高一数学立体几何练习题及部分答案大全

立体几何试题一.选择题（每题4分，共40分）1.已知AB//PQ , BC〃QR, WJ/PQP 等于（）A 300B 300C 1500D 以上结论都不对2.在空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形，（2）四边相等的四边形是菱形（3）平行于同一条直线的两条直线平行；（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等A 1B 2C 33.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（）A 平行B 相交C 在平面内D 平行或在平面内4.已知直线m//平面，直线n在内，则m与n的关系为（）A平行B相交C平行或异面D相交或异面5.经过平面外一点，作与平行的平面，则这样的平面可作（）A 1个或2个B 0个或1个C 1个D 0个6.如图，如果MC 菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（）A 平行B垂直相交C异面D 相交但不垂直37.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（）A 0 个B 1 个C 无数个D 1 个或无数个8.下列条件中,能判断两个平面平行的是（）A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9.对于直线m,n和平面,，使成立的一个条件是（）A m // n, n ,mB m// n, n , mC m n, I m, nD m n,m// , n //10.已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有（）A 1个B 2个C 3个D 4个二．填空题（每题4分，共16分）11.已知ABC的两边AC,BC分别交平面于点M,N ,设直线AB与平面交于点O,则点O 与直线MN 的位置关系为_______________12.过直线外一点与该直线平行的平面有______________ 个，过平面外一点与该平面平行的直线有________________ 条13.一块西瓜切3 刀最多能切 ____________ 块14将边长是a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得折起后BD得长为a,则三棱锥D-ABC的体积为 ______________三、解答题15 （10分）如图，已知E,F分别是正方形ABCD ABCiD的棱AA和棱CC〔上的点，且AE C i F o求证：四边形EBFD i是平行四边形16 （10分）如图，P为ABC所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点,证明：直线PC与平面ABD垂直17（12分）如图，正三棱锥A-BCD,底面边长为a,则侧方8长为2a, E,F分别为AC,AD上的动点，求截面BEF周长的最小值和这时E,F的位置.C18 （12分）如图，长方形的三个面的对角线长分别是a,b,G求长方体对角线AC的长1.D2.B3.D4.C5.C6.C7.D8.D9.A 10.D1三点共线2无数无数 3. 7 4 — a3121 证明：Q AE C1FAB C i D iEAB FC1D1EAB FC1D1EB FD1过A作AG// D1F又由A1E // BG 且A1E = BG可知EB//AGEB// D1F「•四边形EBFD i是平行四边形2 v AP ACD为PC的中点「• AD PCV BP BCD为PC的中点「• BD PC「• PC 平面ABD3 提示：沿AB 线剪开，则BB 为周长最小值.易求得EF 的值为9 a ,则周长最小值为11a . __ 2 ___ 2 ___4 解：AC AC CC15 （10分）如图，已知 E,F 分别是正方形 ABCD ABCiD 的棱AA 和棱CC 〔上的点，且AE C i F 。

高中数学立体几何经典题型练习题集学校：______姓名：_____班级：______考号：______一．单选题1．正三棱锥的底边长和高都是2，则此正三棱锥的斜高长度为（）A．B．C．D．2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G分别为C1D1，AA1，BB1的中点，则空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影面积为（）A．1B．C．D．3．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱4、如图，P是正方体ABCD-A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．5、如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O 所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（）A．1B．2C．3D．46、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱A1B1、BB1、B1C1的中点，则下列结论中：①FG⊥BD；②B1D⊥面EFG；③面EFG∥面ACC1A1；④EF∥面CDD1C1．正确结论的序号是（）A．①和②B．③和④C．①和③D．②和④7、三棱锥P-ABC，PC⊥面ABC，△PAC是等腰三角形，PA=4，AB⊥BC，CH⊥PB，垂足为H，D是PA的中点，则△CDH的面积最大时，CB的长是（）A．B．C．D．8、正方体的直观图如图所示，则其展开图是（）A．B．C．D．二．填空题（共__小题）9、如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的中点，并且AC⊥BD，AC=m，BD=n，则四边形EFGH的面积为______．10、如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，给出下列结论：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA=45°；⑤直线PD 与平面PAB所成角的余弦值为．其中正确的有______（把所有正确的序号都填上）．11．如图所示，三棱锥M，PA⊥底面ABC，∠ABC=90°，则此三棱锥P-ABC中直角三角形有______个．12、如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FD⊥AC1，有下述结论（1）AC1⊥BC；（2）=1；（3）二面角F-AC1-C的大小为90°；（4）三棱锥D-ACF的体积为．正确的有______．13．各棱长为a的正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为______．14．一四棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：4，则此截面把一条侧棱分成的两段之比为______．15、如图所示正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，给出下列五个结论①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③异面直线AE，BF所成的角为60°④A1点到面BEF的距离为定值⑤三棱柱A-BEF的体积为定值其中正确的结论有：______（写出所有正确结论的编号）三．简答题（共__小题）16、如图，立体图形A-BCD的四个面分别为△ABC、△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分别是线段AB、AC、AD上的点，且满足AE：AB=AF：AC=AG：AD，求证：△EFG∽△BCD．17、如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC 的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D-ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．参考答案一．单选题（共__小题）1．正三棱锥的底边长和高都是2，则此正三棱锥的斜高长度为（）A．B．C．D．答案：D解析：解：在正三棱锥中，顶点P在底面的射影为底面正三角形的中心O，延长A0到E，则E为BC的中点，连结PE，则PE为正三棱锥的斜高．∵正三棱锥的底边长和高都是2，∴AB=PO=2，即AE=，OE=，∴斜高PE==，故选：D．2、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G分别为C1D1，AA1，BB1的中点，则空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影面积为（）A．1B．C．D．答案：B解析：解：过E点做EH垂直CD于H，连接EH，易得H即为E在平面ABCD上的射影，连接AH，BH，如下图所示则AH，BH，AB分别为FE，EG，FB在平面ABCD上的射影，又由G在平面ABCD上的射影为B，故△ABH即为空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影∵S△ABH=S ABCD=故选B3．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱答案：C解析：解：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱．故A和B错在有可能是斜棱柱，D错在上下底面有可能不是正方形，底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面．故选C．4、如图，P是正方体ABCD-A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．答案：A解析：解：设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，则PO是等腰△PBD的高，故△PBD的面积为f（x）=BD×PO，在三角形PAO中，PO==，∴f（x）=××=，画出其图象，如图所示，对照选项，A正确．故选A．5、如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案：D解析：证明：∵AB是圆O的直径∴∠ACB=90°即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形又∵PA⊥圆O所在平面，∴△PAC，△PAB是直角三角形．且BC在这个平面内∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，∴BC⊥平面PAC，∴△PBC是直角三角形．从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是，4．故选D．6、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱A1B1、BB1、B1C1的中点，则下列结论中：①FG⊥BD；②B1D⊥面EFG；③面EFG∥面ACC1A1；④EF∥面CDD1C1．正确结论的序号是（）A．①和②B．③和④C．①和③D．②和④答案：D解析：解：如图连接A1C1、A1B、BC1、BD、B1D，因为E、F、G分别是棱A1B1、BB1、B1C1的中点对于①因为FG∥BC1，△BDC1是正三角形，FG⊥BD，不正确．对于②因为平面A1C1B∥平面EFG，并且B1D⊥平面A1C1B，所以B1D⊥面EFG，正确．③面EFG∥面ACC1A1；显然不正确．④EF∥平面CDD1C1内的D1C，所以EF∥面CDD1C1．正确．故选D7、三棱锥P-ABC，PC⊥面ABC，△PAC是等腰三角形，PA=4，AB⊥BC，CH⊥PB，垂足为H，D是PA的中点，则△CDH的面积最大时，CB的长是（）A．B．C．D．答案：D解析：解：三棱锥P-ABC中，PC⊥面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB；又AB⊥BC，BC∩PC=C，∴AB⊥平面PBC；又CH⊂平面PBC，∴AB⊥CH，又CH⊥PB，PB∩AB=B，∴CH⊥平面PAB，又DH⊂平面PAB，∴CH⊥DH；又△PAC是等腰直角三角形，且PA=4，D是PA的中点，∴CD=PA=2，设CH=a，DH=b，则a2+b2=CD2=4，∴4=a2+b2≥2ab，即ab≤1，当且仅当a=b=时，“=”成立，此时△CDH的面积最大；在Rt△PBC，设BC=x，则PB===，∴PC•BC=PB•CH，即2•x=•；解得x=，∴CB的长是．故选：D．8、正方体的直观图如图所示，则其展开图是（）A．B．C．D．答案：D解析：解：根据题意，可得对于A，展开图中的上下两边的正方形的对边中点连线应该呈左右方向显现，故A的图形不符合题意；对于B，展开图中最右边的“日”字形正方形的对边中点连线应该是上下方向呈现，且应该在含有圆形的正方形的左边放置，故B的图形不符合题意；对于C，展开图中最右边的正方形应该与含有圆形的正方形相邻，故C的图形不符合题意；对于D，沿如图的红线将正方体的侧面剪裁，展开可得如D项图的形状，故D的图形符合题意故选：D二．填空题（共__小题）9、如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的中点，并且AC⊥BD，AC=m，BD=n，则四边形EFGH的面积为______．答案：解析：解：由ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的中点，并且AC⊥BD，可得四边形EFGH为矩形，且此矩形的长和宽分别为和，故四边形EFGH的面积为=，故答案为：．10、如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，给出下列结论：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA=45°；⑤直线PD与平面PAB所成角的余弦值为．其中正确的有______（把所有正确的序号都填上）．答案：①④⑤解析：解：对于①、由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB=A，得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；对于②、又平面PAB⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；对于③、由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；对于④、在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，∴④正确；对于⑤、由于DE∥AB，∴D到平面PAB的距离即为E到平面PAB的距离，即E到直线PA的距离，即EA，EA=AB，在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴PD=2AB，∴直线PD与平面PAB所成角的正弦值为=，∴直线PD与平面PAB所成角的余弦值为=，∴⑤正确．故答案为：①④⑤．11．如图所示，三棱锥M，PA⊥底面ABC，∠ABC=90°，则此三棱锥P-ABC中直角三角形有______个．答案：4解析：解：由已知PA⊥底面ABC，∠ABC=90°，所以CB⊥PA，CB⊥AB，又PA∩AB=A，所以CB⊥平面PAB，所以CB⊥PB，所以此三棱锥P-ABC中直角三角形有△ABC，△ABP，△ACP，△PBC共有4个．故答案为：4．12、如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FD⊥AC1，有下述结论（1）AC1⊥BC；（2）=1；（3）二面角F-AC1-C的大小为90°；（4）三棱锥D-ACF的体积为．正确的有______．答案：（2）（3）（4）解析：解：（1）连接AB1，则∠B1C1A即为BC和AC1所成的角，在三角形AB1C1中，B1C1=2，AB1=2，AC1=2，cos∠B1C1A==，故（1）错；（2）连接AF，C1F，则易得AF=FC1=，又FD⊥AC1，则AD=DC1，故（2）正确；（3）连接CD，则CD⊥AC1，且FD⊥AC1，则∠CDF为二面角F-AC1-C的平面角，CD=，CF=，DF===，即CD2+DF2=CF2，故二面角F-AC1-C的大小为90°，故（3）正确；（4）由于CD⊥AC1，且FD⊥AC1，则AD⊥平面CDF，则V D-ACF=V A-DCF=•AD•S△DCF=×××=．故（4）正确．故答案为：（2）（3）（4）13．各棱长为a的正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为______．答案：解析：解：∵正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，所以球心在上下底面中心的连线的中点上，AB=a，OA=R，在△OEA中，OE=，AE=，∵AO2=OE2+AE2，∴，∴球的表面积为4πR2=，故答案为．14．一四棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：4，则此截面把一条侧棱分成的两段之比为______．答案：1：1解析：解：根据题意，设截得小棱锥的侧棱长为l，原棱锥的侧棱长为L，∵截面与底面相似，且截面面积与底面面积之比为1：4，∴相似比为：==，∴截面把棱锥的一条侧棱分成的两段之比是l：（L-l）=1：1．故答案为：1：1．15、如图所示正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，给出下列五个结论①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③异面直线AE，BF所成的角为60°④A1点到面BEF的距离为定值⑤三棱柱A-BEF的体积为定值其中正确的结论有：______（写出所有正确结论的编号）答案：①②④⑤解析：解：①AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值，故不正确．④A1点到面DD1B1B距离是定值，所以A1点到面BEF的距离为定值，正确；⑤三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确．故答案为：①②④⑤．三．简答题（共__小题）16、如图，立体图形A-BCD的四个面分别为△ABC、△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分别是线段AB、AC、AD上的点，且满足AE：AB=AF：AC=AG：AD，求证：△EFG∽△BCD．答案：证明：在△ABD中，∵AE：AB=AG：AD，∴EG∥BD．同理，GF∥DC，EF∥BC．又∠GEF与∠DBC方向相同．∴∠GEF=∠DBC．同理，∠EGF=∠BDC．∴△EFG∽△BCD．17、如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D-ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．答案：解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC=．设G为CD的中点，则CG=，AG=．∴，，．三棱锥D-ABC的表面积为．（2）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．（3）存在这样的点N，当CN=时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE=O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO=CM．∴当CF=CN时，MN∥OF．∴CN=．。

