人教版高中数学 立体几何

人教版高中数学必修二《第八章立体几何初步》同步练习《8.1 基本几何图形》同步练习第1课时棱柱、棱锥、棱台一、选择题1．下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（）A．B．C．D．2．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥3．下列几何体中棱柱有( )A．5个B．4个C．3个D．2个4．用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是 ( )A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形5．（多选题）给出下列命题，其中假命题是（）A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；D.棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.6．（多选题）正方体的截面可能是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．菱形D．正六边形二、填空题7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.8.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.9.下列说法中正确的为________（填序号）.（1）棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形：（2）各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；（3）正棱锥的侧面是等边三角形；（4）有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的几何体是棱台.10.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．三、解答题11．如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．12.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？《8.1 基本几何图形》同步练习答案解析第1课时棱柱、棱锥、棱台一、选择题1．下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】将其折叠起来，变成正方体后的图形中，相邻的平面中三条线段是平行线，排除A ，C ；相邻平面只有两个是空白面，排除D ；故选B2．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥【答案】D【解析】正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为 r ，正六棱锥的高为h ，正六棱锥的侧棱长为 l ，由正六棱锥的高h 、底面的半径r 、侧棱长l 构成直角三角形得，222h r l += ，故侧棱长 l 和底面正六边形的边长r 不可能相等.故选D.3．下列几何体中棱柱有( )A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】D【解析】由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．故选D.4．用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是 ( )A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形【答案】D【解析】根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可能的是六边形，故选D.5．（多选题）给出下列命题，其中假命题是（）A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；D.棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.【答案】ABD【解析】对于A，棱柱的侧面不一定全等，故错误；对于B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；对于C，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；对于D，棱台的侧面不一定是等腰三角形，故错误；故选ABD .6．（多选题）正方体的截面可能是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．菱形D．正六边形【答案】CD【解析】 如图所示截面为三角形ABC ，OA =a ，OB =b ，OC =c ，∴222222222,,AC a c AB a b BC b c =+=+=+， ∴222202AB AC BC cos CAB AB AC +-∠==>⋅ ∴∠CAB 为锐角，同理∠ACB 与∠ABC 也为锐角，即△ABC 为锐角三角形，∴正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，不可能是钝角三角形和直角三角形，A 、B 错误；若是四边形，则可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形，C 正确；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图为正六边形，故若是六边形，则可以是正六边形，D 正确.故选：CD .二、填空题7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为________cm.【答案】12【解析】该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.8.如图，M 是棱长为2 cm 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是________cm.【答案】 13【解析】 由题意，若以BC 为轴展开，则A ，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm ，3 cm ，故两点之间的距离是13 cm.若以BB 1为轴展开，则A ，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.9.下列说法中正确的为________（填序号）.（1）棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形：（2）各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；（3）正棱锥的侧面是等边三角形；（4）有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的几何体是棱台.【答案】（1）【解析】（1）正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形；（2）不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体；（3）不正确，正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形；（4）不正确，用反例去检验，如图，显然错误图.故答案为：（1）10.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．【答案】5 6 9【解析】面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．