11.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元12.已知函数()()22,2xe f x x x g x x =-=+(其中e 为自然对数的底数），若函数()()h x f g x k =-⎡⎤⎣⎦有4个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．221,1e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若平面向量,a b 满足2,6a b a b +=-=，则a b ⋅= ．14.已知m 是常数，()543252054311 a x a x a x a x a x a mx +++++-=，且12345533a a a a a a +++++=，则m = ．15.抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (第一象限内．．．．．)作l 的垂线PQ ,垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为 ．16.在四面体ABCD 中，2,60,90AB AD BAD BCD ==∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒,则四面体ABCD 外接球的半径为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos 0a b C c A -+=. （1）求角C ；（2）若23c =，求ABC ∆的周长的最大值.18.2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科 学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量X 表示他所选考的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望.19.如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF DE =，点M 为棱AE 的中点.（1）求证：平面//BMD 平面EFC ；（2）若2DE AB =，求直线AE 与平面BDM 所成的角的正弦值.20.在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点12,F F ，交y 轴于点12,B B .以12,B B 为顶点，12,F F 分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设经过点()2,0-的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，求2F MN ∆面积的最大值. 21.已知()()()ln 21af x x a R x=-+∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x ax ≤恒成立，求a 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线13cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2cos 0C ρθ-=.（1）求曲线2C 的普通方程；（2）若曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，求MN 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）解关于x 的不等式()()11f x f x -+≤；（2）若关于x 的不等式()()1f x m f x <-+的解集不是空集，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: A CBCC 6-10: D DACB 11、12：BD二、填空题13. 1- 14. 3 15.()4,4 三、解答题17. 解：（1）根据正弦定理，由已知得：()sin 2sin cos sin cos 0A B C C A -+=， 即sin cos sin cos 2sin cos A C C A B C +=， ∴()sin 2sin cos A C B C +=，∵A C B π+=-，∴()()sin sin sin 0A C B B π+=-=>， ∴sin 2sin cos B B C =，从而1cos 2C =.∵()0,C π∈，∴3C π=.（2）由（1）和余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，即2212a b ab +-=，∴()2212332a b a b ab +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，即()248a b +≤ (当且仅当23a b ==时等号成立）. 所以，ABC ∆周长的最大值为4363c +=.18. （1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，则()3336119112020C P M C =-=-=，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为1920. （2）随机变量X 的所有可能取值有0, 1，2，3. 因为()211105480P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,()2124111311545448P X C ⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，()212413133325445480P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()243935420P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以()11033360123 2.380808080E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：连结AC ，交BD 于点N ， ∴N 为AC 的中点，∴//MN EC .∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ， ∴//MN 平面EFC .∵,BF DE 都垂直底面ABCD ， ∴//BF DE .∵BF DE =，∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF . ∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴//BD 平面EFC .又∵MN BD N ⋂=，∴平面//BDM 平面EFC . （2）由已知，DE ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形.∴,,DA DC DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -. 设2AB =，则4DE =，从而()()()()2,2,0,1,0,2,2,0,0,0,0,4B M A E ， ∴()()2,2,0,1,0,2DB DM ==，设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =， 由00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22020x y x z +=⎧⎨+=⎩.令2x =，则2,1y z =-=-，从而()2,2,1n =--.∵()2,0,4AE =-，设AE 与平面BDM 所成的角为θ，则45sin cos n AE n AE n AEθ⋅=⋅==⋅， 所以，直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值为45.20.（1）由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上.设椭圆E 的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，则b c =，∴22222a b c b =+=，∴椭圆E 的标准方程为222212x y b b+=.又∵椭圆E过点⎛ ⎝⎭，∴2211212b b +=，解得21b =. ∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）由于点()2,0-在椭圆E 外，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k ，则直线():2l y k x =+，设()()1122,,,M x y N x y . 由()22212y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，2222)128820k x k x k +++-=（. 由 0∆>得2102k ≤<，从而22121222882,1212k k x x x x k k --+==++，∴12MN x =-=.∵点()21,0F 到直线l的距离d =，∴2F MN ∆的面积为12S MN d =⋅=令212k t +=，则[)1,2t ∈，∴S===， 当134t =即[)441,233t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时，S 有最大值，maxS =，此时k =.所以，当直线l 的斜率为时，可使2F MN ∆ 21.（Ⅰ）()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，()()2222222121a x ax a f x x x x x -+'=-=--.∵2210,0x x ->>. 令()222g x x ax a =-+，则 （1）若0∆≤，即当02a ≤≤时，对任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x ≥恒成立， 即当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '≥恒成立（仅在孤立点处等号成立）.∴()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）若0∆>，即当2a >或0a <时，()g x 的对称轴为2ax =. ①当0a <时，02a <，且11022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭. 如图，任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x >恒成立， 即任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>恒成立，∴()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.②当2a >时，12a > ，且11022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭.如图，记()0g x =的两根为()()2212112,222x a a a x a a a =--=+-∴当()121,,2x x x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >；当(211,222a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，()0g x <. ∴当()121,,2x x x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<.∴()f x 在11,2x ⎛⎫⎪⎝⎭和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减.综上，当2a ≤时，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当2a >时，()f x 在(11,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,2a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在((11,22a a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减.（Ⅱ）()f x ax ≤恒成立等价于1,2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x ax -≤恒成立.令()()()ln 21a h x f x ax x ax x =-=-+-，则()f x ax ≤恒成立等价于1,2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，()()01h x h ≤= ()*.要满足()*式，即()h x 在1x =时取得最大值. ∵()()()32222221ax a x ax ah x x x -++-+'=-.由()10h '=解得1a =.当1a =时，()()()()2212121x x x h x x x --+'=-，∴当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<.∴当1a =时，()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()()10h x h ≤=，符合题意.所以，1a =.22. （1）由2cos 0ρθ-=得：22cos 0ρρθ-=. 因为222,cos x y x ρρθ=+=，所以2220x y x +-=， 即曲线2C 的普通方程为()2211x y -+=.（2）由（1）可知，圆2C 的圆心为()21,0C ，半径为1. 设曲线1C 上的动点()3cos ,2sin M θθ， 由动点N 在圆2C 上可得：2min min1MN MC =-.∵2MC =当3cos 5θ=时，2minMC =∴2min min11MN MC =-=. 23.（1）()()1121211f x f x x x -+≤⇔--+≤，四川奥邦药业集团.11 1221211x x x ⎧≥⎪⇔⎨⎪---≤⎩或112212211x x x ⎧-<<⎪⎨⎪---≤⎩或1212211x x x ⎧≤-⎪⎨⎪-++≤⎩ 12x ⇔≥或1142x -≤<14x ⇔≥-， 所以，原不等式的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由条件知，不等式22 11x x m -++<有解，则()min 2121 m x x >-++即可. 由于()1222112211221x x x x x x =-++≥-+++-=+， 当且仅当()()12210x x -+≥，即当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时等号成立，故 2m >. 所以，m 的取值范围是()2,+∞.。

