高中数学第一章立体几何初步1.5.2平行关系的性质课时作业含解析北师大版必修2

2021-4-29 20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：5．2 平行关系的性质知识点一直线与平面平行的性质定理[填一填][答一答]1．若直线a∥平面α，如何在平面α内找一条直线与a平行？提示：根据直线与平面平行的性质定理，只需过a作一平面与平面α相交，则交线与a平行．2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？它们与α的交线相互之间有什么关系？提示：过a与平面α相交的平面有无数个，它们与α的交线互相平行．3．一条直线平行于一个平面，则该直线平行于这个平面内的任意一条直线吗？提示：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但不能与平面内的任意一条直线平行．这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．知识点二平面与平面平行的性质[填一填][答一答]4．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？提示：一定平行于另一个平面．因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行．5．如果α∥β，aα，那么如何在平面β内作出与a平行的直线？提示：利用面面平行的性质定理，可在平面β内任取一点A，然后作出A和直线a所确定的平面γ，确定平面β和γ的交线b，则a∥b.6．若α∥β，aα，bβ，则a与b一定平行吗？为什么？提示：不一定，直线a，b可能平行，也可能异面．1．解读直线与平面平行的性质定理(1)作用：证明直线与直线平行．可简述为“若线面平行，则线线平行”．(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②平面α和β相交，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即aβ.以上三个条件缺一不可．2．对线面平行性质定理的两种解释(1)一条直线b与一个平面α平行，则过b的任何平面与α的交线都与直线b平行，即b可以和α内无数条直线平行．(2)一条直线b与一个平面α平行，则b不能与α内的所有直线平行，即在平面α内，除了与b平行的直线外，其余每条直线与b都是异面直线．3．对面面平行性质定理的理解(1)面面平行的性质定理的条件有三个：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三个条件缺一不可．(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行．(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．4．线与面、面与面平行性质定理的综合应用(1)线与面、面与面平行的性质定理的主要作用是证明线线平行问题．而在空间平行的判定与证明时，应注意线与线、线与面、面与面平行关系的相互转化，这也是对基础知识的掌握程度和综合能力的提升体现，应灵活把握．(2)线线、线面、面面平行关系的转化过程可总结如下：类型一线面平行的性质定理【例1】求证：若平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面．【思路探究】要证线面平行，只需在已知平面内找到一条与这条直线平行的直线．可通过线面平行的性质去找与这条直线平行的直线．【证明】已知：如图所示，a∥b，a∥α，bα.求证：b∥α.证明：如图所示，过a作平面β，交平面α于直线c.∵a∥α，aβ，α∩β＝c，∴a∥c.又∵a∥b，∴b∥c.又∵cα，bα，∴b∥α.规律方法此命题可以当作直线与平面平行的性质使用，也可当作证明直线和平面平行的判定定理使用，在做解答题和证明题时，若使用它，则需写出此命题的证明过程，做选择题、填空题时可直接使用．如图，已知E ，F 分别是菱形ABCD 边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，点P 在平面ABCD 之外，M 是线段P A 上一动点，若PC ∥平面MEF ，试求PMMA 的值．解：如右图，连接BD 交AC 于点O 1，连接OM ，因为PC ∥平面MEF ，平面P AC ∩平面MEF ＝OM ，所以PC ∥OM ，所以PM P A ＝OCAC，在菱形ABCD 中，因为E ，F 分别是边BC ，CD 的中点， 所以OC O 1C ＝12.又AO 1＝CO 1，所以PM P A ＝OC AC ＝14，故PMMA ＝13.类型二 面面平行的性质【例2】 如图，已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．【解】 因为AC ∩BD ＝P ，所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ，因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD .所以BD ＝245.规律方法 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤已知平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，求CS 的长．解：(1)若AB ∩CD ＝S 位于平面α，β中间[如下图(1)]，连接AC ，BD . ∵AB ∩CD ＝S ，∴AB ，CD 确定平面γ. ∵γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， ∴AC ∥BD ，∴△ACS ∽△BDS ，∴CS DS ＝AS BS ，即CS 34－CS ＝89，解得CS ＝16.(2)当AB ∩CD ＝S 位于平面α，β同侧[如上图(2)]， ∵AB ∩CD ＝S ，∴AB ，CD 确定平面γ. ∵γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， ∴AC ∥BD ，∴△SCA ∽△SDB ，∴SA SB ＝SC SD ，即89＝SC SC ＋34，解得SC ＝272.综上可知，CS 的长为16或272. 类型三 平行的相互转化【例3】 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有点E ，F ，且B 1E ＝C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .【思路探究】 要证EF ∥平面ABCD ，需在平面ABCD 内寻找一条直线与EF 平行，而平面ABCD 内现有的直线与EF 均不平行，所以要设法将需要的直线作出来．【证明】 证法一：如图1所示，分别过E ，F 作EM ∥BB 1，FN ∥CC 1分别交AB ，BC 于点M ，N ，连接MN .∵BB 1∥CC 1，∴EM ∥FN .∵B 1E ＝C 1F ，AB 1＝BC 1，∴AE ＝BF . 由EM ∥BB 1得AE AB 1＝EMBB 1，由FN ∥CC 1，得BF BC 1＝FNCC 1，∴EM ＝FN ，∴四边形EFNM 是平行四边形，∴EF ∥MN . 又∵MN 平面ABCD ，EF 平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD .证法二：如图1所示．过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ，连接GF ，则有B 1E B 1A ＝B 1GB 1B .又∵B 1E＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，∴C 1F C 1B ＝B 1GB 1B ，∴FG ∥B 1C 1∥BC .又∵EG ∩FG ＝G ，AB ∩CB ＝B ，∴平面EFG∥平面ABCD .又∵EF 平面EGF ，∴EF ∥平面ABCD .证法三：如图2所示．在平面BCC 1B 1内延长B 1F 交BC (或其延长线)于点P ，连接AP ，∵BP ∥B 1C 1，∴C 1F FB ＝B 1F FP.又∵B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ， ∴C 1F FB ＝B 1E EA ，∴B 1E EA ＝B 1F FP . ∴在△APB 1中，EF ∥AP . 又∵EF平面ABCD ，AP 平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD .规律方法 此题证明的关键是根据直线与平面平行的判定定理寻找平面ABCD 内与直线EF 平行的直线，本例的证明过程反映出解题中作辅助平面的重要性．如图所示，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM ＝FN ，求证：MN ∥平面BCE .证明：证法一：如图，作MP ∥AB 交BC 于P ，NQ ∥AB 交BE 于Q . ∴MP ∥NQ ，∵AM ＝FN ， ∴MP ＝22MC ＝22BN ＝NQ . ∴MP 綊NQ ，则四边形MNQP 为平行四边形，∴MN ∥PQ . ∵MN平面BCE ，PQ 平面BCE ，∴MN ∥平面BCE .