数学苏教版必修3教学案第1部分 第2章 2.4 线性回归方程 Word版含解析

2019-2020年高中数学 2.4线性回归方程第2课时教案 苏教版必修3【学习导航】学习要求1.进一步了解非确定性关系中两个变量的统计方法；2.进一步掌握回归直线方程的求解方法． 【课堂互动】自学评价1.相关关系: 当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系 .2.回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法 .3. 求线性回归方程的步骤：(1)x y (2)x y x y (3)i i i i 计算平均数、，计算与的积，求，计算，，∑∑∑x y i i 22(4)将上述有关结果代入公式，求，写出回归直线方程．【精典范例】例1一个工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间由如下一组数据：【解】1）画出散点图：x2）设回归直线方程，利用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==xb y a x x y x y x b i i i i i 121221211212,计算a ，b ，得b ≈1.215, a=≈0.974， ∴回归直线方程为：例2(（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线度且画出图形．【解】（1）图略（2）1(45424648423558403950)44.5010x =+++++++++= 1(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.558.72)10y =+++++++++= 设回归直线方程为，则10110221100.17510i ii i i x y x y b xx ==-==-∑∑，=所以所求回归直线的方程为追踪训练（１）画出数据的散点图；（２）用最小二乘法估计求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线．【解】（１）散点图（略）网]（２）55115,545,109,116,23.2,i i i i n x x y y =======∑∑ 5521160952,12952i i i i i xx y ====∑∑ 25129525451160.1962,23.20.1962109 1.8166560952545b a ⨯-⨯=≈=-⨯≈⨯- 所以，线性回归方程为．2、一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量x( 单位：万件)之间有如下一组数据：(2)求出月总成本与月产量x 之间的线性回归方程。

2019-2020年高中数学 2.4《线性回归方程》学案 苏教版必修3【目标引领】1．学习目标：了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握 回归直线方程的求解方法。

2．学法指导：①求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性．②求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a 、b ，由于求a 、b 的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．③回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识．【教师在线】1．解析视屏：1．相关关系的概念在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。

例如正方形的面积S 与其边长之间的函数关系（确定关系）；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。

例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系）相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。

相关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关系。

不同点：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。

2．求回归直线方程的思想方法观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？引导学生分析，最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征：即n 个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下：设所求的直线方程为，其中a 、b 是待定系数。

2.4 线性回归方程1．理解线性回归的基本思想和方法，体会变量之间的相关关系．(难点)2．会画出数据的散点图，并会通过散点图判断这组数据是否具有线性关系．(重点) 3．会求数据的线性回归方程，并根据线性回归方程做出合理的判断．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 变量间的关系阅读教材P 74的内容，并完成下面的问题．1．变量间的关系关系．确定性函数表示，是一种函数函数关系：变量之间的关系可以用(1)来表达．函数，但不能完全用一定的联系相关关系：变量之间有(2)2．散点图横坐的取值作为x 是否有相关关系，常将y 与x 统计数表中，为了更清楚地看出从一个，这样的图形…)，1,2,3＝i )(i y ，i x (，在直角坐标系中描点纵坐标的相应取值作为y ，将标叫做散点图．判断正误：(1)相关关系是一种不确定关系，而函数关系是一种确定关系．( )(2)商品的销售收入与广告支出经费是函数关系．( )(3)散点图越集中，则相关关系越强．( )【解析】 (1)√.由函数关系及相关关系的定义知正确．(2)×.是相关关系，而不是确定关系，故错误．(3)×.只有当散点图呈规律性分布时才具有相关关系．故错误．【答案】 (1)√ (2)× (3)×教材整理2 线性回归方程阅读教材P 75～P 76“例1”上边的内容，并完成下列问题．1．线性相关关系拟合a ＋bx ＝y ^，我们用直线一条直线的附近如果散点图中点的分布从整体上看大致在叫做线性相关关系．相关关系近似表示的a ＋bx ＝y ^散点图中的这些点，像这样能用直线 2．线性回归方程设有n 对观察数据如下：＝y ^时，就称最小值取得2)a －n bx －n y (＋…＋2)a －2bx －2y (＋2)a －1bx －1y(＝Q 使b ，a 当bx ＋a 为拟合这n 对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．3．用回归直线进行数据拟合的一般步骤附近；一条直线是否在散点作出散点图，判断(1)(2)如果散点在一条直线附近，用公式⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1nxiyi －∑i ＝1nx∑i ＝1nyn ∑i ＝1n x2i －∑i ＝1n xa ＝y －－b x－或求出a ，b ，并写出线性回归方程．填空：(1)有一个线性回归方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时，y 平均________1.5个单位．(填“增加”或“减少”)【解析】 ∵b ＝－1.5，∴x 每增加一个单位时y 减少1.5个单位．【答案】 减少(2)过(3,10)，(7,20)，(11,24)三点的回归直线方程是________．【解析】 代入系数公式得b ＝1.75，a ＝5.75.代入直线方程．求得y ^＝5.75＋1.75x .。