第1页（共24页）页）2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知i 为虚数单位，则＝（ ）A ．5B ．5iC ．D ．2．（5分）已知等差数{a n }，若a 2＝10，a 5＝1，则{a n }的前7项的和等于（ ） A ．112 B ．51C ．28D ．183．（5分）已知集合M 是函数的定义域，集合N 是函数y ＝x 2﹣4的值域，则M ∩N ＝（ ） A ．B ．C ．且y ≥﹣4}D ．∅4．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为y ＝﹣2x ，该双曲线的离心率是（ ） A ．B ．C ．D ．5．（5分）执行如图程序框图，若输入的n 等于10，则输出的结果是（）A．2 B．﹣3 C． D．6．（5分）已知某公司生产的一种产品的质量X（单位：克）服从正态分布N（100，4）．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有（ ）（附：若X服从N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544）A．3413件 B．4772件 C．6826件 D．8185件 7．（5分）将函数y＝cos x﹣sin x的图象先向右平移φ（φ＞0）个单位，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝cos2x+sin2x的图象，则φ，a的可能取值为（ ）A． B． C． D． 8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若3S n＝2a n﹣3n，则a2018＝（ ） A．22018﹣1 B．32018﹣6C．（）2018﹣ D．（）2018﹣9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．5π+18 B．6π+18 C．8π+6 D．10π+6 10．（5分）已知直线2x﹣y+1＝0与曲线y＝ae x+x相切（其中e为自然数的底数），则实数a的值是（ ）A． B．1 C．2 D．e11．（5分）某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A 、B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元12．（5分）已知函数f （x ）＝2|x |﹣x 2，g （x ）＝（其中e 为自然对数的底数），若函数h （x ）＝f [g （x ）]﹣k 有4个零点，则k 的取值范围为 （ ） A ．（﹣1，0） B ．（0，1） C ．（﹣，1）D ．（0，﹣）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）若平面向量满足，则＝ ．14．（5分）已知m 是常数，（mx ﹣1）5＝a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0，且a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝33，则m ＝． 15．（5分）抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P （第一象限内）作l 的垂线PQ ，垂足为Q ．若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为 ．16．（5分）在四面体ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝90°，二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为150°，则四面体ABCD 外接球的半径为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，（a ﹣2b ）cos C +c cos A ＝0． （1）求角C ； （2）若，求△ABC 的周长的最大值．18．（12分）2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》．某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科．每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考．物理、化学、生物为自然科 学科目，政治、历史、地理为社会科学科目．假设某位考生选考这六个科目的可能性相等．（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目．若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.75，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立．用随机变量X表示他所选考的三个科目中考试成绩获A等的科目数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，点M为棱AE的中点．（1）求证：平面BMD∥平面EFC；（2）若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成的角的正弦值．20．（12分）在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2．以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点． （1）求椭圆E的标准方程；（2）设经过点（﹣2，0）的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN面积的最大值．21．（12分）已知．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤ax恒成立，求a的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线（θ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ﹣2cosθ＝0．（1）求曲线C2的普通方程；（2）若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣f（x+1）≤1；（2）若关于x的不等式f（x）＜m﹣f（x+1）的解集不是空集，求m的取值范围．2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知i为虚数单位，则＝（ ）A．5 B．5i C． D．【解答】解：＝．故选：A．2．（5分）已知等差数{a n}，若a2＝10，a5＝1，则{a n}的前7项的和等于（ ） A．112 B．51 C．28 D．18【解答】解：∵等差数列{a n}，a2＝10，a5＝1，∴，解得a1＝13，d＝﹣3，∴{a n}的前7项的和为：S7＝7a1+＝7×13+21×（﹣3）＝28．故选：C．3．（5分）已知集合M是函数的定义域，集合N是函数y＝x2﹣4的值域，则M∩N＝（ ）A． B．C．且y≥﹣4} D．∅【解答】解：解1﹣2x＞0得，x＜；∴；y＝x2﹣4≥﹣4；∴N＝{y|y≥﹣4}；∴．故选：B．4．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为y＝﹣2x，该双曲线的离心率是（ ）A． B． C． D．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，∵双曲线的一条渐近线方程为y＝﹣2x，即＝2，则b＝2a，则双曲线的离心率为e＝＝＝＝＝．故选：C．5．（5分）执行如图程序框图，若输入的n等于10，则输出的结果是（ ）A．2 B．﹣3 C． D．【解答】解：若输入的n等于10，则当i＝1时，满足进行循环的条件，a＝﹣3，i＝2；当i＝2时，满足进行循环的条件，a＝﹣，i＝3；当i＝3时，满足进行循环的条件，a＝，i＝4；当i＝4时，满足进行循环的条件，a＝2，i＝5；当i＝5时，满足进行循环的条件，a＝﹣3，i＝6；当i＝6时，满足进行循环的条件，a＝﹣，i＝7；当i＝7时，满足进行循环的条件，a＝，i＝8；当i＝8时，满足进行循环的条件，a＝2，i＝9；当i＝9时，满足进行循环的条件，a＝﹣3，i＝10；当i＝10时，满足进行循环的条件，a＝﹣，i＝11；当i＝11时，不满足进行循环的条件，故输出的a＝﹣，故选：C．6．（5分）已知某公司生产的一种产品的质量X（单位：克）服从正态分布N（100，4）．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有（ ）（附：若X服从N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544）A．3413件 B．4772件 C．6826件 D．8185件【解答】解：∵X服从正态分布N（100，4），∴P（98≤X＜100）＝0.6826＝0.3413，P（100≤X≤104）＝0.9544＝0.4772，∴P（98≤X≤104）＝0.3413+0.4772＝0.8185．∴质量在[98，104]内的产品估计有10000×0.8185＝8185．故选：D．7．（5分）将函数y＝cos x﹣sin x的图象先向右平移φ（φ＞0）个单位，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝cos2x+sin2x的图象，则φ，a的可能取值为（ ）A． B． C． D． 【解答】解：函数y＝cos x﹣sin x＝的图象先向右平移φ（φ＞0）个单位，得到y＝的图象，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝cos2x+sin2x＝的图象，所以：①a＝②﹣φ+，解得：（k∈Z），故当k＝0时，．故选：D．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若3S n＝2a n﹣3n，则a2018＝（ ） A．22018﹣1 B．32018﹣6C．（）2018﹣ D．（）2018﹣【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，3S n＝2a n﹣3n，∴a1＝S1＝（2a1﹣3），解得a1＝﹣3，S n＝（2a n﹣3n），①，当n≥2时，S n﹣1＝（2a n﹣1﹣3n+3），②，①﹣②，得a n＝﹣﹣1，∴a n＝﹣2a n﹣1﹣3，∴＝﹣2，∵a1+1＝﹣2，∴{a n+1}是以﹣2为首项，以﹣2为公比的等比数列，∴，∴，∴a2018＝（﹣2）2018﹣1＝22018﹣1．故选：A．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．5π+18 B．6π+18 C．8π+6 D．10π+6【解答】解：由题意可知，几何体是两端是半球，中间是圆柱的一半，球的半径为：1，圆柱的高为3，半径为1，所以则该几何体的表面积为：4π×12+π×12+π×3+2×3＝6+8π．故选：C．10．（5分）已知直线2x﹣y+1＝0与曲线y＝ae x+x相切（其中e为自然数的底数），则实数a的值是（ ）A． B．1 C．2 D．e【解答】解：设切点坐标为（m，n）y'|x＝m＝ae m+1＝2，2m﹣n+1＝0，n＝ae m+m，解得，m＝0，n＝1，切点（0，1）而切点（0，1）又在曲线y＝ae x+x上∴a＝1，故选：B．11．（5分）某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A、B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）A．320千元 B．360千元 C．400千元 D．440千元 【解答】解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是，目标函数是z＝2x+y；由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分；由z＝2x+y，结合图象可知，z＝2x+y在A处取得最大值，由，可得A（150，60），此时z＝2×150+1×60＝360（千元）．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝2|x|﹣x2，g（x）＝（其中e为自然对数的底数），若函数h（x）＝f[g（x）]﹣k有4个零点，则k的取值范围为 （ ） A．