证法二：如图所示，连接AN 并延长，交BE 的延长线于G ，连接CG ，∵AF ∥BG ，∴ANNG ＝FN NB ＝AMMC，∴MN ∥CG ，∵MN 平面BCE ，CG 平面BCE ，∴MN ∥平面BCE .类型四 平行关系的综合应用【例4】 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN .求证：MN ∥平面AA 1B 1B .【思路探究】 作过MN 与平面ABB 1A 1平行的一个平面→ 证明该平面与平面ABB 1A 1平行→得结论【证明】 如图，作MP ∥BB 1，交BC 于点P ，连接NP ， ∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CPPB ，∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ， ∴B 1M ＝BN ，∴CM MB 1＝DN NB ，∴CP PB ＝DN NB ，∴NP ∥CD ∥AB . ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B .∴MN ∥平面AA 1B 1B .规律方法 直线和平面的平行问题，常常转化为直线和直线的平行问题，而直线和直线的平行问题也可以转化为直线与平面的平行问题，要作出命题的正确转化，就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理．如图，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA ＝SB ＝SC ，SG 为△SAB 上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 的位置关系，并给予证明．解：SG ∥平面DEF .证明：证法一：如图，连接CG交DE于点H，连接FH.∵DE是△ABC的中位线，∴DE ∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点．∵FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG平面DEF，FH平面DEF，∴SG∥平面DEF.证法二：∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.∵EF平面SAB，SB平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，∴平面SAB∥平面DEF，又∵SG平面SAB，∴SG∥平面DEF.类型五探索性问题【例5】如右图所示，要在呈空间四边形形状的撑架上安装一块矩形太阳能吸光板，矩形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边上．已知AC＝a，BD＝b，则E，F，G，H在什么位置时，吸光板的吸光量最大？【思路探究】本题是空间线、面平行关系与实际问题相结合的条件开放性探索题，解题的关键是理解好题意，将线、面平行关系转化为二次函数模型求解．【解】使吸光板的吸光量最大，即要使得矩形的面积最大．设EH＝x，EF＝y，∵EH∥FG，EH平面ABD，F G⃘平面ABD，∴FG∥平面ABD.又FG平面BCD，平面BCD∩平面ABD＝BD，∴FG∥BD.同理可证EF ∥HG ∥AC . 则AE AB ＝EH BD ＝x b ，BE BA ＝EF AC ＝y a， 两式相加得AE AB ＋BE AB ＝x b ＋y a＝1，① 矩形EFGH 的面积S ＝xy ，②由①②得S ＝－a bx 2＋ax (0<x <b )， 当x ＝－a －2a b＝b 2时，S 取最大值，为ab 4，此时y ＝a 2. 故当E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，AD 的中点时，吸光板的吸光量最大． 规律方法 解答这类问题的思路是：把结论看成已知进行逆推，探索结论成立所需的条件．如右图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ＝AB ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD＝90°，P A ＝BC ＝12AD ，在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，请确定点E 的位置，若不存在，请说明理由．解：在棱PD 上存在一点E ，使CE ∥平面P AB .如图，过点C 作CF ∥AB 交AD 于点F ，过点F 作EF ∥AP 交PD 于点E ，连接CE . ∵CF ∥AB ，EF ∥P A ，CF ∩EF ＝F ，P A ∩AB ＝A ，∴平面EFC ∥平面P AB .又∵CE 平面EFC ，∴CE ∥平面P AB .∵BC ＝12AD ，AF ＝BC ，∴F 为AD 的中点， ∴E 为PD 的中点．故棱PD 上存在点E ，且E 为PD 的中点，使CE ∥平面P AB .——易错警示系列——证明平行关系因推理不严密致误【例6】 如右图所示，已知E ，F 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1上的点，且AE ＝C 1F .求证：四边形EBFD 1是平行四边形．【错解】 因为平面A 1ADD 1∥平面B 1BCC 1，D 1E ＝平面A 1ADD 1∩平面BFD 1E ，BF ＝平面B 1BCC 1∩平面BFD 1E ，所以D 1E ∥FB .同理可得D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是平行四边形．【错因分析】 错解中盲目地认为E ，B ，F ，D 1四点共面，由已知条件并不能说明这四点共面，同时条件AE ＝C 1F 也没有用到．【正解】 在棱BB 1上取一点G ，使得B 1G ＝C 1F ＝AE ，连接A 1G ，GF ，则GF 綊B 1C 1綊A 1D 1，所以四边形GFD 1A 1为平行四边形，所以A 1G 綊D 1F .因为A 1E ＝AA 1－AE ，BG ＝B 1B －B 1G ，所以A 1E 綊BG ，所以四边形EBGA 1为平行四边形，所以A 1G 綊EB ，所以D 1F 綊EB ，所以四边形EBFD 1为平行四边形．如图，四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD .若AF ∥DE ，DE ＝3AF ，点M 在线段BD 上，且BM ＝13BD ，求证：AM ∥平面BEF .证明：延长EF 、DA 交于点G ，如图所示．因为AF ∥DE ，DE ＝3AF ，所以GA GD ＝AF DE ＝13， 因为BM ＝13BD ，所以BM BD ＝13，所以BM BD ＝GA GD ＝13， 所以AM ∥GB ，又AM 平面BEF ，GB 平面BEF ，所以AM ∥平面BEF .一、选择题1．如果直线a ∥平面α，b α，那么a 与b 的关系是( B )A ．相交B ．不相交C ．平行D ．异面解析：a 与b 平行或异面，但不能相交．2．若直线a ∥平面α，直线b ⊥直线a ，则直线b 与平面α的位置关系是( D )A ．b ∥αB ．b αC ．b 与α相交D ．以上均有可能解析：b 与α的位置关系是平行、相交或在α内．3．若不在同一直线上的三点A ，B ，C 到平面α的距离相等，则( B )A ．平面α∥平面ABCB ．△ABC 中至少有一边平行于平面αC ．△ABC 中至多有两边平行于平面αD ．△ABC 中只可能有一边与平面α相交解析：若三点在平面α的同侧，则平面α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于平面α.应选B.4．平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的( C )A ．一个侧面平行B ．底面平行C ．仅一条棱平行D ．某两条相对的棱都平行解析：当平面α∥某一平面时，截面为三角形，故A、B错．当平面α∥SA时，如右图截面是四边形DEFG，又SA平面SAB，平面SAB∩α＝DG，∴SA∥DG，同理SA∥EF.∴DG∥EF.同理当α∥BC时，GF∥DE.∵截面是梯形，则四边形DEFG中仅有一组对边平行，故α仅与一条棱平行．故选C.二、填空题5.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是平行四边形．解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1C1C∩平面ABCD＝BC，平面BB1C1C∩平面A1B1C1D1＝B1C1，∴BC∥B1C1.同理AB∥A1B1，AD∥A1D1，CD∥C1D1，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．三、解答题6.已知如右图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接MO.∵四边形ABCD为平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴MO∥P A.又MO平面BDM，P A平面BDM，∴P A∥平面BDM. 又∵平面BDM∩平面P AG＝GH，P A平面P AG，∴P A∥GH.结束语同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。