房地产涨价一直是受关注的民生问题之一，以下是某房地产开发商在2013年前两季度销售的新楼盘中的销售价格y(单位：万元)与房屋面积x(单位：m2)的数据.x 11511080135105y 49.643.238.858.444问题1：在平面直角坐标系中，以x为横坐标，y为纵坐标作出表示以上数据的点．提示：问题2：从上图中发现x，y有何关系？是函数关系吗？提示：从图中发现x逐渐增大时，y逐渐增大，但有个别情况．不是函数关系．1．变量间的常见关系(1)函数关系：变量之间的关系可以用函数表示，是一种确定性关系．(2)相关关系：变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．2．散点图从一个统计数表中，为了更清楚地看出变量x与变量y是否有相关关系，常将x的取值作为横坐标，将y的相应取值作为纵坐标，将表中数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出，我们称这样的图形叫做散点图.某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：问题1：判断气温与杯数是否有相关关系？ 提示：作散点图可知具有相关关系．问题2：若某天的气温是－5℃，能否根据这些数据预测小卖部卖出热茶的大体杯数？ 提示：可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测．1．线性相关关系：能用直线y ^＝bx ＋a 近似表示的相关关系． 2．线性回归方程： 设有n 对观察数据如下：x x 1 x 2 x 3 … x n yy 1y 2y 3…y n当a ，b 使Q ＝(y 1－12222n n a )2取得最小值时，就称方程y ^＝bx ＋a 为拟合这n 对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．3．用回归直线进行数据拟合的一般步骤： (1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近． (2)如果散点在一条直线附近，用公式⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1n x 2i－nx 2＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n (x i－x )2a ＝y －b x求出a ，b ，并写出线性回归方程．1．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，如试验田的施肥量x 与水稻的产量y .当自变量x 每取一确定值时，因变量y 的取值带有一定的随机性，即还受其他环境因素的影响．2．用最小平方法求回归直线的方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可用散点图判断)．否则求出的线性回归方程是无意义的．[例1]关于人体的脂肪含量(百分比)与年龄关系的研究中，得到如下一组数据：(1)将上表中的数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现年龄与脂肪含量近似成什么关系吗？(3)若成线性相关关系，请你画一条直线近似地表示这种线性关系．[思路点拨]作出散点图判断相关关系．[精解详析](1)以年龄作为x轴，脂肪含量为y轴，可得相应散点图，如图所示．(2)从散点图可以发现，年龄与脂肪含量之间具有线性相关关系，且是正相关的．(3)画出的一条直线如上图．[一点通]判断变量间有无线性相关关系，一种常用的简便可行的方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量是线性相关的．1．根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________．(填“是”或“否”)解析：从散点图看，形状呈团状，无任何规律，故不具有线性相关关系．答案：否2．5名学生的数学成绩和化学成绩如下表：解：以x 轴表示数学成绩，y 轴表示化学成绩，可得相应的散点图如右图所示．由散点图可知，两者之间具有线性相关关系且是正相关．[例2] (12分)假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (单位：万元)有如下的统计资料：使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y (1)线性回归方程y ^＝bx ＋a 的系数a ，b ；(2)使用年限为10年时，试估计维修费用是多少．[思路点拨] 根据公式求b ，代入a ＝y －b x 求a 并判断． [精解详析] (1)∵x ＝4，y＝5，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3，∴b ＝∑i ＝15x i y i －5x y ∑i ＝15x 2i －5x2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23.(6分)a ＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08. (8分)(2)线性回归方程是y ^＝1.23x ＋0.08，当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38， 所以估计使用10年时维修费用是12.38万元．(12分)[一点通]1．求线性回归方程的一般步骤是：(1)画出散点图，判断是否具有相关关系． (2)计算x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i .(3)代入公式计算b 、a 的值． (4)写出线性回归方程．2．利用回归直线可以预测，若回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则x ＝x 0处的估计值为y ^＝bx 0＋a .(注意：估计值并不一定是真实值．)3．本例条件不变，试探究：(1)所求的回归直线必过(x ，y )点吗？(2)若设备的使用年限x 每增加一年，则所支出的维修费用y 如何变化？ 解：(1)由线性回归方程y ^＝1.23x ＋0.08，又x ＝4，y ＝5， 验证知必过(x ，y )点．(2)由线性回归方程知，使用年限每增加一年维修费用就提高1.23万元．4．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程y ^＝bx ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．解析：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a ，∴a ＝60. ∴y ＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：685．以下是江苏省某城镇收集到的新房屋的销售价格y 和房屋的大小x 的数据：(2)求回归方程；(3)估算一下96 m 2的房价． 解：(1)散点图如图所示．(2)n ＝5，∑i ＝15x i ＝545，x ＝109，∑i ＝15y i ＝116，y ＝23.2，∑i ＝15x 2i ＝60 975，∑i ＝15x i y i ＝12 952. b ＝5i ＝1x i y i －5x y5i ＝1x 2i －5x2＝12 952－5×109×23.260 975－5×1092＝154785 ≈0.196 2，a ＝y －b x ＝23.2－154785×109≈1.816 6.∴回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.816 6. (3)当x ＝96时，y ^≈20.7.因此，96 m 2的新房屋大约为20.7万元．用线性回归方程估计总体的一般步骤：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一条直线附近，用公式求出a 、b ，并写出线性回归方程； (3)根据线性回归方程对总体进行估计．课下能力提升(十四)一、填空题1．已知x ，y 之间的一组数据为：则回归直线y ^＝bx ＋a 必过点________．解析：x ＝32，y ＝4，∴y ^＝bx ＋a 必过点(32，4)．答案：(32，4)2．对某台机器购置后的运营年限x (x ＝1,2,3…)与当年利润y 的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为y ＝10.47－1.3x ，估计该台机器使用________年最合算．解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y ≥0，所以10.47－1.3x ≥0，解得x ≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．答案：83．已知某工厂在2013年每月产品的总成本y (万元)与月产量x (万件)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝1.215x ＋0.974，若月产量增加4万件时，则估计成本增加________万元．解析：由y ^1＝1.215x 1＋0.974， y ^2＝1.215(x 1＋4)＋0.974， 得y ^2－y ^1＝1.215×4＝4.86(万元)． 答案：4.864．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：销售额y (千元)与广告费用x (千元)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝2.3x ＋a (a 为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元．解析：x ＝7，y ＝41.6，则a ＝y －2.3x ＝41.6－2.3×7＝25.5. 当y ＝6万元＝60千元时，60＝2.3x ＋25.5，解得x ＝15(千元)． 答案：155．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A 产品过程中记录的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y (单位：×103 kJ)几组对应的数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为________．解析：由y ＝0.7x ＋0.35，得2.5＋t ＋4＋4.54＝0.7×3＋4＋5＋64＋0.35，故11＋t4＝3.5，即t ＝3. 答案：3 二、解答题6．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示.转速x (转/秒) 16 14 12 8 每小时生产有缺 损零件数y (个)11985(1)作出散点图；(2)如果y 与x 线性相关，求出回归直线方程． 解：(1)如下图．(2)由(1)知y 和x 线性相关． 设回归直线方程为y ^＝bx ＋a . 由题意，得x ＝12.5，y ＝8.25，4i ＝1x 2i ＝660，4i ＝1x i y i ＝438. 所以b ＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73，a ≈8.25－0.73×12.5≈－0.88，所以y ^＝0.73x －0.88.7．某企业的某种产品产量与单位成本数据如下：(1)(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本下降多少？(3)假定产量为6 000件时，单位成本是多少？单位成本为70元时，产量应为多少件？ 解：(1)设x 表示每月产量(单位：千件)，y 表示单位成本(单位：元)，作散点图．由散点图可知y 与x 间具有线性相关关系， 设线性回归方程为：y ^＝bx ＋a .∵b ＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x 2i －6x2≈－1.82，a ＝y －b x ≈77.37，∴线性回归方程为y ^＝－1.82x ＋77.37.(2)由线性回归方程知，产量每增加1 000件，单位成本下降1.82元． (3)当x ＝6时，y ＝－1.82×6＋77.37＝66.45， 故当产量为6 000件时，单位成本为66.45元． 当y ＝70时，x ≈4.049.故当单位成本为70元时，产量约为4 049件．8．一台机器由于使用时间较长，但还可以用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果.(1)(2)如果y 与x 有线性相关关系，求线性回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？解：(1)画出散点图，如图．(2)x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438，∑i ＝14x 2i ＝660，所以b ＝∑i ＝14x i y i －4x y ∑i ＝14x 2i －4x2＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.728 6，a ＝y －b x ≈8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5. 所以线性回归方程为y ^＝0.728 6x －0.857 5. (3)要使y ^≤10，则0.728 6x －0.857 5≤10， x ≤14.901 9.所以机器的转速应控制在15 rad/s 以下．。