（﹣1，0） B．（0，1）C．（﹣，1） D．（0，﹣）【解答】解：函数f（x）＝2|x|﹣x2为偶函数，且f（x）的最大值为1，作出f（x）的图象（如右黑线）由g（x）＝的导数为g′（x）＝，可得x＞﹣1时，g（x）递增，x＜﹣2或﹣2＜x＜﹣1时，g（x）递减，x＝﹣1取得极小值，作出g（x）的图象（如右红线），函数h（x）＝f[g（x）]﹣k有4个零点，即为f[g（x）]＝k有四个解，可令t＝g（x），k＝f（t），若﹣1＜k＜0，则t1＜﹣2，t2＞2，则t＝g（x）有3解，不符题意；若0＜k＜1，则k＝f（t）有4解，两个负的，两个正的，则t＝g（x）可能有4，6解，不符题意；若k∈（﹣，1），则k＝f（t）有4解，两个负的，两个正的，（一个介于（，1），一个大于1），则t＝g（x）有6解，不符题意；若k∈（0，﹣），则k＝f（t）有4解，两个负的，两个正的（一个介于（0，），一个大于1），则t＝g（x）有4解，符合题意．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若平面向量满足，则＝ ﹣1 ．【解答】解：由，得，①由，得，②∴．故答案为：﹣1．14．（5分）已知m 是常数，（mx ﹣1）5＝a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0，且a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝33，则m ＝ 3 ．【解答】解：在（mx ﹣1）5＝a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0中， 取x ＝0，得﹣1＝a 0，取x ＝1，得（m ﹣1）5＝a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0， ∴a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝（m ﹣1）5+1＝33， 则（m ﹣1）5＝32， 即m ＝3， 故答案为：3．15．（5分）抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P （第一象限内）作l 的垂线PQ ，垂足为Q ．若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为 （4，4） ．【解答】解：如图，设P （），（t ＞0），则四边形AFPQ 的周长为AF +PF +PQ +AQ ＝16． ∴2+++t ＝16，解得t ＝4，∴点P 的坐标为（4，4）， 故答案为：（4，4）．16．（5分）在四面体ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝90°，二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为150°，则四面体ABCD 外接球的半径为．【解答】解：在四面体ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，二面角A﹣BD﹣C的大小为150°，四面体ABCD外接球，如图：则△BCD在求出一个小圆上，BD的中点为圆心N，△ABD是正三角形，也在球的一个小圆上，圆心为M，作OM⊥平面ABD，ON⊥平面BCD，O为球心，二面角A﹣BD﹣C的大小为150°，作NP⊥BD，则∠ANP＝150°，可得∠ONM＝60°，MN＝，则ON＝，BN＝1，外接球的半径为：＝．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a﹣2b）cos C+c cos A ＝0．（1）求角C；（2）若，求△ABC的周长的最大值．【解答】解：（1）根据正弦定理，由已知得：（sin A﹣2sin B）cos C+sin C cos A＝0， 即sin A cos C+sin C cos A＝2sin B cos C，∴sin（A+C）＝2sin B cos C，∵A+C＝π﹣B，∴sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sin B＞0，∴sin B＝2sin B cos C，从而．∵C∈（0，π），∴．（2）由（1）和余弦定理得，即a2+b2﹣12＝ab，∴，即（a+b）2≤48（当且仅当时等号成立）．所以，△ABC周长的最大值为．18．（12分）2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》．某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科．每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考．物理、化学、生物为自然科 学科目，政治、历史、地理为社会科学科目．假设某位考生选考这六个科目的可能性相等．（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目．若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.75，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立．用随机变量X表示他所选考的三个科目中考试成绩获A等的科目数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M，则，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为． （2）随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3．因为，，，，所以X的分布列为：X 0 1 2 3P．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，点M为棱AE的中点．（1）求证：平面BMD∥平面EFC；（2）若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成的角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于点N，∴N为AC的中点，∴MN∥EC．∵MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，∴MN∥平面EFC．∵BF，DE都垂直底面ABCD，∴BF∥DE．∵BF＝DE，∴BDEF为平行四边形，∴BD∥EF．∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，∴BD∥平面EFC．又∵MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC．解：（2）由已知，DE⊥平面ABCD，ABCD是正方形．∴DA，DC，DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．设AB＝2，则DE＝4，从而B（2，2，0），M（1，0，2），A（2，0，0），E（0，0，4），∴，设平面BDM的一个法向量为，由得．令x＝2，则y＝﹣2，z＝﹣1，从而．∵，设AE与平面BDM所成的角为θ，则，所以，直线AE与平面BDM所成角的正弦值为．20．（12分）在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2．以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点． （1）求椭圆E的标准方程；（2）设经过点（﹣2，0）的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN面积的最大值．【解答】解：（1）由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上．设椭圆E的标准方程为，焦距为2c，则b＝c，∴a2＝b2+c2＝2b2，∴椭圆E的标准方程为．又椭圆E过点，∴，解得b2＝1．∴椭圆E的标准方程为．（2）由于点（﹣2，0）在椭圆E外，所以直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k（x+2），设M（x1，y1），N（x2，y2）．由消去y得，（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2＝0．由△＞0得，从而，∴．∵点F2（1，0）到直线l的距离，∴△F2MN的面积为．令1+2k2＝t，则t∈[1，2），∴＝，当即时，S有最大值，，此时．所以，当直线l的斜率为时，可使△F2MN的面积最大，其最大值．21．（12分）已知．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤ax恒成立，求a的值．【解答】解：（1）f（x）的定义域为，． ∵2x﹣1＞0，x2＞0．令g（x）＝2x2﹣2ax+a，则（1）若△≤0，即当0≤a≤2时，对任意，g（x）≥0恒成立， 即当时，f'（x）≥0恒成立（仅在孤立点处等号成立）．∴f（x）在上单调递增．（2）若△＞0，即当a＞2或a＜0时，g（x）的对称轴为．①当a＜0时，，且．如图，任意，g（x）＞0恒成立，即任意时，f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在上单调递增．②当a＞2时，，且．如图，记g（x）＝0的两根为∴当时，g（x）＞0；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0．∴当时，f'（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0．∴f（x）在和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．综上，当a≤2时，f（x）在上单调递增；当a＞2时，f（x）在和上单调递增， 在上单调递减．（Ⅱ）f（x）≤ax恒成立等价于，f（x）﹣ax≤0恒成立．令，则f（x）≤ax恒成立等价于，h（x）≤0＝h（1）（*）．要满足（*）式，即h（x）在x＝1时取得最大值．∵．由h'（1）＝0解得a＝1．当a＝1时，，∴当时，h'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0．∴当a＝1时，h（x）在上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h （x）≤h（1）＝0，符合题意．所以，a＝1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线（θ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ﹣2cosθ＝0． （1）求曲线C2的普通方程；（2）若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值． 【解答】（1）由曲线C2：ρ﹣2cosθ＝0，得：ρ2﹣2ρcosθ＝0．因为ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，所以x2+y2﹣2x＝0，即：曲线C2的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1．（2）由（1）可知，圆C2的圆心为C2（1，0），半径为1．设曲线C1上的动点M（3cosθ，2sinθ），由动点N在圆C2上可得：|MN|min＝|MC2|min﹣1．∵当时，，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣f（x+1）≤1；（2）若关于x的不等式f（x）＜m﹣f（x+1）的解集不是空集，求m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）﹣f（x+1）≤1⇔|2x﹣1|﹣|2x+1|≤1或或或，所以，原不等式的解集为．（2）由条件知，不等式|2x﹣1|+|2x+1|＜m有解，则m＞（|2x﹣1|+|2x+1|）min即可．由于|2x﹣1|+|2x+1|＝|1﹣2x|+|2x+1|≥|1﹣2x+2x+1|＝2，当且仅当（1﹣2x）（2x+1）≥0，即当时等号成立，故m＞2，所以，m的取值范围是（2，+∞）．赠送—高中数学 必修1知识点 【1.1.1】集合的含义与表示）集合的概念（1）集合的概念.集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.集合中的元素具有确定性、互异性和无序性）常用数集及其记法（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表+示实数集示实数集..（3）集合与元素间的关系）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M Î，或者a M Ï，两者必居其一，两者必居其一. . （4）集合的表示法）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. .②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. . ③描述法：③描述法：{{x |x 具有的性质具有的性质}}，其中x 为集合的代表元素为集合的代表元素. . ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.. （5）集合的分类）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集①含有有限个元素的集合叫做有限集..②含有无限个元素的集合叫做无限集②含有无限个元素的集合叫做无限集..③不含有任何元素的集合叫做空集任何元素的集合叫做空集((Æ).