三、解答题11．如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．【答案】见解析【解析】过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC －A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一)12.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A ，B ，C 重合，重合后记为点P .问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ，则每个面的三角形面积为多少？【答案】（1）三棱锥 （2）见解析【解析】(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2， S △DEF ＝32a 2.《8.1 基本几何图形》同步练习第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球一、选择题1．下列命题中，正确的是（ ）①在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 2．圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知圆柱的轴截面是正方形，其面积为Q ，则它的一个底面的面积为（ ）A ．QB ．Q πC ．4Q πD ．2Q π 4．下列平面图形中，通过围绕定直线l 旋转可得到如图所示几何体的是( )A ．B ．C ．D ．5．（多选题）下列说法中正确的是（ ）A ．正棱锥的所有侧棱长相等B ．圆柱的母线垂直于底面C ．直棱柱的侧面都是全等的矩形D ．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形6．（多选题）下列结论中错误的是（ ）A ．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球B ．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥C ．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体D ．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台二、填空题7．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是______.（填序号）8．下列命题中正确的是________（填序号）.①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周所得到的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周所得到的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，将等腰三角形旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.9.如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是 ．10.一个半径为5 cm 的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm ，则截面圆半径为 cm ，面积为 cm 2.三、解答题9．如图，四边形ABCD 为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体.10．一个圆台的母线长为12cm ，两底面面积分别为24cm π和225cm π．（1）求圆台的高；（2）求截得此圆台的圆锥的母线长．《8.1 基本几何图形》同步练习及答案解析第2课时圆柱、圆锥、圆台、球一、选择题1．下列命题中，正确的是（）①在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】C【解析】①：若上下底面各取的点的连线能平行于轴，则是母线，反之则不是，错误；②：母线的定义，显然正确；③：圆台可看做是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，根据圆锥母线的定义可知错误；④圆柱的母线都平行于轴，故也相互平行，正确；只有②④两个命题是正确的.故选C.2．圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A，B，C错误.故选：D.3．已知圆柱的轴截面是正方形，其面积为Q ，则它的一个底面的面积为（ ）A ．QB ．Q πC ．4Q πD ．2Q π 【答案】C【解析】圆柱的轴截面一边为高，另一边为底面的直径，由轴截面为正方形可知，高与，所以底面的面积为2ππ4Q ⋅=⎝⎭. 4．下列平面图形中，通过围绕定直线l 旋转可得到如图所示几何体的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】A.是一个圆锥以及一个圆柱; C.是两个圆锥; D. 一个圆锥以及一个圆柱;所以选B.5．（多选题）下列说法中正确的是（ ）A ．正棱锥的所有侧棱长相等B ．圆柱的母线垂直于底面C ．直棱柱的侧面都是全等的矩形D ．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形【答案】ABD【解析】对于A ,根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长相等,故A 正确；对于B ,根据圆柱是由矩形绕其一边旋转而成的几何体,可知圆柱的母线与底面垂直,故B 正确；对于C ,直棱柱的侧面都是矩形,但不一定全等,故C 错误；对于D ,圆锥的轴截面是全等的等腰三角形,故D 正确.故选:ABD 。

第八章立体几何初步一、凸多面体的概念1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．1）分类：斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；2）常见几何体平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；长方体：底面是矩形的直平行六面体；2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．2）常见几何体正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．二、简单旋转体概念（圆柱、圆锥、圆台、球）1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．三、常见几何体的表面积与体积计算公式表面积公式表面积柱体2直棱柱底=+S ch S2(斜棱柱底''=+S c l S c为直截面周长)2222()圆锥=+=+S r rl r r lπππ一、知识点明晰锥体12正棱锥底'=+S nah S2()圆锥=+=+S r rl r r l πππ台体1()2正棱台上下'=+++S n aa h S S22)圆台（''=+++S r r r l rl π球24=S R π体积公式体积柱体柱=V Sh锥体 13锥=V Sh台体1()3台''=++V S SS S h球343=V R π四、空间几何体的直观图1、斜二测画法（主要步骤如下）1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系． 2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于''O x ，''O y ，使45'''∠=x O y （或135），它们确定的平面表示水平平面．3）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴的线段，且长度保持不Sh变；在已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于'y 轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．4）擦去辅助线．图画好后，要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 2、常用结论：1）直观图和平面图形的面积比为22S S =原直。