2.4 线性回归方程学 习 目 标核 心 素 养1.了解两个变量之间的相关关系并与函数关系比较． 2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系．3．能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，并能由回归方程对总体进行预测、估计．(重点、难点)通过对已有数量的分析、运算培养学生数据分析、数学运算的核心素养.1．变量之间的两类常见关系在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示．另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示．2．相关关系的分类相关关系分线性相关和非线性相关两种． 3．线性回归方程系数公式能用直线方程y ^＝bx ＋a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫线性回归方程．给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…， (x n ，y n )，线性回归方程中的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝n ∑i ＝1n x i y i －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n x i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n y i n ∑i ＝1nx 2i －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n x i2，a ＝y －b x .上式还可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1nx i y i－n x －y －∑i ＝1n x 2i －n x 2＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2，a ＝y －b x .1．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系； ②曲线上点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系． 其中具有相关关系的是________． ①③④ [②⑤为确定关系不是相关关系．]2．下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．③ [散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③.]3．工人工资y (元)依劳动生产率x (千元)变化的线性回归方程为y ^＝50＋80x ，下列判断正确的是________．①劳动生产率为1 000元时，工资为130元； ②劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元； ③劳动生产率提高1 000元时，工资提高130元； ④当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元．② [回归直线斜率为80，所以x 每增加1，y ^增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元．]4．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：广告费用(千元) 1 4 6 10 14 销售额(千元)1944405253销售额y (千元)与广告费用x (千元)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝2.3x ＋a (a 为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元．15 [x ＝7，y ＝41.6，则a ＝y －2.3x ＝41.6－2.3×7＝25.5. 当y ＝6万元＝60千元时，60＝2.3x ＋25.5，解得x ＝15(千元)．]变量间相关关系的判断【例1】 在下列两个变量的关系中，具有相关关系的是________． ①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故发生率之间的关系．②④[两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．]1．函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．准确理解变量间的相关关系是解答本题的关键．要准确区分两个变量间的相关关系和函数关系，事实上，现实生活中相关关系是处处存在的，从某种意义上讲，函数关系可以看作一种理想的关系模型，而相关关系是一种普遍的关系．两者区别的关键点是“确定性”还是“不确定性”．1．下列两个变量中具有相关关系的是________(填写相应的序号)．①正方体的棱长和体积；②单产为常数时，土地面积和总产量；③日照时间与水稻的亩产量．③[正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；单产为常数a公斤/亩，土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝ax.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选③.]2．下列命题：①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．其中正确的命题为________．③④⑤[两个变量不一定是相关关系，也可能是确定性关系，故①错误；圆的周长与该圆的半径具有函数关系，故②错误；③④⑤都正确．]散点图的画法及应用学生A B C D E学科数学8075706560物理7066686462利用散点图判断它们是否具有线性相关关系？如果有线性相关关系，是正相关还是负相关？思路点拨：本题涉及两个变量(数学成绩与物理成绩)，以x轴表示数学成绩、y轴表示物理成绩，可得相应的散点图，再观察散点图得出结论．[解] 把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在平面直角坐标系中描点(x i，y i)(i＝1,2，…，5)．从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有线性相关关系，且当数学成绩减小时，物理成绩也由大变小，即它们正相关．1．判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以认为这两个变量不具有相关关系．2．正相关、负相关线性相关关系又分为正相关和负相关．正相关是指两个变量具有相同的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变大．从散点图上看，因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域．负相关是指两个变量具有相反的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变小．从散点图上看，因变量随自变量的增大而减小，图中的点分布在左上角到右下角的区域．提醒：画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．3．如图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？思路点拨：观察图中点的分布情况作出判断．从散点图上看，点的分布散乱无规律，故不具有相关关系．[解] 不具有相关关系，因为散点散乱地分布在坐标平面内，不呈线形．4．有个男孩的年龄与身高的统计数据如下：思路点拨：描点(1,78)，(2,87)，(3,98)，(4,108)，(5,115)，(6,120)．观察点的分布，作出判断．[解] 作出散点图如图：由图可见，具有线性相关关系，且是正相关．线性回归方程的求法及应用【例3】 某产品的广告支出x (单位：万元)与销售收入y (单位：万元)之间有下表所对应的数据．广告支出x /万元 1 2 3 4 销售收入y /万元12284256(1)画出表中数据的散点图；(2)求出y 对x 的回归直线方程y ^＝bx ＋a ，并解释b 的意义； (3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？ 思路点拨：画散点图→列表处理数据→计算x ，y ，n ∑i ＝14x 2i ，∑i ＝14x i y i →计算b →计算a →线性回归方程→销售收入[解] (1)散点图如图．(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以便计算回归系数a ，B ．序号 xyx 2y 2xy1 1 12 1 144 12 2 2 28 4 784 563 3 42 9 1 764 126 4 4 56 16 3 136 224 ∑10138305 828418于是x ＝52，y ＝692，∑i ＝14x 2i ＝30，∑i ＝14y 2i ＝5 828，∑i ＝14x i y i ＝418，代入公式得，b ＝∑i ＝14x i y i －4xy∑i ＝14x 2i －4x 2＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a ＝y －b x ＝692－735×52＝－2.故y 对x 的回归直线方程为y ^＝735x －2，其中回归系数b ＝735，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y 平均增加735万元．(3)当x ＝9万元时，y ^＝735×9－2＝129.4(万元)，即若广告费为9万元，则销售收入约为129.4万元． 1．求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行： 第一步，计算平均数x ，y ；第二步，求和∑i ＝1nx i y i ，∑i ＝1nx 2i ；第三步，计算b ＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y)∑i ＝1n(x i －x)2＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ＝y －b x ；第四步，写出线性回归方程y ^＝bx ＋A ．2．对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．提醒：(1)对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，判断变量之间是否线性相关，再由系数a ，b 的计算公式，计算出a ，b ，由于计算量较大，在计算时应借助计算器，仔细计算，以防出现错误．(2)为了方便，常制表对应算出x i y i ，x 2i ，以便于求和．(3)研究变量间的相关关系，求得回归直线方程能帮助我们发现事物发展的一些规律，估计、预测某些数据，为我们的判断和决策提供依据．5．如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图． 注：年份代码1－7分别对应年份2012－2018.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑ 7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17，∑ 7i ＝1(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ ni ＝1(t i －t )2∑ ni ＝1(y i －y )2，回归方程y ^＝a ＋bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ＝∑ ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ ni ＝1(t i －t )2，a ＝y －－b t . 思路点拨：(1)利用相关系数的大小――→确定y 与t 的线性相关程度 (2)求出回归方程→利用方程进行估计[解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑ 7i ＝1(t i －t )2＝28，∑ 7i ＝1(y i －y )2＝0.55，∑ 7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝∑ 7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ＝∑ 7i ＝1(t i －t )(y i －y )∑ 7i ＝1 (t i －t )2＝2.8928≈0.103. a ＝y －b t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．1．本节课的重点是会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．难点是了解相关关系、线性相关、回归直线的概念．2．本节课要掌握以下几类问题 (1)准确区分相关关系与函数关系．(2)会利用散点图判断两个变量间的相关关系． (3)掌握用线性回归方程估计总体的一般步骤.1．在如图所示的四个散点图中，两个变量具有相关性的是( ) A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④D [由图可知①中变量间是一次函数关系，不是相关关系；②中的所有点在一条直线附近波动，是线性相关的；③中的点杂乱无章，没有什么关系；④中的所有点在某条曲线附近波动，是非线性相关的．故两个变量具有相关性的是②④.]2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号有( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④B [由正、负相关性的定义知①④一定不正确．]3．某工厂生产某种产品的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)有如下几组样本数据：的斜率为0.7，则这组样本数据的线性回归方程是________．y ^＝0.7x ＋0.35 [∵x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∴a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.]4．2019年元旦前夕，某市统计局统计了该市2018年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．(参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)思路点拨：按照求线性回归方程的一般步骤，求出线性回归方程，再根据回归方程作出预测．[解] (1)依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36，x y ＝10.98，又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ＝∑i ＝110x i y i －10xy∑i ＝110x 2i －10x 2≈0.17，a ＝y －b x ＝0.81，∴y ^＝0.17x ＋0.81.∴所求的线性回归方程为y ^＝0.17x ＋0.81. (2)当x ＝9时，y ^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)，可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．。