【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等名称名称记号记号意义意义性质性质示意图示意图子集子集B A Í（或)A B ÊA 中的任一元素都属于B(1)A ÍA(2)A ÆÍ(3)若B A Í且B C Í，则A C Í(4)若B A Í且B A Í，则A B =A(B)或B A真子集A ¹ÌB（或B ¹ÉA ）B A Í，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ¹ÆÌ（A 为非空子集）为非空子集）(2)若A B ¹Ì且B C ¹Ì，则A C ¹Ì B A集合集合相等相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ÍB (2)B ÍAA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ³个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集非空真子集. .【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集）交集、并集、补集 名称 记号意义意义性质性质 示意图示意图交集AB{|,x x A Î且}x B Î（1）AA A =（2）A Æ=Æ （3）AB A ÍA B B Í BA并集 A B{|,x x A Î或}x B Î（1）AA A =（2）A A Æ= （3）AB A ÊA B B Ê BA补集U A ð {|,}x x U x A ÎÏ且1()UA A =Æð2()U A A U=ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法）含绝对值的不等式的解法不等式不等式解集解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法）一元二次不等式的解法判别式判别式24b ac D =-0D > 0D = 0D <二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122bx x a ==-无实根无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a¹-R()()()U U U A B A B =痧?()()()U U U A B A B=痧?20(0)ax bx c a ++<>的解集的解集12{|}x x x x << Æ Æ。

安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共 个小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的已知i 为虚数单位，则()()2342i i i+-=-（ ）✌． ．5i ．71255i -- ．71255i -+已知等差数{}n a ，若2510,1a a ==，则{}n a 的前 项的和是（ ）✌．  ．  ．  ． 已知集合M 是函数12y x=-的定义域，集合N 是函数24y x =-的值域，则M N ⋂=（ ）✌．12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ ．142x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭．()1,2x y x ⎧<⎨⎩且}4y ≥- ．∅若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =-，该双曲线的离心率是（ ）✌．5．3 ．5 ．23 执行如图程序框图，若输入的n 等于 ，则输出的结果是（ ）✌． ．3- ．12- ．13已知某公司生产的一种产品的质量X ☎单位：克✆服从正态分布()100,4N 现从该产品的生产线上随机抽取 件产品，其中质量在[]98,104内的产品估计有（ ）（附：若X 服从()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=）✌． 件 ． 件 ． 件 ． 件将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos2sin 2y x x =+的图像，则,a ϕ的可能取值为（ ） ✌．,22a πϕ== ．3,28a πϕ== ．31,82a πϕ== ．1,22a πϕ==已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2018a =（ ）✌．201821- ．201836- ．20181722⎛⎫-⎪⎝⎭．201811033⎛⎫-⎪⎝⎭如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）✌．518π+ ．618π+ ．86π+ ．106π+已知直线210x y -+=与曲线x y ae x =+相切☎其中e 为自然对数的底数✆，则实数a 的值是（ ） ✌．12． ． ．e 某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为 千元 件、 千元 件 甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备 小时，B 设备 小时；生产一件乙产品需用A 设备小时，B 设备 小时 A B 、两种设备每月可使用时间数分别为 小时、 小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）✌． 千元 ． 千元 ． 千元 ． 千元已知函数()()22,2xe f x x x g x x =-=+☎其中e 为自然对数的底数），若函数()()h x f g x k =-⎡⎤⎣⎦有 个零点，则k 的取值范围为（ ）✌．()1,0- ．()0,1 ．221,1e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．2210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共 分）二、填空题（每题 分，满分 分，将答案填在答题纸上） 若平面向量,a b 满足2,6a b a b +=-=，则a b ⋅= ．已知m 是常数，()543252054311 a x a x a x a x a x a mx +++++-=，且12345533a a a a a a +++++=，则m = ．抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P ☎第一象限内．．．．．✆作l 的垂线PQ 垂足为Q 若四边形AFPQ 的周长为 ，则点P 的坐标为 ．在四面体ABCD 中，2,60,90AB AD BAD BCD ==∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒ 则四面体ABCD 外接球的半径为 ．三、解答题 （本大题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos 0a b C c A -+=（ ）求角C ；（ ）若23c =，求ABC ∆的周长的最大值年 月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》 某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科 每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考 物理、化学、生物为自然科 学科目，政治、历史、地理为社会科学科目 假设某位考生选考这六个科目的可能性相等（ ）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（ ）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目 若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是 ，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是 且所选考的各个科目考试的成绩相互独立 用随机变量X 表示他所选考的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF DE =，点M 为棱AE 的中点（ ）求证：平面//BMD 平面EFC ；（ ）若2DE AB =，求直线AE 与平面BDM 所成的角的正弦值在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点12,F F ，交y 轴于点12,B B 以12,B B 为顶点，12,F F 分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点21,2⎛ ⎝⎭（ ）求椭圆E 的标准方程；（ ）设经过点()2,0-的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，求2F MN ∆面积的最大值 已知()()()ln 21af x x a R x=-+∈ （ ）讨论()f x 的单调性；（ ）若()f x ax ≤恒成立，求a 的值请考生在 、 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线13cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩☎θ为参数✆，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2cos 0C ρθ-= （ ）求曲线2C 的普通方程；（ ）若曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，求MN 的最小值 选修 ：不等式选讲 已知函数()21f x x =-（ ）解关于x 的不等式()()11f x f x -+≤；（ ）若关于x 的不等式()()1f x m f x <-+的解集不是空集，求m 的取值范围试卷答案一、选择题 ✌  ✌ 、 ： 二、填空题 1-   ()4,4三、解答题 解：（ ）根据正弦定理，由已知得：()sin 2sin cos sin cos 0A B C C A -+=， 即sin cos sin cos 2sin cos A C C A B C +=， ∴()sin 2sin cos A C B C +=，∵A C B π+=-，∴()()sin sin sin 0A C B B π+=-=>， ∴sin 2sin cos B B C =，从而1cos 2C =∵()0,C π∈，∴3C π=（ ）由（ ）和余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，即2212a b ab +-=，∴()2212332a b a b ab +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，即()248a b +≤ ☎当且仅当23a b ==时等号成立） 所以，ABC ∆周长的最大值为4363c += （ ）记❽某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目❾为事件M ，则()3336119112020C P M C =-=-=，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为1920（ ）随机变量X 的所有可能取值有  ， ，  因为()211105480P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()2124111311545448P X C ⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，()212413133325445480P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()243935420P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以()11033360123 2.380808080E X =⨯+⨯+⨯+⨯= （ ）证明：连结AC ，交BD 于点N ， ∴N 为AC 的中点，∴//MN EC ∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ，∴//MN 平面EFC∵,BF DE 都垂直底面ABCD ， ∴//BF DE ∵BF DE =，∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF ∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴//BD 平面EFC又∵MN BD N ⋂=，∴平面//BDM 平面EFC （ ）由已知，DE ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形∴,,DA DC DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz - 设2AB =，则4DE =，从而()()()()2,2,0,1,0,2,2,0,0,0,0,4B M A E ， ∴()()2,2,0,1,0,2DB DM ==，设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =， 由00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22020x y x z +=⎧⎨+=⎩令2x =，则2,1y z =-=-，从而()2,2,1n =-- ∵()2,0,4AE =-，设AE 与平面BDM 所成的角为θ，则45sin cos n AE n AE n AEθ⋅=⋅==⋅，所以，直线AE 