知识图谱-利用向量方法求线线角与线面角-利用向量方法求二面角-利用向量方法求距离直线与直线的夹角直线与平面的夹角向量法求二面角含有参数的二面角求法点到点线面的距离线与线面的距离第03讲_立体几何中的向量方法错题回顾利用向量方法求线线角与线面角知识精讲一．用向量方法求线线角与线面角1．两条异面直线所成的角（1）定义：设是两条异面直线，过空间任一点作直线，则与所夹的锐角或直角叫做所成的角；（2）范围：两异面直线所成的角的取值范围是；（3）向量求法：设直线的方向向量为，其夹角为，则有．2．直线与平面所成的角（1）定义：直线与平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角；（2）斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所称角中最小的角；（3）范围：直线和平面所成角的取值范围是；（4）向量求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则有或，此外还可以根据定义得到直线与平面所成的角如下图：．三点剖析一．方法点拨1．在用向量法求两条直线的夹角时，如果两条直线方向向量的夹角余弦值是负数时，则取绝对值，要正数，因为两条直线的夹角范围是．2．在用向量法求直线与平面的夹角时，如果算出的是负值时，则线面角的正弦值也需要取正值．题模精讲题模一直线与直线的夹角例1.1、已知是异面直线，，且，则所成的角是( )B、A、C、D、例1.2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，A B=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．例1.3、如图所示，正四面体的高的中点为的中点为．（1）求证：两两垂直；（2）求．题模二直线与平面的夹角例2.1、若斜线段的长度是它在平面内的射影长的倍，则与所成角的正切值为__________．例2.2、直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是的中点，点在平面上的射影是．求与平面所成角的大小（结果用正弦值表示）．例2.3、已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．例2.4、如图，在三棱锥中，底面，，为的中点，为的中点，，．（1）求证：平面；（2）求与平面成角的正弦值；（3）设点在线段上，且，平面，求实数的值．随堂练习随练1.1、若异面直线的方向向量分别是，则异面直线与的夹角的余弦值等于( )A、B、C、D、随练1.2、在棱长为1的正方体中，分别是的中点，在棱上，且，的中点，应用空间向量方法求解下列问题。

高中数学立体几何公式大全高中数学立体几何公式整理如下：1. 正方体：a-边长，S=6a²，V=a³2. 长方体：a-长，b-宽，c-高，S=2(ab+ac+bc)，V=abc3. 圆柱：r-底半径，h-高，C=2πr，S底=πr²，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr²h4. 空心圆柱：R-外圆半径，r-内圆半径，h-高，V=πh(R²-r²)5. 直圆锥：r-底半径，h-高，V=πr²h/36. 圆台：r-上底半径，R-下底半径，h-高，V=πh(R²+Rr+r²)/37. 棱柱：S-底面积，h-高，V=Sh8. 棱锥：S-底面积，h-高，V=Sh/39. 棱台：S1和S2-上、下底面积，h-高，V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/310. 拟柱体：S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积，h-高，V=h(S1+S2+4S0)/611. 球：r-半径，d-直径，V=4/3πr³=πd²/612. 球缺：h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径，V=πh(3a²+h²)/6=πh²(3r-h)/3a²=h(2r-h)13. 球台：r1和r2-球台上、下底半径，h-高，V=πh[3(r1²+r2²)+h²]/614. 圆环体：R-环体半径，D-环体直径，r-环体截面半径，d-环体截面直径，V=2π²Rr²=π²Dd²/415. 桶状体：D-桶腹直径，d-桶底直径，h-桶高，V=πh(2D²+d²)/12以上公式涵盖了几何体各个方面的内容。

基本立体图形【第1课时】棱柱、棱锥、棱台的结构特征教学重难点教学目标核心素养棱柱的结构特征理解棱柱的定义，知道棱柱的结构特征，并能识别直观想象棱锥、棱台的结构特征理解棱锥、棱台的定义，知道棱锥、棱台的结构特征，并能识别直观想象应用几何体的平面展开图能将棱柱、棱锥、棱台的表面展开成平面图形直观想象【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．空间几何体的定义是什么？2．空间几何体分为哪几类？3．常见的多面体有哪些？4．棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？二、新知探究棱柱的结构特征例1：下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是__________．【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.【答案】③④[规律方法]棱柱结构特征的辨析技巧（1）扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．（2）举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．棱锥、棱台的结构特征例2：下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．所以正确说法的序号为②③④.【答案】②③④[规律方法]判断棱锥、棱台形状的两种方法（1）举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．（2）直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点空间几何体的平面展开图例3：（1）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图（图中数字写在正方体的外表面上），若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（）A．1 B．9C．快D．乐（2）如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【解】（1）选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．（2）题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[求解策略]多面体展开图问题的解题策略（1）绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．