2.4线性回归方程互动讲堂劝导指引1.变量之间的关系在实质问题中, 变量之间的常有关系的有两类：一类是确立性的函数关系；另一类是变量间有必定的联系 , 但不可以完整用函数来表达 , 它们的关系带有随机性 , 我们说这两个变量拥有有关关系 .疑难疏引（ 1）对有关关系的理解应该注意以下几点：其一是有关关系与函数关系不一样, 因为函数关系是一种特别确立的关系, 而有关关系是一种非确立性关系, 即有关关系是非随机变量与随机变量之间的关系. 而函数关系能够当作是两个非随机变量之间的关系. 所以 , 不可以把有关关系等同于函数关系.其二是函数关系是一种因果关系, 而有关关系不必定是因果关系, 也可能是陪伴关系. 例如, 有人发现 , 对于在校小孩 , 鞋的大小与阅读能力有很强的有关关系 . 但是 , 学会新词其实不可以使脚变大 , 而是波及到第三个要素——年纪 . 当小孩长大一些 , 他们的阅读能力会提升 , 并且因为长大 , 脚也变大 .其三是在现实生活中存在着大批的有关关系, 怎样判断和描绘有关关系, 统计学发挥着特别重要的作用 . 变量之间的有关关系带有不确立性, 这需要经过采集大批的数据, 对数据进行统计剖析 , 发现规律 , 才能作出科学的判断 .（2）在考虑有关关系中的两个量的关系时, 为了对变量之间的关系有一个大概的认识, 我们往常将变量所对应的点描出来,这些点就构成了拥有有关关系的变量之间的一组数据的图形,往常称这类图为变量之间的散点图.依据散点图中变量的对应点的失散程度,我们也能够正确地判断两个变量能否拥有有关关系 .散点图中变量的对应点假如散布在某条直线的四周, 我们就能够得出结论, 这两个变量拥有有关关系 . 假如变量的对应点散布没有规律, 我们就能够得出结论：这两个变量不拥有相关关系 .事例 1 以下关系中 , 带有随机性有关关系的是____________.①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年纪之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系【研究】两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的有关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间不是严格的函数关系, 可是拥有有关性 , 因此是有关关系 .③人的身高与年纪之间的关系既不是函数关系, 也不是有关关系, 因为人的年纪达到一准时期身高就不发生显然变化了, 因此他们不拥有关关系 .④降雪量与交通事故的发生率之间拥有有关关系.答案：②④规律总结正确理解变量间的有关关系是解答此题的重点. 要正确划分两变量间有关关系和函数关系 , 事实上 , 现实生活中有关关系是各处存在的, 从某种意义上讲, 函数关系能够看作一种理想关系模型, 而有关关系是一种广泛的关系. 二者区其他重点点是“确立性”仍是“随机性”.事例 2 5 个学生的数学和物理成绩以下表：学科学生A B C D E 数学8075706560物理7066686462画出散点图 , 并判断它们能否有有关关系 .【研究】波及两个变量：数学成绩与物理成绩 , 能够以数学成绩为自变量 , 考察因变量物理成绩的变化趋向 .以 x 轴表示数学成绩,y 轴表示物理成绩, 可得相应的散点图.由散点图（上图）可见, 二者之间拥有有关关系.规律总结判断变量之间有无有关关系, 一种常用的简易可行的方法是绘散点图, 散点图是由数据点散布构成 , 是剖析研究两个变量有关关系的重要手段 . 从散点图中 , 假如发现点的散布从整体上看大概在一条直线邻近 , 那么这两个变量是线性有关的 .2.最小二乘法（最小平方法）、线性回归方程（1）线性有关关系假如散点图中 , 相应于拥有有关关系的两个变量全部察看值的数据点散布在一条直线的邻近 , 我们称这两个变量之间拥有线性有关关系.也就是说能用直线方程?近似表示的有关关系叫线性有关关系.y =bx+a（2）最小二乘法（最小平方法）假如 n 个点 :(x 1,y 1),(x2,y 2),,(x n,y n), 能够用下边的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx 的靠近程度：［ y1-(a+bx 1) ］2+［ y2-(a+bx 2) ］2+ +［y n-(a+bx n) ］2.使得上式达到最小值的直线?就是我们所要求的直线 , 这类方法称为最小二乘法 . y =bx+a（3）线性回归方程记线性回归方程为y? =bx+a,则系数a、b知足：n n nn x i y i(x i )(y i )b i 1i 1i1,n nb=n x i2(x i ) 2( ※)i 1i 1a y bx.疑难疏引（ 1）我们知道 , 回归直线是与数据点最靠近的直线, 反应切近程度的数据是：离差n的平方和 , 即总离差 Q=(y i -a-bx i ) 2. 这样 , 回归直线就是全部直线中Q取最小值的那一条 .i 1这样使“离差平方和为最小”的方法, 叫做最小二乘法 . （最小平方法）（2）利用最小二乘法求回归系数a、 b 时, 是将离差的平方和Q转变为对于 a 或 b 的二次函数, 利用二次函数知识求得的 .（3）借助散点图 , 能够直观地看出两个变量之间能否拥有有关关系 . 用最小二乘法思想成立的回归直线方程 , 能定量地描绘两个变量的关系 . 回归系数 a 和 b, 刻画了两个变量之间的变化趋向 . 利用回归直线 , 能够对问题进行展望, 由一个变量的变化去推断另一个变量的变化.（4）求线性回归方程的一般步骤：n n n2n n①依据两组数据计算 x , y ,x,y,,x y;i i i ii 1i 1i 1i 1i 1②代入（ *）计算求 a、 b 的值；③代入 ?y =a+bx.一般状况下 , 求线性回归方程可借助计算器和计算机来达成.此外 , 回归系数可简化为：nx i y i nx y1 b= i1,a=y -b x ,这里x= n nx ni22i1n1x i ,y=i 1nny ii 1事例 3 某产品的广告支出x 与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据.广告支出 x( 单位：万元 )1234销售收入 y( 单位：万元 )12284256（1）画出表中数据的散点图；（2）求出 y 对 x 的回归直线方程；（3）若广告费为 9 万元 , 则销售收入约为多少万元？【研究】只有散点图大概表现为线性时, 求回归直线方程才有实质意义 .【分析】 (1) 散点图以下：（2）察看散点图可知各点大概散布在一条直线邻近, 列出以下表格 , 以备计算a、 b.序号x y x2y2xy 1112114412 2228478456 33429 1 764126 445616 3 136224∑1013830 5 828418于是 x =5,y =69,44x i2=30,y i2=5 828, 122i 1i 14xy i =418, i 14569xy i4x y 4184273代入公式得：b= i 1=245 2,225x i4x 30 4 ( )i 12 a= y -b x =69 73 × 5=-2.252? = 73x-2,b=73, 它的意义是：广告支出每故 y 对 x 的回归直线方程为此中回归系数55增添 1 万元 , 销售收入 y 均匀增添73万元.73 ×9 5(3) 当x=9 万元时, ?