5.2 平行关系的性质1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义，会用性质定理证明空间线面关系的问题.(重点)2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.(难点)3.综合应用平行关系的判定和性质定理进行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面平行的性质定理阅读教材P 32“练习”以下至P 33“例4”以上部分，完成下列问题.aα∩如图1­5­19所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，EH ∥FG ，则EH 与BD 的位置关系是( )图1­5­19A.平行B.相交C.异面D.不确定 【解析】 ∵EH ∥FG ，EH ⊆/平面BCD ，FG 平面BCD ，∴EH ∥平面BCD ，∵EH平面ABD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴EH ∥BD . 【答案】 A教材整理2 面面平行的性质定理阅读教材P 33“练习1”以下至P 34“练习2”以上部分，完成下列问题.六棱柱的两底面为α和β，且A ∈α，B ∈α，C ∈β，D ∈β，且AD ∥BC ，则AB 与CD的位置关系为__________.【解析】 ∵AD ∥BC ，∴A ，B ，C ，D 共面，设为γ，由题意知，α∩γ＝AB ，β∩γ＝CD ，又α∥β， ∴AB ∥CD . 【答案】 平行[小组合作型]如图11111B 1，D 1C 1上的点，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ，求证：FG ∥平面ADD 1A 1.【导学号：39292030】图1­5­20【精彩点拨】 从图形上看，若我们能设法证明FG ∥A 1D 1即可证明FG ∥平面ADD 1A 1. 【自主解答】 因为EH ∥A 1D 1，A 1D 1∥B 1C 1，EH ⊆/平面BCC 1B 1，B 1C 1平面BCC 1B 1，所以EH ∥平面BCC 1B 1.又平面FGHE ∩平面BCC 1B 1＝FG ， 所以EH ∥FG ，即FG ∥A 1D 1.又FG⊆/平面ADD1A1，A1D1平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.1.直线与平面平行的性质定理，可以用来证明线线平行.2.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”.[再练一题]1.如图1­5­21所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.图1­5­21(1)求证：AC＝BD；(2)满足什么条件时，四边形ABDC为正方形？【解】(1)证明：如图所示，连接CD，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，又∵AB∥α，ABβ，α∩β＝CD，∴AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC＝BD.(2)由(1)知ABDC为平行四边形，所以当AB＝AC且AB⊥AC时，四边形ABDC为正方形.如图1­5­22，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图1­5­22(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长.【精彩点拨】 由PB 与PD 相交于点P ，可知PB ，PD 确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题.【自主解答】 (1)证明：∵PB ∩PD ＝P ， ∴直线PB 和PD 确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD . 又α∥β，∴AC ∥BD . (2)由(1)，得AC ∥BD ，∴PA AB ＝PCCD，∴45＝3CD ，∴CD ＝154(cm)， ∴PD ＝PC ＋CD ＝274(cm).1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； (2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； (4)由定理得出结论.2.面面平行的性质定理的本质：化面面平行为线线平行是面面平行性质定理的本质，而转化的关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行转化为线线平行.[再练一题]2.已知α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且SA ＝8，SB ＝9，CD ＝34，求当S 在α，β之间时SC 的长.【解】 如图所示.∵AB 与CD 相交于S ，∴AB ，CD 可确定平面γ，且α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD . ∵α∥β，∴AC ∥BD ，∴SA SB ＝SC SD ，∴SA SA ＋SB ＝SC CD ，即SC 34＝817，解得SC ＝16.[探究共研型]探究1 如图1­5­23所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l，直线l与直线BC平行吗？请说明理由.图1­5­23【提示】法一：平行.因为BC∥AD，BC⊆/平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为BC平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.法二：连接CM，并延长交AD于Q，连接PQ，由AD∥BC，且AM＝BM，得QM＝CM又PN＝CN，则MN是△CPQ的中位线，所以MN∥PQ，又MN⊆/平面PAD，PQ平面PAD，则MN∥平面PAD.探究2 上述问题中条件不变，试判断MN与平面PAD是否平行，并证明你的结论.【提示】平行.取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE，MN⊆/平面PAD，AE平面PAD，所以MN∥平面PAD.如图1­5­24所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥平面PAD.图1­5­24【精彩点拨】连接AC交BD于O，连接MO→MO是△PAC的中位线→PA∥MO→PA∥平面BMD→PA∥GH→GH∥平面PAD【自主解答】如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO，而AP⊆/平面BDM，OM平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA平面PAD，GH⊆/平面PAD，∴GH∥平面PAD.1.本题综合考查了线面平行的判定和性质，体现了线线平行、线面平行之间的相互转化.2.空间平行关系的转化图：[再练一题]3.如图1­5­25，三棱锥A­BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD∥平面EFGH.图1­5­25【证明】由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊆/平面BCD，GH平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF 平面EFGH ，CD ⊆/平面EFGH ，∴CD ∥平面EFGH .1.已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( ) A.α∩β＝a ，bα⇒a ∥bB.α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC.a ∥β，b ∥β，aα，bα⇒α∥βD.α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b 【解析】 由面面平行的性质定理知D 正确. 【答案】 D2.若平面α∥平面β，直线a α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( )A.不一定存在与a 平行的直线B.只有两条与a 平行C.存在无数多条直线与a 平行D.存在唯一一条直线与a 平行【解析】 设点B 与直线a 确定一平面为γ，γ∩β＝b ， ∴a ∥b . 【答案】 D3.已知直线a ∥平面α，平面α∥平面β，则a 与β的位置关系为________. 【解析】 若aβ，则显然满足题目条件.若a ⊆/β，过直线a 作平面γ，γ∩α＝b ，γ∩β＝c ，于是由直线a ∥平面α得a ∥b ，由α∥β得b ∥c ，所以a ∥c ，又a ⊆/β，cβ，所以a ∥β.【答案】 aβ或a ∥β4.过两平行平面α，β外的点P 的两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD 的长为________.【解析】 两条直线AB 与CD 相交于P 点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC ∥BD ，所以PA PB ＝ACBD，又PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，故BD ＝12.【答案】 125.如图1­5­26，直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，CD ＝2，DD 1＝AB ＝1，P ，Q 分别是CC 1，C 1D 1的中点.求证：AC ∥平面BPQ .【导学号：39292031】图1­5­26【证明】连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，CD1⊆/平面BPQ，∴PQ∥CD∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，又∵AD1⊆/平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.。