（2）由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．【课堂总结】1．空间几何体的定义及分类（1）定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．（2）分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．2．空间几何体类别定义图示多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点旋转体一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的这条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征结构特征及分类图形及记法棱柱结构特征（1）有两个面（底面）互相平行（2）其余各面都是四边形（3）相邻两个四边形的公共边都互相平行记作棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′分类按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱…续表结构特征及分类图形及记法棱锥结构特征（1）有一个面（底面）是多边形（2）其余各面（侧面）都是有一个公共顶点的三角形记作棱锥S-ABCD 分类按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……棱台结构特征（1）上下底面互相平行，且是相似图形（2）各侧棱延长线相交于一点（或用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台）记作棱台ABCD-A′B′C′D′分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……[名师点拨]（1）棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）．（2）各种棱柱之间的关系①棱柱的分类棱柱⎩⎨⎧直棱柱⎩⎨⎧正棱柱（底面为正多边形）一般的直棱柱斜棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系【课堂检测】1．下面的几何体中是棱柱的有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选 C.棱柱有三个特征：（1）有两个面相互平行．（2）其余各面是四边形．（3）侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.2．下面图形中，为棱锥的是（ ）A ．①③B ．③④C ．①②④D ．①②解析：选 C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为（ ）A ．四棱柱B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱锥解析：选D.根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为__________cm.解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为605＝12（cm ）．答案：125．画一个三棱台，再把它分成： （1）一个三棱柱和另一个多面体． （2）三个三棱锥，并用字母表示． 解：画三棱台一定要利用三棱锥．（1）如图①所示，三棱柱是棱柱A ′B ′C ′­AB ″C ″，另一个多面体是B ′C ′C ″B ″BC . （2）如图②所示，三个三棱锥分别是A ′­ABC ，B ′­A ′BC ，C ′­A ′B ′C . 第2课时教学重难点教学目标核心素养圆柱、圆锥、圆台、球的概念理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体直观想象简单组合体的结构特征了解简单组合体的概念和基本形式直观想象 旋转体中的计算问题会根据旋转体的几何体特直观想象、数学运算征进行相关运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？3．这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？二、新知探究圆柱、圆锥、圆台、球的概念例1：（1）给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．（2）给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．其中正确说法的序号是________．【解析】（1）①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．（2）根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．【答案】（1）①②（2）①④[规律方法]（1）判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．（2）简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．简单组合体的结构特征例2：如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（）【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.【答案】A[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．[求解策略]不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略（1）分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆（半圆或四分之一圆）等基本图形．（2）定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．旋转体中的计算问题例3：如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台O′O的母线长．【解】设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.所以SA′SA＝O′A′OA，所以33＋l＝r4r＝14.解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm.[规律方法]解决旋转体中计算问题的方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程（组）而解得．[注意]在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．【课堂总结】1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征（1）圆柱的结构特征定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆柱的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边柱体：圆柱和棱柱统称为柱体（2）圆锥的结构特征定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边锥体：圆锥和棱锥统称为锥体（3）圆台的结构特征定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分图示及相关概念轴：圆锥的轴底面：圆锥的底面和截面侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体：圆台和棱台统称为台体（4）球的结构特征定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图示及相关概念球心：半圆的圆心半径：半圆的半径直径：半圆的直径[名师点拨]（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面．