万元.y =5-2=129.4即广告费为 9 万元 ,则销售收入为 129.4 万元 .规律总结 （ 1）对一组数据进行线性回归剖析时 , 应先画出其散点图 , 看其能否呈直线形 , 再依系数 a 、b 的计算公式 , 算出 a 、b, 因为计算量较大 , 所以在计算时应借助技术手段, 仔细细致, 提防计算中产生错误 .4xy i nx y（2）在利用公式： b=i 1,a= y -b x 来计算回归系数时 , 为了方便常制表对应出x i y i ,42x i 2nxi 1x i 2 , 以利于乞降 .（3）研究变量间的有关关系, 求得回归直线方程能帮助发现事物发展的一些规律, 增补累积资料的不足 , 预计展望某些数据 , 为我们的判断和决议供给依照 .活学巧用1. 以下两变量中拥有有关关系的是（ ）A. 正方体的体积与边长B. 匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C.人的身高与体重D.人的身高与视力分析： 选 C. 此题主要考察变量间的有关性 , 此中 A,B 均为函数关系 ,D 则无有关关系 .答案： C2. 以下各关系中不属于有关关系的是（ ） A. 产品成本与生产数目 B. 球的表面积与体积 C.家庭的支出与收入 D.人的年纪与体重分析： 球的表面积与体积之间是函数关系 , 不属于有关关系 , 选 B.答案： B3. 以下关系属于负有关的是（）A. 父亲母亲的身高与儿女身高的关系B.农作物产量与施肥量的关系分析：抽烟有害健康, 所以 , 抽烟与健康之间的关系属于负有关.答案： C4. 以下两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A. 圆的半径和它的面积B. 正方形边长和它的面积C.正 n 边形的边数和极点角度之和D.期中考试数学成绩与复习时间的投入量分析：期中考试数学成绩与复习时间的投入量是有关关系而不是函数关系.答案： D5.“名师出高徒”能够解说为教师的水平越高, 学生的水平也越高 . 那么 , 教师的水平与学生的水平成什么有关关系？你能举出更多的描绘生活中的两个变量有关关系的成语吗？分析：“名师出高徒”的意思是说闻名的教师必定能教出高妙的徒弟, 往常状况下 , 高水平的教师有很大趋向教出高水平的学生, 所以 , 教师的水平与学生的水平成正有关关系, 生活中这样的成语好多 , 如“龙生龙 , 凤生凤 , 老鼠的孩子会打洞” .6. 现随机抽取某校10 名学生在入学考试中的数学成绩x 与入学后的第一次数学成绩y, 数据以下：学号12345678910 x12010811710410311010410599108 y84648468696869465771问这 10 名学生的两次数学考试成绩能否拥有有关关系？分析：应用散点图剖析.两次数学考试成绩散点图以以下图所示 . 由散点图能够看出两个变量的对应点集中在一条直线的四周 , 且 y 随 x 的变大而变大 , 拥有正有关关系 . 所以 , 这 10 名学生的两次数学考试成绩拥有有关关系 .7. 变量 y 与 x 之间的回归方程（）A. 表示 y 与 x 之间的函数关系B. 表示 y 和 x 之间的不确立性关系C.反应 y 和 x 之间真切关系的形式D.反应 y 与 x 之间的真切关系达到最大限度的符合分析：回归直线是与数据点最切近的直线,y 与 x 之间的回归方程, 反应了y 与x 之间的真切关系达到最大限度的符合.答案： D8. 设有一个回归方程y? =2-1.5x,当变量x 增添一个单位时（）A.y 均匀增添 1.5 个单位B.y 均匀增添 2 个单位C.y 均匀减少 1.5 个单位D.y 均匀减少 2 个单位分析： y?' =2-1.5(x+1)=2-1.5x-1.5=y? -1.5.答案： C9. 线性回归方程表示的直线y? =a+bx必然过（）A. （ 0,0 ）点B.（x,0）点C.（ 0,y ）点D.（x,y）点分析：回归直线函数a、 b 有公式 a= y -b x ,即 y=a+b x∴直线y? =a+bx 必然过（x , y）点 .答案： D10. 回归直线方程的系数a,b的最小二乘预计 a,b,使函数 Q（ a,b ）最小 ,Q 函数指（）n(y i -a-bx i ) 2nA. B.|y i -a-bx i |i1i1C.(y i -a-bx i ) 2D.|y i -a-bx i |n分析： Q=(y1-bx 1-a) 2+(y 2-bx 2-a) 2+ +(y n-bx n-a) 2=(y i -bx i -a) 2.i 1答案： A11.观察两有关变量得以下数据：x y-1-9-2-7-3-5-4-3-5-15135432719则两变量间的回归直线方程是（）A.y= 1x-1 B.y=x C.y=2x+213D.y=x+1分析：由线性回归方程系数的求解公式,10x i y i10 x y易得 b= i 1=1,a=y -b x =0.102x i210xi 1∴线性回归方程为 y=x.答案： B12. 以下是某地采集到的新房子的销售价钱y 和房子的面积x 的数据：房子面积 (m2)11511080135105销售价钱 ( 万元 )24.821.618.429.222 (1)画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程, 并在散点图中加上回归直线；（3）据（ 2）的结果预计当房子面积为150 m2时的销售价钱.分析：（ 1）数据对应的散点图以以下图所示：(2)x =15x i =109,5(x i - x ) 2=1 570, 5 i1i 1y =23.2,5x )(y i-y )=311.2.(x i -i1设所求回归直线方程为? =bx+a,则y5?(x i x)( y i y)i 1311.2≈0.198 2,b =52= 1570( x i x)i 1a x=23.2- 109× 0.198 2 ≈ 1.596 2.?=y-b故所求回归直线方程为?y =-0.198 2x+1.596 2.(3) 据 (2),2?2=31.326 2(万元 ).当 x=150 m时 , 销售价钱的预计值为：y =0.19 8 2×150+1.59613. 为研究某市家庭年均匀收入与年均匀生活支出的关系, 该市统计检查队随机检查了10 个家庭 , 得数据以下：i （家庭编号）12345678910 x i ( 收入 ) （千元）0.8 1.1 1.3 1.5 1.5 1.8 2.0 2.2 2.4 2.8 y i ( 支出 ) （千元）0.7 1.0 1.2 1.0 1.3 1.5 1.3 1.7 2.0 2.5求回归直线方程 .分析：列表i12345678910 x i0.8 1.1 1.3 1.5 1.5 1.822 2.4 2.8 y i0.7 1.0 1.2 1.0 1.3 1.5 1.3 1.7 2.0 2.5 x i y i0.56 1.10 1.56 1.50 1.95 2.70 2.60 3.40 4.807.00x i20.64 1.21 1.69 2.25 2.25 3.24 4.00 4.00 5.767.84 y120.49 1.0 1.44 1.00 1.69 2.25 1.69 2.89 4.0 6.25故可求得 x =17.2=1.72, y =14.2=1.42, 1010n n nx i2=32.88,y12=22.7,x i y i =27.17.i 1i 1i 1∴b=0.833,a= -0.013.∴回归直线方程为y=0.833x-0.013.。