5.2 平行关系的性质A组1.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,若a∥α,a⫋β,α∩β=b,则平面α内与b相交的直线与a的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或异面答案:C2,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G,H两点,则HG与AB的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定解析:∵E,F分别是AA1和BB1的中点,∴EF∥AB.又AB⊈平面EFGH,EF⫋平面EFGH,∴AB∥平面EFGH.又AB⫋平面ABCD,平面ABCD∩平面EFGH=GH,∴AB∥GH.答案:A3.设a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列命题中不正确的是()A.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥bB.a∥b,b∥α,a⊈α⇒a∥αC.α∥β,β∥γ⇒α∥γD.α∥β,a∥α⇒a∥β解析:当α∥β,且a∥α时,可能有a∥β,也可能有a⫋β,因此选项D中的命题不正确.答案:D4.a是平面α外的一条直线,过a作平面β,使β∥α,这样的平面β()A.只能作一个B.至多可以作一个C.不存在D.至少可以作一个解析:因为a在平面α外,所以a∥α或a∩α=P.当a∥α时,过a可作唯一的平面β,使β∥α;当a∩α=P时,过a不能作平面β,使β∥α,故至多可以作一个.答案:B5.如图所示,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,线段PA,PB,PC分别交α于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则△A'B'C'与△ABC面积的比为()A.2∶5B.3∶8C.4∶9D.4∶25解析:由题意知,△A'B'C'∽△ABC,从而.答案:D6.若α∥β,a⫋α,b⫋β,下列几种说法中正确的有.(只填序号)①a∥b;②a与β内无数条直线平行;③a与β内的唯一一条直线平行;④a∥β.答案:②④7.如图所示为长方体被一个平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.解析:因为原来的几何体是长方体,所以平面ABFE∥平面DCGH,从而可得EF∥HG,同理可得HE∥GF,故EFGH是平行四边形.答案:平行四边形8.如图所示,P为▱ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,=.解析:连接AC交BE于点G,连接FG.因为PA∥平面EBF,PA⫋平面PAC,平面PAC∩平面BEF=FG,所以PA∥FG,所以.又AD∥BC,E为AD的中点,所以,所以.答案:9.如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,M为OA的中点,N为BC的中点,求证:直线MN∥平面OCD.证明:取OB的中点G,连接GN,GM.在△OAB中,GM为中位线,∴GM∥AB.又AB∥CD,∴GM∥CD.∵GM⊈平面OCD,CD⫋平面OCD,∴GM∥平面OCD.在△OBC中,GN为中位线,∴GN∥OC.∵GN⊈平面OCD,OC⫋平面OCD,∴GN∥平面OCD.∵GM∩GN=G,∴平面GMN∥平面OCD.∵MN⫋平面GMN,MN⊈平面OCD,∴MN∥平面OCD.10,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点,求证:(1)D为BC的中点;(2)平面A1BD1∥平面AC1D.证明:(1)连接A1C交AC1于点O,连接OD,则O为A1C的中点,因为A1B∥平面AC1D,A1B⫋平面CA1B,平面CA1B∩平面ADC1=OD,所以A1B∥OD.因为O为A1C的中点,所以D为BC的中点.(2)因为D1为B1C1的中点,由三棱柱的性质知,C1D1BD,所以四边形BDC1D1为平行四边形.所以BD1∥DC1.因为BD1⊈平面AC1D,C1D⫋平面AC1D,所以BD1∥平面AC1D.连接D1D,因为D1,D分别为B1C1,BC的中点,所以D1D B1B.因为B1B A1A,所以D1D A1A.所以四边形A1ADD1为平行四边形.所以A1D1∥AD.因为A1D1⊈平面AC1D,AD⫋平面AC1D,所以A1D1∥平面AC1D.因为A1D1∩BD1=D1,所以平面A1BD1∥平面AC1D.B组1.平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,则平面α必定和这个三棱锥的()A.底面平行B.一个侧面平行C.平行于两条相对的棱D.仅与一条棱平行解析:当平面α平行于某一个面时,截面为三角形,故A,B错.当SA∥平面α时,如图所示.SA⫋平面SAB,平面SAB∩平面α=DG,所以SA∥DG,同理SA∥EF,所以DG∥EF,同理若BC∥平面α时,得到GF∥DE.因为截面是梯形,所以只能有一条棱与之平行.答案:D2α∥β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为()A.16B.24或C.14D.20解析:第①种情况,如图所示,当点P在α,β的同侧时,设BD=x,则PB=8-x,∴.∴BD=.第②种情况,如图所示,当点P在α,β中间时,设PB=x.∴.∴x==16,∴BD=24.答案:B3.过长方体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A.4条B.6条C.8条D.12条解析:如图所示,与平面BDD1B1平行的平面有EFGH,MNPQ,其中E,F,G,H,M,N,P,Q分别为棱的中点,每一个平面由中点构成的线有6条,据面面平行的性质定理,可知与面BDD1B1平行的线共有12条.答案:D4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是.解析:因为过A1,C1,B的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,且正方体的两个底面互相平行,所以由两个平面平行的性质定理知l∥A1C1.答案:平行5.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N,若AN=mAC,则m=.解析:因为平面AB1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,所以C1N∥AM.又AC∥A1C1,所以四边形ANC1M为平行四边形,所以AN=C1M=A1C1=AC,所以N为AC的中点,m=.答案:6.已知平面α∥平面β,△ABC与△A'B'C'分别在α,β内,线段AA',BB',CC'都交于点O,点O在α,β之间,若S△ABC=,OA∶OA'=3∶2,则△A'B'C'的面积为.解析:根据题意有S△ABC=.∵AA',BB'相交,∴直线AA',BB'确定一个平面ABA'B',∵平面α∥平面β,∴AB∥A'B',易得△ABO∽△A'B'O,①△ABC∽△A'B'C',②由①得,由②得,故S△A'B'C'=.答案:7.已知平面α∥β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34,求CS的长度.解:①当点S在α,β之间时,如右图所示,连接AC,BD,已知AB∩CD=S,设AB,CD构成平面γ,则γ∩α=AC,γ∩β=BD.因为α∥β,所以AC∥BD.所以△ACS∽△BDS.则,设CS=x,则,解得x=16,即CS=16.②当点S在平面α,β同侧时,如下图所示,已知AB∩CD=S,设AB,CD构成平面γ,则γ∩α=AC,γ∩β=BD.因为α∥β,所以AC∥BD,所以△SCA∽△SDB.所以,即,解得CS=272.综上,CS=16或272.8,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD.若∠BCD=120°,M 为线段AE的中点.求证DM∥平面BEC.证明:取AB的中点N,连接DN,MN,如图所示.∵M是AE中点,∴MN∥BE.又∵MN⊈平面BEC,BE⫋平面BEC,∴MN∥平面BEC.∵△ABD是等边三角形,AN=BN,∴∠BDN=30°.又∵CB=CD,∠BCD=120°,∴∠CBD=30°,∴ND∥BC.又∵ND⊈平面BEC,BC⫋平面BEC,∴ND∥平面BEC.又∵MN∩ND=N,MN⫋平面DMN,ND⫋平面DMN,∴平面DMN∥平面BEC.又∵DM⫋平面DMN,∴DM∥平面BEC.。

