人教版数学九年级下册图形的相似和比例线段--知识讲解(提高)

数学九年级下册相似知识点相似是数学中一个重要的概念，它在几何学中特别常见。

而数学九年级下册的内容中，相似是一个需要重点掌握的知识点。

本文将从不同角度来论述数学九年级下册的相似知识点。

一、相似三角形相似三角形是九年级下册的重要内容之一。

当两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。

相似三角形有一些重要的性质和定理。

首先，相似三角形的边长比例定理指出，如果两个三角形相似，那么对应边的长度之比等于它们对应角的正弦值的比。

这个定理在解决相似三角形的问题时非常有用。

其次，相似三角形的角度比例定理指出，如果两个三角形相似，那么对应角的度数之比相等。

这个定理可以用来解决一些角度相关的问题。

最后，相似三角形的高线比例定理表明，如果两个三角形相似，那么相似三角形的高线之比等于它们的对应边之比。

这个定理常常用于求解三角形的高线长度。

二、相似比相似比是相似三角形中的一个重要概念。

相似比是指两个相似三角形中对应边的长度之比，通常表示为k。

相似比具有以下性质。

首先，相似比的大小与相似三角形的对应边的长度之比相等。

这就意味着，如果相似比为k，那么两个对应边的长度之比也是k。

其次，相似比的倒数表示了对应边的长度之比的倒数。

这个性质在一些推导和运算中非常实用。

最后，相似比和对应边的比例成正比。

这意味着，如果一个三角形的边长翻倍，那么它与相似三角形的相似比也将翻倍。

三、相似多边形除了相似三角形，相似多边形也是九年级下册相似知识点的内容之一。

当两个多边形中对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形就是相似的。

相似多边形也有一些重要的性质和定理。

首先，相似多边形的周长比例定理说明了相似多边形的周长之比等于它们对应边的比例。

其次，相似多边形的面积比例定理说明了相似多边形的面积之比等于它们对应边长度之比的平方。

最后，相似多边形的高线比例定理说明了相似多边形的高线之比等于它们对应边长度之比。

相似多边形的性质可以帮助我们在解决与多边形及其面积相关的问题时，快速地得到答案。

27.1.1图形的相似（一）一、学习目标:1.从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．2.了解成比例线段的概念，会确定线段的比．二、学习重、难点：重点：相似图形的概念与成比例线段的概念．难点：成比例线段概念．三、学习过程（一）探究新知：1.观察右边几组几何图形，你能发现它们之间有什么关系?相似图形定义：这种形状相同的图形叫．2.对上题中的3组相似图形，其中一个图形可以看做由另一个图形或得到。

练一练：1．在下面的图形中，形状相似的一组是( )2．下列图形一定是相似图形的是( )A．任意两个菱形B．任意两个正三角形C．两个等腰三角形D．两个矩形（二）探究新知：问题：如图在矩形ABCD中，边AB=2cm，BC=3 cm，这两条线段的比= .归纳：1.两条线段的比，就是两条线段的比．例1一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比：ab=（1）如果a=125cm，b=75cm，那么长与宽的比：ab=（2）如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比：ab=小结：⑴上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的ab的值是的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位，但求比时两条线段的长度单位必须（2）线段的比是一个没有单位的正数；2.成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，即：a cb d=（或::a b c d=），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．或者说四条线段a，b，c，d成比例，【注意】比例线段是四条线段之间的特殊关系；3.比例的基本性质：若四条线段满足：a cb d=（或::a b c d=），则有，即比例内项之积等于比例外项之积。

练一练：1.已知32=yx，则______=+yyx，______=+yxx，______=+-yxyx；2.若43=-yyx，则______=yx；若045=-yx，则x∶y= 。

第16讲相似形及比例线段知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用，通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础。

其次主要讲解比例线段的有关概念和性质，重点在于理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题。

最后学习平行线分线段成比例定理，为下面相似三角形的学习奠定基础。

知识梳理讲解用时：30分钟相似形的概念及性质1、相似形的概念把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形。

2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例；当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1。

比例线段相关概念及性质1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作:a b （或表示为ab）；如果::a b c d =（或a c bd=），那么就说a 、b 、c 、d 成比例。

2、比例的性质 （1）基本性质： 如果a cbd=，那么ad bc =；如果a c b d =，那么b d a c =，a b c d =，c da b=． （2）合比性质：如果a c bd =，那么a b c d b d++=； 如果a c b d =，那么a b c d b d--=． （3）等比性质： 如果a c k b d ==，那么a c a ck b d b d +===+（如果是实数运算，要注意强调0b d +≠）。