线性回归方程第1课时【学习导航】学习要求1．理解线性回归的基本思想和方法，体会变量之间的相关关系。

线性回归方程的求法。

2．会画出一组数据的散点图，并会通过散点图判断出这组数据是否具有线性关系。

【课堂互动】自学评价在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示，另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达2.建立平面直角坐标系，将数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出，这样的图称为散点图(scatter diagram)3．在散点图中如果点散布在一条直线的附近，可用线性函数近似地表示x 和y 之间的关系。

选择怎样的直线我们有下列思考方案： (1)选择能反映直线变化的两个点(2)取一条直线，使得位于该直线一侧和另一侧点的个数基本相同(3)多取几组点，确定几条直线方程，再分别 算出各条直线斜率、截距的平均值，作为所求直线的斜率、截距4．用方程为a bx y+=ˆ的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。

用最小二乘法来求a 、b 的原理和方法 见教科书P725.能用直线方程a bx y+=ˆ近似表示的相关关系叫做线性相关关系(linear correlation) 6.设有(x,y)的n 对观察数据如下：当a,b 使+--=211)(a bx y Q2222)()(a bx y a bx y n n --+⋯+--取得最小值时，就称a bx y+=ˆ为拟合这n 对数据的线性回归方程(linear regression equation),将该方程所表示的直线称为回归直线。

6．用书上的方法3，可求得线性回归方程a bx y+=ˆ中的系数： 2112111)())((∑∑∑∑∑=====--=ni i n i i ni i n i i n i i i x x n y x y x n ba =xb y - (*)7．用回归直线进行拟合的一般步骤为：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近(2)如果散点在一条直线附近，用上面的公式求出a,b,并写出线性回归方程【精典范例】例1 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由。

学习目标 1. 了解相关关系、线性相关的概念；2.会根据散点图判断数据是否具有相关关系；3.会求线性回归方程，并能根据线性回归方程做出合理判断．知识点一相关关系思考数学成绩y与学习数学所用时间t之间的关系，能否用函数关系刻画？梳理相关关系：与函数关系不同，相关关系是一种变量之间__________的联系，但不是__________的关系．知识点二散点图1．散点图：将样本中n个数据点(x i，y i)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．2．利用散点图可以大致确定两个变量是不是有相关关系，以及相关性强弱．知识点三最小平方法及线性回归方程思考1若散点大致分布在一条直线附近，如何确定这条直线比较合理？思考2任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？梳理线性回归方程：能用直线方程________________近似表示的相关关系叫做____________关系，该方程叫________________．最小平方法是一种求回归直线的方法，用这种方法求得的回归直线能使样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，用最小平方法求得线性回归方程的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝ ，a ＝ .上式还可以表示为 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝＝ ，a ＝ .类型一 变量之间相关关系的判断例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？ (1)正方形边长与面积之间的关系； (2)作文水平与课外阅读量之间的关系； (3)人的身高与年龄之间的关系； (4)降雪量与交通事故发生率之间的关系．反思与感悟 如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的，由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系，从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么． 跟踪训练1 有下列关系：①老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横截面直径与高度之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系．其中有相关关系的是________．(填序号) 类型二 散点图及应用例2 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：画出散点图，分析年龄与人体脂肪含量的关系．反思与感悟画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或过小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．相关关系的散点图不一定分布在一条直线附近，也可能是曲线．跟踪训练2下表为我国在公元1000年到2000年间的人口数量．(1)试画出散点图；(2)年份与人口是相关关系吗？如果是，是正相关还是负相关？你觉得用什么函数模型模拟效果比较好？反思与感悟函数关系与相关关系之间有密切联系，可以用函数关系来模拟相关关系，也可借助散点图来发现两变量之间的函数关系，在一定条件下，两种关系还可相互转化．类型三线性回归方程的求法及应用例3下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系．如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．反思与感悟对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，若。