5.2平行关系的性质1.已知直线a∥平面α,点P∈α,则过点P且平行于直线a的直线()A.只有一条,不在平面α内B.有无数条,不一定在平面α内C.只有一条,在平面α内D.有无数条,一定在平面α内答案:C2.平面α∥平面β,AB,CD是夹在α和β间的两条线段,E,F分别为AB,CD的中点,则EF与α()A.平行B.相交C.垂直D.不能确定解析:当AB,CD共面时,由中位线的性质可得EF∥α;当AB,CD不共面时,连接AD,并取AD的中点M,连接EM与FM,则可得EM∥平面β,且FM∥平面α.故平面EFM∥平面α,即EF与α平行.答案:A3.用平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面α必定和这个三棱锥的()A.底面平行B.一个侧面平行C.平行于两条相对的棱D.仅与一条棱平行解析:当平面α平行于某一个面时,截面为三角形,故A,B错;当平面α∥SA时,如图所示.SA⫋平面SAB,平面SAB∩α=DG,所以SA∥DG,同理SA∥EF,所以DG∥EF,同理若BC∥α时得到GF∥DE,因为截面是梯形,所以只能有一条棱与之平行.答案:D4.给出下列三个命题:①若平面α∥平面β,直线a⫋α,直线b⫋β,则a∥b;②若直线a∥直线b,a⫋平面α,b⫋平面β,则α∥β;③若直线a∥平面α,a∥平面β,则α∥β.其中正确的命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:对于①,a,b可能异面;对于②,α,β可能相交;对于③,α,β可能相交.答案:A5.若不共线的三点到平面α的距离相等,且三点都不在平面α内,则这三点确定的平面β与α的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.无法确定解析:若三点在平面α的同侧,则三点确定的平面β与已知平面α是平行的;若三点分别在α的异侧,则这三点所确定的平面与平面α相交.故选C.答案:C6.在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 是棱AA 1的中点,过C ,M ,D 1作正方形的截面,则截面的面积为( ) A .9 B .92 C .18 D .185解析:如图所示,由面面平行的性质知截面与平面ABB 1A 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线,所以截面是梯形CD 1MN ,且MN=√2,CD 1=2√2,CN=D 1M=√5,所以梯形的高为h=√(√5)2-(√22)2=3√22, 所以S=12×(√2+2√2)×3√22=92.答案:B7.如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,过BD 1的平面分别与AA 1,CC 1交于M ,N ,则四边形BND 1M 的形状为 .解析:设过BD 1的平面为α,因为平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1,α∩平面ABB 1A 1=BM ,α∩平面CDD 1C 1=D 1N ,所以BM ∥D 1N ,同理可得BN ∥D 1M ,所以四边形BND 1M 为平行四边形.答案:平行四边形8.若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ,BD 的长分别为8和12,过AB 的中点E 且平行于BD ,AC 的截面是四边形,则此四边形的周长为 .解析:如图所示,设截面为EFGH ,因为AC ∥平面EFGH ,平面ACB ∩平面EFGH=EF ,AC ⫋平面ABC ,所以AC ∥EF ,同理可得GH ∥AC ,所以EF ∥GH.同理FG ∥EH ,故四边形EFGH 为平行四边形,所以四边形的周长为2(EF+EH )=AC+BD=20.答案:209.如图所示,P 是△ABC 所在平面外一点,平面α∥平面ABC ,α分别交线段PA ,PB ,PC 于点A',B',C'.若PA 'A 'A =23,求S △A 'B 'C 'S △ABC的值.解∵平面α∥平面ABC ,平面PAB ∩平面α=A'B',平面PAB ∩平面ABC=AB ,∴A'B'∥AB.同理可得B'C'∥BC ,A'C'∥AC.∴∠B'A'C'=∠BAC ,∠A'B'C'=∠ABC ,∠A'C'B'=∠ACB ,∴△A'B'C'∽△ABC.又PA'∶A'A=2∶3,∴PA'∶PA=2∶5,∴A'B'∶AB=2∶5.∴S △A'B'C'∶S △ABC =4∶25,即S △A 'B 'C 'S △ABC =425.★10.如图,已知平面α∥平面β,线段PQ ,PF ,QC 分别交平面α于A ,B ,C 点,交平面β于D ,F ,E 点,PA=9,AD=12,DQ=16,△ABC 的面积是72,试求△DEF 的面积.( 提示:S △DEF =12·DF ·DE ·sin ∠EDF ,S △ABC =12·AB ·AC ·sin ∠CAB )解因为平面α∥平面β,所以AB ∥DF ,AC ∥DE ,所以∠CAB=∠EDF.在△PDF 中,AB ∥DF ,DF=PA+AD PA ·AB=73AB , 同理DE=47AC. S △DEF =12·73AB ·47AC ·sin ∠CAB=43S △ABC =96. ★11.如图所示,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D 是BC 的中点.(1)若E 为A 1C 1的中点,求证:DE ∥平面ABB 1A 1;(2)若E 为A 1C 1上一点,且A 1B ∥平面B 1DE ,求A 1EEC 1的值. (1)证明取B 1C 1的中点G ,连接EG ,GD ,如图所示,则EG ∥A 1B 1,DG ∥BB 1. 又EG ∩DG=G ,所以平面DEG ∥平面ABB 1A 1. 因为DE ⫋平面DEG ,所以DE ∥平面ABB 1A 1.(2)解设B 1D 交BC 1于点F ,则平面A 1BC 1∩平面B 1DE=EF. 因为A 1B ∥平面B 1DE ,A 1B ⫋平面A 1BC 1, 所以A 1B ∥EF ,所以A 1EEC 1=BF FC 1. 又BF FC 1=BD B 1C 1=12, 所以A 1E EC 1=12.。

高中数学第一章:5 平行关系5．1平行关系的判定考纲定位重难突破1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义．2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.重点：直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的理解、应用．难点：线线平行、线面平行、面面平行的转化．方法：平行关系中的分类讨论思想.授课提示：对应学生用书第14页[自主梳理]一、直线与平面的位置关系一条直线与一个平面有三种位置关系(1)直线a在平面α内，记作aα；(2)直线a与平面α相交于点A，记作a∩α＝A；(3)直线a与平面α平行，记作a∥α.二、直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理定理表示线面平行的判定定理面面平行的判定定理文字语言若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号语言⎭⎪⎬⎪⎫aαbαa∥b⇒a∥α⎭⎪⎬⎪⎫aαbαa∩b＝Aa∥βb∥β⇒α∥β图形表示1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是()A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面α内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：选项A不符合题意，是因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，是因为缺少条件mα；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．答案：C2．直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系()A．平行B．相交C．异面D．不能确定解析：直线a与直线b可能平行、相交或异面．答案：D3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是()A．平面BME∥平面ACNB．AF∥CNC．BM∥平面EFDD．BE与AN相交解析：作出此正方体．易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，可得平面ACN∥平面BEM.答案：A4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为B1O和C1O的中点，长方体的各面中与EF 平行的有________个．解析：与EF 平行的面有面AC ，面BC 1，面AD 1. 答案：35．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1C ，B 1C 1，C 1D 1的中点，则平面MNP 与平面A 1BD 的位置关系是________．