3、比例线段的概念 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为ac bd=），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。

4、黄金分割如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，510.6182AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数。

九年级下册数学第27章相似图形知识点归纳
九年级下册数学第27章相似图形知识点归纳
知识点1.概念
把形状相同的图形叫做相似图形。

(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)
解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.
(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.
(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.
知识点2.比例线段
对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
知识点3.相似多边形的性质
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.
解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.
(2)明确相似多边形的'“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.
知识点4.相似三角形的概念
对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.
解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;
(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;
(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;
(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;
(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.。

专题27.43《相似》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【要点梳理】【知识点一】成比例线段1、定义：四条线段,,,a b c d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段,,,a b c d 叫做成比例线段，简称比例线段。

2、性质：（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc =；反之，若ad bc =(),,,0a b c d 都不等于，那么a c b d =（2）等比性质：如果()==0a c m b d n b d n =+++≠ ，那么a c m a b d n b +++=+++ （3）合比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d ++=，a b c d b d --=【知识点二】平行线分线段成比例1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例【知识点三】相似多边形1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【知识点四】相似三角形1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【知识点五】黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ()AC BC >，如果AC BC AB AC=，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即:0.618:1AC AB ≈【知识点六】位似图形1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P ,'P 所在的直线都经过同一点O ，且有'OP =()0k OP k ⋅≠，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数()0k k ≠，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k【典型例题】类型一、成比例线段和平行线分线段成比例1．已知三条线段a b c ，，满足1324a b c +==，且17a b c ++=．（1）求a b c ，，的值；（2）若线段d 是线段a 和b 的比例中项，求d 的值．【点拨】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k 法”用k 表示出a 、b 、c 可以使计算更加简便．【变式1】已知:2:3,:3:4a b b c ==，且26a b c +-=，求,,a b c 的值【答案】4a =，6b =，8c =．【分析】根据比的性质，可得a ，b ，c 用k 表示，根据解方程，可得k 的值，即可得答案．解：∵:2:3a b =，:3:4b c =，∴设2a k =，3b k =，4c k =，∴()22346k k k ⋅+-=，整理得：36k =　，解得：2k =，∴24a k ==，36b k ==，48c k ==．【点拨】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出2a k =，3b k =，4c k =是解题关键．【变式2】如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF PD=，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．，的长；（1）求AM DM（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．2．如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若25DE EF =，AC=14，（1）求AB 的长．（2）如果AD=7，CF=14，求BE 的长．【点拨】本题考查平行线分线段成比例的知识，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【变式1】如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线1l、2l于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求DEDF的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH 是解决问题的关键．【变式2】如图，在ABC ∆中，点D 是边AB 上的一点.（1）请用尺规作图法，在ABC ∆内，求作ADE ∠，使ADE B ∠=∠，DE 交AC 于E ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若2AD DB =，求AE EC的值.【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键.类型二、相似三角形判定和性质3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是边AB 上的中线，EF 垂直平分CD ，分别交AC ，BC 于E ，F ，连接DE ，DF ．(1)求证：OCE OFD ∽△△．(2)当7AE =，24BF =时，求线段EF 的长．【答案】(1)见分析(2)25EF =【分析】（1）如图（见分析），先根据线段垂直平分线的性质可得90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，再根据三角形全等的判定定理证出EDF ECF ≅ ，根据全等三角形的性质可得12∠=∠，从而可得421∠=∠=∠，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见分析），延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得EG EF =，再根据三角形全等的判定定理证出ADG BDF ≅△△，根据全等三角形的性质可得24AG BF ==，7B ∠=∠，然后根据平行线的判定与性质可得90EAG ∠=︒，最后在Rt AEG △中，利用勾股定理即可得．（1）证明：∵EF 垂直平分CD ，∴90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，在EDF 和ECF △中，ED EC FD FC EF EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()EDF ECF SSS ≅ ，∴12∠=∠，∵90ACB ∠=︒，90EOC ∠=︒，∴233490∠+∠=∠+∠=︒，∴421∠=∠=∠，在OCE △和OFD △中，9014EOC DOF ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩，∴OCE OFD ．（2）解：如图，延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ．则ED 垂直平分FG ，【点拨】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．