第2课时导入新课在上一节课中问题1：将汽油以均匀的速度注入桶里，注入的时间t与注入的油量y如下表：从表里数据得出油量y与时间t之间的函数关系式为y=2x(x≥0).并且在直角坐标系里很容易作出它们的图象，我们知道各点在同一条直线上.再看下面的问题（即上一节课的练习2）：某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：请大家动手作出热茶销售量与气温的坐标图，说说它的特点，能得到什么规律？分析：该图中所有点不像第一个问题中函数关系的图象对应的点在同一条直线上，但是分布也是很有规律，它们散布在从左上角到右下角的区域，因此，可以得到规律是随着气温的增加，热茶卖出的杯数在减少.但究竟以什么样的方式在减少呢？这就是今天要继续学习的内容——线性回归方程.推进新课新知探究以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立平面直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到上图，今后我们称这样的图为散点图.1.散点图（scatterplot）：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.散点图形象地反映了各对数据的密切程度.粗略地看，散点分布具有一定的规律.在本图中这些点散布的位置也是值得注意的，它们散布在从左上角到右下角的区域，对于这种相关关系，我们称它为负相关.如果点散布在从左下角到右上角的区域.对于这种相关关系，我们称它为正相关.请学生举例：两个变量之间是正相关的关系.例如：某小卖部卖的冷饮销售量与气温之间的关系.再看上节课的练习1.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：如果作出散点图如右图，它是散布在从左下角到右上角的区域,也是正相关的关系.回到解热茶销售量与气温之间的关系的散点图来，从图中可以得到规律是随着气温的增加，热饮的销售量在减少，究竟以什么样的方式减少呢？分析：分布情况是在从左上角到右下角的区域的某条直线附近摆动.能画出这条直线吗？请大家一起想一想，该怎么办，才能作出这条直线呢？请大家设计方案，可以互相讨论.方案1：采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，达到一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程.分析：这个想法很好，但是操作起来有一定难度，因为我们画符合条件的直线不能直接画出.还有什么新的办法能解决这个问题？方案2：在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同.分析：画直线时使得直线两侧的点的个数基本相同的直线能画无数多条，这样符合条件的直线就不唯一了，再仔细考虑一下，我们究竟应当怎样作出.方案3：在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距，将这两个平均数作为回归直线方程的斜率和截距.分析：如果有6个散点,按照方案3的办法,将要作15条直线,这样计算15条直线的斜率和截距分别求出的计算量是一个很大的工程，由此可见,该方案不具有可行性,那么怎样才能作出“从整体上看各点与此直线距离最小”的直线呢？用方程yˆ=bx+a的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近，那么，怎样衡量yˆ=bx+a与图中的点最接近程度呢？我们将表中给出的自变量x 的六个值代入直线方程，得到相应的六个yˆ的值： 26b+a,18b+a,13b+a,10b+a,4b+a,-b+a.这六个数值与表中相应的六个yˆ的实际值应该越接近越好.所以，我们用类似于估计总体平均数时的思想，考虑离差平方和Q(a,b)=(26b+a-20)2+(18b+a-24)2+(13b+a-34)2+(10b+a-38)2+(4b+a-50)2+(-b+a-64)2=1 286b 2+6a 2+140ab-3 280b-460a+10 172.Q(a,b)是直线yˆ=bx+a 与各个散点在垂直方向（纵轴方向）上的距离的平方和，可以用来衡量直线yˆ=bx+a 与图中6个点的接近程度，所以，设法取a ，b 的值，使Q(a,b)达到最小值.先把a 看作是常数，那么Q 是关于b 的二次函数.用配方法可得，当b=-128623820140⨯-a 时，Q 取得最小值.同理，把b 看作是常数，那么Q 是关于a 的二次函数.用配方法可得，当a=-12460140-b 时，Q 取得最小值.因此,当b=-128623820140⨯-a ，a=-12460140-b 时, Q 取得最小值,由此解得b≈-1.6477,a ≈57.556 8.所以所求的直线方程为yˆ=-1.647 7x+57.556 8.像这样能用直线方程yˆ=bx+a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系. 人们经过长期的实践与研究,已经得出了从数量关系的角度来计算回归直线方程的斜率与截距的一般公式为: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=∑∑==xb y a x x y y x x b ni ini i i 11)())((, 从而得到回归直线方程为yˆ=bx+a. 下面我们一起来探究一下这个公式. 设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1,y 1),(x 2,y 2),…，(x n ,y n ),设所求的回归直线方程为yˆ=bx+a ，其中a ，b 是待定的系数，当变量x 取x 1,x 2,…,x n 时，可以得到i yˆ=bx i +a(i=1,2,…，n).它与实际收集到的y i 之间的偏差是y i -i yˆ=y i -(bx i +a)(i=1,2,3,4,…,n).这样用这n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.但是,由于y i -i yˆ=y i -(bx i +a)(i=1,2,3,4,…,n)的值可正可负,可以相互抵消,而且若取其绝对值,考虑用∑=ni 1=|y i -Y i |来代替,但是,由于它含有绝对值运算不太方便,因此我们可以模仿方差的计算方法取其偏差的平方最小值. 表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度.即Q=(y 1-bx 1-a)2+(y 2-bx 2-a)2+…+(y n -bx n -a)2来刻画n 个点与回归直线在整体上的偏差.这样,问题,就归结为:当a ，b 取什么值时,Q 的取值最小,即总体偏差最小?上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次三项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值.即Q=na 2+∑=ni 1=1x i 2b 2+∑=ni 1=1y i 2-2∑=ni 1=1bx i y i +2∑=ni 1=1abx i -2∑=ni 1=1ay i . (*)上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次三项式，我们可以把(*)式看成以a 为变量的二次三项式,应用配方法可得，当 (1)时，Q 取得最大值；因为（1）式中还含有变量a ，我们无法求出b 的数值，那么我们如何求出斜率b 与截距a 的一般公式为: 从而得到回归直线方程为yˆ=bx+a 呢？ 我们还可以把(*)式看成以b 为变量的二次三项式,应用配方法可得，当a=(2) 时，Q 取得最大值.观察(1)、(2)两个式子,因为(1)、(2)两个式子中都是含有a 、b 的二元一次方程，我们可以由(1)(2)解得：从而得到相应的直线叫做回归直线yˆ=bx+a ，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析.