解析：∵NP ∥B 1D 1，且BD ∥B 1D 1，∴NP ∥BD . NP ⊄面A 1BD ，∴NP ∥面A 1BD ，同理MN ∥面A 1BD .又∵PN ∩MN ＝N ，∴平面MNP ∥平面A 1DB . 答案：平行授课提示：对应学生用书第14页探究一 直线与平面平行的判定[典例1] 如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．求证：EF ∥平面SAD .[证明] 取SD 的中点G ，连接GF ，AG . 又∵F 为SC 的中点．∴GF 为△SDC 的中位线． ∴GF 綊12DC .又E 为AB 的中点且底面ABCD 为正方形． ∴AE 綊12CD .∴GF 綊AE .∴四边形AEFG 为平行四边形． ∴EF ∥AG .又AG 平面SAD ，EF平面SAD ，∴EF ∥平面SAD .]线面平行的判定方法(1)利用定义，证线面无公共点．(2)利用线面平行的判定定理，将线面平行转化为线线平行，巧妙地作出辅助线，构造线线平行是解决问题的关键．1．已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC的中点．求证：AB1∥平面DBC1.证明：∵A1B1C1-ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．连接B1C交BC1于点E，则B1E＝EC，连接DE.如图所示，在△AB1C中，∵AD＝DC，∴DE∥AB1.又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.探究二面面平行的判定[典例2]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.[证明]连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，∴MF綊A1D1.又A1D1綊AD，∴MF綊AD，∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又∵AM⊄平面EFDB，DF⊂平面EFDB.∴AM∥平面EFDB.同理可得AN∥平面EFDB.∵AM，AN⊂平面AMN，且AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.平面平行的判定方法(1)利用定义，证面面无公共点．(2)利用平面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面．2．如图(甲)，在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，现将△ACD沿CD折起，如图(乙)．求证：平面FHG∥平面ABE.证明：∵F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，∴FH∥CD，HG∥AE.又AB⊥CD，AB⊥BE，∴CD∥BE，∴FH∥BE.∵BE平面ABE，FH平面ABE，∴FH∥平面ABE.∵AE平面ABE，HG平面ABE，∴HG∥平面ABE.又FH∩HG＝H，∴平面FHG∥平面ABE.探究三 平行关系的综合应用[典例3] 如图，B 为△ACD 所在平面外一点，M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心．(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ； (2)求S △MNG ∶S △ADC .[解析] (1)证明：如图，连接BM ，BN ，BG 并延长，分别交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H .∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心， 则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH＝2.连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF ， 又PF 平面ACD ，MN 平面ACD ，∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，又MG ∩MN ＝M . ∴平面MNG ∥平面ACD . (2)由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△ACD ，其相似比为1∶3. ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.证明面面平行可转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．线线、线面、面面间的这种相互转化，可以帮助我们找到解题的突破口，同时也是证明平行问题的常用方法．3.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥AB ，在侧面PBC 内，有PB ⊥BC ，BE ⊥PC 于点E ，且BE ＝63a .在线段AB 上是否存在一点F ，使EF ∥平面P AD ？若存在，求出AFAB 的值；若不存在，请说明理由．解析：存在满足条件的点F .在平面PCD 内，过点E 作EG ∥CD 交PD 于点G ，连接AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG (图略)．∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ，∴四边形FEGA 为平行四边形，∴FE ∥AG . 又AG 平面P AD ，PE平面P AD ，∴EF ∥平面P AD ，∴F 即为所求的点． ∵PB ⊥BC ，P A ⊥AB ，∴PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋P A 2， 设P A ＝x ，则PC ＝2a 2＋x 2，由PB ·BC ＝BE ·PC ，得a 2＋x 2·a ＝2a 2＋x 2·63a ，∴x ＝a ，即P A ＝a ，∴PC ＝3a . 又CE ＝a 2－(63a )2＝33a ，∴PE PC ＝23， ∴GE CD ＝PE PC ＝23，即GE ＝23CD ＝23a ， ∴AF ＝23a ，即AF AB ＝23.线面平行、面面平行判定中的探索问题[典例] (本题满分12分)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?[规范解答]当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面P AO.……………………1分因为Q为CC1的中点，P为D1D的中点，所以PQ∥DC，①…………………2分又DC∥AB，所以PQ∥AB，且PQ＝AB.所以四边形ABQP为平行四边形，…………………4分所以QB∥P A.又P A平面P AO，QB平面P AO，所以BQ∥平面P AO.②…………………7分连接BD(图略)，则O∈BD，又O为DB的中点，P为D1D的中点，所以PO∥D1B. …………………9分又PO平面P AO，D1B平面P AO，所以D1B∥平面P AO.③…………………11分又D1B∩BQ＝B，所以平面D1BQ∥平面P AO. …………………12分[规范与警示]①由P是DD1的中点，探索知Q是CC1中点，此为解题关键点．②利用平行四边形找出两平面中一组直线平行，注意证明过程要严谨．③由三角形中位线证明两平面中另一组直线平行，切记面面平行的两线一定是相交直线．探索型问题是具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，需要自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括得出结论．常见的有以下两类：a．条件探索型：条件探索型问题是针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．b．结论探索型：结论探索型是先探索结论然后再去证明，在探索过程中常先从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳，进行猜测，得出结论，再就一般情况去验证结论．[随堂训练]对应学生用书第16页1．下列命题中正确的是()①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．A．①③B．②C．②③D．③解析：①②中两个平面还可以相交，故①②错误；由两个平面平行的定义，知③正确．故选D.答案：D2．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上都不对解析：当每个平面内的两条直线都是相交直线时，可推出两个平面一定平行，否则，两个平面有可能相交．答案：C3.如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，E，F分别为棱PB，PC的中点，则EF与平面P AD的位置关系为________．解析：由于E，F分别是PB，PC的中点，所以EF∥BC.又因为AD∥BC，所以EF∥AD.而E F⃘平面P AD，AD平面P AD，故EF∥平面P AD.答案：EF∥平面P AD4．在六棱柱的表面中，互相平行的面最多有________对．解析：画出图形(图略)观察可得．答案：45.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.。