（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r ＝R2－d2.2．简单组合体（1）概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．（2）两种构成形式①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成．【课堂检测】1．如图所示的图形中有（）A．圆柱、圆锥、圆台和球B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台D．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B.根据题中图形可知，（1）是球，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）不是圆台，故应选B.2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱答案：D3．下列说法中正确的是________．①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．解析：①错误，连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，所以①不正确．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．答案：②4．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高h为________cm.解析：h＝20cos 30°＝20×32＝103（cm）．答案：10 35．如图所示，将等腰梯形ABCD绕其底边所在直线旋转一周，可得到怎样的空间几何体？该几何体有什么特点？解：若将等腰梯形ABCD绕其下底BC所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以AD为母线，BC所在的直线为轴的圆柱和两个分别以AB，CD为母线的圆锥组成的几何体，如图（1）所示．若将等腰梯形ABCD绕其上底AD所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以BC为母线，AD所在的直线为轴的圆柱中两底分别挖去以AB，CD为母线的两个圆锥得到的几何体，如图（2）所示．简单几何体的表面积与体积【第一课时】【教学目标】1．了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积2．能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系【教学重难点】1．柱、锥、台的表面积2．锥体、台体的表面积的求法【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？二、新知探究柱、锥、台的表面积例1：（1）若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的（）A.2倍B．3 倍C．2 倍D．5 倍（2）已知正方体的8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为（）A．1∶ 2B．1∶ 3C．2∶ 2D．3∶ 6（3）已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为（）A．7B．6C．5D．3【解析】（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意可知，l＝2r，于是S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2，可知选 C.（2）棱锥B′­ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为1，则B′C＝2，S△B′AC＝3 2.三棱锥的表面积S锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝23∶6＝1∶ 3.（3）设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π（r ＋3r）＝84π，解得r＝7.【答案】（1）C（2）B（3）A[规律方法]空间几何体表面积的求法技巧（1）多面体的表面积是各个面的面积之和．（2）组合体的表面积应注意重合部分的处理．（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．柱、锥、台的体积例2：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．（1）求剩余部分的体积；（2）求三棱锥A-A1BD的体积及高．【解】（1）V三棱锥A1-ABD＝13S△ABD·A1A＝13×1 2·AB·AD·A1A＝16a3.故剩余部分的体积V＝V正方体－V三棱锥A1-ABD＝a3－16a3＝56a3.（2）V三棱锥A-A1BD＝V三棱锥A1-ABD＝16a 3.设三棱锥A-A1BD的高为h，则V三棱锥A-A1BD＝13·S△A1BD·h＝13×12×32（2a）2h＝36a2h，故36a2h＝16a3，解得h＝3 3a.[规律方法]求几何体体积的常用方法（1）公式法：直接代入公式求解．（2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．（3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．（4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[提醒]求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面（尤其为圆柱、圆锥时），准确求出几何体的高和底面积．组合体的表面积和体积例3：如图在底面半径为2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．【解】设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB∽△AOC，所以AEAO＝EBOC，即323＝r2，所以r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝23π.所以S＝S底＋S侧＝2π＋23π＝（2＋23）π.1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比．解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为r＝1，高h＝3，所以圆柱的体积 V 1＝πr 2h ＝π×12×3＝3π.圆锥的体积 V 2＝13π×22×23＝833π.所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8.2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r ＝1，下底面半径 R ＝2，高 h ＝3，母线 l ＝2，所以圆台的表面积 S ＝π（r 2＋R 2＋r ·l ＋Rl ）＝π（12＋22＋1×2＋2×2）＝11π.圆台的体积 V ＝13π（r 2＋rR ＋R 2）h ＝13π（12＋2＋22）×3＝733π. 3．