与平面BDM（ ）由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上设椭圆E 的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，则b c =，∴22222a b c b =+=，∴椭圆E 的标准方程为222212x y b b+=又∵椭圆E 过点2⎛ ⎝⎭，∴2211212b b +=，解得21b = ∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=（ ）由于点()2,0-在椭圆E 外，所以直线l 的斜率存在设直线l 的斜率为k ，则直线():2l y k x =+，设()()1122,,,M x y N x y 由()22212y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，2222)128820k x k x k +++-=（ 由 0∆>得2102k ≤<，从而22121222882,1212k k x x x x k k --+==++， ∴()22212222412112k MN k x kk -=+-=++∵点()21,0F 到直线l 的距离231k d k=+，∴2F MN ∆的面积为()()22222413212k k S MN d k -=⋅=+令212k t +=，则[)1,2t ∈，∴()()222123233t t t t S t t ---+-==2232131313248t t t ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭， 当134t =即[)441,233t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时，S 有最大值，max 32S =，此时6k =±所以，当直线l 的斜率为6±时，可使2F MN ∆的面积最大，其最大值32（Ⅰ）()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，()()2222222121a x ax a f x x x x x -+'=-=-- ∵2210,0x x ->> 令()222g x x ax a =-+，则 （ ）若0∆≤，即当02a ≤≤时，对任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x ≥恒成立， 即当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '≥恒成立（仅在孤立点处等号成立） ∴()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增（ ）若0∆>，即当2a >或0a <时，()g x 的对称轴为2ax = ①当0a <时，02a <，且11022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭ 如图，任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x >恒成立， 即任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>恒成立，∴()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增②当2a >时，12a > ，且11022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭如图，记()0g x =的两根为((2212112,222x a a a x a a a =-=+-∴当()121,,2x x x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >； 当(211,222a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，()0g x < ∴当()121,,2x x x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 当()12,x x x ∈时，()0f x '<∴()f x 在11,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减 综上，当2a ≤时，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当2a >时，()f x 在(211,222a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(212,2a a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 在((22112,222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减 （Ⅱ）()f x ax ≤恒成立等价于1,2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x ax -≤恒成立 令()()()ln 21a h x f x ax x ax x =-=-+-，则()f x ax ≤恒成立等价于1,2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，()()01h x h ≤= ()* 要满足()*式，即()h x 在1x =时取得最大值 ∵()()()32222221ax a x ax ah x x x -++-+'=-由()10h '=解得1a =当1a =时，()()()()2212121x x x h x x x --+'=-， ∴当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞时，()0h x '< ∴当1a =时，()h x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()()10h x h ≤=，符合题意所以，1a = （ ）由2cos 0ρθ-=得：22cos 0ρρθ-= 因为222,cos x y x ρρθ=+=，所以2220x y x +-=， 即曲线2C 的普通方程为()2211x y -+=（ ）由（ ）可知，圆2C 的圆心为()21,0C ，半径为  设曲线1C 上的动点()3cos ,2sin M θθ，由动点N 在圆2C 上可得：2min min 1MN MC =- ∵2MC =当3cos 5θ=时，2min MC =∴2min min 11MN MC =-= （ ）()()1121211f x f x x x -+≤⇔--+≤，1221211x x x ⎧≥⎪⇔⎨⎪---≤⎩或112212211x x x ⎧-<<⎪⎨⎪---≤⎩或1212211x x x ⎧≤-⎪⎨⎪-++≤⎩ 12x ⇔≥或1142x -≤<14x ⇔≥-， 所以，原不等式的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ （ ）由条件知，不等式22 11x x m -++<有解，则()min 2121 m x x >-++即可 由于()1222112211221x x x x x x =-++≥-+++-=+， 当且仅当()()12210x x -+≥，即当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时等号成立，故 2m > 所以，m 的取值范围是()2,+∞。

安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则()()2342i i i+-=-（ ）A ．5B ．5iC ．71255i --D ．71255i -+2.已知等差数{}n a ，若2510,1a a ==，则{}n a 的前7项的和是（ ） A ．112 B ．51 C ．28 D ．183.已知集合M 是函数12y x=-的定义域，集合N 是函数24y x =-的值域，则M N ⋂=（ ）A ．12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭B ．142x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭C ．()1,2x y x ⎧<⎨⎩且}4y ≥- D ．∅4.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =-，该双曲线的离心率是（ ）A ．5B ．3C ．5D ．23 5.执行如图程序框图，若输入的n 等于10，则输出的结果是（ ）A ．2B ．3-C ．12-D ．136.已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布()100,4N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[]98,104内的产品估计有（ ）（附：若X 服从()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=） A ．3413件 B ．4772件 C ．6826件 D ．8185件7.将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos2sin 2y x x =+的图像，则,a ϕ的可能取值为（ ）A ．,22a πϕ== B ．3,28a πϕ== C ．31,82a πϕ== D ．1,22a πϕ== 8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2018a =（ ）A ．201821- B ．201836- C ．20181722⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．201811033⎛⎫-⎪⎝⎭9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．518π+B ．618π+C ．86π+D ．106π+10.已知直线210x y -+=与曲线x y ae x =+相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．e 11.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元12.已知函数()()22,2xe f x x x g x x =-=+(其中e 为自然对数的底数），若函数()()h x f g x k =-⎡⎤⎣⎦有4个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．221,1e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若平面向量,a b 满足2,6a b a b +=-=，则a b ⋅= ．14.已知m 是常数，()543252054311 a x a x a x a x a x a mx +++++-=，且12345533a a a a a a +++++=，则m = ．15.抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (第一象限内．．．．．)作l 的垂线PQ ,垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为 ．16.在四面体ABCD 中，2,60,90AB AD BAD BCD ==∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒,则四面体ABCD 外接球的半径为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos 0a b C c A -+=. （1）求角C ；（2）若c =ABC ∆的周长的最大值.18.2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科 学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等. （1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量X 表示他所选考的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望.19.如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF DE =，点M 为棱AE 的中点.（1）求证：平面//BMD 平面EFC ；（2）若2DE AB =，求直线AE 与平面BDM 所成的角的正弦值.20.在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点12,F F ，交y 轴于点12,B B .以12,B B 为顶点，12,F F 分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设经过点()2,0-的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，求2F MN ∆面积的最大值. 21.已知()()()ln 21af x x a R x=-+∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x ax ≤恒成立，求a 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线13cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2cos 0C ρθ-=. （1）求曲线2C 的普通方程；（2）若曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，求MN 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）解关于x的不等式()()11-+≤；f x f x（2）若关于x的不等式()()1f x m f x<-+的解集不是空集，求m的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACBCC 6-10: DDACB 11、12：BD二、填空题13. 