【变式1】如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB 的中点，（1）求证：AC 2=AB•AD ；（2）求证：CE ∥AD ；（3）若AD=4，AB=6，求的值．=．∴AF4【变式2】如图，在△ABC中，（1）求作：∠BAD=∠C，AD交BC于D．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）条件下，求证：AB2=BD•BC．【点拨】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定与性质．中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，4．如图，在ABC交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF()1求证：四边形AFCD是平行四边形．()2若GB3=，BC6=，3BF=，求AB的长．2【变式1】已知：如图6，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为E，交AC于点F.求证：(1)△ABF∽△BED；(2)求证：AC BD BE DE=.【变式2】如图，已知▱ABCD．（1）用直尺和圆规在BC边上取一点E，使AB=AE，连结AE；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的前提下，求证：AE=CD；∠EAD=∠D；（3）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，直接写出EF：FA的值．【答案】（1）见分析（2）证明见分析（3）1:2分析：(1)以点A为圆心，AB为半径作圆，该圆与BC的交点即为所求的点E;(2)根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD,根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB,即可得证；(3)由四边形ABCD是平行四边形，可证得△BEF∽△AFD即可求得EF∶FA的值．解：（1）如图所示：；（2）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠B=∠EAD，∵∠B=∠D，∴∠DAE=∠D；（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF ∽△AFD ，∴=，∵E 为BC 的中点，∴BE=BC=AD ，∴EF ：FA=1：2．【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是关键．5．如图，在ABC 中，点D 、点E 分别在AC 、AB 上，点P 是BD 上的一点，联结EP 并延长交AC 于点F ，且A EPB ECB ∠=∠=∠．(1)求证：BE BA BP BD ⋅=⋅；(2)若90ACB ∠=︒，求证：CP BD ⊥．【变式1】已知ADE C ∠=∠，AG 平分BAC ∠交DE 于F ，交BC 于G ．(1)求证：ADF ∽ACG ；(2)连接DG ，若DG AC ∥，25AF AG =，6AD =，求CE 的长度．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握以上的定理并熟练的运用．【变式2】如图，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6；(1)求AE的长．(2)求证：△ADE∽△DFE．【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法以及根据相似三角形性质列出比例式进行求解是解题的关键．类型三、相似三角形拓展与提升6．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？【点拨】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．【变式1】已知，点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、AD 上．(1)如图1，当四边形EFGH 是正方形时，求证：AE AH AB +=；(2)如图2，已知AE AH =，CF CG =，当AE 、CF 的大小有_________关系时，四边形EFGH 是矩形；(3)如图3，AE DG =，EG 、FH 相交于点O ，:4:5OE OF =，已知正方形ABCD 的边长为16，FH 长为20，当OEH △的面积取最大值时，判断四边形EFGH 是怎样的四边形？证明你的结论．【答案】(1)见分析(2)AE CF =(3)平行四边形，证明见分析【分析】（1）利用平行四边形的性质证得BEF AHE ∠=∠，根据角角边证明AEH BFE △≌△．（2）当AE CF =，证得AEH FCG △≌△，EBF △是等腰直角三角形，∠HEF =∠EFG =90°，即可证得四边形EFGH 是矩形．（3）利用正方形的性质证得AEGD 为平行四边形，过点H 作HM BC ⊥，垂足为点M ，交EG 于点N ，由平行线分线段成比例，设4OE x =，5OF x =，HN h =，则可表示出HN ，从而把△OEH 的面积用x 的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE =OG ，OF =OH ，即可证得平行四边形．解：（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，∴90AEH AHE ∠+∠=°．∵四边形EFGH 为正方形，∴EH EF =，90HEF ∠=︒，∴90AEH BEF ∠+∠=︒，∴BEF AHE ∠=∠．在AEH △和BFE △中，∵90A B ∠=∠=︒，AHE BEF ∠=∠，EH FE =，∴AEH BFE △≌△．∴AH BE =．∴AE AH AE BE AB +=+=；（2）AE CF =；证明如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，AB =BC =AD =CD ，∵AE =AH ，CF =CG ，AE =CF ，∴AH =CG ，∴AEH FCG △≌△，∴EH =FG ．∵AE =CF ，∴AB －AE =BC －CF ，即BE =BF ，∴EBF △是等腰直角三角形，∴∠BEF =∠BFE =45°，∵AE =AH ，CF =CG ，∴∠AEH =∠CFG =45°，∴∠HEF =∠EFG =90°，∴EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．（3）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ∥．【点拨】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用．【变式2】已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．(1)如图1，当点G 在AD 上，F 在AB(2)将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；(3)AB =AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转DAG CAE∴∠=∠12AG AD AE AC == GAD EAC ∴ ∽ 82AB =，22AG =82AD AB ∴==,AG =,,G E C 三点共线，Rt AGC △中，GC AC =由（2）知△ADG∽△【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．类型三、位似7．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.⑴以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2⑵连接⑴中的AA′，求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）【点拨】此题主要考查了位似图形的画法以及勾股定理等知识，利用位似比得出对应点位置是解题关键．【变式一】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（5，2）．(1)以点B为位似中心，在网格内画出△ABC的位似△A1BC1，使得△A1BC1与△ABC的位似比为2；(2)直接写出点A1的坐标和△A1BC1的面积．(2)如图所示1A ：()3,7；11Δ116846222A BC S =⨯-⨯⨯-⨯【点拨】此题考查了位似变换和三角形面积求法，【变式二】如图，ABC 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为()1,3A ，()2,1B ，()5,2C （正方形网格中，每个小正方形的边长为1），以点O 为位似中心，把ABC 按相似比2：1放大，得到对应A B C '''V ．(1)请在第一象限内画出A B C '''V ；(2)若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【答案】(1)见分析(2)()14,4D ；()26,0D ；()32,2D -【分析】（1）根据点O 为位似中心，()1,3A ，()2,1B ，()5,2C ，把ABC 按相似比2：1放大，得到对应A B C '''V ，求出点'A ，'B ，'C 的坐标，在网格中描点顺次连线即得；C(2)设D(x,y)，∵平行四边形的对角线互相平分，且综上，()14,4D ；()26,0D ；()32,2D -．【点拨】本题主要考查了位似三角形，平行四边形，解决问题的关键是熟练掌握位似三角形的定义及画法，平行四边形对角线的性质和线段中点坐标公式．。