立体几何试题一．选择题（每题 4 分，共 40 分）1. 已知 AB3003001500空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形, （2）四边相等的四边形是菱形（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;形全等A 1B 2C 3D 43.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（）A平行B相交C在平面内D平行或在平面内4. 已知直线 m过平面外一点，作与平行的平面，则这样的平面可作（）A 1 个或 2 个B 0个或1个C1个 D 0个6.如图 , 如果 MC 菱形 ABCD 所在平面 , 那么 MA与 BD的位置关系是 ( )A平行B垂直相交C异面D相交但不垂直7. 经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（）A 0 个B 1个C无数个 D 1个或无数个8.下列条件中 , 能判断两个平面平行的是 ( )B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9. 对于直线m ,n 和平面,, 使成立的一个条件是 ( )A m // n, n, mB m // n, n,mC m n,I m, nD m n, m //, n //)10 . 已知四棱锥 , 则中 , 直角三角形最多可以有 (A 1个B2个 C 3个D4个二．填空题（每题 4 分，共16 分）11. 已知ABC的两边 AC,BC分别交平面于点M,N，设直线AB与平面交于点O，则点 O与直线 MN的位置关系为 _________12.过直线外一点与该直线平行的平面有 ___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13. 一块西瓜切 3 刀最多能切 _________块14.将边长是 a 的正方形 ABCD沿对角线 AC 折起 , 使得折起后 BD得长为 a, 则三棱锥D-ABC的体积为 ___________三、解答题15（10 分）如图，已知 E,F 分别是正方形ABCD A1B1C1 D1的棱 AA1和棱 CC1上的点，且 AE C1 F 。

《立体几何初步》练习题一、 选择题1、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）A 、垂直B 、平行C 、相交不垂直D 、不确定 2. 在正方体1111ABCD A B C D -中, 与1A C 垂直的是（ ）A. BDB. CDC. BCD. 1CC3、线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是( )A.βα//n ,//m ,n m ⊥B.m ⊥n ,α∩β=m ,n ⊂αC.αβ⊆⊥m n n m ,,//D.βα⊥⊥n m n m ,,//4、平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行 5、设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ其中正确命题的序号是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④6.点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O,若PA=PB=PC ，则点O 是ΔABC 的（ ） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m 8. 已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是（ ） ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. A.3 B.2 C.1 D.09．（2013浙江卷）设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,（ ）A ．若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB ．若m ∥α,m ∥β,则α∥βC ．若m ∥n,m ⊥α,则n ⊥αD ．若m ∥α,α⊥β,则m ⊥β10．（2013广东卷）设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//l α,//l β,则//αβ B ．若l α⊥,l β⊥,则//αβ C ．若l α⊥,//l β,则//αβ D ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥二、填空题11、在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥B —B 1EF 的体积为 .12．对于空间四边形ABCD ，给出下列四个命题：①若AB=AC ，BD=CD 则BC ⊥AD ；②若AB=CD ，AC=BD 则BC ⊥AD ；③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD 则BC ⊥AD ；④若AB ⊥CD ， BD ⊥AC 则BC ⊥AD ；其中真命题序号是 ．13. 已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 .14. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=︒90，PA ⊥平面ABC ，此ABCP图形中有 个直角三角形三、解答题15.如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC16.如图，ABCD 和ABEF 都是正方形，M AC N FB ∈∈，，且AM FN =。

立体几何小题100例一、选择题1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．42．5【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面11AA D D ,2244()52PE =+=选D考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征．2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,217BD cm CD cm ==，则这个二面角的度数为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 【答案】B 【解析】试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,BD AC θ<>=，因为CD DB BA AC =++，所以22222()222CD DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++⋅+⋅+⋅CA DB而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ⋅=⋅=所以2222||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-⋅即222417468286cos θ⨯=++-⨯⨯所以1cos 2θ=，而[0,]θπ∈，所以60θ=︒，故选B. 考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这 个几何体的体积是（ ）112222侧视图俯视图主视图A ．343cmB ．383cmC ．33cmD ．34cm【答案】B ． 【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积382231312=⨯⨯==Sh V ． 考点：空间几何体的体积计算．4．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：设AC 与BD 交于点O ,连接OP .易证得BD ⊥面11ACC A ,从而可得BD OP ⊥.设正方体边长为1,在1Rt ACC ∆中126cos 33C AC ∠==.在AOP ∆中 22OA =,设(),03AP x x =≤≤,由余弦定理可得2222226231222362OP x x x x ⎛⎫=+-⋅⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,所以223162OP x x =-+.所以()22231262f x x x =-+.故选A. 考点：1线面垂直,线线垂直;2函数图象.5．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1， ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）当且仅当x=12时，四边形MENF 的面积最小；（3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数； （4）四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中假命题．．．的序号为（ ） A ．（1）（4） B ．（2） C ．（3） D ．（3）（4） 【答案】C 【解析】试题分析：（1）由于AC EF //，B B AC BD AC '⊥⊥,，则D D B B ''⊥平面AC ，则D D B B EF ''⊥平面，又因为EMFN EF 平面⊂，则平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）由于四边形MENF 为菱形，MN EF S MENF ⋅=21，2=EF ，要使四边形MENF 的面积最小，只需MN 最小，则当且仅当21=x 时，四边形MENF 的面积最小；（3）因为1)21(2+-=x MF ，1)21(4)(2+-=x x f ，)(x f 在]1,0[上不是单调函数；（4）NE C F EC M F MENF C V V V '-'--'+=，ME C S '∆=41121=⋅'E C ，F 到平面ME C '的距离为1，1214131=⋅='-ME C F V ，又41121=⋅'⋅='∆E C S NE C ，1214131=⋅='-NE C F V ，61)(=x h 为常函数.故选（3）考点：1.面面垂直的判定定理；2.建立函数模型.6．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）（A）4 （B ）4 （C ）4 （D ）34【答案】D. 【解析】试题分析：连接B A 1；11//CC AA ,AB A 1∠∴是异面直线AB 与1CC 所成的角或其补角；在1ADA Rt ∆中，设11=AA ，则21,231==D A AD ；在1BDA Rt ∆中，2121=B A ；在1ABA ∆中，431122111cos 1=⨯⨯-+=∠AB A ；即面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为34. 考点：异面直线所成的角.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A ．π312B ．π12C ．π34D ．π3 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32=r ，23=∴r ，因此ππ342==r S 表面积，故答案为D. 考点：由三视图求外接球的表面积.8．如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．11DC D P ⊥B ．平面11D A P ⊥平面1A APC ．1APD ∠的最大值为90 D ．1AP PD +22+ 【答案】C 【解析】试题分析：111DC D A ⊥ ，11DC B A ⊥，1111A B A D A = ，⊥∴1DC 平面11BCD A ，⊂P D 1平面11BCD A 因此P D DC 11⊥，A 正确；由于⊥11A D 平面11ABB A ，⊂11A D 平面P A D 11，故平面⊥P A D 11平面AP A 1 故B 正确，当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，C 错；将面B AA 1与面11BCD A 沿B A 1展成平面图形，正视图 侧视图俯视图线段1AD 即为1PD AP +的最小值，利用余弦定理解221+=AD ，故D 正确，故答案为C ．考点：棱柱的结构特征． 9．下列命题中，错误的是（ ）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两条直线不一定平行C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行于平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线 【答案】B 【解析】试题分析: 由直线与平面的位置关系右知A 正确;平行于同一个平面的两条直线可以相交、平行或异面，故B 错，所以选B.考点:直线、平面平行与垂直的判定与性质.10．已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且=，过点A 、P 、Q作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（ ）【答案】A【解析】试题分析：当P 、B 1重合时，主视图为选项B ；当P 到B 点的距离比B 1近时，主视图为选项C ；当P 到B 点的距离比B 1远时，主视图为选项D ，因此答案为A. 考点：组合体的三视图11．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为 （ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC ，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4． 设其外接球的球心为O ，O 点必在高线PE 上，外接球半径为R ， 则在直角三角形BOE 中，BO 2=OE 2+BE 2=（PE-EO ）2+BE 2， 即R 2=（4-R ）2+（32）2，解得：R=174，故选C.考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力12．如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）【答案】C 【解析】 试题分析：因为37411>，所以1A E 延长交11D C 于F ，过F 作FM 垂直DC 于.M 在矩形1AA FM 中分析反射情况：由于35105AM =>，第二次反射点为1E 在线段AM 上，此时153E M =,第三次反射点为2E 在线段FM 上，此时24E M =,第四次反射点为3E 在线段1AF 上,由图可知，选C.考点：空间想象能力13．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r , 则2286862r r r -+-+⇒=,故选B. 考点：三视图 内切圆 球 三棱柱14．已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 A ．14 B ．24 C ．34 D ．12【答案】B. 【解析】试题分析：如图作BE β⊥于E ，连结AE ，过A 作AG ∥CD ，作EG AG ⊥于G ，连结BG ，则.BG AG ⊥设2AB a =．在ABE ∆中，60,90,2,.BAE AEB AB a AE a ∠=︒∠=︒=∴=在Rt AEG ∆中，29045,90,cos 45.2GAE CAG AGE AG a a ∠=︒-∠=︒∠=︒∴=︒=在Rt ABG∆中，222cos 24AG BAG AB a ∠===∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24，故选B ．βαElBDACG考点：1.三垂线定理及其逆定理；2. 空间角（异面直线所成角）的计算．15．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D 【解析】试题分析：三棱锥ABC D -在平面xoy 上的投影为ABC ∆，所以21=S ，设D 在平面yoz 、zox 平面上的投影分别为2D 、1D ，则ABC D -在平面yoz 、zox 上的投影分别为2OCD ∆、1OAD ∆，因为)2,1,0(1D ，)2,0,1(2D ，所以212=-S S ，故选D.考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.16．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，12BF =，将此正 方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是（ ） A ．13B 523 D ．23【答案】B【解析】试题分析：解：因为90,DPE DPF ∠=∠=所以,DP PE DP PF ⊥⊥又因为PE ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,且PE PF P =,所以DP ⊥平面PEF在PEF ∆中，22223151,,1222PE PF EF EB BF ⎛⎫===+=+= ⎪⎝⎭所以222351222cos 33212EPF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,225sin 133EPF ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭ 所以11355sin 122234PEF S PE PF EPF ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 115523346PEF P DEF D PEF V V DP S ∆--==⋅⋅=⨯⨯=三棱锥三棱锥 所以应选B.考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理与余弦定理；3、棱锥的体积.17．高为的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离．解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为：=故选A点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．18．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )A ．2aB ．5aC ．aD ．3a【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式2222cos EF d m n mn θ=++± ，对于本题中，d a =，m a =，2n =，60θ=，故()222222cos 602CD a a a a a a =++-⋅⋅⋅=．考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力．19．长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则对角线的长是（ ）．Ａ．14 B ．4 C ．32 D ．23【答案】B【解析】试题分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长度．考点：长方体的结构特征，面积和棱长的关系.20．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ , 由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF 与面MPQ 不垂直，所以选项C 是正确的；因为//EF l ，M 是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l 是唯一的，故选项D 不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．21．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D【解析】试题分析：由于',A G DE FG DE ⊥⊥．所以DE ⊥平面'A FG ．经过点'A 作平面ABC 的垂线垂足在AF上．所以A 选项正确．由A 可知B 选项正确．当平面'A DE 垂直于平面BCDE 时，三棱锥EFD A -'的体积最大，所以C 正确．因为BD EF ，设2AC a =．所以'EF A E a ==，当'2A F a =时，32'(')2a A G GF A G GF a <+==．所以异面直线E A '与BD 可能垂直．所以D 选项不正确．考点：1．线面位置关系．2．面面的位置关系．3．体积公式．4．异面直线所成的角．5．空间想象力．22．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ ,由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；EF l，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l是唯一的，故选因为//项D不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．23．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为，选A．24．如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.则棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值是（）A. 2:1B. 1:1C. 1:2D. 1:3【答案】C。