第一章立体几何初步[课时作业][A组基础巩固]1．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是() A．平行B．相交C．异面D．以上均可能解析：这两条直线可能平行，可能相交，也可能异面．答案：D2.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1、BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G、H，则HG与AB 的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行和异面解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB，又AB平面EFGH，EF平面EFGH，∴AB∥平面EFGH，又AB平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.答案：A3.如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有() A．1条B．2条C．3条D．无数条解析：如图，过M作MQ∥AA1交AB于Q，过Q作QH∥AC，交BC 于点H ，过点H 作NH ∥BB 1，交B 1C 于点N .因为BB 1∥AA 1，所以NH ∥MQ ，则平面MQHN ∥平面ACC 1A 1，则MN ∥平面ACC 1A 1.因为M 为线段A 1B 上的动点，所以这样的MN 有无数条，故选D. 答案：D4.如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，线段P A ，PB ，PC 分别交α于A ′，B ′，C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为( ) A ．2∶5 B ．3∶8 C ．4∶9D ．4∶25解析：由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ， 从而S △A ′B ′C ′S △ABC＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝⎝⎛⎭⎫252＝425. 5．若直线l 不存在与平面α内无数条直线都相交的可能，则直线l 与平面α的关系为________． 解析：若直线l 与平面α相交或在平面α内，则在平面α内一定存在无数条直线与直线l 相交，故要使l 不可能与平面α内无数条直线都相交，只有l ∥α. 答案：l ∥α6.空间四边形ABCD 中，对角线AC ＝BD ＝4，E 是AB 的中点，过E 与AC 、BD 都平行的截面EFGH 分别与BC 、CD 、DA 交于F 、G 、H ，则四边形EFGH 的周长为________．解析：易知EFGH 为平行四边形，且F 、G 、H 分别为BC 、CD 、AD 的中点，∴EF ＝12AC ＝2，同理FG ＝GH ＝EH ＝2，∴四边形EFGH 的周长为8. 答案：87.如图所示，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________. 解析：∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝23a .故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝223a .答案：223a8.如图，P 为▱ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当P A ∥平面EBF 时，PFFC＝________. 解析：连接AC 交BE 于点G ，连接FG ，因为P A ∥平面EBF ，P A 平面P AC ，平面P AC ∩平面BEF ＝FG ，所以P A ∥FG ，所以PF FC ＝AGGC .又因为AD ∥BC ，E 为AD 的中点， 所以AG GC ＝AE BC ＝12，所以PF FC ＝12.答案：129．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为梯形，BC ∥AD ，E 为侧棱PD 的中点，且BC ＝2，AD ＝4.求证：CE ∥平面P AB .证明：取AD 的中点O ，连接OC ，OE (图略)． ∵E 为侧棱PD 的中点， ∴OE ∥P A ，∴OE ∥平面P AB .∵BC ＝2，AD ＝4，BC ∥AD ，∴四边形ABCO 为平行四边形， ∴OC ∥AB ，∴OC ∥平面P AB .∵OC ∩OE ＝O ，∴平面OCE ∥平面P AB . ∵CE 平面OCE ，∴CE ∥平面P AB .10．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是AD1，BD的中点．求证：PQ∥平面DCC1D1.证明：证法一连接AC、CD1，∵P，Q分别是AD1，AC的中点，∴PQ∥CD1.又P平面DCC1D1，CD1平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1.证法二取AD中点G，连接PG、GQ.则有PG∥D1D.又PG平面DCC1D1，D1D平面DCC1D1，∴PG∥平面DCC1D1，同理GQ∥平面DCC1D1.又PG∩GQ＝G，∴平面PGQ∥平面DCC1D1.又PQ平面PGQ，∴PQ∥平面DCC1D1.[B组能力提升]1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状为()A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．梯形解析：由于正方体中平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，又截面EFGH 与平面ABB 1A 1、平面DCC 1D 1分别相交于GF ，EH ，由面面平行的性质定理知GF ∥EH ；同理可得EF ∥GH ，故四边形EFGH 一定是平行四边形，选A. 答案：A2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上存在一点E (不与端点重合)，使得BD 1∥平面B 1CE ，则( ) A ．BD 1∥CE B ．AC 1⊥BD 1 C ．D 1E ＝2EC 1D ．D 1E ＝EC 1解析：连接BC 1，设B 1C ∩BC 1＝O ，连接OE ，如图，BD 1∥平面B 1CE ，平面BC 1D 1∩平面B 1CE ＝OE ，∴BD 1∥OE ，∵O 为BC 1的中点，∴E 为C 1D 1的中点，∴D 正确，C 错误；由异面直线的定义，知BD 1，CE 是异面直线，故A 错误；连接AD 1，在矩形ABC 1D 1中，AC 1与BD 1不垂直，故B 错误．故选D. 答案：D3．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________． 解析：当P 点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD ＝24，当平面α和平面β在点P 同侧时可求得BD ＝245.答案：24或2454．在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，EF ∥平面ABCD ，EA ＝ED ＝AB ＝2EF ＝2，M 为BC 的中点，求证：FM ∥平面BDE .证明：取CD 的中点N ，连接MN ，FN (图略)． 因为N ，M 分别为CD ，BC 的中点，所以MN ∥BD .又BD 平面BDE ，且MN 平面BDE ，所以MN ∥平面BDE ，因为EF ∥平面ABCD ，EF 平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，所以EF ∥AB . 又AB ＝CD ＝2DN ＝2EF ＝2，AB ∥CD ， 所以EF ∥DN ，EF ＝DN ，所以四边形EFND 为平行四边形，所以FN ∥ED . 又ED 平面BDE ，且FN平面BDE ，所以FN ∥平面BDE .又FN ∩MN ＝N ，所以平面MFN ∥平面BDE . 又FM 平面MFN ，所以FM ∥平面BDE .5．四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是梯形，AB ∥CD ，且AB ＝23CD .试问在PC 上能否找到一点E ，使得BE ∥平面P AD ？若能，请确定E 点的位置，并给出证明；若不能，请说明理由． 解析：在PC 上取点E ，使CE PE ＝12，则BE ∥平面P AD .证明如下：如图，延长DA 和CB 交于点F ，连接PF .梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝23CD .∴AB CD ＝BF FC ＝23，∴BC BF ＝12. 又CE PE ＝12，∴△PFC 中，CE PE ＝BCBF， ∴BE ∥PF ，而BE 平面P AD ，PF 平面P AD .∴BE ∥平面P AD .6.