1- 14. 3 15.()4,4三、解答题17. 解：（1）根据正弦定理，由已知得：()sin 2sin cos sin cos 0A B C C A -+=， 即sin cos sin cos 2sin cos A C C A B C +=， ∴()sin 2sin cos A C B C +=，∵A C B π+=-，∴()()sin sin sin 0A C B B π+=-=>， ∴sin 2sin cos B B C =，从而1cos 2C =. ∵()0,C π∈，∴3C π=.（2）由（1）和余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，即2212a b ab +-=，∴()2212332a b a b ab +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，即()248a b +≤ (当且仅当a b ==时等号成立）. 所以，ABC ∆周长的最大值为c =.18. （1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，则()3336119112020C P M C =-=-=，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为1920. （2）随机变量X 的所有可能取值有0, 1，2，3. 因为()211105480P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,()2124111311545448P X C ⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，()212413133325445480P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()243935420P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以()11033360123 2.380808080E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：连结AC ，交BD 于点N ， ∴N 为AC 的中点，∴//MN EC . ∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ， ∴//MN 平面EFC .∵,BF DE 都垂直底面ABCD ， ∴//BF DE . ∵BF DE =，∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF . ∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴//BD 平面EFC .又∵MN BD N ⋂=，∴平面//BDM 平面EFC . （2）由已知，DE ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形.∴,,DA DC DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -. 设2AB =，则4DE =，从而()()()()2,2,0,1,0,2,2,0,0,0,0,4B M A E ， ∴()()2,2,0,1,0,2DB DM ==，设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =， 由00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22020x y x z +=⎧⎨+=⎩.令2x =，则2,1y z =-=-，从而()2,2,1n =--.∵()2,0,4AE=-，设AE与平面BDM所成的角为θ，则45sin cosn AEn AEn AEθ⋅=⋅==⋅，所以，直线AE与平面BDM所成角的正弦值为45.20.（1）由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上.设椭圆E的标准方程为()222210x ya ba b+=>>，焦距为2c，则b c=，∴22222a b c b=+=，∴椭圆E的标准方程为222212x yb b+=.又∵椭圆E过点2⎛⎝⎭，∴2211212b b+=，解得21b=.∴椭圆E的标准方程为2212xy+=.（2）由于点()2,0-在椭圆E外，所以直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k，则直线():2l y k x=+，设()()1122,,,M x y N x y. 由()22212y k xxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y得，2222)128820k x k x k+++-=（.由 0∆>得212k≤<，从而22121222882,1212k kx x x xk k--+==++，∴()22212222412112kMN k x kk-=+-=++.∵点()21,0F 到直线l 的距离231k d k=+，∴2F MN ∆的面积为()()22222413212k k S MN d k -=⋅=+. 令212k t +=，则[)1,2t ∈，∴()()222123233t t t t S t t ---+-==2232131313248t t t ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭， 当134t =即[)441,233t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时，S 有最大值，max 32S =，此时6k =±.所以，当直线l 的斜率为6±时，可使2F MN ∆的面积最大，其最大值32. 21.（Ⅰ）()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，()()2222222121a x ax a f x x x x x -+'=-=--. ∵2210,0x x ->>. 令()222g x x ax a =-+，则 （1）若0∆≤，即当02a ≤≤时，对任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x ≥恒成立， 即当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '≥恒成立（仅在孤立点处等号成立）. ∴()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）若0∆>，即当2a >或0a <时，()g x 的对称轴为2ax =. ①当0a <时，02a <，且11022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭. 如图，任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x >恒成立， 即任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>恒成立，∴()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.②当2a >时，12a > ，且11022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭. 如图，记()0g x =的两根为()()2212112,222x a a a x a a a =--=+-∴当()121,,2x x x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >；当(211,222a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，()0g x <. ∴当()121,,2x x x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<.∴()f x 在11,2x ⎛⎫⎪⎝⎭和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减.综上，当2a ≤时，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当2a >时，()f x 在(211,222a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(212,2a a a ⎛⎫+-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在((22112,222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）()f x ax ≤恒成立等价于1,2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x ax -≤恒成立.令()()()ln 21a h x f x ax x ax x =-=-+-，则()f x ax ≤恒成立等价于1,2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，()()01h x h ≤= ()*.要满足()*式，即()h x 在1x =时取得最大值. ∵()()()32222221ax a x ax ah x x x -++-+'=-.由()10h '=解得1a =.当1a =时，()()()()2212121x x x h x x x --+'=-，∴当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<. ∴当1a =时，()h x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()()10h x h ≤=，符合题意. 所以，1a =.22. （1）由2cos 0ρθ-=得：22cos 0ρρθ-=. 因为222,cos x y x ρρθ=+=，所以2220x y x +-=， 即曲线2C 的普通方程为()2211x y -+=.（2）由（1）可知，圆2C 的圆心为()21,0C ，半径为1. 设曲线1C 上的动点()3cos ,2sin M θθ，由动点N 在圆2C 上可得：2min min 1MN MC =-. ∵2MC =当3cos 5θ=时，2min MC =∴2min min 11MN MC =-=. 23.（1）()()1121211f x f x x x -+≤⇔--+≤，1221211x x x ⎧≥⎪⇔⎨⎪---≤⎩或112212211x x x ⎧-<<⎪⎨⎪---≤⎩或1212211x x x ⎧≤-⎪⎨⎪-++≤⎩ 12x ⇔≥或1142x -≤<14x ⇔≥-， 所以，原不等式的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由条件知，不等式22 11x x m -++<有解，则()min 2121 m x x >-++即可. 由于()1222112211221x x x x x x =-++≥-+++-=+， 当且仅当()()12210x x -+≥，即当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时等号成立，故 2m >. 所以，m 的取值范围是()2,+∞.。