高中数学立体几何练习一．选择题（共13小题）1．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α2．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=AA1，P、Q分别是棱CD、CC1上的动点，如图．当BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为（）A．[0，] B．[0，]C．[，]D．[，1]3．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E在线段AD上且AE=3，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角D﹣EC ﹣B的余弦值为（）A．B．C．D．4．已知A、B、C、D是球面上四点，若AB=AC=，BD=DC=CB=2，二面角A﹣BC﹣D的平面角等于150°，则该球的表面积为（）A．B．C．7πD．9π5．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（）A．B． C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．60 B．30 C．20 D．107．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足=λ，直线PN与平面ABC所成角θ的正切值取最大值时λ的值为（）A．B． C．D．8．在平行四边形ABCD中，BC=2AB=2，∠B=60°，点E是线段AD上任一点（不包含点D），沿直线CE将△CDE翻折成△CD′E，使D′在平面ABCE上的射影F落在直线CE上，则AD′的最小值是（）A．B．C．2 D．9．已知二面角α﹣l﹣β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是35°的直线的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于（）A． B． C．D．11．如图所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=，AD=2，BC=，∠ADC=60°，O为四棱锥P﹣ABCD内一点，AO=1，若DO与平面PCD成角最小角为α，则α=（）A．15°B．30°C．45°D．arcsin12．如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，在平面α内有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB的面积的最大值是（）A．12 B．24 C．32 D．4813．在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．6πD．二．解答题（共21小题）14．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点为M，又PA=AB=4，AD=CD，∠CDA=120°，点N是CD的中点．（1）求证：平面PMN⊥平面PAB；（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．15．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．16．如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB=BE=AF=2，∠CBA=，P为DF的中点．（Ⅰ）求证：PE∥平面ABCD（Ⅱ）求二角D﹣EF﹣A的余弦值；（Ⅲ）设G为线段AD上一点，，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，求AG的长．17．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=，平面EDCF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：DF∥平面ABE；（Ⅱ）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．18．如图所示的一个几何体A1D1﹣ABCD中，底面ABCD为一个等腰梯形，AD∥BC且AD=，BC=2，对角线AC⊥BD，且交于点O，正方形ADD1A1垂直于底面ABCD．（1）试判断D1O是否平行于平面AA1B，并证明你的结论；（2）求二面角B﹣A1C﹣A的余弦值．19．如图，三棱台DEF﹣ABC中，底面是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（I）求证：直线BD∥平面FGH；（Ⅱ）若BC=CF=，求二面角A﹣GH﹣F的余弦值．20．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．21．四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△BCD的边长为的等边三角形，AD=2，AB=1，点F在线段AP上．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）若BF∥平面PCD，△PCD是等边三角形，求点F到平面PCD的距离．22．已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证：BN丄平面C1B1N；（2）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1，并求的值．（3）求点A到平面CB1N的距离．23．已知几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE 是矩形，FB=，M，N分别为EF，AB的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面FCB；（Ⅱ）若FC=1，求点A到平面MCB的距离．24．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（I）证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB1﹣C的余弦值．25．如图几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE=，且EC⊥BD．（1）求证：平面BED⊥平面AEC；（2）M是棱AE的中点，求证：DM∥平面EBC；（3）求二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值．26．如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若CD=2，AA1=λAC，二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．27．如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，FB=，M，N分别为EF，AB的中点．（I）求证：MN∥平面FCB；（Ⅱ）若直线AF与平面FCB所成的角为30°，求平面MAB与平面FCB所成角的余弦值．28．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=t•MC，试确定t的值．29．如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2的菱形，AC⊥CB，BC=1．（Ⅰ）证明：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小．30．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：DE∥平面ACF；（Ⅱ）若梯形EFBD的面积为3，求二面角A﹣BF﹣D的余弦值．31．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA⊥平面ABCD，PA=AC=2，E是PC的中点，∠DAC=∠AOB（1）求证：BE∥平面PAD；（2）若二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．32．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，PD⊥CD，E为PC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．33．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别为CC1和A1B的中点，A1D⊥CC1，侧面ABB1A1为菱形且∠BAA1=60°，AA1=A1D=2，BC=1，（Ⅰ）证明：直线MD∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．34．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=AA1=2，AB=4，E、F、G分别是棱AA1、AD、AB的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥B1D1；（Ⅱ）求证：EF∥平面GCC1；（Ⅲ）求二面角B﹣GC1﹣C的余弦值．参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2017•浙江）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6），Q，R，=，=（0，3，6），=（，5，0），=，=．设平面PDR的法向量为=（x，y，z），则，可得，可得=，取平面ABC的法向量=（0，0，1）．则cos==，取α=arccos．同理可得：β=arccos．γ=arccos．∵＞＞．∴α＜γ＜β．解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．设OD=h．则tanα=．同理可得：tanβ=，tanγ=．由已知可得：OE＞OG＞OF．∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角．∴α＜γ＜β．故选：B．2．（2016•绵阳模拟）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=AA1，P、Q分别是棱CD、CC1上的动点，如图．当BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角B1﹣PQ ﹣D1的余弦值的取值范围为（）A．[0，] B．[0，]C．[，]D．[，1]【解答】解：设AA1=1，则AB=BC=，设CQ=x，则C1Q=1﹣x，则BQ==，QD1==，则BQ+QD1=+=+，设M（x，0），N（0，﹣），K（1，），则BQ+QD1=+=+的几何意义是|MN|+|MK|的距离，则当三点M，N，K共线时，BQ+QD1的长度取得最小值，此时．得x=，即Q是CC1的中点，建立以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图则Q（0，，），B1（，，0），设P（0，t，1），0≤t≤则=（﹣，0，），=（﹣，t﹣，1），则平面PQD1的法向量为=（1，0，0），设平面B1PQ的法向量为=（x，y，z），当t=时，二面角B1﹣PQ﹣D1的为直二面角，此时二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值为0，当0≤t＜时，由，则，即，令x=，则y=，z=4，即=（，，4），设面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值cosθ，则cosθ===，∵0≤t＜，∴cosθ=为减函数，则当t=0时，函数取得最大值cosθ==，故二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为[0，]，故选：B．3．（2016•温州一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E在线段AD上且AE=3，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角D﹣EC﹣B的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：在折叠前的矩形中连接BD交EC于O，∵BC=4，CD=2，CD=2，DE=1，∴，即△BCD∽△CDE，∴∠DBC=∠ECD，∴∠DBC=∠ECD，∴∠ECD+∠ODC=90°，即BD⊥CE，折起后，∵BO⊥CE，DO⊥CE，∴∠BOD是二面角D﹣EC﹣B的平面角，在△BOD中，OD=，OB=BD﹣OD=2﹣=，BD==2，由余弦定理得cos∠BOD==，故选：D．4．已知A、B、C、D是球面上四点，若AB=AC=，BD=DC=CB=2，二面角A﹣BC﹣D的平面角等于150°，则该球的表面积为（）A．B．C．7πD．9π【解答】解：由题设知四面体ABCD中，AB=AC=，BD=DC=CB=2，如图，设等边△BDC的外接圆的圆心为E，BC中点为H，球心为O，设球半径为r，则Rt△OEB中，∠OEB=90°，∵BD=DC=CB=2，AB=AC=，∴∠AHE是二面角A﹣BC﹣D的平面角，故∠AHE=150°，DE===，HE=，∴，…①作AI⊥DH，交DH延长线与I，则AH=1，HE=，OA=r，∠AHT=180°﹣∠AHE=30°，∴AI=，IE=IH+HE=，∴，…②由①②得，解得y=1，∴r==，∴球的表面积S=4π=．故选B．5．（2012•大连模拟）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（）A．B． C．D．【解答】解：由题意，此时的球与正四面体相切，由于棱长为的正四面体，故四个面的面积都是=3又顶点A到底面BCD的投影在底面的中心G，此G点到底面三个顶点的距离都是高的倍，又高为=3，故底面中心G到底面顶点的距离都是2由此知顶点A到底面BCD的距离是=2此正四面体的体积是×2×3=2，又此正四面体的体积是×r×3×4，故有r==．上面的三棱锥的高为，原正四面体的高为2，所以空隙处放入一个小球，则这球的最大半径为a，，∴a=．故选C．6．（2017•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．60 B．30 C．20 D．10【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积==10．故选：D．7．（2017•江西二模）三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB ⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足=λ，直线PN与平面ABC所成角θ的正切值取最大值时λ的值为（）A．B． C．D．【解答】解：以AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A ﹣xyz，则=（﹣λ，），易得平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）则直线PN与平面ABC所成的角θ满足：sinθ=|cos＜，＞|=，于是问题转化为二次函数求最值，而θ∈[0，]，当θ最大时，sinθ最大，所以当λ=时，sinθ最大为，同时直线PN与平面ABC所成的角θ得到最大值．故选：A．8．（2013•杭州模拟）在平行四边形ABCD中，BC=2AB=2，∠B=60°，点E是线段AD上任一点（不包含点D），沿直线CE将△CDE翻折成△CD′E，使D′在平面ABCE 上的射影F落在直线CE上，则AD′的最小值是（）A．B．C．2 D．【解答】解：如图所示：在图2中，过点D作DF⊥CE，垂足为F点，连接AF，D′F．∵沿直线CE将△CDE翻折成△CD′E，使D′在平面ABCE上的射影F落在直线CE 上，∴平面D′CE⊥平面ABCD．∴D′F⊥平面ABCD，∴D′F⊥AF，∴AD′2=D′F2+AF2．设∠CDF=θ，0°≤θ≤60°，则DF=CDcosθ=cosθ，∠EDF=60°﹣θ．在△ADF中，由余弦定理得AF2=22+cos2θ﹣2×2cosθ×cos（60°﹣θ），∴D′A2=4+2cos2θ﹣4cosθ=，当且仅当sin2θ=1，即2θ=90°，θ=45°时，取得最小值，且AD′的最小值是．故选A．9．（2012•碑林区校级模拟）已知二面角α﹣l﹣β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是35°的直线的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：首先给出下面两个结论①两条平行线与同一个平面所成的角相等．②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．图1．（1）如图1，过二面角α﹣l﹣β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠AOB=50°设OP1为∠AOB的平分线，则∠P1OA=∠P1OB=25°，与平面α，β所成的角都是35°，此时过P且与OP1平行的直线不符合要求，当OP1以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β的平分面上转动时，OP1与两平面夹角变小，不再会出现35°情形．图2．（2）如图2，设OP2为∠AOB的补角∠AOB′，则∠P2OA=∠P2OB=65°，与平面α，β所成的角都是65°．当OP2以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β′的平分面上转动时，OP2与两平面夹角变小，对称地在图中OP2两侧会出现35°情形，有两条．此时过P且与OP2平行的直线符合要求，有两条．综上所述，直线的条数共有2条．故选B．10．（2012•重庆模拟）已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于（）A． B． C．D．【解答】解：设AC与BD交于点O．在三角形ABD中，因为∠A=120°，AB=2．可得AO=1．过A作面BCD的垂线，垂足E，则AE即为所求．由题得，∠AOE=180°﹣∠AOC=180°﹣120°=60°．在RT△AOE中，AE=AO•sin∠AOE=．故选：D．11．（2011•沙坪坝区校级模拟）如图所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=，AD=2，BC=，∠ADC=60°，O为四棱锥P﹣ABCD内一点，AO=1，若DO与平面PCD成角最小角为α，则α=（）A．15°B．30°C．45°D．arcsin【解答】解：根据题意，当且仅当AO⊥平面PCD时，DO与平面PCD成角最小角．设垂足为E，连接OD，DE，则可知∴AC⊥CD，PC⊥CD∴∴∵AD=2，OA=1∴α=15°故选A．12．（2011•南岸区校级模拟）如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，在平面α内有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB的面积的最大值是（）A．12 B．24 C．32 D．48【解答】解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA作PM⊥AB，垂足为M，令AM=t∈R，在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，PM是公共边及PB=2PA∴PA2﹣t2=4PA2﹣（6﹣t）2解得PA2=12﹣4t∴PM=∴S=×AB×PM=×6×=3=3≤12即三角形面积的最大值为12故选A13．（2011•冀州市校级一模）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．6πD．【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，因为，所以BD⊥AC，因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B．在△，所以AC=2．取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心，所以ED=，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，所以，OD=，所以BO===OA=OS=OC所以O点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为6π．故选C．二．解答题（共21小题）14．（2017•广西一模）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点为M，又PA=AB=4，AD=CD，∠CDA=120°，点N是CD的中点．（1）求证：平面PMN⊥平面PAB；（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）∵△ABC是正三角形，AB=BC，在△ACD中，AD=CD，则△ABD≌△CDB，∴M为AC的中点，∵点N是CD的中点，∴MN∥AD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．∵∠CDA=120°，∴，∠DAC=30°，∵∠BAC=60°，∴∠BAD=90°，即AB⊥AD，又PA∩AC=A，∴AD⊥平面PAB．∴MN⊥平面PAB．∵MN⊂平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAB．（2）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，∴AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B（4，0，0），C，，P（0，0，4）．由（1）可知，为平面PAC的法向量．，．设平面PBC的一个法向量为，则，即，令z=3，得x=3，，则平面PBC的一个法向量为，设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则．由题意值二面角A﹣PC﹣B是锐二面角，则二面角A﹣PC﹣B余弦值为．15．（2017•涪城区校级模拟）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）CM与BN交于F，连接EF．由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点．因为E是AB的中点，所以AN∥EF．…（7分）又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，所以AN∥平面MEC．…（9分）（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h），=（，﹣2，0），=（0，﹣1，h），设平面PEC的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令y=h，∴=（2h，h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），∴cos＜，＞===，解得h=，∴在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角P﹣EC﹣D的大小为．16．（2017•天津一模）如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB=BE=AF=2，∠CBA=，P为DF的中点．（Ⅰ）求证：PE∥平面ABCD（Ⅱ）求二角D﹣EF﹣A的余弦值；（Ⅲ）设G为线段AD上一点，，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，求AG的长．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）取AD的中点Q，连接PQ，BQ，则PQ∥AF∥BE，且，所以四边形BEPQ为平行四边形，…（2分）所以PE∥BQ，又BQ⊂平面ABCD，PE⊄平面ABCD，则PE∥平面ABCD．…（3分）（Ⅱ）取AB中点O，连接CO，则CO⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABEF，交线为AB，则CO⊥平面ABEF…（4分）作OM∥AF，分别以OB，OM，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则…（5分）于是，设平面DEF的法向量，则令x=1，则…（6分）平面AEF的法向量…（7分）所以…（8分）又因为二面角D﹣EF﹣A为锐角，所以其余弦值为．…（9分）（Ⅲ），则，，而平面ABEF的法向量为，设直线FG与平面ABEF所成角为θ，于是…（11分）于是，．…（13分）17．（2017•河西区二模）如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=，平面EDCF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：DF∥平面ABE；（Ⅱ）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示；则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，0，），F（﹣1，2，），=（﹣1，﹣2，），=（0，2，0），设平面ABE的法向量为=（x，y，z），∴，不妨设=（，0，1），又=（﹣1，2，），∴•=﹣+0+=0，∴⊥；又∵DF⊄平面ABE，∴DF∥平面ABE；（Ⅱ）∵=（﹣1，﹣2，），=（﹣2，0，），设平面BEF的法向量为=（x，y，z），∴，则=（2，，4），∴|cosθ|=|==，∴平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是；（Ⅲ）设=λ=λ（﹣1，2，）=（﹣λ，2λ，λ），λ∈[0，1]；∴P（﹣λ，2λ，λ），=（﹣λ﹣1，2λ﹣2，λ），又平面ABE的法向量为=（，0，1），∴sinθ=|cos＜，＞|=||==，化简得8λ2﹣6λ+1=0，解得λ=或λ=；当λ=时，=（﹣，﹣1，），∴||=2；当λ=时，=（﹣，﹣，），∴||=2；综上，||=2．18．（2017春•南岸区校级月考）如图所示的一个几何体A1D1﹣ABCD中，底面ABCD为一个等腰梯形，AD∥BC且AD=，BC=2，对角线AC⊥BD，且交于点O，正方形ADD1A1垂直于底面ABCD．（1）试判断D1O是否平行于平面AA1B，并证明你的结论；（2）求二面角B﹣A1C﹣A的余弦值．【解答】解：∵底面ABCD为一个等腰梯形，AD∥BC且AD=，BC=2，对角线AC⊥BD，∴OA=OD=1，OB=OC=2，建立以O为坐标原点，OB，OC为x，y轴的空间直角坐标系如图：则B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，﹣1，0），D（﹣1，0，0），A1（0，﹣1，1），D1（﹣1，0，1），则=（﹣1，0，0），=（0，0，1），=（2，1，﹣1），若D1O平行于平面AA1B，则存在x，y有=x+y，即（﹣1，0，0）=x（0，0，1）+y（2，1，﹣1），即，得，此时方程无解，即D1O不平行于平面AA1B．（2）=（0，3，﹣1），=（2，1，﹣1），则平面A1CA的法向量为=（1，0，0），设平面BA1C的法向量为=（x，y，z），则由•=0，•=0，得，令y=1，z=3，x=1，即=（1，1，3），则cos＜，＞===，即二面角B﹣A1C﹣A的余弦值是．19．（2017春•长安区校级月考）如图，三棱台DEF﹣ABC中，底面是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（I）求证：直线BD∥平面FGH；（Ⅱ）若BC=CF=，求二面角A﹣GH﹣F的余弦值．【解答】（I）证明：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．∴，∴四边形CFDG是平行四边形，∴DM=MC．又BH=HC，∴MH∥BD，又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，∴BD∥平面FGH；（Ⅱ）建立以C为坐标原，CA，CB，CF分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设BC=1，则CF=1，AB=2，则AC=，则A（，0，0），C（0，0，0），B（0，1，0），F（0，0，1），G（，0，0），H（0，，0），则AGH的法向量为=（0，0，1），设GHF的法向量=（x，y，z），则=（﹣，，0），=（0，，1），则•=﹣x+y=0，•=y+z=0，令y=2，则x=，z=1，即=（，2，1），则cos＜，＞===，即二面角A﹣GH﹣F的余弦为为．20．（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK；∴BF⊥AC；又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；∴BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；∵F为CK中点，且DF∥AC；∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；∴；又；∴在Rt△BFD中，，cos；即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为21．（2016•漳州模拟）四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△BCD的边长为的等边三角形，AD=2，AB=1，点F在线段AP上．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）若BF∥平面PCD，△PCD是等边三角形，求点F到平面PCD的距离．【解答】解：（Ⅰ）∵AB=1，AD=2，BD=，∴cos∠ADB==，则∠ADB=30°，∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC=60°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°，即CD⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD（Ⅱ）在平面ABCD内过B作BG∥CD，交AD于G，BG⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，则BG∥平面PCD，由（1）得CD⊥AD，∴BG⊥AD，连接GF，∵BF∥平面PCD，BF，BG⊂平面FBG，BF∩BG=B，∴平面FBG∥平面PCD，∵平面PAD分别交平面FBG，PCD于FG，PD，∴FG∥PD，∴，则直角三角形BGD中，BD=，∠BDG=30°，DG=BDcos30°=，∴==，在平面PAD内过F作FH⊥PD于H，∵CD⊥平面PAD，面FHC⊂面PAD，∴CD⊥FH，∵PD，CD⊂平面PCD，PD∩CD=D，∴FH⊥平面PCD于H，则FH是点F到平面PCD的距离．过A作AM⊥PD于M，∵△PAD是边长为2的等边三角形，∴AM==，∵FH∥AM，∴==，∴FH=AM=，即点F到平面PCD的距离是．22．（2016•南阳校级三模）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证：BN丄平面C1B1N；（2）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1，并求的值．（3）求点A到平面CB1N的距离．【解答】（1）证明：如图：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BB1C1C是矩形，AB⊥BC，AB⊥BB1，BC⊥BB1 ，由三视图中的数据知：AB=BC=4，BB1=CC1=8，AN=4．∵AB⊥BC，BC⊥BB1，∴BC⊥平面ANBB1，∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面ANBB1 ，因此B1C1⊥BN．在直角梯形B1BAN中，过N作NE∥AB交BB1于E，则B1E=BB1﹣AN=4，故△NEB1是等腰直角三角形，∴∠B1NE=45°，又AB=4，AN=4，∴∠ANB=45°，因此∠BNB1=90°，即BN⊥B1N，又B1N∩B1C1=B1，∴BN⊥平面C1B1N．（2）解：过M作MR∥BB1，交NB1于R，则MR==6，过P作PQ∥BB1，交CB1于Q，则PQ∥MR，设PC=a，则=，即=，∴PQ=2a．由PQ=MR得：2a=6，a=3，此时，PMRQ是平行四边形，∴PM∥RQ，PM=RQ．∵RQ⊂平面CNB1，MP⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1，==．（3）∵△CNB1中，CN===4，NB1===4，CB1===4，∴CN2+=，∴CN⊥NB1．设点A到平面CB 1N的距离为h，∵=，∴•（）•h=•（AN•NB1•sin∠ANB1）•CB，即CN•NB1•h=AN•NB1•sin（90°+45°）•CB，即4•4•h=4•4••4，∴h=．23．（2016•晋中一模）已知几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE是矩形，FB=，M，N分别为EF，AB的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面FCB；（Ⅱ）若FC=1，求点A到平面MCB的距离．【解答】（I）证明：取BC的中点Q，连接NQ，FQ，则NQ=AC，NQ∥AC，又MF=AC，MF∥AC，∴MF=NQ，MF∥NQ，则四边形MNQF是平行四边形，∴MN∥FQ，FQ⊂平面FCB，MN⊄平面FCB，∴MN∥平面FCB．（II）解：∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，可得∠ACB=90°，AC=，AB=2．又FC=1，FB=，BC=1，∴FC⊥BC，又∠ACB=90°，即AC⊥BC．∴BC⊥平面ACFE．设点A到平面MCB的距离为h，则V A=•h．﹣MCB=V B﹣ACM===，四边形ACFE为矩形，又V A﹣MCBS△MCB==，∴h==，则点A到平面MCB的距离为．24．（2016•南昌校级二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（I）证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB1﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）∵A1O⊥面ABCD，且BD，AC⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵A1O∩AC=O，∴BD⊥面A1AC，∵BD⊂平面BB1D1D，∴平面A1CO⊥平面BB1D1D（2）建立以O为坐标原点，OA，OB，OA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵AB=AA1=2，∠BAD=60°，∴OB=1，OA=，∵AA1=2，∴A1O=1．则A（，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，1），C（﹣，0，0），==（﹣，1，0），=（0，1，0），=（﹣，0，0），=（0，0，1），则=+=（﹣，1，1），设平面BOB1的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=，则y=0，z=3，即=（，0，3），设平面OB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=﹣1，x=0，则=（0，1，﹣1），cos＜，＞===﹣，∵二面角B﹣OB1﹣C是钝二面角，∴二面角B﹣OB1﹣C的余弦值是﹣．25．（2016•新余二模）如图几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE=，且EC⊥BD．（1）求证：平面BED⊥平面AEC；（2）M是棱AE的中点，求证：DM∥平面EBC；（3）求二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值．【解答】解：（1）∵，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，∴取BD的中点O，则AO⊥BD，OC⊥BD，则BD⊥AC，∵EC⊥BD，EC∩AC=C，∴BD⊥面AEC，∵BD⊂面BED，∴平面BED⊥平面AEC（2）若M是棱AE的中点，取AB的中点N，则MN是△ABE的中位线，则MN∥BE，∵∠BCD=120°，CB=CD=1，∴∠CBO=30°，∵∠ABD=60°，∴∠ABD+∠CBD=60°+30°=90°，即AB⊥BC，∵DN⊥AB，∴DN∥BC，∵DM∩MN=M，∴面DMN∥面EBC，∵DM⊂面DMN，∴DM∥平面EBC．（3）由（1）知BD⊥面AEC，∵∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE=，∴OC=，AO=，AC=+=2，则AE2+CE2=3+1=4=AC2，则AE⊥CE，∵OC=，CE=1，∴OE⊥AC，则OE=建立以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴的坐标系如图：则D（0，﹣，0），A（，0，0），E（0，0，），M（，0，），B（0，，0），C（﹣，0，0），则=（，﹣，），=（0，，0），=（﹣，﹣，0）设平面DBM的一个法向量为=（x，y，z），则，则y=0，令z=，则x=﹣1，即=（﹣1，0，），设平面BMC的一个法向量为=（x，y，z），，则y=，令x=﹣3，则z=5，=（﹣3，，5），则cos＜，＞====，即二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值是．26．（2016•常德一模）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若CD=2，AA1=λAC，二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）若AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，∵AD=2CD，∠ADC=60°，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，∵A1C∩CD=C，∴AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若CD=2，∵∠ADC=60°，∴AC=2，则AA1=λAC=2λ，建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则C（0，0，0），D（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2λ），A1（0，2，2λ），则=（2，﹣2，﹣2λ），=（2，0，0），=（0，2，0），设面CA1D的一个法向量为=（1，0，0）．则•=2x﹣2y﹣2λz=0，•=2x=0，则x=0，y=﹣λz，令z=1，则y=﹣λ，则=（0，﹣λ，1）设面A1DC1的一个法向量为=（x，y，z）•=2x﹣2y﹣2λz=0，•=2y=0，则y=0，2x﹣2λz=0，令z=1，则x=λ，则=（λ，0，1），∵二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，∴cos＜，＞===，即（1+λ2）（1+3λ2）=8，得λ=1，即AA1=AC，则三棱锥C 1﹣A1CD的体积V=V===4．27．（2016•晋中一模）如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，FB=，M，N分别为EF，AB的中点．（I）求证：MN∥平面FCB；（Ⅱ）若直线AF与平面FCB所成的角为30°，求平面MAB与平面FCB所成角的余弦值．【解答】证明：（I）取BC的中点Q，连接NQ，FQ，则NQ=AC，NQ∥AC．又MF=AC，MF∥AC，所以MF=NQ，MF∥NQ，则四边形MNQF为平行四边形，即MN∥FQ．∵PQ⊂平面FCB，MN⊄平面FCB，∴MN∥平面．…5分（Ⅱ）解：由AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°可得，∠ACB=90°．AC=，BC=1，AB=2，因为四边形ACFE为矩形，所以AC⊥平面FCB，则∠AFC为直线AF与平面FCB所成的角，即∠AFC=30°，∴FC=3．∵FB=，∴FC⊥BC．则可建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，∴A（，0，0）．B（0，1，0），M（，0，3），则=（，0，﹣3），=（﹣，1，﹣3），设=（x，y，z）为平面MAB的法向量，则，即．取x=2，则=（2，6，1）为平面MAB的一个法向量．又=（，0，0）为平面FCB的一个法向量，则cos＜，＞===．则平面MAB与平面FCB所成角的余弦值为．…12分。

高一数学立体几何练习题及答案一、选择题1. 下列哪个图形不是立体图形？A. 立方体B. 圆锥C. 圆柱D. 正方形答案：D2. 已知一个立方体的边长为5cm，求它的表面积和体积分别是多少？A. 表面积：150cm²，体积：125cm³B. 表面积：100cm²，体积：125cm³C. 表面积：150cm²，体积：100cm³D. 表面积：100cm²，体积：100cm³答案：A3. 以下哪个选项可以形成一个正方体？A. 六个相等的长方体B. 一个正方形和一个长方体C. 六个相等的正方形D. 一个正方形和一个正方体答案：C4. 以下哪个图形可以形成一个圆柱？A. 一个正方形和一个长方体B. 一个圆和一个长方体C. 一个长方形和一个长方体D. 一个正方形和一个正方体答案：C5. 以下哪个选项可以形成一个圆锥？A. 一个圆和一个长方体B. 一个圆和一个正方体C. 一个正方形和一个长方体D. 一个正方形和一个正方体答案：B二、填空题1. 已知一个正方体的表面积为96cm²，求它的边长是多少？答案：4cm2. 已知一个圆柱的半径为3cm，高为10cm，求它的表面积和体积分别是多少？答案：表面积：198cm²，体积：90π cm³3. 以下哪个选项可以形成一个长方体？A. 六个相等的正方形B. 一个圆和一个长方形C. 六个相等的长方形D. 一个正方形和一个正方体答案：C三、解答题1. 某长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，请回答以下问题：（1）它的表面积是多少？（2）它的体积是多少？答案：（1）表面积 = 2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)= 2(3×4 + 3×5 + 4×5)= 2(12 + 15 + 20)= 2(47)= 94cm²（2）体积 = 长×宽×高= 3×4×5= 60cm³2. 某圆锥的半径是5cm，高是12cm，请回答以下问题：（1）它的表面积是多少？（2）它的体积是多少？答案：（1）斜面积= π×半径×斜高= π×5×13≈ 204.2cm²（2）体积= (1/3)π×半径²×高= (1/3)π×5²×12≈ 314.2cm³四、解析题某正方体的表面积是96cm²，它的边长是多少？解答：设正方体的边长为x，由表面积的计算公式可得：表面积 = 6x²96 = 6x²16 = x²x = 4所以，该正方体的边长为4cm。

立体几何试题之欧侯瑞魂创作一．选择题（每题4分，共40分）1.已知AB//PQ，BC//QR,则∠PQP等于（）A 0150 D 以30 B 030 C 0上结论都分歧错误2.在空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等A 1B 2C 3D 43.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（）A 平行B 相交C 在平面内D 平行或在平面内4.已知直线m//平面α，直线n在α内，则m与n的关系为（）A 平行B 相交C 平行或异面D 相交或异面5.经过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（）A 1个或2个B 0个或1个C 1个D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( )A 平行B 垂直相交C 异面D 相交但不垂直7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）A 0个B 1个C 无数个D 1个或无数个8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥⊂ B //,,m n n m βα⊥⊥C ,,m n m n αβα⊥=⊂D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分）11.已知∆ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条13.一块西瓜切3刀最多能切_________块14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________ 三、解答题15（10分）如图，已知E,F 分别是正方形1111ABCD A B C D -的棱1AA 和棱1CC 上的点，且1AE C F =。

立体几何一、选择题1. 给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个 平面互相平行；③若直线4与同一平面所成的角相等，则4互相平行；④若直线 /|仏是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线。

其中假命题的个数是（）A. 1B. 2 C ・ 3 D. 42. 将正方形ABCD 沿对角线〃£）折成一个120。

的二面角，点C 到达点G ，这时异面直 线AD 与BCi 所成角的余弦值是（）A. —B. -C.逅D.- 2 2 4 43. —个长方体一顶点的三个面的面积分别是血、巧、后，这个长方体对角线的长为（）6. 正方体A ,B ,C ,D ,—ABCD 的棱长为a, EF 在AB 上滑动，且|EF|=b （b<a=9 Q 点在DC 上滑动，则四面体N —EFQ 的体积（）A ・与E 、尸位置有关 B.与Q 位置有关C.与E 、F 、0位置都有关D.与E 、F 、0位買均无关，是定值 7. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O,点P 到三个平面的距离比为1 ：2 ： 3, PO=2V14 ,则P 到这三个平面的距离分别是（）4. A. 2^3 B. 3^2 C. 6 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、尸分别为各边的中点，G 、H 、I 、丿分别为AF 、AD. BE 、DE 的中点.将△ ABC 沿QE 、EF 、Q 尸折成三棱锥以后，与〃所成角的度数为（A. 90° B ・ 60° C. 45。

5.两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱 长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正 方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面 上，则这样的几何体体积的可能值有（）A ・I 个B. 2个C. 3个 D0°D.A. 1, 2, 3 B・ 2, 4, 6 C・ 1, 4, 6 D・ 3, 6, 98. 如图，在四而体ABCD 中，截rfij AEF 经过四面 体的内切球（与四个面都相切的球）球心O,且 与BC, DC 分别截于E 、F,如果截面将四面体 分成体积相等的两部分，设四棱锥A —BEFD 与 三棱锥A-EFC 的表面积分别是Si ，52,则必有 （）A. S\<S2B. Si>S2C. S I =52D. 5I ，S2的大小关系不能确定 9. 条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条 件甲是条件乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 已知棱锥的顶点为P, P 在底面上的射影为O, PO=a,现用平行于底面的平面去截 这个棱锥，截面交PO 于点M,并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则a 与b 的关系是（） B ・ h= （ V2 +1） aD.后土色 2 —♦ f11. 已知向量d=（2, 4, x ）, 〃=（2, y, 2）,若f |=6, “ 丄〃，则 x+y 的值是（）12. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是迈,JI 亦，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（）A.1271B. 1871C.3671D. 6兀 13. 己知某个几何体的三视图如下，图中标出的尺寸（单位:cm ）,则这个几何体的体积是（）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧tfri 展开图扇形的圆心角为（ A.12O 0 B.15O 0 C.180° D.24O 0A ・ b= ( 5/2 —l)a A. 4000 14. A8000 正视图 俯视图20. 15.在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个而都接触，经 过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（）“（-1,0,2）,且几+》与必―》互相垂直，贝IJR 值是（） 厂3 “7 C. — D.— 5516. 正四棱柱 ABCD-AiBiCiDi 中，AB=3, BBi=4.长为 1 的线段PQ 在棱AAi 上移动，长为3的线段MN 在棱 CCi±移动，点R 在棱BBi 上移动，则四棱锥R- PQMN 的体积是（）A. 6B. 10 C ・12 D ・不确定17. 已知三棱锥0—ABC 中，OA 、OB 、OC 两两互相垂直，若x+y=4,则已知三棱锥O —ABC 体积的最大值是（）1 2 >/3 B. — C. — D. 3 3 3 A.l18. 如图，在正四面体A-BCD 中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心, 则AEFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（）A.①③B.②®® c.③④D.②④ A/ \ /◎、L ________ \ ① MB — — —②19. 如來底而直径和高相等的圆柱的侧面积是s •那么圆柱的体积等于A.-VSB.-J-C.-VSD.- 2 2V K 44 vn 已知直线AB. CD 是异面直线，AC 丄AB, AC 丄CD, BD 丄CD, 则异面直线AB 与CD 所成角的大小为（）A. 30°B. 45° 且 AB=2, CD=1,C. 60°D. 75°已知向量”m°）,B.- 5 A. 1 OC=1, OA=x, OB=y,22. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最参可有（）A.4个B.2个C.3个D.1个23. 三棱锥A-BCD 中，AC 丄BD, E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是（）A.菱形B.矩形C.梯形D.正方形24. 在正四面体P —ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不 成立的是（）25. 一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面1何积与底面面积的比为1： 3,则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为（）A.1： 3B.1： 2C.1：羽D.1：羽一 1 26. 正四面体P —ABC 中，M 为棱AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为（）A 並B 並C 返D 迴 A. 2 B. § C. 4 D. 327. —个三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为1, & ,3 已知该三棱锥的四个顶点都在一个球而上，则这个球的表面积为（）A.16nB.32 兀C.36 兀D.64 兀28. 在棱长为。

立体几何小题100例一、选择题1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．42．5【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面11AA D D ,2244()52PE =+=选D考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征．2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,217BD cm CD cm ==，则这个二面角的度数为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 【答案】B 【解析】试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,BD AC θ<>=，因为CD DB BA AC =++，所以22222()222CD DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++⋅+⋅+⋅CA DB而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ⋅=⋅=所以2222||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-⋅即222417468286cos θ⨯=++-⨯⨯所以1cos 2θ=，而[0,]θπ∈，所以60θ=︒，故选B. 考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这 个几何体的体积是（ ）112222侧视图俯视图主视图A ．343cmB ．383cmC ．33cmD ．34cm【答案】B ． 【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积382231312=⨯⨯==Sh V ． 考点：空间几何体的体积计算．4．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：设AC 与BD 交于点O ,连接OP .易证得BD ⊥面11ACC A ,从而可得BD OP ⊥.设正方体边长为1,在1Rt ACC ∆中126cos 33C AC ∠==.在AOP ∆中 22OA =,设(),03AP x x =≤≤,由余弦定理可得2222226231222362OP x x x x ⎛⎫=+-⋅⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,所以223162OP x x =-+.所以()22231262f x x x =-+.故选A. 考点：1线面垂直,线线垂直;2函数图象.5．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1， ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）当且仅当x=12时，四边形MENF 的面积最小；（3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数； （4）四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中假命题．．．的序号为（ ） A ．（1）（4） B ．（2） C ．（3） D ．（3）（4） 【答案】C 【解析】试题分析：（1）由于AC EF //，B B AC BD AC '⊥⊥,，则D D B B ''⊥平面AC ，则D D B B EF ''⊥平面，又因为EMFN EF 平面⊂，则平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）由于四边形MENF 为菱形，MN EF S MENF ⋅=21，2=EF ，要使四边形MENF 的面积最小，只需MN 最小，则当且仅当21=x 时，四边形MENF 的面积最小；（3）因为1)21(2+-=x MF ，1)21(4)(2+-=x x f ，)(x f 在]1,0[上不是单调函数；（4）NE C F EC M F MENF C V V V '-'--'+=，ME C S '∆=41121=⋅'E C ，F 到平面ME C '的距离为1，1214131=⋅='-ME C F V ，又41121=⋅'⋅='∆E C S NE C ，1214131=⋅='-NE C F V ，61)(=x h 为常函数.故选（3）考点：1.面面垂直的判定定理；2.建立函数模型.6．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）（A）4 （B ）4 （C ）4 （D ）34【答案】D. 【解析】试题分析：连接B A 1；11//CC AA ,AB A 1∠∴是异面直线AB 与1CC 所成的角或其补角；在1ADA Rt ∆中，设11=AA ，则21,231==D A AD ；在1BDA Rt ∆中，2121=B A ；在1ABA ∆中，431122111cos 1=⨯⨯-+=∠AB A ；即面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为34. 考点：异面直线所成的角.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A ．π312B ．π12C ．π34D ．π3 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32=r ，23=∴r ，因此ππ342==r S 表面积，故答案为D. 考点：由三视图求外接球的表面积.8．如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．11DC D P ⊥B ．平面11D A P ⊥平面1A APC ．1APD ∠的最大值为90 D ．1AP PD +22+ 【答案】C 【解析】试题分析：111DC D A ⊥ ，11DC B A ⊥，1111A B A D A = ，⊥∴1DC 平面11BCD A ，⊂P D 1平面11BCD A 因此P D DC 11⊥，A 正确；由于⊥11A D 平面11ABB A ，⊂11A D 平面P A D 11，故平面⊥P A D 11平面AP A 1 故B 正确，当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，C 错；将面B AA 1与面11BCD A 沿B A 1展成平面图形，正视图 侧视图俯视图线段1AD 即为1PD AP +的最小值，利用余弦定理解221+=AD ，故D 正确，故答案为C ．考点：棱柱的结构特征． 9．下列命题中，错误的是（ ）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两条直线不一定平行C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行于平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线 【答案】B 【解析】试题分析: 由直线与平面的位置关系右知A 正确;平行于同一个平面的两条直线可以相交、平行或异面，故B 错，所以选B.考点:直线、平面平行与垂直的判定与性质.10．已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且=，过点A 、P 、Q作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（ ）【答案】A【解析】试题分析：当P 、B 1重合时，主视图为选项B ；当P 到B 点的距离比B 1近时，主视图为选项C ；当P 到B 点的距离比B 1远时，主视图为选项D ，因此答案为A. 考点：组合体的三视图11．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为 （ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC ，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4． 设其外接球的球心为O ，O 点必在高线PE 上，外接球半径为R ， 则在直角三角形BOE 中，BO 2=OE 2+BE 2=（PE-EO ）2+BE 2， 即R 2=（4-R ）2+（32）2，解得：R=174，故选C.考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力12．如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）【答案】C 【解析】 试题分析：因为37411>，所以1A E 延长交11D C 于F ，过F 作FM 垂直DC 于.M 在矩形1AA FM 中分析反射情况：由于35105AM =>，第二次反射点为1E 在线段AM 上，此时153E M =,第三次反射点为2E 在线段FM 上，此时24E M =,第四次反射点为3E 在线段1AF 上,由图可知，选C.考点：空间想象能力13．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r , 则2286862r r r -+-+⇒=,故选B. 考点：三视图 内切圆 球 三棱柱14．已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 A ．14 B ．24 C ．34 D ．12【答案】B. 【解析】试题分析：如图作BE β⊥于E ，连结AE ，过A 作AG ∥CD ，作EG AG ⊥于G ，连结BG ，则.BG AG ⊥设2AB a =．在ABE ∆中，60,90,2,.BAE AEB AB a AE a ∠=︒∠=︒=∴=在Rt AEG ∆中，29045,90,cos 45.2GAE CAG AGE AG a a ∠=︒-∠=︒∠=︒∴=︒=在Rt ABG∆中，222cos 24AG BAG AB a ∠===∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24，故选B ．βαElBDACG考点：1.三垂线定理及其逆定理；2. 空间角（异面直线所成角）的计算．15．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D 【解析】试题分析：三棱锥ABC D -在平面xoy 上的投影为ABC ∆，所以21=S ，设D 在平面yoz 、zox 平面上的投影分别为2D 、1D ，则ABC D -在平面yoz 、zox 上的投影分别为2OCD ∆、1OAD ∆，因为)2,1,0(1D ，)2,0,1(2D ，所以212=-S S ，故选D.考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.16．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，12BF =，将此正 方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是（ ） A ．13B 523 D ．23【答案】B【解析】试题分析：解：因为90,DPE DPF ∠=∠=所以,DP PE DP PF ⊥⊥又因为PE ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,且PE PF P =,所以DP ⊥平面PEF在PEF ∆中，22223151,,1222PE PF EF EB BF ⎛⎫===+=+= ⎪⎝⎭所以222351222cos 33212EPF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,225sin 133EPF ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭ 所以11355sin 122234PEF S PE PF EPF ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 115523346PEF P DEF D PEF V V DP S ∆--==⋅⋅=⨯⨯=三棱锥三棱锥 所以应选B.考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理与余弦定理；3、棱锥的体积.17．高为的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离．解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为：=故选A点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．18．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )A ．2aB ．5aC ．aD ．3a【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式2222cos EF d m n mn θ=++± ，对于本题中，d a =，m a =，2n =，60θ=，故()222222cos 602CD a a a a a a =++-⋅⋅⋅=．考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力．19．长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则对角线的长是（ ）．Ａ．14 B ．4 C ．32 D ．23【答案】B【解析】试题分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长度．考点：长方体的结构特征，面积和棱长的关系.20．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ , 由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF 与面MPQ 不垂直，所以选项C 是正确的；因为//EF l ，M 是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l 是唯一的，故选项D 不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．21．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D【解析】试题分析：由于',A G DE FG DE ⊥⊥．所以DE ⊥平面'A FG ．经过点'A 作平面ABC 的垂线垂足在AF上．所以A 选项正确．由A 可知B 选项正确．当平面'A DE 垂直于平面BCDE 时，三棱锥EFD A -'的体积最大，所以C 正确．因为BD EF ，设2AC a =．所以'EF A E a ==，当'2A F a =时，32'(')2a A G GF A G GF a <+==．所以异面直线E A '与BD 可能垂直．所以D 选项不正确．考点：1．线面位置关系．2．面面的位置关系．3．体积公式．4．异面直线所成的角．5．空间想象力．22．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ ,由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；EF l，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l是唯一的，故选因为//项D不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．23．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为，选A．24．如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.则棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值是（）A. 2:1B. 1:1C. 1:2D. 1:3【答案】C【解析】设AB ＝a.由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝.易证PQ ⊥面DCQ ，而PQ ＝，△DCQ 的面积为，所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1:1，选C.25．正四面体ABCD ，线段AB //平面α，E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，则线段AB 与EF 在平面α上的射影所成角余弦值的范围是（ ）A ． [0，22]B ．[22，1]C ．[21，1] D ．[21，22] 【答案】B【解析】试题分析：如图，取AC 中点为G ，结合已知得GF //AB ，则线段AB 、EF 在平面α上的射影所成角等于GF 与EF 在平面α上的射影所成角，在正四面体中，AB ⊥CD ，又GE //CD ，所以GE ⊥GF,所以222GF GE EF +=，当四面体绕AB 转动时，因为GF //平面α，GE 与GF 的垂直性保持不变，显然，当CD 与平面α垂直时，GE 在平面上的射影长最短为0，此时EF 在平面α上的射影11F E 的长取得最小值21，当CD 与平面α平行时，GE 在平面上的射影长最长为21，11F E 取得最大值22，所以射影11F E 长的取值范围是 [21，22]，而GF 在平面α上的射影长为定值21，所以AB 与EF 在平面α上的射影所成角余弦值的范围是[22，1].故选B 考点：1线面平行；2线面垂直。

立体几何试题一．选择题（每题4分，共40分）1.已知AB//PQ，BC//QR,则∠PQP等于（）A 015030 B 030 C 0D 以上结论都不对2.在空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等A 1B 2C 3D 43.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（）A 平行B 相交C 在平面内D 平行或在平面内4.已知直线m//平面α，直线n在α内，则m与n的关系为（）A 平行B 相交C 平行或异面D 相交或异面5.经过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（）A 1个或2个B 0个或1个C 1个D 0个6.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( )A 平行B 垂直相交C 异面D 相交但不垂直7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）A 0个B 1个C 无数个D 1个或无数个8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( )A //,,m n n m βα⊥⊂B //,,m n n m βα⊥⊥C ,,m n m n αβα⊥=⊂D ,//,//m n m n αβ⊥10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( )A 1个B 2个C 3个D 4个二．填空题（每题4分，共16分）11.已知∆ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13.一块西瓜切3刀最多能切_________块14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________三、解答题15（10分）如图，已知E,F 分别是正方形1111ABCD A B C D -的棱1AA 和棱1CC 上的点，且1AE C F =。

立体几何试题之巴公井开创作一．选择题（每题4分, 共40分）1.已知AB//PQ, BC//QR,则∠PQP即是（）A 0150 D 以30 B 030 C 0上结论都分歧毛病2.在空间, 下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等A 1B 2C 3D 43.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行, 那么这条直线与另一个平面的位置关系是（）A 平行B 相交C 在平面内D 平行或在平面内4.已知直线m//平面α, 直线n在α内, 则m与n的关系为（）A 平行B 相交C 平行或异面D 相交或异面5.经过平面α外一点, 作与α平行的平面, 则这样的平面可作（）A 1个或2个B 0个或1个C 1个D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( )A 平行B 垂直相交C 异面D 相交但不垂直7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）A 0个B 1个C 无数个D 1个或无数个8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥⊂ B //,,m n n m βα⊥⊥C ,,m n m n αβα⊥=⊂D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分, 共16分）11.已知∆ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N, 设直线AB 与平面α交于点O, 则点O 与直线MN 的位置关系为_________12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个, 过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条13.一块西瓜切3刀最多能切_________块14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________ 三、解答题15（10分）如图, 已知E,F 分别是正方形1111ABCD A B C D -的棱1AA 和棱1CC 上的点, 且1AE C F =.求证：四边形1EBFD 是平行四边形16（10分）如图, P 为ABC ∆所在平面外一点, AP=AC,BP=BC,D 为PC 的中点, 证明：直线PC 与平面ABD 垂直17（12分）如图, 正三棱锥A-BCD, 底面边长为a, 则侧棱长为2a, E,F 分别为AC,AD 上的动点, 求截面BEF ∆周长的最小值和这时E,F 的位置.18（12分）如图, 长方形的三个面的对角线长分别是a,b,c, 求长方体对角线AC '的长 谜底1三点共线2无数无数 3. 7 4 123a 1证明: 1AE C F =过1A 作11//AG D F 又由1A E ∥BG 且1A E =BG可知1//EB AG ∴四边形1EBFD 是平行四边形2∵AP AC =D 为PC 的中点∴AD PC ⊥ ∵BP BC =D 为PC 的中点∴BD PC ⊥ ∴PC ⊥平面ABD∴AB PC ⊥3提示:沿AB 线剪开 ,则BB '为周长最小值.易求得EF 的值为34a ,则周长最小值为114a . 4解:()()()222AC AC CC ''=+15（10分）如图, 已知E,F 分别是正方形1111ABCD A B C D -的棱1AA 和棱1CC 上的点, 且1AE C F =.求证：四边形1EBFD 是平行四边形6（10分）如图, P 为ABC ∆所在平面外一点, AP=AC,BP=BC,D 为PC 的中点, 证明：直线PC 与平面ABD 垂直17（12分）如图, 正三棱锥A-BCD, 底面边长为a, 则侧棱长为2a, E,F 分别为AC,AD 上的动点, 求截面BEF ∆周长的最小值和这时E,F 的位置.18（12分）如图, 长方形的三个面的对角线长分别是a,b,c, 求长方体对角线AC '的长 谜底1证明: 1AE C F =过1A 作11//AG D F 又由1A E ∥BG 且1A E =BG可知1//EB AG ∴四边形1EBFD 是平行四边形4∵AP AC =D 为PC 的中点∴AD PC ⊥ ∵BP BC =D 为PC 的中点∴BD PC ⊥ ∴PC ⊥平面ABD ∴AB PC ⊥5提示:沿AB 线剪开 ,则BB '为周长最小值.易求得EF 的值为34a ,则周长最小值为114a . 4解:()()()222AC AC CC ''=+高一数学必修2立体几何测试题 试卷满分：100分考试时间：120分钟班级___________姓名__________ 学号_________ 分数___________第Ⅰ卷一、选择题（每小题3分, 共30分）1、线段AB 在平面α内, 则直线AB 与平面α的位置关系是A 、AB α⊂ B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都分歧毛病 2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有分歧在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能4、在正方体1111ABCD A BC D -中, 下列几种说法正确的是A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角D 、11AC 与1BC 成60角5、若直线l ∥平面α, 直线a α⊂, 则l 与a 的位置关系是A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点6、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A 、1B 、2C 、3D 、47、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点, 如果与EF GH、能相交于点P , 那么A 、点P 不在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外8、a, b, c 暗示直线, M 暗示平面, 给出下列四个命题：①若a ∥M, b ∥M, 则a ∥b ；②若b ⊂M , a ∥b , 则a ∥M ；③若a ⊥c , b ⊥c, 则a ∥b ；④若a ⊥M, b ⊥M, 则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个D 、3个9、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ, α内一点C 到β的距离为3, 点C 到棱AB 的距离为4, 那么tan θ的值即是A 、34B 、35C10、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V , 点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和CC 1上, AP=C 1Q , 则四QPC'B'A'CBAB 1C 1A 1D 1BACD棱锥B —APQC 的体积为A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V 二、填空题（每小题4分, 共16分）11、等体积的球和正方体,它们的概况积的年夜小关系是S 球_____S 正方体(填”年夜于、小于或即是”).12、正方体1111ABCD A BC D -中, 平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面, 若PC BD⊥, 平行则四边形ABCD 一定是 .14、如图, 在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中, 当底面四边形ABCD 满足条件_________时, 有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可, 不用考虑所有可能的情形.)第Ⅱ卷一、选择题（每小题3分, 共30分）二、填空题（每小题4分, 共16分） 11、 12、 13、 14、三、解答题(共54分,要求写出主要的证明、解答过程)15、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且正面面积即是两底面面积之和,求该圆台的母线长. (7分)16、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥BD . (8分)17、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥证：AD ⊥面SBC ．(8分)18、一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部份裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的界说域. (9分)19、已知正方体1111ABCD A BC D -,O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． (10分)20、已知△BCD 中, ∠BCD =90°, BC =CD =1, AB ⊥平面BCD ,∠ADB =60°, E 、F 分别是AC 、AD 上的动点,H G FED BA CD 1ODBAC 1B 1A 1C FEDBAC且(01).AEAFACADλλ==<< （Ⅰ）求证：不论λ为何值, 总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时, 平面BEF ⊥平面ACD ？ (12分)高一立体几何试题一、选择题：(每题5分)1.下列说法中正确的个数为（）①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台②用一个平面去截圆锥, 获得一个圆锥和一个圆台③各个面都是三角形的几何体是三棱锥④以三角形的一条边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥⑤棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等, 则该棱锥可能是六棱锥⑥圆锥的极点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.A. 0B. 1C. 2D. 32.如图,一几何体的三视图如下：则这个几何体是（）A. 圆柱B. 空心圆柱C. 圆D. 圆锥3且梯俯视图正 视 图 侧视图形OA /B /C /的面积为2, 则原梯形的面积为 ( )A.2 B. 2 C. D. 44. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形, 正面积是, 则圆锥的体积是（）A ．643π B1283π C 64πD5. 一个圆台的上、下底面面积分别是12cm 和492cm , 一个平行底面的截面面积为252cm , 则这个截面与上、下底面的距离之比是 ( ) A 2: 1 B. 3: 1C. 2: 1 D.3: 16. 长方体的一个极点上三条棱的边长分别为3、4、5, 且它的八个极点都在同一个球面上, 这个球的概况积是（）A. 220πB. 225πC. π50D. π2007.下列命题中正确的个数是（）①若直线l 上有无数个点不在平面α内, 则l α∥ ②若直线l 与平面α平行, 则l 与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行, 那么另一条也与这个平面平行④若直线l 与平面α平行, 则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点A. 0B. 1C. 2D. 38.已知直线l α⊥平面, 有以下几个判断：①若m l ⊥, 则m α//；②若m α⊥, 则m l //；③若m α//, 则m l ⊥；④若m l //, 则m α⊥．上述判断中正确的是（）A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④9.如图是正方体的展开图, 则在这个正方体中, 以下四个命题中正确的序号是（） ①BM与ED 平行．②CN 与BE③CN 与BM 成60˚角．④DM 与BN A. ①②③ B. ③④C. ②④D. ②③④10．在四面体ABCD 中, ,E F 分别是,AC 若2,4,AB CD EF AB ==⊥, 则AB 与CD 所成的角的度数为（）EA ．030B ．45oC ．60oD ．90o 11.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, AB=, B 1B=BC=1, 则面BD 1C 与面AD 1D 所成二面角的年夜小为（） A ．030 B ．45o C ．60o D ．90o12.蚂蚁搬场都选择最短路线行走, 有一只蚂蚁沿棱长分别为1cm,2cm,3cm 的长方体木块的极点A 处沿概况到达极点B 处（如图所示）, 这只蚂蚁走的路程是（）A ．cm 14B ．cm 23C ．cm 26D ．1+cm 13 二、填空题（每题5分）13.半径为R 的半圆卷成一个圆锥, 则它的体积为________________.14．已知a b ，是一对异面直线, 且a b ，成70角, P 为空间一定点, 则在过P 点的直线中与a b ，所成的角为70的直线有条.15. 三个平面可将空间分成部份（填出所有可能结果）. 16.如果直线a b ，和平面α满足a ∥α, b ∥α那么直线a b，的位置关系是三．解答题.（17题10分, 其余每题12分）AB17.已知：四边形ABCD 是空间四边形, E, H分别是边AB, AD 的中点, F, G 分别是边CB, CD 上的点, 且23BF DG BCDC==,求证FE 和GH 的交点在直线AC 上.18.已知圆台的上、下底面半径分别是2、6, 且正面面积即是两底面面积之和．（Ⅰ）求该圆台的母线长；（Ⅱ）求该圆台的体积. 19．如图, 已知△ABC 是正三角形, EA 、CD 都垂直于平面ABC , 且EA=AB =2a,DC =a, F 是BE 的中点, 求证：（1）FD ∥平面ABC ;（2）AF ⊥平面20.如图, 在四边形ABCD中, 90DAB ∠=5AB =, CD =, 2AD =, 求四边形所成几何体的概况积及体积.21.三棱柱中ABC-A 1B 1C 1中,侧棱A 1A 垂直于底面ABC ,B 1C 1=A 1C 1,, AC 1⊥A 1B ,M,N 分别为A 1B 1,AB 中点, 求证：（1）平面AMC 1∥平面NB 1C （2）A 1B ⊥AM ． 22如图, 在三棱锥P -CDAGHBEFE C,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=,点D , E 分别在棱,PB PC 上, 且//DE BC （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当D 为PB 的中点时, 求AD 与平面PAC 所成的角的年夜小；（Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由. .高一数学必修2立体几何测试题参考谜底一、选择题（每小题5分, 共60分）ACDDD BCBDB二、填空题（每小题4分, 共16分）11、小于 12、平行 13、菱形 14、对角线A 1C 1与B 1D 1互相垂直三、解答题（共74分,要求写出主要的证明、解答过程）15、解:设圆台的母线长为l ,则 1分圆台的上底面面积为224S ππ=⋅=上2分圆台的上底面面积为2525S ππ=⋅=下 3分所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上 4分又圆台的正面积(25)7S l l ππ=+=侧 5分于是725l ππ=6分即297l =为所求.7分16、证明：,EH FG EH ⊄面BCD , FG ⊂面BCD∴EH ∥面BCD 4分又EH ⊂面BCD , 面BCD 面ABD BD =,∴EH ∥BD8分17、证明：90ACB ∠=BC AC ∴⊥ 1分又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ 3分 BC ∴⊥面SAC 4分BC AD ∴⊥ 6分又,SC AD SC BC C ⊥=AD ∴⊥面SBC 8分18、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm . 在Rt △EOF 中,15,2EF cm OF xcm ==,2分所以EO =,5分于是13V x =7分依题意函数的界说域为{|010}x x <<9分19、证明：（1）连结11AC , 设11111AC B D O = 连结1AO , 1111ABCD A B C D -是正方体11A ACC ∴是平行四边形∴A 1C 1∥AC 且11AC AC =1分又1,O O 分别是11,AC AC 的中点, ∴O 1C 1∥AO且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形3分111,C O AO AO ∴⊂面11AB D , 1C O ⊄面11AB D∴C 1O∥面11AB D5分（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥6分又1111AC B D ⊥,1111B D AC C ∴⊥面7分111AC B D ⊥即8分同理可证11AC AB ⊥,9分又1111D B AB B =∴1AC ⊥面11AB D10分20、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD, ∴AB ⊥CD, ∵CD ⊥BC且AB ∩BC=B, ∴CD ⊥平面ABC.2分 又),10(<<==λλADAFACAE∴不论λ为何值, 恒有EF ∥CD, ∴EF ⊥平面ABC, EF ⊂平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC.5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, BE ⊥EF, 又平面BEF ⊥平面ACD, ∴BE ⊥平面ACD, ∴BE ⊥AC.7分∵BC=CD=1, ∠BCD=90°, ∠ADB=60°, ∴,660tan 2,2=== AB BD9分,722=+=∴BC AB AC 由AB 2=AE ·AC 得,76,76==∴=AC AE AE λ 11分故那时76=λ, 平面BEF ⊥平面ACD.12分高一立几复习题（一）1．用符号暗示“点A 在直线l 上, l 在平面α外”为 2．右图所示的直观图, 其原来平面图形的面积是3．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视俯视图正视图图如下图所示, 则这个棱柱的正面积为.4．a, b, c 分别暗示三条直线, M 暗示平面, 给出下列四个命题：①若a ∥M, b ∥M, 则a ∥b ；②若b ⊂M , a ∥b , 则a ∥M ；③若a ⊥c , b ⊥c, 则a ∥b ；④若a ⊥M, b ⊥M, 则a ∥b .其中不正确命题的有（填序号）5．已知正方体外接球的体积是323π, 那么正方体的棱长即是6.经过一点和一直线垂直的直线有条；经过一点和一平面垂直的直线有（）条；经过平面外一点和平面平行的直线有条.7．在棱长为1的正方体上, 分别用过共极点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是垂直于⊿ABC 所在的平面, 若AB =AC =13, BC =10, PA =12, 则P 到BC 的距离为.9.长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, AD =a , AB =b , 则AA 1到对角面DD 1B 1B 的距离是.10.下列四个正方体图形中, A 、B 为正方体的两个极点, M 、N 、P 分别为其所在棱的中点, 能得出//AB MNP 平面的图形的序号是.11.已知βα,是两个分歧的平面, m, n 是两条分歧的直线, 给出下列命题：（1）,,m n m n n ααα⊂⊄如果、是异面直线，那么与相交. （2）m ∥β, m ⊥n , 则n ⊥β.（3）如果点M 是两条异面直线外的一点, 则过点M 且与a ,b 都平行的平面有且只有一个.（4）若,//,////.m n m n n n n αβαβαβ⋂=⊄⊄，且，则且 其中正确的命题是▲.12.正方体的全面积是6a 2,它的极点都在球面上, 这个球的概况积是______,体积是_______．13.正四面体的四个极点都在概况积为36π的一个球面上, 则这个四面体的高即是________．14.棱长为a 的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值, 则这个定值即是_________．15.某师傅需用合板制作零件, 其年夜致形状的三视图如右图所示(单元长度: cm) , 图中的水平线与竖线垂直.（1）作出此零件的直观图；（2）若按图中尺寸, 求做成的零件用去的合板的面积.（制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计）.16已知R t ⊿ABC 中, ∠C =90º, C ∈, AB ∥平面, AB =8,AC 、BC 与平面所成角分别30º、60º, 求AB 到平面的距离.17.正三棱锥的高为1, 底面边长为26此三棱锥内有一个球和四个面都相切． （１）求棱锥的全面积； （２）求球的体积． .18.在四棱锥P-ABCD 中,侧棱PA ⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,问底面的边BC 上是否存在点E,(1)使得∠PED=900;(2)使∠PED 为锐角．证明你的结论．19.三棱锥各正面与底面成45°角, 底面三角形各角成等差数列, 而最年夜边和最小边的长是方程0322732=+-x x 两根, 求此三棱锥的正面积和体积． 20.如图, 四棱锥P －ABCD 的底面是矩形, PA ⊥底面ABCD 于A, E 、F 分别是AB 、PD 之中点． （1）求证：AF ∥平面PCE ；（2）若二面角P －CD －B 为45°, 求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（3）在（2）的条件下, 若AD=2, CD=22, 求F 点到平面PCE 距离．αCABAB Q CDPAEF PD A立体几何测试题1．[原创]以下关于几何体的三视图的论述中, 正确的是（）A ．球的三视图总为全等的圆B ．正方体的三个视图总是正三个全等的正方形C ．水平放置的正四面体的三个视图都是正三角形D ．水平放置的圆台的俯视图是一个圆2．[原创]圆柱的一个底面积为S, 正面展开图是一个正方形, 那么这个圆柱的正面积是（）A ．S πB ．S π2C ．S π4D ．S π3323．正方体1111ABCD A B C D -中, P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么, 正方体的过P、Q 、R 的截面图形是（）.A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形4．[改编]将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最年夜的球, 则该球的体积为（）A ．π23 B ．π32 C ．6πD ．34π5．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1, 则侧棱与底面所成的角为（）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°6．正六棱柱的底面边长为2, 最长的一条对角线长为52, 则它的正面积为（）A ．24B ．12C ．224D ．2127．设γβα,,是三个不重合的平面, l 是直线, 给出下列命题①若γββα⊥⊥,, 则γα⊥；②若l 上两点到α的距离相等,则α//l ；③若βαβα⊥⊥则,//,l l ④若.//,//,,//βαββαl l l 则且⊄ 其中正确的命题是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④8．在正四面体P －ABC 中, D , E , F 分别是AB , BC , CA 的中点, 下面四个结论中不成立．．．的是（）.A ．BC//平面PDFB ．DF ⊥平面PA EC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面 ABC9．[原创]一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45, 腰和上底边均为1的等腰梯形, 则这个平面图形的面积是（）A.2221+B.22+C.21+D.221+10．（文科）如图1, 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB =2, AD =1, 点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点,则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是（）. A ．515B ．22C ．510D ．1（理科）甲烷分子结构是：中心一个碳原子, 外围四个氢原子构成四面体, 中心碳原子与四个氢原子等距离, 且连成四线段, 两两所成角为θ, 则cos θ值为（）A ．31- B ．31C ．21 D ．21-11．在正三棱柱111C B A ABC -中, 若AB =2, 11AA =则点A 到平面BC A 1的距离为（）A ．43 B ．23 C ．433D ．312．[改编]已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1, 在正方体的概况上与点A 距离是332的点的集合形成一条曲线,这条曲线的长度是（）A ．π33 Bπ332 C ．π635D ．π313．正三棱锥P －ABC 中, 三条侧棱两两垂直, 且侧棱长为a , 则P 点到面ABC 的距离是AB CD A 1B 1C 1D 1EFG 图114．[改编]（文科）三个平面两两垂直, 它们的三条交线交于一点O, P 到三个面的距离分别是6, 8, 10, 则OP 的长为.（理科）已长方体的全面积是8, 则其对角线长的最小值是15．如图2, 在四棱锥P －ABCD 中, PA ⊥底面ABCD,底面各边都相等, M 是PC 上的一个动点, 当点M 满足时, 平面MBD ⊥平面PCD ．16．在空间中：①若四点不共面, 则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有共点, 则这两条直线是异面直线．以上两个命题中, 逆命题为真命题的是．（把符合要求的命题序号都填上）17．[原创]如图3所示, 一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形冰淇淋, 如果冰淇淋融化了, 会溢出杯子吗？18．矩形ABCD 中, 1,(0)AB BC a a ==>, PA ⊥平面AC ,BC 边上存在点Q , 使得PQ QD ⊥, 求a 的取值范围．PA BDCM图2cm 4cm 12图319．如图4, 在三棱锥P-ABC 中, AB BC ⊥,12AB BC PA ==, 点Ｏ, Ｄ分别是,AC PC 的中点, OP ⊥底面ABC .（1）求证OD //平面PAB ；（2）求直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值的年夜小．20．（文科）如图5, 已知直四棱柱1111D C B A ABCD -中, 21=AA , 底面ABCD 是直角梯形, A 是直角, AB//CD, AB=4, AD=2, DC=1, 求异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值.（理科）如图6, 在棱长2==AD AB ,31=AA 的长方体1AC 中, 点E 是平面BCC 1B 1上的点, 点F 是CD 的中点．（1）试求平面AB 1F 的法向量； （2）试确定E 的位置, 使ED 1⊥平面F AB 1.21．[改编]如图7所示, 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点．ABCDOP图4ABCDD 1C 1B 1A 1图5A B CD FA 1B 1CD 1图6（1）求二面角1B -MN-B 的正切值；（2）画出一个正方体的概况展开图, 使其满足“有4个正方形相连成一个长方形”这一条件, 并求展开图中P 、B 两点间的距离(设正方体的棱长为1).22．一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面,在离湖面高20米的桥上, 一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图8）, 现在小船在水平P 点以南的40米处, 汽车在桥上Q 点以西30米处（其中PQ ⊥水面）, 求小船与汽车间的最短距离为.（不考虑汽车与小船自己的年夜小）．参考谜底：1．选 A.画几何体的三视图要考虑视角, 对球无论选择怎样的视角, 其三个视图均为全等的圆.2．选C.圆柱的底面积为S, 则底面半径πSr =, 底面圆的周长是S r ππ22=, 故正面积S r S ππ4)2(2==侧.3．选D.通过画图, 可以获得这个截面与正方体的六个面都相交, 所以截面为六边形.4．选C.正方体削成最年夜的球, 即正方体棱长为球的A BCD SOABC MDN P1A1C1B1D 图7 图8PQP ABCO 第8题图H 直径, 即12=R , 21=R , 故621343ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=球V .5．如图所示, 设侧棱与底面所成的角为α, 则22cos ==SC OC α, 所以045=α.6．选A.由底面边长为2, 可知底面半径为2, 由勾股定理可知侧棱长为2, 所以24226=⨯⨯=侧S .7．选D.命题①α和β可能平行；命题②中l 和α相交. 8．选C.如图所示：取DF 的中点O , 易证POA ∠为二面角A DE P --的平面角,因为P 点在底面上的射影是底面的中心, 故POA ∠不成能为直角, 所以平面PDF 与平面ABC 不垂直.9．选B.还原成平面图形为如图所示的直角梯形, 且21+=AB ,2=AD , 1=DC , 故222)211(21+=⨯++⨯=S . 10．（文科）如图所示, 连结G B 1、F B 1, 则GF B 1∠或其补角是异面直线A 1E 与GF 所成的角, 由余弦定理：510522352211221211=⨯-+=⋅-+=∠F B G B GF F B G B GF B , 所以510arccos=α.（理科）选A.A BC A 1B 1C 1ABC D A 1B 1C 1D 1E FG 第10题（文）P ABCHOD第10题（理）ABCD 第9题即正四面体的各极点与中心连线所成的角, 如图, 设棱长为1, 则有：23=AD ,33=AH ,3622=-=AH PA PH , 设r OP OD OC OB OA =====, 在OAH Rt ∆中, 由222AH OH OA +=得：46=r , 故3121cos 222-=-+=r r r θ.11．设点A 到平面BC A 1的距离为h , 则由ABCA BC A A V V --=11可得：2315221311=-⨯⨯=⋅=∆∆BCA ABC S AA S h . 12．曲线在过A 的三个面上都是以A 为圆心, 332为半径的四分之一圆弧, 所以曲线的总长度为ππ3332243=⨯⨯.13．设P 点到面ABC 的距离为h , 由体积公式可得：()3261231a h a =⋅, 故a h 332=. 14．如图, 构造长方体, 其中正面AO,BO, A 1O 所在的平面即为已知的三个两两垂直的平面, 则长方体的长、宽、高分别为6, 8,10, 而OP 的长即为长方体的体对角线的长, 所以OP 2=36+64+100=200．故210=OP .（理科）设长方体的长、宽、高分别为cb a ,,, 则4=++ca bc ab ,对角线222cb a l ++=222222222222=++≥++=cabc ab c b aＡＢＣＡ1Ｂ1OＰ第14题图15．谜底：BM ⊥PC （或DM ⊥PC ）．底面四边形ABCD 各边都相等, 所以四边形ABCD 是菱形, 故AC ⊥BD, 又因为PA ⊥平面ABCD, 所以PA ⊥BD, 又PAAC A ⋂=, 所以BD ⊥平面PAC, 即有PC ⊥BD, 故要使平面MBD ⊥平面PCD, 只须BM ⊥PC , 或DM ⊥PC ．16．谜底②．①的逆命题是：“若四点中的任何三点都不共线, 则这四点不共面”, 为假命题, 反例可以找正方形, 没有三点共线, 但四个极点共面；②的逆命题是：“若两条直线是异面直线, 那么这两条直线没有公共点”, 由异面直线的界说知这个命题正确． 17．解：3128434213ππ=⨯⨯=半球V ；πππ6412431313122=⨯⨯==⨯=h r Sh V 锥.因为锥半球V V <, 故冰淇淋融化了, 不会溢出杯子.18．如图, 连结AQ , ∵PQ ⊥QD , PA ⊥QD , PQ ∩PA =P , ∴QD ⊥平面PQA , 于是QD ⊥AQ , ∴在线段BC 上存在一点Q , 使得QD ⊥AQ , 等价于以AD 为直径的圆与线段BC 有交点, ∴12≥a ,a ≥2.PABCDQ第18题图PABCDEF O第19题图19．（1）Ｏ、Ｄ分别为AC 、PC 的中点．∴//OD PA , 又PA ⊂平面PAB , PAB OD 面⊄, ∴OD //平面PAB .(2)AB BC ⊥, OA OC =, ∴,OA OB OC ==又OP ⊥平面ABC , ∴PA PB PC ==.取BC 中点Ｅ, 连结PE ,则BC ⊥平面POE .作OF PE ⊥于F,连结DF ,则OF ⊥平面PBC ,∴ODF ∠是OD与平面PBC 所成的角．在ODFRt ∆中,sin OF ODF OD ∠=．所以OD 与平面PBC 所成的角正弦值为30210.20．（文科）由题意AB ∥CD, ∴∠C 1BA 是异面直线BC 1与DC 所成的角.连结AC 1与AC, 在Rt △ADC 中, 可得AC=5.又在Rt △ACC 1中, 可得AC 1=3.在梯形ABCD 中, 过C 作CH ∥AD 交AB 于H,得∠CHB=90°, CH=2, HB=3, ∴CB=13.又在Rt △CBC 1中, 可得BC 1=17, 在△ABC 1中,cos ∠C 1BA=17173, ∴∠C 1BA=arccos 17173．所以异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值年夜小为17173．（理）如图, 建立空间直角坐标系A-xyz , 则A （0, 0, 0）, B 1（2, 0, 3）, F （1, 2, 0）, ∴)3,0,2(1=AB , =AF （1,A BCDD 1C 1B 1A 1H第20题文图2, 0）.（1）设平面AB 1F的一个法向量为),,(z y x n =, 由⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,,1n AF n AB 得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01n AF n AB 即⎩⎨⎧=+=+,02,032y x z x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,2,32x y x z , ∴可取平面AB 1F 的一个法向量为)4,3,6(--=n ．（2）∵D 1（0, 2, 3）, 设E （2, y , z ）, 则)3,2,2(1--=z y E D , 由（1）知, 平面AB 1F 的一个法向量为)4,3,6(--=n , ∴要使D 1E ⊥平面AB 1F, 只须使n E D //1, ∴令E D k n 1=, 即⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=,)3(4,)2(3,26k z k y k ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.35,1,3z y k ∴当E 点坐标为（2, 1, )35时, D 1E ⊥平面AB 1F ．21．设棱长为1,取MN 的中点E,连结BE,.1E B 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, M 、N 分别为棱AB 、BC 的中点, ∴BNBM=, ∴MNBE ⊥, ∵MN B B ⊥1, ∴BE B MN 1平面⊥,∴∠EBB 1是二面角BMN B --1的平面角.且BE=4222=-ME MB ..22421tan 11===∠BEB B EB B(2)展开图如右图所示.P 、B 两点间的 AB CMDNP1A1C1B1DED 1第21题第21题距离共计4种情况,①PB=213；②PB=289；③PB=229；④PB=217.求得其中一个即可.22．设经过时间t 汽车在A 点, 船在B 点, 如图所示, 则AQ =30–20t , BP =40—10t , PQ =20,且有AQ ⊥BP , PQ ⊥AQ ,PQ ⊥PB , 设小船所在平面为α,AQ ,QP 确定平面为β,记α∩β=l ,由AQ ∥α, AQ ⊂β得AQ ∥l , 又AQ ⊥PQ , 得PQ ⊥l ,又PQ ⊥PB , 及l ∩PB =P 得PQ ⊥α.作AC ∥PQ , 则AC ⊥α.连CB , 则AC ⊥CB , 进而AQ ⊥BP , CP ∥AQ 得CP ⊥BP , ∴AB 2=AC 2+BC 2=PQ 2+PB 2+PC 2=202+（40－10t ）2+(30—20t )2=100［5(t —2)2+9］, t =2时AB 最短, 最短距离为30 m.． 备用题：1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中, E 是BC 的中点, 则A 1C 与DE 所成的角的余弦值为（） A ． 1515 B ．1510C ．630D ．1010解：选A ．分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴, 设棱长为2, 则)2,0,2(1A , )0,1,2(E , )0,2,0(C , 故 有：)2,2,2(1--=C A , )0,1,2(=DE , 由DE C A =cos θ15151522-=-=.所以A 1C 与DE 所成的角的余弦值为1515. A 1ABB 1D D 1C C 1 R·E 图 A Q PB lC2．如图, 是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图, 则搭成这个几何体的小正方体的个数是.解：这种题型最直接的解决方法就是还原法, 根据三视图画出它的立体图形.本题的立体图形如下, 所以正确谜底应该是5个.3．已知A, B, C, D 为同一球面上的四点, 且连接每两点的线段长都即是2, 则球心到平面BCD 的距离即是_____________.解：易知四面体ABCD 是以棱长为2的正四面体, 球心为正面体的中心, 可求得正四面体的高为36, 球的半径为463643=⨯, 所球心究竟面的距离为1264636=-.4．已知平面与平面交于直线l , P 是空间一点, PA⊥, 垂足为A , PB ⊥, 垂足为B , 且PA =1, PB =2, 若点A 在内的射影与点B 在内的射影重合, 则点P 到l 的距离为________.解：因为“点A 在内的射影与点B 在内的射影重合”, 记为H, 则四边形PAHB 为矩形, 所以点P 到l 的距离为矩形的对角线, 对角线的长度为5, 所以P 到l 的距离5.5．在ABC ∆中, 21=BC , 0120=∠BAC , ABC ∆所在平面外一点到A 、B 、C 的距离都是14, 则点P 到面ABC 的距离为解：由P 到A 、B 、C 的距离知, P 点在底面上的射影O 为底面的外心, 故314120sin 2120==OA , 即37=OA , 设P 到面ABC 的距离为h , 则722=-=OA PA h .6．在梯形ABCD中,,24,,2DAB ABC AB BC AD E Fπ∠=∠====分别是AB CD 、上的点,)10(<<==λλDCDFAB AE , G BC 是的中点．现沿EF 将四边形AEFD折起, 使,AE BE EG BD ⊥⊥（如图9－11－4）．(1)求证：平面AEFD ⊥平面BEFC ；(2)确定λ的值并计算二面角D BF C --的年夜小； (3)求点C 到平面BDF 的距离．DAB ∠=∵EB AE =AD //, AE 知EF E =所以,AE ⊂∴平面BEFC 平面. ,,EAEB EF 两两垂直为空间坐标系原点,EB 分别为,,x y z 轴,0,0),(4C λ, (4G ,BE D A G· FD·G· FC G· 图9－(44,2,4),(44,2,0)BD EG λλλ∴=-=-,EG BD ⊥,2(44)40λ∴--+=解得112λ=<. 即(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0)A B D F ,(2,3,0),(2,2,2)BF BD ∴=-=-.设平面DBF 的一个法向量为1(,,)n x y z =,由01=⋅BD n , 01=⋅BF n ,即1(3,2,1)n =．又平面BCF 的一个法向量2(0,0,1)n =.∴1414cos ==n n α,又因为二面角D BF C --的平面角为钝角,所以为π- (3)(2,4,0),(0,4,0),C BC ∴=∴点C 到面BDF的距离为7144148===d ．。