[变条件、变问法]本例中的“高为3”改为“高为 h ”，试求圆柱侧面积的最大值．解：设圆锥的底面半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ， 则 R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ，所以AE AO ＝EB OC ，即23－h 23＝r 2，所以 h ＝23－3r ，S 圆柱侧＝2πrh ＝2πr （23－3r ） ＝－23πr 2＋43πr ，所以当 r ＝1，h ＝3时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 23π. [规律方法]求组合体的表面积与体积的步骤（1）分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．（2）设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．（3）计算求值：根据设计的计算方法求值．【课堂总结】1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积（1）V 棱柱＝Sh ；（2）V 棱锥＝13Sh ；V 棱台＝13h （S ′＋SS ′＋S ），其中S ′，S 分别是棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高．3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 名称图形公式圆柱底面积：S 底＝πr 2侧面积：S 侧＝2πrl 表面积：S ＝2πrl ＋2πr 2 体积：V ＝πr 2l 圆锥底面积：S 底＝πr 2 侧面积：S 侧＝πrl表面积：S ＝πrl ＋πr 2体积：V ＝13πr 2h 圆台上底面面积：S 上底＝πr ′2 下底面面积：S 下底＝πr 2 侧面积：S 侧＝πl （r ＋r ′）表面积：S ＝π（r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl ） 体积：V ＝13πh （r ′2＋r ′r ＋r 2）[名师点拨]1．柱体、锥体、台体的体积（1）柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh .（2）锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .（3）台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13()S ′＋SS ′＋S h .2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π（r ′＋r ）l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13（S ′＋S ′S ＋S ）h ――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .【课堂检测】1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ）A ．22B ．20C ．10D ．11解析：选A.所求长方体的表面积S ＝2×（1×2）＋2×（1×3）＋2×（2×3）＝22.2．正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为（ ） A.274 B.94 C.2734 D.934解析：选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V ＝13×34×32×3＝934.故选D.3．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是________．解析：圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x ，5x ，则中截面半径为4x ，设上台体的母线长为l ，则下台体的母线长也为l ，上台体侧面积S 1＝π（3x ＋4x ）l ＝7πxl ，下台体侧面积S 2＝π（4x ＋5x ）l ＝9πxl ，所以S 1∶S 2＝7∶9.答案：7∶9 4.如图，三棱台ABC A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1ABC ，三棱锥B A 1B 1C ，三棱锥CA 1B 1C 1的体积之比．解：设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S .所以VA 1ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h （S ＋4S ＋2S ）＝73Sh ， 所以VB A 1B 1C ＝V 台－VA 1ABC －VC A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， 所以体积比为1∶2∶4.【第二课时】【教学目标】1．记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积2．能解决与球有关的组合体的计算问题【教学重难点】1．球的表面积与体积2．与球有关的组合体【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．球的表面积公式是什么？2．球的体积公式什么？二、新知探究球的表面积与体积例1：（1）已知球的体积是32π3，则此球的表面积是（）A．12πB．16πC.16π3 D.64π3（2）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（）A．17π B．18πC．20π D．28π【解析】（1）设球的半径为R，则由已知得V＝43πR3＝32π3，解得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.（2）由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r，故78×43πr3＝283π，所以r＝2，表面积S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选A.【答案】（1）B（2）A[归纳反思]球的体积与表面积的求法及注意事项（1）要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．（2）半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．球的截面问题例2：如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为（）A.500π3cm3 B.866π3cm3C.1 372π3cm3 D.2 048π3cm3【解析】如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2（cm），BM＝12AB＝12×8＝4（cm）．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝（R－2）2＋42，所以R＝5，所以V球＝43π×53＝5003π （cm3）．【答案】A[规律方法]球的截面问题的解题技巧（1）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．（2）解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.与球有关的切、接问题 角度一球的外切正方体问题例3：将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】A角度二球的内接长方体问题例4：一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝14π. 