如图所示，平面α∥平面β，△ABC 、△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′共点于O ，O 在α、β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，OA ∶OA ′＝3∶2. 求△A ′B ′C ′的面积．解析：相交直线AA ′、BB ′所在平面和两平行平面α、β分别相交于AB 、A ′B ′，由面面平行的性质定理可得，AB ∥A ′B ′.同理相交直线BB ′、CC ′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC 、B ′C ′，从而BC ∥B ′C ′.同理易证AC ∥A ′C ′.∴∠BAC 与∠B ′A ′C ′的两边对应平行且方向相反， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′. ∴△ABC 与△A ′B ′C ′的三内角分别相等，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∵AB ∥A ′B ′，AA ′∩BB ′＝O ， ∴在平面ABA ′B ′中，△AOB ∽△A ′OB ′.∴A ′B ′AB ＝OA ′OA ＝23.而S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×2×1＝1.∴S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫A ′B ′AB 2， ∴S △A ′B ′C ′＝49S △ABC ＝49×1＝49.。

1.5.2 平行关系的性质[学业水平训练]1.如果直线a∥平面α，则( )A．平面α内有且只有一条直线与a平行B．平面α内有无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a垂直的直线D．平面α内有且仅有一条与a垂直的直线解析：选B.a∥平面α，由线与平面平行的性质定理知有过a且与平面α相交的平面β，则a平行于平面α和平面β的交线，在α内与交线平行的直线有无数条，故选B.2.如果平面α∥平面β，夹在α和β间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行、相交或异面解析：选D.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AA1∥BB1，A1D∩A1B＝A1，AD1与A1B 是异面直线．故选D.3.如图所示，长方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为AA′，BB′的中点，过EF 的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：选A.由长方体性质可知EF∥平面ABCD.EF平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH.∴EF∥GH.又∵EF∥AB.∴GH∥AB，故选A.4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶5解析：选B.平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA ′PA 2＝425.5.如图，已知平面α∩平面β＝a ，平面β∩平面γ＝b ，平面γ∩平面α＝c ，若a ∥b ，则c 与a ，b 的位置关系是( )A ．c 与a ，b 都是异面直线B ．c 与a ，b 都相交C ．c 至少与a ，b 中的一条相交D ．c 与a ，b 都平行解析：选D.因为a ∥b ，a γ，b γ，所以a ∥γ.又a α，α∩γ＝c ，所以a ∥c ，所以b ∥c .6.若直线l 不存在与平面α内无数条直线都相交的可能，则直线l 与平面α的关系为________．解析：若直线l 与平面α相交或在平面α内，则在平面α内一定存在无数条直线与直线l 相交，故要使l 不可能与平面α内无数条直线都相交，只有l ∥α.答案：l ∥α7.如图，α∩β＝CD ，α∩γ＝EF ，β∩γ＝AB ，AB ∥α，则CD 与EF 的位置关系为________．解析：由线面平行的性质得，AB ∥CD ，AB ∥EF ，由公理4得CD ∥EF . 答案：平行8.若空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别是8、12，过AB 的中点E 且平行于BD 、AC 的截面是四边形，则它的周长为________．解析：如图可知截面EFGH 是平行四边形，且EF ＝12AC ＝4，FG ＝12BD ＝6，∴四边形周长是2×(4＋6)＝20. 答案：209.已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .证明：连接AC 交BD 于O ，连接MO ，因为M ，O 为中点，所以MO ∥AP ， 又因为MO 平面BDM ，PA 平面BDM ， 所以PA ∥平面BDM ， 又因为PA 平面PAHG ， 平面PAHG ∩平面BDM ＝GH ， 所以PA ∥GH .10.如图所示，在三棱锥P ­ABC 中，PA ＝4，BC ＝6，与PA 、BC 都平行的截面四边形EFGH 的周长为l ，试确定l 的取值范围．解：∵PA ∥平面EFGH ，PA 平面PAB ， 平面PAB ∩平面EFGH ＝EH ，∴PA ∥EH ，同理，PA ∥FG ，BC ∥EF ，BC ∥HG ； ∴EF BC ＝AE AB ，∴EF ＝AE ·BC AB ，FG AP ＝CF CA ＝BE BA，∴FG ＝BE ·AP BA，∴四边形EFGH 的周长l ＝2(EF ＋FG ) ＝2（AE ·BC ＋BE ·PA ）AB ＝12AE ＋8BE AB＝8AB ＋4AE AB ＝8＋4AE AB ，由于0<AEAB<1，∴8<l <12.[高考水平训练]1.已知l 是过正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的顶点的平面AB 1D 1与下底面ABCD 所在平面的交线，下列结论错误的是( )A ．D 1B 1∥平面ABCD B ．BD ∥平面AD 1B 1C ．l ∥平面A 1C 1D ．l ⊥B 1C 1解析：选D.A 可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确，B ，C 可由线面平行的判定定理判定正确性．D 错在D 1B 1∥l ，l 与B 1C 1所成角是45°.2.如图所示，ABCD ­A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________．解析：∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ，∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3.答案：22a 33.如图，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G ，H 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1，BB 1的中点，求证：(1)MN ∥B 1D 1；(2)AC 1∥平面EB 1D 1； (3)平面EB 1D 1∥平面BDG .证明：(1)因为M ，N 分别是CD ，CB 的中点，所以MN ∥BD .又因为BB 1綊DD 1，所以四边形BB 1D 1D 是平行四边形，所以BD ∥B 1D 1， 从而MN ∥B 1D 1.(2)连接A 1C 1，交B 1D 1于点O ，连接OE .因为四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点．因为E 是AA 1的中点，所以EO 是△AA 1C 1的中位线，所以EO ∥AC 1.又AC 1平面EB 1D 1，EO 平面EB 1D 1， 所以AC 1∥平面EB 1D 1.(3)连接GH ，因为EA 綊B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1∥AH .因为AD 綊HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG ∥AH ，所以EB 1∥DG .又因为BB 1綊DD 1，所以四边形BB 1D 1D 是平行四边形， 所以BD ∥B 1D 1. 因为BD ∩DG ＝D ，所以平面EB 1D 1∥平面BDG .4．如图，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，若MB ∥平面AEF ，试判断点M 在何位置．解：若MB ∥平面AEF ，过F ，B ，M 作平面FBM 交AE 于N ，连接MN ，NF .因为BF ∥平面AA 1C 1C ， BF 平面FBM ，平面FBM ∩平面AA 1C 1C ＝MN ， 所以FB ∥MN .又MB ∥平面AEF ，所以MB ∥FN ， 所以BFNM 是平行四边形， 所以MN ＝FB ＝1.而EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2， 所以MN ∥EC ，MN ＝12EC ＝1，故MN 是△ACE 的中位线． 所以M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF .。