倍长中线法(经典例题)2资料讲解

【解题模型】倍长中线模型
初中数学解题思路
倍长中线模型
倍长中线：将三角形的中线（或类似中线）力日倍延长，构造全等三角形，实现角和线段的转化．【基本模型】
【典型例题1】
【思路分析】倍长线段ED ，构造全等三角形，将BE,CF 和EF 转移到同一个三角形中．
【答案解析】
【归纳总结】
1. 出现中点时，常考虑倍长与中点相关的线段，构造全等三角形，转换线段．
2. 出现垂直关系时，常考虑倍长直角边，构造等腰三角形.
【典型例题2】
【思路分析】倍长中线，将已知边和倍长后的边转化到同一三角形中，运用三边关系求范围．
【答案解析】
【归纳总结】
1. 三角形的三边关系是求线段范围的常用方法．
2. 出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化．
【典型例题3】
【思路分析】
【答案解析】
【归纳总结】。

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD作BE⊥AD的延长线于使连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E DABEABC3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，ABC 中，C=90，CM AB 于M ，AT 平分BAC 交CM 于D ，交BC于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！第 14 题图DF CBEADABCMTE。

中国润滑油市场分析（一）产品概述：（1）基础油的定义：润滑油由基础油和添加剂调和而成。

典型的润滑油一般由75%￣85%的基础油和15%￣25%的添加剂组成。

基础油的好坏直接影响着润滑油的性能，润滑油一般指在各种发动机和机械设备上使用的液体润滑剂, 广泛用于机械、汽车、冶金、电力、国防等行业。

国外各大石油公司过去曾经根据原油的性质和加工工艺把基础油分为石蜡基基础油、中间基基础油、环烷基基础油等。

（2）物化性质：基础油的性能和作用可以归纳为:☆基础油粘度:直接影响低温性能，可以说基础油的粘度越低越好。

☆基础油的热氧化安定性:直接影响磨损，特别是油泥和酸性氧化物生成倾向，因此也影响油品的综合性能。

☆基础油的挥发性:与油品生成的残炭和沉积物有关。

也影响油品使用性能。

☆基础油的表面活性:影响油破乳和发泡倾向水平，间接影响抗磨损能力。

☆基础油的溶解能力:影响油品对密封件的适应性，同时对使用中抑制沉积物及对添加剂的相溶性有关。

上述这些基础油的作用和性能与其加工工艺及其组成有关。

醋类合成非烃基础油可改善对功能添加剂的溶解性，特别是其生物降解性高，可调配环保型润滑油。

随着基础油加工工艺的不断进步和合成醋的扩大采用，既增加了基础油在成品油中的成本比重，同时也使人们对基础油的作用有了进一步认识.基础油对提高润滑油质的贡献率将超过添加剂。

（3）产品分类：国外各大石油公司过去曾经根据原油的性质和加工工艺把基础油分为石蜡基基础油、中间基基础油、环烷基基础油等。

美国石油协会( API)于1993 年将基础油分为五类( API1509) , 并将其并入API 发动机油发照认证系统(EOLCS) 中。

API 基础油具体分类情况和我国润滑油基础油系列标准见表 1 和表 2表-1 API-1509基础油分类标准试验方法 ASTM D2007 ASTM D2270 ASTM D2622/D4294/D4927/D3120硫含量/%(质量分数)烃饱类别和含量黏度指数VI（/%）80—120 类 <90% >0.03 I80-120 II类≤0.03 ≥ 90%>120 90%类III ≤0.03 ≥聚α- IV类烯烃(PAO)所有非I类V 、II、III或IV类基础油一是通过基础油生产技术的改进来提高基:润滑油质量的改进主要从以下两个方面着手基础油是, 础油的品质, 二是通过润滑油配方技术的改进来提高产品的质量。

【2019年中考数学几何变形题归类辅导】专题2：倍长中线法【典例引领】例题：（2014黑龙江龙东地区）已知ΔABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于E，CF⊥m于F。

（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF。

（不需证明）（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明。

【答案】（2）证明见解析【分析】图2，连接DM并延长交FC的延长线于K ，可证△DBM≌△KCM，再利用三角形中位线即可得出结论。

图3同图2证明相同。

【解答】（2）图2的结论为:ME=(BD+CF)图3的结论为: ME=(CF-BD)图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K又∵BD⊥m,CF⊥m∴BD∥CF ∴∠DBM=∠KCM又∵∠DMB=∠CMK BM=MC∴△DBM≌△KCM ∴DB=CK DM=MK由易证知:EM=FK ∴ME=(CF+CK)=(CF+DB)图3的结论证明如下：连接DM 并延长交FC 于K又∵BD ⊥m,CF ⊥m∴BD ∥CF ∴∠MBD=∠KCM 又∵∠DMB=∠CMK BM=MC∴△DBM ≌△KCM ∴DB=CK DM=MK 由易证知:EM=FK ∴ME=(CF-CK)=(CF-DB)【强化训练】1、（2017黑龙江龙东地区）已知：ΔAOB 和ΔCOD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH 。

（1）如图1所示，易证OH=21AD 且OH ⊥AD （不需证明） （2）将ΔCOD 绕点O 旋转到图2，图3所示位置是，线段OH 与AD 又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。

【答案】（2）证明见解析【分析】（1）只要证明△AOD ≌△BOC ，即可解决问题； ①如图2中，结论：OH=21AD ，OH ⊥AD ．延长OH 到E ，使得HE=OH ，连接BE ， 由△BEO ≌△ODA 即可解决问题；②如图3中，结论不变．延长OH 到E ，使得HE=OH ，连接BE ，延长EO 交AD 于G ．由△BEO ≌△ODA 即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB，∵在△AOD与△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，∵点H为线段BC的中点，∴OH=HB，∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又因为∠OAD+∠ADO=90°，所以∠ADO+∠BOH=90°所以OH⊥AD（2）解：①结论：OH=AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD．②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°∴OH⊥AD．2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为或.【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【解答】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=2，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=PF=1，HF=，OH=2﹣，∴OP=.如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=OE=，综上所述：OP的长为或.3.已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点。

全等三角形问题中常见的辅助线一一倍长中线法△ ABC中,AD是BC边中线方式1 :直接倍长，（图1）:延长AD到E,使DE=AD连接BE方式2 :间接倍长1）（图2）作CF丄AD于F,作BE X AD的延长线于E,连接BE2）（图3）延长MD到N,使DN=MD连接CD【经典例题】例1已知，如图△ ABC中，AB=5 AC=3贝忡线AD的取值范围是___________ .（提示：画出图形，倍长中线AD,利用三角形两边之和大于第三边）例2 :已知在厶ABC中, AB=AC D在AB上, E在AC的延长线上, DE 交BC于F, 且DF=EF.A例4:已知在厶ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC延长BE交AC于F,求证：AF=EF求证：BD=CE.（提示：方法 1 :过D作DG/ AE交BC于G 证明△ DGF^ACEF方法2 :过E作EG// AB交BC的延长线于G,证明A EFG^A DFB方法3 :过D作DGL BC于G,过E作EH丄BC的延长线于H,证明A BDG^A ECH例3、如图，△ ABC中, E、F分别在AB AC上，DEL DF, D是中点，试比较BE+与EF的大小.B变式：如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E, DF平分ADC交AC于 F. A求证:（提示：方法1:在DA上截取DG=BD连结EG FQ 证明A BDE^A GDE A4A DGF所以BE=EGEF CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法2:倍长ED至H,连结CH FH,证明FH=EFCDCE E CFB（提示：方法1:倍长AD至G,连接BG证明△ BDG^A CDA三角形BEG是等腰三角形。

方法2 :倍长ED.试一试，怎么证明？）例5、如图，△ ABC中, BD=DC=AC E是DC的中点，求证：AD平分/ BAE.（提示：倍长AE至M,连接DM变式一：已知CD=AB / BDA H BAD AE是厶ABD的中线,求证：/ C=Z BAE提示：倍长AE至F,连结DF,证明A ABE^A FDE （SAS ,进而证明AADF^A ADC（ SAS变式二：已知CD=AB / BDA H BAD AE是厶ABD的中线，求证：2AE= ACo（提示：借鉴变式一的方法）例6:已知：如图，在ABC中，AB求证：AE平分BAC提示：方法1 :倍长AE至G,连结DG方法2:倍长FE至H,连结CH【练习】A1、在四边形ABCD中, AB// DC E为BC边的中点，/ BAE=/ EAF, AF与DC的延长线相交于点F。

13.13专题11：--倍长中线法一．【知识要点】1.倍长中线法:通过将中线或类似于中线的线段向中点方向延长，使延长的部分线段与中线相等，俗称中线倍长.二．【经典例题】1．如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是__________.2.如图,在△ABC中,点E为BC的中点,CF∥AB且∠BAE=∠EAF,求证:AF+CF=AB.3.如图,点D为BC的中点,DE⊥DF交AB于E,交AC于F,连EF,若BE=5,CF=3,求EF 的取值范围.4．如图，在△ABC中，CE为△ABC的角平分线，AD⊥CE交BC于点D，垂足为点F，且∠ACB ＝2∠B．（1）当∠B＝31°时，求∠BAD的度数；（2）求证：BE＝EC；（3）求证：AB＝2CF．5.如图,△ABC为等边三角形,EC=ED,∠CED=120°,P为BD的中点.求证:AE=2PE.三．【题库】【A】1. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是 .2.如图,△ABC中,D为BC的中点.(1)求证:AB+AC>2AD;(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.【B】1.已知,在△ABC中,AD为BC边上的中线,AC=5,AD=4,则AB的取值范围是( )A. 1<AB<9B. 3<AB<13C. 5<AB<13D. 9<AB<132.AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则边BC的取值范围是____________；中线AD的取值范围是_________________．3.如图,AD是△ABC的中线,点E在BC的延长线上,CE=AB,∠BAC=∠BCA,求证:AE=2AD.【C】1.如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，过B点作直线分别交AC，AD于点E，F,当AE=EF 时，图中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由。

倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。

例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE第 14 题图DF CBEAB自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。

2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠F EAB C DABFDEC4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．5、如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD.4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

几何证明中常用辅助线(一)中线倍长法:例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤21(AB+AC)小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。

它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

例2、中线一倍辅助线作法△ABC 中方式1：延长AD 到E ， AD 是BC 边中线使连接BE方式2：间接倍长方式3：作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N 作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，连接BE连接CD例3、△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例4、已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线， 求证：∠C=∠BAE 作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图，?ABC 中，?C=90?，CM ?AB 于M ，AT 平分?BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF （二）截长补短法教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BDCBCABCD图1-1平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°.例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC .分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2在△FCE 与△BCE 中，∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .例3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BP BP PDPE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE .在Rt △APE 与Rt △CPD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE FE DCBA图1-2ADB CE F1234图2-2ABCDP12N图3-1P12NABCDE 图3-2DCB A 12图4-1∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .证明：方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2 ∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC . 方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。

创作者（人）： 轻秘张日 期：倍长中线法【1】知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中 AD 是BC 边中线连接BE于F ，到N ， 连接例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE创作者（人）： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年1月8日自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.FEABC第 14 题图DF CBEADAB CMTE。

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.ABFEAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.（范文素材和资料部分来自网络，供参考。

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线法的过程:延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么(延长的那一条)，用SＡS证全等(对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AＡD是BC边中线使DＥ连接BE方式２：间接倍长于F，长线于Ｅ连接BE 连接CN经典例题讲解：例１：△ＡBＣ中，AB=5,AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上,DE 交ＢC 于Ｆ,且D Ｆ=ＥF ，求证：BD=C Ｅ过Ｄ作DG ／／ＡC例3：已知在△A ＢＣ中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F,求证:A Ｆ=ＥF例4:已知:如图,在ABC ∆中，AC AB ≠，Ｄ、E 在BC 上，且D Ｅ=E Ｃ，过Ｄ作BA DF //交AE 于点F,DF=AC ． 求证：ＡＥ平分BAC ∠BABFDEC例5:已知CD=A Ｂ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证:∠C ＝∠BAE自检自测：1、如图,△ＡBC 中，ＢD ＝DC ＝A Ｃ，E 是DC 的中点，求证,AD 平分∠ＢＡE ．2、在四边形ABC Ｄ中，AB ∥ＤC,Ｅ为B Ｃ边的中点,∠ＢAE=∠E ＡF ，ＡＦ与D Ｃ的延长线相交于点F 。

试探究线段A Ｂ与AF 、CF 之间的数量关系,并证明你的结论.ABF EAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线,DE 平分BDA ∠交AB 于E,D Ｆ平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知:如图,∆AB Ｃ中,∠Ｃ=90︒,CM ⊥ＡB 于Ｍ，AT 平分∠ＢＡＣ交CM 于D,交BC 于T ，过D 作D Ｅ//A Ｂ交ＢＣ于E ，求证：CT=ＢE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。

中点问题一--倍长中线E ，使DE ＝BD ，连接CE ，是斜边BC 的中线模型讲解1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则△ABC 的面积是 8　．【解答】解：∵DC ⊥BC ，∴∠BCD ＝90°，∵∠ACB ＝120°，∴∠ACD ＝30°，延长CD 到H 使DH ＝CD ，∵D 为AB 的中点，∴AD ＝BD ，在△ADH 与△BDC 中，，∴△ADH ≌△BDC （SAS ），∴AH ＝BC ＝4，∠H ＝∠BCD ＝90°，∵∠ACH ＝30°，∴CH ＝AH ＝4，∴△ABC 的面积＝S △ACH ＝×4×4＝8，故答案为：8．2．如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE ＝AF ，∠DAE ＝∠BAF ．（1）求证：CE ＝CF ；例题演练（2）若∠ABC＝120°，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG⊥GE．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝BC．∵∠DAE＝∠BAF，∴∠BAE＝∠DAF．在△ABE与△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE＝DF，∴BC﹣BE＝DC﹣DF，即CE＝CF；（2）如图，延长EG到点H，使HG＝EG，连接HA、HD．∵点G是AF的中点，∴AG＝FG，在△HAG与△EFG中，，∴△HAG≌△EFG（SAS），∴EF＝AH，∠HAG＝∠EFG，∴AH∥EF．∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝BC＝AD．∵由（1）知，BE＝DF，且∠BAE＝∠DAF，EC＝FC．∵∠ABC＝120°，∴∠C＝60°，∴△EFC是等边三角形，∴∠FEC＝60°，∴EC＝FE．由上述知，FE＝HA，∴EC＝HA，∠HAG＝∠HAD+∠DAF＝∠EFG．∵AF＝AE，∴∠AFE＝∠AEF．∵∠BAD＝60°，∴∠EAF＝60°﹣∠BAE﹣∠DAF＝60°﹣2∠DAF．在△AEF中，∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠EFG＝180°﹣2∠EFG＝180°﹣2（∠HAD+∠DAF），∴∠HAD＝60°．在△HAD与△ECD中，，∴△HAD≌△ECD（SAS），∴DE＝DH，易证△DGH≌△DGE，故∠DGH＝∠DGE＝90°，即DG⊥GE．1．如图在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 是线段AD 上一点，且AE ＝BC ，BE 的延长线交AC 于F ，若AF ＝EF ．求证：（1）AC ＝BE（2）∠ADC ＝60°．【解答】证明：（1）倍长AD 至点T ，连BT ．在△ACD 和△TBD 中，∴△ACD ≌△TBD ，∴AC ＝BT ，∠CAD ＝∠T ，又∵AF ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AEF ＝∠BET ，∴BT ＝BE ，∴BE ＝AC ．（2）在DT 上取DM ＝DC ，连接BM ．∴AE +ED ＝ED +DM即AD ＝EM∴△DAC ≌△MEB （SAS ），∴BM ＝CD ＝BD ，∴△BDM 为正三角形，∴∠ADC ＝∠BDM ＝60°．强化训练2．【证明体验】（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE．求证：△ACD≌△EBD．【迁移应用】（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为AB的中点，DC⊥AC．求△ABC面积．【拓展延伸】（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB 上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长．【解答】（1）证明：如图1中，在△ACD 和△EBD 中，，∴△ACD ≌△EBD （SAS ）；（2）解：如图2中，延长CD 到T ，使得DT ＝CD ，连接BT ．由（1）可知△ADC ≌△BDT ，∴AC ＝BT ＝5，∠ACD ＝∠T ＝90°，∴CT ＝＝＝12，∴CD ＝DT ＝6，∴S △ACB ＝S △ADC +S △CDB ＝•AC •DC +•BT •CD ＝×5×6+×5×6＝30；（3）解：如图3中，延长AC 到R ，使得CR ＝CA ，连接DR ．由（1）可知，△ACB ≌△RCD ，∴AB ＝DR ，∠A ＝∠R ，∵FE ＝FA ，∴∠A ＝∠AEF ，∵∠AEF ＝∠DER ，∴∠DER＝∠R，∴DE＝DR＝AB，设DE＝DR＝AB＝x，则BF＝x﹣2，DF＝x+2，在Rt△DBF中，BF2+BD2＝DF2，∴（x﹣2）2+62＝（x+2）2，∴x＝，∴DE＝．3．如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G．若BG＝CF，求证：AD为△ABC的角平分线．【解答】解：延长FE，截取EH＝EG，连接CH，∵E是BC中点，∴BE＝CE，在△BEG和△CEH中，，∴△BEG≌△CEH（SAS），∴∠BGE＝∠H，BG＝CH，∴∠BGE＝∠FGA＝∠H，∵CF＝BG，∴CH＝CF，∴∠F＝∠H＝∠FGA，∵EF∥AD，∴∠F＝∠CAD，∠BAD＝∠FGA，∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠BAC．4．已知：如图所示，AB＝BC，AD为△ABC中BC边的中线，延长BC至E点，使CE＝BC，连接AE．求证：∠DAC＝∠CAE．【解答】解：延长AD到F，使得DF＝AD，连接CF．∵AD＝DF，∠ADB＝∠FDC，BD＝DC，∴△ADB≌△FDC（SAS），∴AB＝CF，∠B＝∠DCF，∵BA＝BC，CE＝CB∴∠BAC＝∠BCA，CE＝CF，∵∠ACE＝∠B+∠BAC，∠ACF＝∠DCF+∠ACB，∴∠ACF＝∠ACE，∵AC＝AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠CAD＝∠CAE．5．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，若AB＝10，BF＝4，求PG的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想；并给予证明．（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，（2）问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．【解答】（1）解：如图1：延长GP交DC于点E，利用△PED≌△PGF，得出PE＝PG，DE＝FG，∵△BGF是等边三角形，∴FG＝BG，又∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∴CE＝CG，∴CP是EG的中垂线，在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，∵AB＝10，BF＝4；∴CG＝6∴PG＝3（2）如图2，证明：延长GP交DA于点E，连接EC，GC，∵∠ABC＝60°，△BGF正三角形∴GF∥BC∥AD，∴∠EDP＝∠GFP，在△DPE和△FPG中∴△DPE≌△FPG（ASA）∴PE＝PG，DE＝FG＝BG，∵∠CDE＝∠CBG＝60°，CD＝CB，在△CDE和△CBG中，∴△CDE≌△CBG（SAS）∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，∴∠ECG＝∠DCB＝120°，∵PE＝PG，∴CP⊥PG，∠PCG＝∠ECG＝60°∴PG＝PC．（3）猜想：PG＝PC．证明：如图3，延长GP到H，使PH＝PG，连接CH，CG，DH，作FE∥DC∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，点A、B、G又在一条直线上，∴∠GBC＝120°，∵△BFG是等边三角形，∴GF＝GB，∴HD＝GB，∴△HDC≌△GBC，∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，即∠HCG＝120°∵CH＝CG，PH＝PG，∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，∴PG＝PC．6．已知：在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△ADE中，AD＝DE，连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，探索BM、DM的关系并给予证明；（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．【解答】解：（1）BM＝DM，BM⊥DM，在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，∴BM＝EC＝EM＝MC，∴∠EMB＝2∠ECB．在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，∴DM＝EC＝EM＝MC．∴∠EMD＝2∠ECD．∴BM＝DM，∠EMD+∠EMB＝2（∠ECD+∠ECB），∵∠ECD+∠ECB＝∠ACB＝45°，∴∠BMD＝2∠ACB＝90°，即BM⊥DM．（2）：（1）中的结论仍成立，延长DM至点F，使得DM＝MF，连接CD和EF，连接BD，连接BF、FC，延长ED 交AC于点H．∵DM＝MF，EM＝MC，∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，ED＝CF，∵ED＝AD，∴AD＝CF．∵DE∥CF，∴∠AHE＝∠ACF．∵∠BAD＝45°﹣∠DAH＝45°﹣（90°﹣∠AHE）＝∠AHE﹣45°，∠BCF＝∠ACF﹣45°，∴∠BAD＝∠BCF．又∵AB＝BC，∴△ABD≌△CBF，∴BD＝BF，∠ABD＝∠CBF，∵∠ABD+∠DBC＝∠CBF+∠DBC，∴∠DBF＝∠ABC＝90°．在Rt△DBF中，由BD＝BF，DM＝MF，得BM＝DM且BM⊥DM．7．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若点M为AC上的任意一点，过M作MN⊥BC于点N，连接BM，取BM的中点D，连接AD、DM，求证：AD＝DN．（2）如图2，若M为BC上的任意一点，以线段CM为底边作等腰Rt△MCN，此时，取BM的中点D，连接AD、DN，则AD与DN有怎样的数量关系？说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下将Rt△MNC绕C点旋转任意角度，连接BM，取BM的中点D，再连接AD、DN，则（2）中的结论仍然成立吗，它们之间又有怎样的位置关系？请说明理由．【解答】（1）证明：解法一：如图1中，延长AD到K，使得DK＝AD，连接AN、KN、KM．在△ADB和△KDM中，，∴△ADB≌△KDM，∴AB＝KM＝AC，∠BAD＝∠MKD，∴AB∥KM，∴∠KMC＝∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°，∵MN⊥BC，∴∠MNC＝90°，∠NMC＝45°＝∠KMC＝∠C，∴MN＝NC，在△ANC和△KNM中，，∴△ANC≌△KNM，∴AN＝KN，∠ANC＝∠KNM，∴∠KNA＝∠MNC＝90°∵AD＝DK，∴DN＝AD＝DK，即AD＝DN．解法二：根据直角三角形斜边中线性质，可知AD＝BM，DN＝BM，由此即可证明．（2）如图2中，结论：AD＝DN．理由：延长AD到K，使得DK＝AD，连接AN、KN、KM．在△ADB和△KDM中，，∴△ADB≌△KDM，∴AB＝KM＝AC，∠BAD＝∠MKD，∴AB∥KM，∴∠KMD＝∠B＝45°，∵∠NMC＝∠NCM＝∠ACB＝45°∴MN＝NC，∠KMN＝∠ACN＝90°在△ANC和△KNM中，，∴△ANC≌△KNM，∴AN＝KN，∠ANC＝∠KNM，∴∠KNA＝∠MNC＝90°∵AD＝DK，∴DN＝AD＝DK，即AD＝DN．（3）如图3中，结论：AD＝DN，AD⊥DN．理由：延长AD到K，使得DK＝AD，连接AN、KN、KM，延长KN交AC于G．在△ADB和△KDM中，，∴△ADB≌△KDM，∴AB＝KM＝AC，∠BAD＝∠MKD，∴AB∥KM，∴∠KGC＝∠BAC＝90°，∴∠ACN+∠NMG＝180°，∵∠KMN+∠NMG＝180°，∴∠ACN＝∠NMK，在△ANC和△KNM中，，∴△ANC≌△KNM，∴AN＝KN，∠ANC＝∠KNM，∴∠KNA＝∠MNC＝90°∵AD＝DK，∴DN＝AD＝DK，DN⊥AK，即AD＝DN．AD⊥DN．8．△ABC中，点D为BC上一点，E为AC上一点，连接AD，BE，DE，已知BD＝DE，AD＝DC，∠ADB＝∠EDC．（1）如图1，若∠ACB＝40°，求∠BAC的度数；（2）如图2，F是BE的中点，过点F作AD的垂线，分别交AD、AC于点G、H．求证：AH＝CH．【解答】解：（1）如图1，∵AD＝DC，∠ACB＝40°，∴∠DAC＝∠ACB＝40°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝80°，在△ADB和△CDE中，∵，∴△ADB≌△CDE（SAS），∴∠BAD＝∠ACB＝40°，∴∠BAC＝40°+40°＝80°；（2）如图2，过B作BN∥AC，交HF的延长线于N，直线HF交AB于M，连接DH、DM，∴∠BNM＝∠EHF，∵BF＝EF，∠BFN＝∠EFH，∴△EFH≌△BFN（AAS），∴BN＝EH，由（1）得：∠BAD＝∠DAC，∵FH⊥AD，∴∠AGF＝∠AGH＝90°，∵AG＝AG，∴△AMG≌△AHG（ASA），∴AH＝AM，∠AHM＝∠AMH，∵∠AMH＝∠BMN，∴∠BNM＝∠BMN，∴BN＝BM，∵△ABD≌△CED，∴∠ABD＝∠CED，∵BD＝DE，∴△DEH≌△DBM，∴∠BMD＝∠AHD，∵AM＝AH，∠BAD＝∠DAH，AD＝AD，∴△AMD≌△AHD，∴∠AMD＝∠AHD，∴∠AMD＝∠BMD，∵∠AMD+∠BMD＝180°，∴∠AMD＝90°，∴∠AHD＝90°，∵AD＝CD，∴AH＝CH．9．直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB中点，则CD＝AD＝BD＝AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；（1）求证：PM＝PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；（3）如图4，∠BAC＝90°，a旋转到与BC垂直的位置，E为BC上一点且AE＝AC，EN⊥a于N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．【解答】（1）证明：如图2中，延长NP交BM的延长线于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BG∥CN，∴∠PCN＝∠PBG，在△PNC和△PGB中，，∴△PNC≌△PGB，∴PN＝PG，∵∠NMG＝90°，∴PM＝PN＝PG．（2）解：结论：PM＝PN．如图3中，延长NP交BM于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BM∥CN，∴∠PCN＝∠PBG，在△PNC和△PGB中，，∴△PNC≌△PGB，∴PN＝PG，∵∠NMG＝90°，∴PM＝PN＝PG．（3）如图4中，延长NP交BM于G．∵∠EAN+∠CAM＝90°，∠CAM+∠ACM＝90°，∴∠EAN＝∠ACM，在△EAN和△CAM中，，∴△EAN≌△CAM，∴EN＝AM，AN＝CM，∵EN∥CG，∴∠ENP＝∠CGP，在△ENP和△CGP中，，∴△ENP≌△CGP，∴EN＝CG＝AM，PN＝PG，∵AN＝CM，∴MG＝MN，∴PM⊥PN．1．（2017•唐河县四模真题）已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD＝1，AC＝，求此时线段CF的长（直接写出结果）．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，∴DF＝BE，CF＝BE，∴DF＝CF．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF，∵∠DFE＝∠ABE+∠BDF，∴∠DFE＝2∠DBF，同理得：∠CFE＝2∠CBF，∴∠EFD+∠EFC＝2∠DBF+2∠CBF＝2∠ABC＝90°，∴DF＝CF，且DF⊥CF．（2）（1）中的结论仍然成立．证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC．∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．∵F为BE中点，∴EF＝BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE＝GB，DF＝GF．∵AD＝DE，∴AD＝GB，∵AC＝BC，∴AC﹣AD＝BC﹣GB，∴DC＝GC．∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF＝GF．∴DF＝CF，DF⊥CF．（3）延长DF交BA于点H，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，AD＝DE．∴∠AED＝∠ABC＝45°，∵由旋转可以得出，∠CAE＝∠BAD＝90°，∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF．∵F是BE的中点，∴EF＝BF，∴△DEF≌△HBF，∴ED＝HB，∵AC＝，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝4，∵AD＝1，∴ED＝BH＝1，∴AH＝3，在Rt△HAD中由勾股定理，得DH＝，∴DF＝，∴CF＝∴线段CF的长为．。

初中数学经典几何模型专题02 倍长中线模型构造全等三角形【专题说明】倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。

常用于构造全等三角形。

中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS ”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【知识总结】题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线（线段）造全等在△ABC 中 AD 是BC 边中线延长AD 到E ， 使DE =AD ，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD1、如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。

(AB+AC)2、已知，如图△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：AM＜123、如图，在△AB C中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线.4、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F，求证：BE+CF＞EF.5、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC 为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？【基础训练】1、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF,求证：AC=BE.2、如图所示，已知△AB C中，AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC.求证EF∥AB.3、已知△ABC中，AB=AC,CF是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB,求证：CD=2CE.4、如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，且AG =1，BF =2．若GE ⊥EF ，则GF 的长为多少？5、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ，求证：AB =AC ．G FEAD BC CDBA【巩固提升】1、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．（2）求证：△ACD≌△EBD．（3）求证：AB+AC >2AD．（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．AD2、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ． 求证：AB =AC ．DCBA3、如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ． 求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．D CB A3、 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF =∠EAF ．F ED CBA4、 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB于点G ，BG =CF ，求证：AD 为△ABC 的角平分线．GFE DCBA5、 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．FEDC BA6、如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DC B=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG．G FE D CB A初中数学经典几何模型专题02 倍长中线模型构造全等三角形 答案【专题说明】倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD作BE⊥AD的延长线于使连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E DABEAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，?ABC 中，?C=90?，CM?AB 于M ，AT 平分?BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。