【答案】14π角度三球的内接正四面体问题例5：若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积．【解】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x ，则 a ＝2x ，由题意 2R＝3x ＝3×2a 2＝62a ，所以 S 球＝4πR 2＝32πa 2.角度四球的内接圆锥问题例6：球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为 r ，则球心到该圆锥底面的距离是r 2，于是圆锥的底面半径为 r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝3r 2，高为3r 2.该圆锥的体积为 13×π×⎝⎛⎭⎪⎫3r 22×3r 2＝38πr 3，球体积为43πr 3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr 343πr 3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332.【答案】932或332角度五球的内接直棱柱问题例7：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2D ．5πa 2【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故 S 球＝4πR 2＝73πa 2. 【答案】B [规律方法]（1）正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）．（2）长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，。

标准文档立体几何题型归类总结一、考点解析基本图形1．棱柱——有两个面互相平行，其他各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

斜棱柱① 棱柱底面是正多形正棱柱★棱垂直于底面直棱柱其他棱柱②四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体E'D'F'C'侧面A'B'l底面侧棱高S极点侧面侧棱E D底面F C斜高AB D CO HA B2.棱锥棱锥——有一个面是多边形，其他各面是有一个公共极点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

★正棱锥——若是有一个棱锥的底面是正多边形，并且极点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3．球球面球的性质：球心轴①球心与截面圆心的连线垂直于截面；半径★② r R2 d 2（其中，球心到截面的距离为d、O球的半径为R、截面的半径为 r）★球与多面体的组合体：球与正周围体，球与长方体，R d球与正方体等的内接与外切.D'C'A'C'A'B'rAO1BO OD CA BA c注：球的有关问题转变成圆的问题解决.球面积、体积公式： S球 4 R2 ,V球4R3（其中R为球的半径）平行垂直基础知识网络★★★平行与垂直关系可互相转变平行关系垂直关系1. a,b a // b2. a,a // b b平面几何知识平面几何知识3. a,a//4.//,a a5.//,线线平行线线垂直判断判断推论判断性质性质性质面面垂直定义判断判断线面平行面面平行线面垂直面面垂直异面直线所成的角，线面角，二面角的求法★★★1．求异面直线所成的角0 ,90：解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其订交；（ 2）可将两条一面直线同时平移至某一特别地址。

立体几何初步复习课一、内容和内容解析1．内容人教版普通高中教科书数学必修第二册第167页至第171页第八章立体几何初步小结及复习参考题8．重点是通过分析常见几何图形及典型问题，梳理立体几何初步的核心概念、定理等内容与思想方法．本章知识结构如下框图：2．内容解析本章包括两部分内容，第一部分是认识基本立体图形：包括从空间几何体的整体观察入手，通过认识柱、锥、台、球等基本立体图形的组成元素及其相互关系，认识这些图形的几何结构特征，以及它们在平面上的直观图表示和它们的表面积和体积的计算．第二部分是认识基本图形位置关系：主要是讨论组成立体图形的几何元素之间的位置关系．从组成立体图形的基本元素——点、直线、平面出发，研究平面基本性质，认识空间点、直线、平面的位置关系，重点研究直线、平面之间的平行和垂直这两种特殊的位置关系．因此本节课的教学重点是通过分析常见几何图形及典型问题，梳理立体几何初步的核心概念、定理等内容与思想方法，从而构建立体几何的核心体系．难点是分析组合体的结构特征以及运用有关定理推理证明一些几何元素间的位置关系．二、目标和目标解析1．目标（1）在回顾与思考本章的主要内容的基础上，引导学生梳理立体几何的核心概念、定理等内容与思想方法，构建立体几何的核心体系，体会研究空间图形的基本思路：直观感知、操作确认、推理论证、度量计算．（2）借助分析典型问题的通性通法，通过“图”（识图、画图、用图）提升学生直观想象素养，通过“写”（图形、文字、符号三种语言）培养学生逻辑推理能力，通过“悟”（直观感知、操作确认）发展学生数学抽象水平．2．目标解析（1）通过问题的形式回顾主要内容，并不是简单的重复，而是深入思考、归纳概括、建立知识结构，形成研究空间图形的基本方法．（2）借助正方体等常见几何体模型，设计一些综合性较强的问题让学生自主探究，建立一套解决复杂问题的处理模式．三、教学问题诊断分析学生虽然学完了立体几何初步的内容，但对几何图形的认识基本上停留在碎片化的就题论题的表层水平，对空间元素位置关系的研究不深入，需要在一两节复习课上以师生相互交流的方式更深入地认识立体几何．四、教学支持条件分析观察和展示现实生活中的实例与图片，“几何画板”的画图软件，投影仪等．五、教学过程设计问题1：我们是从哪些角度入手研究基本几何体的结构特征的？你能用基本几何体的结构特征解释身边物体的结构吗？请举例说明．我们从对空间几何体（实物、模型、图片等）的整体观察入手，认识多面体、旋转体以及一些基本几何体（棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球）的结构特征，研究这些几何体的组成元素及其相互关系．师生共同总结：（1）n棱锥：F=n+1,E=2n,V=n+1,V+F-E=2n棱柱与n棱台：F=n+2,E=3n,V=2n,V+F-E=2n棱锥的本质特征：有一个面是n边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．n棱柱的本质特征：有两个面（均为n边形）相互平行，其余各面是每相邻两个面的公共边互相平行的四边形面．n棱台是用一个平行于n棱锥底面的平面去截棱锥，所得的底面与截面之间的部分．当n棱柱的一个底面“均匀”缩小变为面积较小的相似底面时，变成n棱台；继续“均匀”缩小成一个点时，便变成n棱锥．（2）V+F-E=2这个规律是欧拉拓扑公式：V+F-E=2,其中V,F,E分别是简单多面体的顶点个数、面数、棱的条数．例2 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，半正多面体体现了数学的对称美．图2是图1“半正多面体”的直观图．（1）请你数一数该几何体的面数F，棱数E，顶点数V，是否有例1的规律？（2）请你说说是怎样数出来的？说说该半正多面体的结构特征．师生共同总结：（1）F=26,E=48,V=24,F+V-E=2（2）①该半正多面体可看成一个组合体，从上而下看，最上层与最下层是两个全等的多面体（如图3，图5），图3多面体的下底面是正八边形，上底面是正方形，且下底面与上底面平行，侧面有四个正方形，四个正三角形；中间是正八棱柱（如图4）．