安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·中山模拟) 已知复数满足，则（）A .B .C . 1D . 52. （2分）有关命题的说法错误的是（）A . 命题“若,则x=1”的逆否命题为：“若则”B . “x=1”是“”的充分不必要条件C . 若为假命题，则p、q均为假命题D . 对于命题使得，则均有3. （2分） (2016高一下·韶关期末) 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A . 26B . 11C . 4D . 14. （2分） (2016高三上·珠海模拟) 函数y=x5﹣xex在区间（﹣3，3）上的图象大致是（）A .B .C .D .5. （2分）cos105°cos45°+sin45°sin105°的值（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·襄阳模拟) 榫卯（sǔn mǎo）是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，凸出部分叫做“榫头”．某“榫头”的三视图及其部分尺寸如图所示，则该“榫头”体积等于（）A . 12B . 13C . 14D . 157. （2分） (2018高三上·山西期末) 已知双曲线的焦点到渐进线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D .8. （2分） (2017高一下·新乡期中) 已知函数，x∈[﹣π，0]，则f（x）的最大值为（）A .B .C . 1D . 29. （2分）(2017·贵港模拟) 用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·汽开区期末) 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2 ,BC=CC1=1 ,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A .B .C .D .11. （2分）抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（）A .B .C .D .12. （2分）函数f(x)＝excosx的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为（）A .B .C . 1D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·泰州月考) 若的方差为3，则的方差为________.14. （1分）办公室刚装修一新，放些植物花草可以清除异味，公司提供绿萝、文竹、碧玉、芦荟4种植物供员工选择，每个员工只能任意选择1种，则员工甲和乙选择不同的概率为________．15. （1分） (2017高二下·高淳期末) 在△ABC中，已知，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且，则xy的最大值为________．16. （1分） (2017高二上·南通开学考) 设p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x2+2（m-2）x-3m+10=0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共58分)17. （10分） (2017高二下·河南期中) 已知正项数列{an}的前n项和为Sn ，若{an}和都是等差数列，且公差相等．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn= ，cn=bn•bn+1，求数列{cn}的前n项和Tn．18. （10分） (2020高二上·青铜峡期末) 如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的一点.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.19. （18分）(2017·临汾模拟) 某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y（单位：元）与印刷册数x（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：印刷册数（千册）23458单册成本（元） 3.2 2.42 1.9 1.7根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲： = ，方程乙： = ．（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．完成下表（计算结果精确到0.1）；印刷册数x（千册）23458单册成本y（元） 3.2 2.42 1.9 1.7________ 2.4 2.1________ 1.6模型甲估计值________ 0﹣0.1________ 0.1残差模型乙________ 2.32 1.9________估计值________ 0.100________残差（2）分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好．（3）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷．根据市场调查，新需求量为8千册（概率0.8）或10千册（概率0.2），若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，问印刷厂二次印刷8千册还是10千册能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）20. （10分）(2020·金堂模拟) 已知直线的参数方程是（是参数），以坐标原点为原点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）判断直线与曲线的位置关系；（2）过直线上的点作曲线的切线，求切线长的最小值.21. （10分） (2018高二下·河南月考) 已知函数在上是增函数.（1）求实数的取值范围；（2）在（1）的结论下，设，求函数的最小值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共58分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、。

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＜3}，B={x|x＞a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为（）A. [3，+∞）B. （3，+∞）C. （-∞，3）D. （-∞，3]2.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如图1所示的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如图2所示的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（）A. 100000元B. 95000元C. 90000元D. 85000元4.已知tanα=3，α∈（0，），则sin2α+cos（π-α）的值为（）A. B. C. D.5.若（+）8（ax-1）展开式中含x项的系数为21，则实数a的值为（）A. 3B. -3C. 2D. -26.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（）A. 2B.C. 4D. π7.函数f（x）=sin x2+cos x的部分图象符合的是（）A. B.C. D.8.某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为Ⅹ分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y分，则D （Y）一D（X）的值为（）A. B. C. D.9.已知锐角△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=1，三角形ABC的面积S△ABC=1，则a2+b2的取值范围为（）A. [）B. （9，+∞）C. [，9]D. [，9）10.在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，过B点作AC的垂线，垂足为D，以BD为折痕将△ABD折起使点A到达点P处，满足平面PBD⊥平面BDC，则三棱锥P-BDC 的外接球的表面积为（）A. 25πB. 16πC. 48πD. π11.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2作其渐近线的垂线，垂足为M，交双曲线C右支于点P，若=2，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D. 212.已知数列：；，，；，，…，；…，，，，…，；…，则此数列的前2036项之和为（）A. 1024B. 2048C. 1018D. 1022二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（1，3），=（-2，-1），=（1，2），若向量+k与向量共线，则实数k的值为______．14.曲线f（x）=a ln x在点P（e，f（e））处的切线经过点（-1，-1），则a的值为______．15.若函数f（x）=sin（ωx+）（0＜ω＜1）在区间（π，2π）内有最值，则ω的取值范围为______．16.如图，P为椭圆+=1上一个动点，过点P作圆C：（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB面积最大时，•的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知平面向量=（sin x，2cos x），=（2sin x，sin x），函数f（x）=•+1．（1）求f（x）的单调区间；（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若f（A）=4，a=2，求△ABC周长的取值范围．18.2018年，中国某省的一个地区社会民间组织为年龄在30岁-60岁的围棋爱好者举行了一次晋级赛，参赛者每人和一位种子选手进行一场比赛，赢了就可以晋级，否则，就不能晋级，结果将晋级的200人按年龄（单位：岁）分成六组：第一组[30，35），第二组[35，40），第三组[40，45），第四组[45，50），第五组[50，55），第六组[55，60]，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）求实数a的值；（2）若先在第四组、第五组、第六组中按组分层抽样共抽取10人，然后从被抽取的这10人随机抽取3人参加优胜比赛．①求这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②设ξ为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．19.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=-2，公差为d（d∈N*）．（1）若a5=30，求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在d，n使S n=10成立？若存在，试找出所有满足条件的d，n的值，并求出数列{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．20.如图，在梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，AB=BC=CP，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起得到图（二），点M为棱PC上的动点．（1）求证：平面ADM⊥平面PDC；（2）若AB=2，二面角P-AD-C为135°，点M为PC中点，求二面角M-AC-D余弦值的平方．21.已知抛物线E：y2=4x，圆C：（x-3）2+y2=1．（1）若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；（2）在（1）的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点M （t，0）使∠AMO=∠BMO（O为坐标原点）？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22.设函数f（x）=（4+ax）ln（x+2）-2x．（1）若a=0，证明：f（x）≤4ln2；（2）已知g（x）=4ln（x+2）-2x+x2，若函数G（x）=f（x）-g（x）有两个零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了集合的基本运算，解题的关键是数形结合思想的应用，属于中档题．结合数轴可求A∩B=∅时的a的范围，再求解即可．【解答】解：结合数轴可知，当a≥3时，A∩B=∅，因为A∩B≠∅，所以实数a的取值范围a＜3，故选：C．2.【答案】D【解析】解：由得x+y＞a+b，当a＞0，b＜0，xy＞ab不一定成立，即充分性不成立反之由也推不出，即必要性不成立，即“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查教师2018年的家庭总收入的求法，考查折线图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先求出2017年的就医费用，从而求出2018年的就医费用，由此能求出该教师2018年的家庭总收入．【解答】解：由已知得，2017年的就医费用为80000×10%=8000元，∴2018年的就医费用为8000+4750=12750元，∴该教师2018年的家庭总收入=85000元．故选：D．4.【答案】A【解析】解：已知tanα==3，sin2α+cos2α=1，α∈（0，），∴sinα=，cosα=，则sin2α+cos（π-α）=2sinαcosα-cosα=-=，故选：A．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵（+）8=的展开式的通项公式为T r+1=••，令=-，求得r=3；令=，求得r=，不合题意，舍去．故展开式中含x项的系数为••a=21，则实数a=3，故选：A．在二项展开式（+）8的通项公式中，令x的幂指数分别等于-和，求出r的值，即可求得展开式中含x项的系数，再根据展开式中含x项的系数为21，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：几何体是一个轴截面的顶角为120°的半圆锥，过顶点的截面面积的最大值为，两条母线的夹角为90°的截面，最大值为：=2，故选：A．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，转化求解最大的截面面积．本题考查三视图求解几何体的截面面积的最值，是基本知识的考查．7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法是解决本题的关键．利用特殊值法分别计算f（0），f（）的值进行排除即可．【解答】解：函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，f（0）=sin0+cos0=1排除C，f（）=sin+cos=sin＞0，排除A，D，故选：B．8.【答案】A【解析】解：设A学生答对题的个数为m，得分5m，则m～B（12，），D（m）==，∴D（X）=25×=．