九年级第四单元相似形比例线段的知识点九年级相似形基本知识点知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。

a叫做比的前项，b叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如4、比例外项：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。

5、比例内项：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b＝b:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。

8.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质:（两外项的积等于两内项积）2.反比性质：(把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：4.合比性质：（分子加（减）分母,分母不变）．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果，那么．注意：(1)此性质的证明运用了“设法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC ＞BC），如果，即AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

九年级下数学相似知识点在数学学科中，相似是一个十分重要的概念。

相似性质指的是两个或更多个几何形状在形状和比例方面的相似。

它不仅在几何学中有重要的应用，而且在许多实际问题中也起着关键作用。

在本文中，我们将探讨九年级下数学中与相似相关的几个重要知识点。

一. 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。

这意味着它们的内角度量相等，对应的边的比值也相等。

我们可以利用这个性质来求解各种问题。

例如，当两个三角形相似时，我们可以利用已知的边长比例求解未知边长的长度。

二. 相似比例相似三角形的边长比例称为相似比例。

相似比例可以用来比较两个三角形的边长或者其他线段的长度。

一般来说，相似三角形的相似比例等于它们对应边长的比值。

这个知识点在解决各种测量和缩放问题时非常有用。

三. 相似三角形面积比当两个三角形相似时，它们的面积比等于它们对应边长的比值的平方。

这是因为面积与边长的关系是二次的。

通过理解和运用这个知识点，我们可以轻松计算出相似三角形的面积比，以及利用已知面积比求解未知面积的值。

四. 相似多边形除了三角形，我们还可以讨论相似多边形的概念。

相似多边形是指具有相同形状但尺寸不同的多边形。

和相似三角形一样，相似多边形的边长比示例相等。

我们可以通过相似多边形的性质来解决各种几何问题，例如计算未知边长的长度或者未知角度的度数。

五. 相似图形的应用相似图形的理论不仅只停留在几何学中，它还具有广泛的应用。

比如在地图制作中，我们经常需要等比例缩放地图的大小，以使得不同区域可以在同一个纸上展示。

相似比例的知识可以帮助我们计算如何放大或者缩小地图的尺寸。

此外，在建筑设计、模型制作等领域，相似性质也是不可或缺的工具。

总结起来，九年级下的数学课程中相似知识点包含相似三角形、相似比例、相似三角形的面积比、相似多边形以及相似图形的应用等内容。

这些知识点不仅在数学课堂上有重要的应用，还可以帮助我们解决各种实际问题。

深入理解和掌握相似概念，将有助于我们在未来的学习和生活中更好地运用数学知识。