②从上下、左右、前后三个方向看，该半正多面体都具有相同的结构，体现了数学的对称美，也展示了南北朝时期的审美观与几何文化．问题2：利用斜二测画法可以画出空间几何体的直观图．你能结合实例说出用斜二测画法画空间几何体的直观图的基本步骤吗？斜二测画法画空间几何体的直观图，是用平面图形表示空间图形的重要方法，我们能够根据直观图想象空间几何体的形状和结构．简单说，斜二测画法的规则是：横竖不变，纵减半，平行性不变．我们可以例1中的正八棱柱为例，具体展示用斜二测画法画空间几何体的直观图的基本步骤（如图6）．问题3：对于空间几何体，可以有不同的分类，你能选择不同的分类标准对柱、锥、台、球等空间几何体进行分类吗？如何计算柱、锥、台、球的表面积和体积？你能说出柱、锥、台、球的体积公式之间的联系吗？空间几何体按照围成它的各个面的特征（平面还是曲面）分类，可以得到多面体、旋转体．进一步地，按照组成多面体和旋转体的面、棱、顶点等组成要素的特征及其位置关系分类，又可以得到棱柱、棱锥、棱台等基本的多面体以及圆柱、圆锥、圆台、球等基本的旋转体．棱柱、棱锥和棱台的表面积就是组成它们的各个面的面积和，圆柱、圆锥、圆台的侧面与表面积可以通过侧面展开为平面图形来处理．用运动变化的观点研究棱柱、棱锥和棱台的体积公式之间的关系：分析：考虑旋转后得到怎样的几何体．解析：图7旋转后形成的几何体是底面圆半径与高均为的圆柱挖去一个圆锥后的几何体，该圆锥的顶点为圆柱下底的圆心，底面与圆柱上底面重合（如图9中的右图所示）．为什么这两个几何体的体积相等呢？课后同学们可上网查阅“祖暅原理”进行更多的了解．探究1：问以该正方体的顶点为顶点的四面体有几种（全等的算一种）？比较这些四面体的结构特征．展示同学们的作业，同时交流思路．四面体的四个顶点不可能在正方体的同一个面上，应该分布在正方体的上、下两个面上，以在下底面的顶点为标准分类考虑．归纳总结有以下四种（如图11）：探究2：是否存在四个面都是直角三角形的四面体？总结：（1）求四面体的体积一般可根据四面体的结构特征，确定高与底面，转化为求三棱锥的体积；图11（4）中的四面体是正四面体（各面都是全等的正三角形），也可通过割补法求得；定义法、转化法、割补法等是求几何体体积的重要方法．（2）经计算发现，图11（4）中的正四面体的体积最大，表面积最小，这也是现实中经常要考虑的最优化问题．探究4：怎样求图11中的四个四面体的外接球与内切球的半径？四个四面体的外接球与正方体的外接球相同，其一条直径为正方体的体对角线，半径．如图12，可以类比三角形内切圆半径的面积计算思路，可计算出四个内切球的半径．问题4：刻画平面的三个基本事实是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形、进行逻辑推理的基础．实际上，三个基本事实刻画了平面的“平”、平面的“无限延展”，你能归纳一下刻画的方法吗？平面的三个基本事实是按照从简单到复杂的顺序，刻画平面的基本性质．基本事实1是从点与平面关系的角度刻画平面的唯一存在性，基本事实2是从直线与平面关系的角度利用直线的“直”和“无限延伸”的属性刻画了平面的“平”和“无限延展”的属性，基本事实3是从平面与平面关系的角度进一步说明了平面的“平”和“无限延展”的特征：由于平面是“平的”，因而它们才可能交于一条直线，否则交线就不是“直”的，而是“曲”的了，例如圆柱的侧面和底面的交线就是一条曲线；另外，两个平面相交于一条直线，直线是“无限延伸”的，也说明平面的交点有无数个，平面是“无限延展”的．空间直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系是从生活世界中找到模型，再根据公共点的个数、是否共面等进行逻辑分类建立起来的．例5（复习参考题8第5题）三个平面可将空间分成几部分？请分情况说明．探究1：一个平面将空间分成两个部分，两个平面有几种位置关系？它们将空间分成几部分？图13（1）中αPβ，它们将空间分成三部分；图13（2）中αIβ=a，它们将空间分成四部分．探究2：在图13中再增加一个平面，这三个平面可能产生哪些位置关系？每种位置关系可将空间分成几部分？可能出现五种不同的位置关系如图14，三个不同的平面α，β，γ，直线a,b,c,l．将12条分成三个共面组，侧棱组4条，上底面棱组4条，下底面棱组4条，若“异面直线组”含四条或以上的棱，则至少有两条棱在同一组，这样两条棱便共面，这与“异面直线组”的定义矛盾，故“异面直线组”最多有三条棱．问题5：在直线、平面的位置关系中，“平行”和“垂直”是最重要的．（1）在研究这些位置关系的判定时，我们采用了哪些思想方法？以直线与平面垂直为例，总结一下研究判定的内容、过程和方法．（2）研究这些位置关系的性质，实际上就是要研究什么问题？以两个平面相互垂直为例，总结一下研究性质的内容、过程和方法．研究“什么是空间直线、平面的垂直？”以及“空间直线、平面垂直时其要素（直线、平面）有什么确定不变关系”；确立研究空间直线、平面垂直的内容（判定与性质）与路径：“化繁为简”“以简驭繁”“空间问题平面化”是空间元素位置关系的一般思路．我们利用直线与直线的垂直研究直线与平面的垂直，利用直线与直线垂直、直线与平面垂直研究平面与平面垂直．反过来，由直线与平面垂直又可以得到直线与直线垂直，由平面与平面垂直又可以得到直线与直线、直线与平面垂直．小结：正方体（或长方体）是重要的几何体模型，我们要深入研究正方体模型，对它进行变形，构建出新的模型，探求各种空间位置关系或几何模型与正方体之间的联系，彰显正方体的“母体”地位．课后作业：5．教材第170页复习参考题8第10题．6．教材第170页复习参考题8第11题．7．教材第171页复习参考题8第13题．8．教材第171页复习参考题8第14题．六、目标检测设计（时间：90分，满分：100分）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法错误的是（）．（A）一个八棱柱有10个面（B）任意n面体都可以分割成n个棱锥（C）棱台侧棱的延长线必相交于一点（D）矩形旋转一周一定形成一个圆柱2．给出下列4个命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一平面的两条直线平行；③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行．其中正确的命题是（）．（A）①②（B）③④（C）①④（D）②③3．给出下列4个命题：①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面平行．其中正确的命题是（）．（A）①②（B）③④（C）①④（D）②③4．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为，则这个三棱锥的体积是（）．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在对应题号的位置上．9．正方体相邻两个面的两条对角线所成角的大小是________．10．长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，那么这个球面的面积是________．11．正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则它的体积为________．13．已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝1，沿BD将△ABD折起成△．若点A′在平面BCD上的射影落在△BCD的内部，则四面体的体积的取值范围是________．14．空间的4个平面，最多能将空间分成________个区域．三、解答题：本大题共4小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分8分）画图，并证明：若m//α，n⊥α，则m⊥n．16．（本题满分10分）17．（本题满分10分）如图，正四棱锥P-ABCD中，已知侧棱和底面边长都等于2，E是AB的中点．（1）求证：AB∥平面PCD．（2）求异面直线PE与BC所成角的余弦值．。