立体几何试题一．选择题（每题4分，共40分）1.已知AB//PQ，BC//QR,则∠PQP等于（）A 030B 030C 0150 D 以上结论都不对2.在空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形（3）平行于同一条直线的两条直线平行;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等A 1B 2C 3D 43.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（）A 平行B 相交C 在平面内D 平行或在平面内4.已知直线m//平面α，直线n在α内，则m与n的关系为（）A 平行B 相交C 平行或异面D 相交或异面5.经过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（）A 1个或2个B 0个或1个C 1个D 0个6.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( )A 平行B 垂直相交C 异面D 相交但不垂直7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）A 0个B 1个C 无数个D 1个或无数个8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( )A //,,m n n m βα⊥⊂B //,,m n n m βα⊥⊥C ,,m n m n αβα⊥=⊂D ,//,//m n m n αβ⊥10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( )A 1个B 2个C 3个D 4个二．填空题（每题4分，共16分）11.已知∆ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13.一块西瓜切3刀最多能切_________块14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________三、解答题15（10分）如图，已知E,F 分别是正方形1111ABCD A B C D -的棱1AA 和棱1CC 上的点，且1AE C F =。

立体几何试题一．选择题〔每题4分，共40分〕1.AB//PQ，BC//QR,那么∠PQP等于〔〕A 0150 D 以上结论都不对30 B 030 C 02.在空间，以下命题正确的个数为〔〕〔1〕有两组对边相等的四边形是平行四边形,〔2〕四边相等的四边形是菱形〔3〕平行于同一条直线的两条直线平行;〔4〕有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等A 1B 2C 3D 43.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是〔〕A 平行B 相交C 在平面D 平行或在平面4.直线m//平面α，直线n在α，那么m与n的关系为〔〕A 平行B 相交C 平行或异面D 相交或异面5.经过平面α外一点，作与α平行的平面，那么这样的平面可作〔〕A 1个或2个B 0个或1个C 1个D 0个6.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( )A 平行B 垂直相交C 异面D 相交但不垂直7.经过平面α外一点和平面α一点与平面α垂直的平面有〔〕A 0个B 1个C 无数个D 1个或无数个8.以下条件中,能判断两个平面平行的是( )A 一个平面的一条直线平行于另一个平面;B 一个平面的两条直线平行于另一个平面C 一个平面有无数条直线平行于另一个平面D 一个平面任何一条直线都平行于另一个平面9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( )A //,,m n n m βα⊥⊂B //,,m n n m βα⊥⊥C ,,m n m n αβα⊥=⊂D ,//,//m n m n αβ⊥10 .四棱锥,那么中,直角三角形最多可以有( )A 1个B 2个C 3个D 4个二．填空题〔每题4分，共16分〕11.∆ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，那么点O 与直线MN 的位置关系为_________12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13.一块西瓜切3刀最多能切_________块14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,那么三棱锥D-ABC 的体积为___________三、解答题15〔10分〕如图，E,F 分别是正方形1111ABCD A B C D -的棱1AA 和棱1CC 上的点，且1AE C F =。