设B学生答对题的个数为n，得分5n，则n～B（12，），D（n）==，∴D（Y）=25×=．∴D（Y）-D（X）=-=．故选：A．设A学生答对题的个数为m，得分5m，则m～B（12，）．同理，设B学生答对题的个数为n，得分5n，则n～B（12，），利用二项分布列的性质即可得出．本题考查了二项分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：因为三角形为锐角三角形，所以过C作CD⊥AB于D，D在边AB上，如图：因为：S△ABC=AB•CD=1，所以CD=2，在三角形ADC中，AD==，在三角形BDC中，BD==，∵AD+BD=AB=1，∴+=1，∴a2+b2=a2-4+b2-4+8=（）2+（）2+8=（）2+（1-）2+8=2（）2-2+9∵∈（0，1）．∴a2+b2∈[，9）．故选：D．因为三角形为锐角三角形，所以过CCD⊥AB于D，D在边AB上，如图：根据面积算出CD=2，再根据勾股定理，二次函数知识可求得．本题考查了基本不等式及其应用，属中档题．10.【答案】D【解析】解：AB=3，BC=4，AC=5，且BD⊥AC，可得BD=，DC=，从而PD=AD=，在三棱锥P-BDC中，DB，DC，DP两两垂直，可知其为长方体的一部分，其外接球直径2R==，故其表面积为：4=，故选：D．利用折叠后DB，DC，DP两两垂直，联想长方体，结合长方体外接球直径为其体对角线长，即可得解．此题考查了三棱锥外接球问题，难度适中．11.【答案】A【解析】【分析】计算PF2，在△PF1F2中利用余弦定理得出a、b的关系即可求出离心率．本题考查了双曲线的性质，属于中档题．【解答】解：F2（c，0），渐近线方程为y=，即bx-ay=0，∴F2M==b，∵=2，∴PF2=，由双曲线定义可知：PF1-PF2=2a，∴PF1=+2a，又F1F2=2c，∠F1PF2=120°，在△PF1F2中，由余弦定理可得：4c2=+（+2a）2-2××（+2a）×（-），又c2=a2+b2，∴2b=3a，即=，∴e===．故选：A．12.【答案】C【解析】解：将此数列分组：第一组：；第二组：++=；第三组：++…+=…，第n组：+++…+=．由（2-1）+（22-1）+……+（2n-1）=2036，即2n+1-2-n=2036，解得n=10．则此数列的前2036项之和为=+……+==1018．故选：C．将此数列分组：第一组：；第二组：++=；第三组：++…+=…，以此类推可得第n组：+++…+=．由（2-1）+（22-1）+……+（2n-1）=2036，即2n+1-2-n=2036，解得n即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】-【解析】解：由=（1，3），=（-2，-1），得=（1-2k，3-k），由向量与向量共线得2（1-2k）=3-k，即k=-．故答案为：-．根据向量共线的坐标表示可得．本题考查了平面向量共线的坐标表示，属基础题．14.【答案】e【解析】解：由f（x）=a ln x，得f′（x）=，∴k=，又当x=e时，f（e）=a，∴P（e，a），则切线方程为y-a=，即y=，把（-1，-1）代入，可得a=e．故答案为：e．求出原函数的导函数，得到f′（e），进一步求得曲线f（x）=a ln x在点P（e，f（e））处的切线方程，把（-1，-1）代入求得a值．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】（，）∪（，1）【解析】解：若函数f（x）有最值，则ωx+=kπ+，k∈Z，即ωx=kπ+，即x=（kπ+），k∈Z，∵f（x）在区间（π，2π）内有最值，∴π＜（kπ+）＜2π，即1＜（k+）＜2，即ω＜k+＜2ω，则，由k+＞0得k＞-，当k=0时，＜ω＜，当k=1时，＜ω＜，∵0＜ω＜1，∴＜ω＜1，综上所述，＜ω＜或＜ω＜1，即实数ω的取值范围是（，）∪（，1），故答案为：（，）∪（，1）根据函数的最值，求出x的值，结合π＜x＜2π，解不等式即可．本题主要考查三角函数性质的应用，根据三角函数的最值公式解不等式是解决本题的关键．16.【答案】【解析】解：连接PC，设∠APC=θ，由切线性质可得|PA|=|PB|，四边形PACB面积S=|PA|×1×2=|PA|，当四边形PACB面积最大时，就是|PA|最大，|PA|=，结合椭圆性质可得当点P在椭圆左顶点时，|PC|最大，此时|PA|=，则sin，，•的值为|PA|2cos2θ=8×（1-×2）=，故答案为：．连接PC，设∠APC=θ，当四边形PACB面积最大时，就是|PA|最大，结合椭圆性质可得当点P在椭圆左顶点时，|PC|最大，利用向量数量积公式求解．本题考查了椭圆的性质，圆的切线，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】解：（1）由题意，函数f（x）=•+1=2sin2x+2sin x cosx+1=1-cos2x+sin2x+1=2sin（2x-）+2，令2x-，k∈Z，得：∴f（x）的单调递增区间为；[]，k∈Z．令2x-，k∈Z，得：∴f（x）的单调递减区间为；[]，k∈Z．（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x-）+2，那么f（A）=2sin（2A-）+2=4可得：A=∵a=2根据正弦定理，可得b=sin B，c=sin C，那么△ABC周长l=a+b+c=2+（sin B+sin C）=2+[sin B+sin（）]=2+4sin（B+）∵△ABC是锐角三角形，∴，则；那么则4sin（B+）∈（，4]．那么△ABC周长l=a+b+c∈（2，6]；因此那么△ABC周长范围是（2，6]．【解析】（1）函数f（x）=•+1=2sin2x+2sin x cosx+1=1-cos2x+sin2x+1=2sin（2x-）+2，结合正弦函数的图象可得单调区间；（2）根据f（A）=4，求解A，a=2，利用正弦定理求解b，c，化简，从而求解△ABC周长的取值范围．本题考查了向量坐标的运算，三角函数的化简，正弦定理的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）直方图中的组距为5．可得：（0.024+a+0.040×2+0.030×2）×5=1，解得a=0.036．（2）①由直方图可得：第四组、第五组、第六组中的人数分别为：0.04×5×200=40，0.03×5×200=30，0.03×5×200=30．三组共100，按组分层抽样共抽取10人，从第四组、第五组、第六组中分别抽取的人数为4，3，3．则这三组各有一人参加优胜比赛的概率P==．②ξ为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，ξ可能值为0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．【解析】（1）直方图中的组距为5．可得：（0.024+a+0.040×2+0.030×2）×5=1，解得a．（2）①由直方图可得：第四组、第五组、第六组中的人数，按组分层抽样共抽取10人，从第四组、第五组、第六组中分别抽取的人数为4，3，3．可得这三组各有一人参加优胜比赛的概率．②ξ为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，ξ可能值为0，1，2，3．利用超几何分布列的概率计算公式即可得出．本题考查了超几何分布列及其数学期望、古典概率计算公式、频率分布直方图的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）当a5=30时，由a5=a1+4d，得30=-2+4d，即d=8．∴a n=a1+（n-1）d=8n-10；（2）由题意可知，，即-4n+dn2-dn=20，∴dn2-（d+4）n-20=0．令n=1时，得-24=0，不合题意；n=2时，得d=14，符合．此时数列的通项公式为a n=14n-16；n=3时，得d=，不合题意；n=4时，得d=3，符合．此时数列的通项公式为a n=3n-5；n=5时，得d=2，符合．此时数列的通项公式为a n=2n-4；n=6时，得d=，不合题意；n=7时，得d=，不合题意；n=8时，得d=，不合题意；n≥9时，d＜1，均不合题意．∴存在3组，其解与相应的通项公式分别为：d=14，n=2，a n=14n-16；d=3，n=4，a n=3n-5；d=2，n=5，a n=2n-4．【解析】（1）由已知求得公差，直接代入等差数列的通项公式得答案；（2）由S n=10，得到dn2-（d+4）n-20=0，然后依次取n值，求得d，分类分析即可得到所有满足条件的d，n的值，并求得通项公式．本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．20.【答案】证明：（1）在图（一）梯形ABCP中，∵D是CP的中点，AB=，CD=AB，∴CD∥AB，CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CP⊥BC，∴AD⊥PC，在图（二）中，∵AD⊥PD，AD⊥DC，∴AD⊥平面PCD，∵AD⊂平面ADM，∴平面ADM⊥平面PDC．解：（2）由AB=2 结合题意得AB=BC=DP=DC=2，∵AD⊥平面PCD，∴AD⊥PD，AD⊥DC，∴∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，∴∠PDC=135°，由（1）的证明知平面PDC⊥平面ABCD，且交线为DC，∴Dz⊥平面ABCD，∴DA，DC，Dz两两垂直，分别以DA，DC，Dz所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，-），∵M为PC的中点，∴M（0，1-，），=（-2，2，0），=（0，1+，-），设平面MAC的一个法向量=（x，y，z），则，令y=1，得=（1，1，），平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），∴|cos＜＞|===，∴二面角M-AC-D余弦值的平方为．【解析】（1）推导出四边形ABCD是平行四边形，AD⊥PC，由AD⊥PD，AD⊥DC，得AD⊥平面PCD，由此能证明平面ADM⊥平面PDC．（2）分别以DA，DC，Dz所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-AC-D余弦值的平方．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的平方的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.【答案】解：（1）由题意可得抛物线的焦点F（1，0），当直线的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，设直线的斜率为k，方程设为y=k（x-1），即kx-y-k=0，由圆心（3，0）到直线的距离为d==，当直线与圆相切时，d=r=1，解得k=±，即直线方程为y=±（x-1）；（2）可设直线方程为y=（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程可得x2-14x+1=0，则x1+x2=14，x1x2=1，x轴上假设存在点M（t，0）使∠AMO=∠BMO，即有k AM+k BM=0，可得+=0，即为y1（x2-t）+y2（x1-t）=0，由y1=（x1-1），y2=（x2-1），可得2x1x2-（x1+x2）-（x1+x2-2）t=0，即2-14-12t=0，即t=-1，M（-1，0）符合题意；当直线为y=-（x-1），由对称性可得M（-1，0）也符合条件．所以存在定点M（-1，0）使得∠AMO=∠BMO．【解析】（1）求得抛物线的焦点，设出直线的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，解方程可得所求直线方程；（2）设出A，B的坐标，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，解方程可得t，即M的坐标，即可得到结论．本题考查直线与圆的位置关系和直线与抛物线的位置关系，考查相切的条件和联立方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及方程思想和变形能力，属于中档题．22.【答案】（1）证明：当a=0时，f（x）=4ln（x+2）-2x，（x＞-2），故f′（x）=-2=-，故x∈（-2，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增，x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减，故x=0时，函数f（x）有极大值也是最大值，故f（x）的最大值是f（0）=4ln2，故f（x）≤4ln2；（2）解：∵函数G（x）=f（x）-g（x）有2个零点，可化为G（x）=（4+ax）ln（x+2）-2x-4ln（x+2）+2x-x2有2个零点，即关于x的方程x[a ln（x+2）-x]=0（x∈（-2，+∞））有2个不相等的实根，易知0是方程的一个根，此时a∈R，当x≠0时，只需h（x）=a ln（x+2）-x有一个不为0的零点即可，当a＜0时，h′（x）=-1＜0，故h（x）为减函数，∵h（-2）=a ln（-2+2）-（-2）=2+2-＞0，h（0）=a ln2＜0，故h（x）在（-2，+∞）上仅有1个零点，且不为0，满足题意，当a=0时，h（x）=-x=0，解得：x=0，不合题意，当a＞0时，h（0）=a ln2＞0，h（-2）=a ln（-2+2）-（-2）=-＜0，故h（x）在（-2，0）上至少有1个零点，不合题意，综上，a＜0．【解析】（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，根据函数的单调性证明即可；（2）问题转化为G（x）=（4+ax）ln（x+2）-2x-4ln（x+2）+2x-x2有2个零点，通过讨论a的范围求出单调性从而确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。