这种求出斜率b 与截距a 的方法叫做最小平方法（method of least square ）（又称最小二乘法）.说明:一元线性回归分析也是研究两个变量的线性相关性，但比相关分析的应用更为广泛，它不仅可以说明两个变量是否一起变化，还可以计算出预测方程以预计这两个变量是如何一起变化的.预测方程的形式为：yˆ=bx+a ，通常叫作回归方程.y 叫做因变量，x 叫做自变量，其中a 是常数项，b 叫一元回归系数.1.对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a、b，求出回归直线方程即可.不要求掌握回归直线方程的推导过程.2.求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义.因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性.3.求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误.4.回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充.因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识.应用示例例1 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：根据上述数据，人体脂肪含量和年龄之间有怎样的关系？分析：上节课已给出此问题，并作了回答但没有说明理由，这次补充完整.解：观察表中的数据，大体上来看，随着年龄的增加，人体中脂肪的百分比也在增加.为了确定这一关系的细节，我们需要进行数据分析.我们假设人的年龄影响体内脂肪含量，于是，按照习惯，以x轴表示年龄，以y轴表示脂肪含量，得到相应的散点图.从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高，图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系，这个图支持了我们从数据表中得出的结论.经计算可得到回归直线的回归方程为yˆ=0.577x-0.448.点评：使前后产生较强的联系性，使学生意识到学数学等于师生在共同编导连续剧，每节课都应参与，不然会掉队.例2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料,请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系,如果具有线性相关关系,求出线性回归方程;如果不具有线性相关关系,请说明理由.分析：一般地，用回归直线进行拟合的一般步骤为： （1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近； （2）如果散点在一条直线附近，用公式求出a,b.解：在直角坐标系中作出所给数据的散点图，并写出线性回归方程.从散点图我们可以直观判断散点在某条直线附近，这说明两个变量是相关关系.计算相应的数据之和为:∑=ni ix1=95+110+112+120+129+135+150+180=1 031，∑=ni ix1=6.2+7.5+7.7+8.5+8.7+9.8+10.2+13=71.6，∑=ni ix12=137 835，∑=ni ix1x i y i =9 611.7，代入公式（*）计算得b≈0.077 4,a=-1.024 1，所以,所求的线性回归方程为yˆ=0.774x-1.024 1. 点评：要知道：在并不具有相关关系的情况下，对应的线性回归方程虽然也可以求出，但它并无实际意义，同时也要注意，在散点图中显示线性相关的一组数据不一定具有相关关系.这部分内容会在选修1-2中再次有所体现.例3 一般地，(x,y)的n 组观察数据：若它的回归直线方程为yˆ=a+bx ，则直线y ˆ=a+bx 恒过的定点是什么？ 分析：如果没有前面的推导背景，此题有点困难，但由于黑板上的板书还在，所以有学生能发现结论.解：由线性回归方程的推导，可知方程的系数a,b 满足条件：，a=y-b x.由此不难发现，点(x,y)的坐标满足直线yˆ=a+bx的方程.所以，由点与直线的位置关系可得点(x,y)在直线yˆ=a+bx上，即直线yˆ=a+bx恒过点(x,y).这里x=, y=.点评：刚推导过线性回归方程，所以此题比较适合趁热打铁，可提前做例1；此结论在以后的解题中经常出现，因此可以让学生记忆.例4 工人工资（元）以劳动生产率（千元）变化的回归方程yˆ=50+80x，下列判断正确的是（）A.劳动生产率为1 000元时，工资为130元B.劳动生产率提高1 000元时，工资大约提高80元C.劳动生产率提高1 000元时，工资提高大约130元D.当月工资250元时，劳动生产率为2 000元分析：满足回归方程是指：工人工资（元）以劳动生产率（千元）之间具有相关关系，但不是确定的函数关系，所以选项A用的肯定语气是错的，其他的选项通过函数关系式的代入发现，只有选项B是正确的.答案：B点评：体会回归方程的应用.知能训练1.线性回归方程yˆ=kx+a所表示的直线使得（）A.散点图中的点到直线的距离之和最小B.散点图中的点到直线的距离的平方和最小C.散点图中的点与直线相同横坐标处对应的纵坐标的距离之和最小D.散点图中的点与直线相同横坐标处对应的纵坐标的距离的平方和最小2.如果有一组成对数据，求出回归直线的方程是y=2.0x+10，那么（）A.这条回归直线总是有意义的B.这条回归直线总是可以用来预测y值C.在散点图中的点都在这条直线附近时，这条回归直线才有意义D.x=10时，y的预测值为20，说明在x=10时，y的值一定等于20解答：1.D 2.C课堂小结(让学生进行小结，谈谈体会，帮助他们回顾反思、归纳概括.)1. 变量间相关关系的散点图以及正相关和负相关；2. 如何利用“最小二乘法”思想求直线的回归方程；3. 学会用回归思想考察现实生活中变量之间的相关关系.作业课本习题2.4 1、2、3.设计感想通过对气温和热饮销量的关系散点图的分析，引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型），使学生通过探索用多种方法确定线性回归直线，学会类比寻求新的突破方法，体会最小二乘法的思想，掌握计算回归方程的斜率与截距的方法，求出回归直线方程.通过典型的求解，强化回归思想的建立，理解回归直线与观测数据的关系. 通过引导学生感受生活中实际问题转化为数学问题，学会类比寻求新的突破方法，体会最小二乘法的思想，培养学生的创新精神，不断收取信息，学会用统计知识对实际问题进行数学分析.本节课在理解最小二乘法的时候所用时间较多，在推导线性回归方程时，计算量特别大，所以费时也较多，建议分一点内容到上一节课协调一下.习题详解习题2.41.（1）散点图如下：（2）线性回归方程为yˆ=5.2x+24.2.（1）散点图如下：（2）根据散点图，这些点在一条直线的附近，x与y具有线性相关关系，线性回归方程为yˆ=0.305 21x+9.990 32.3.（1）散点图如下：（2）x与y之间的线性回归方程为yˆ=14.090 91x-13.227 27.4.略.。

2.4 线性回归方程名师导航三点剖析一、变量之间关系在实际问题中，变量之间关系有两类:一类是确定性关系，变量之间关系可以用函数表示.例如，正方形面积S与边长a之间就是确定性关系，可以用函数S=a2表示.在实际问题中，变量之间关系除了确定性函数关系之外，还有一种非确定性关系.例如:商品销售收入与广告支出经费之间关系.我们不可否认商品销售收入与广告支出经费之间有着密切联系，但商品销售收入不仅与广告支出多少有关，还与商品质量、居民经济状况等因素有关.再如:粮食产量与施肥量之间关系.在一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越高.但是，施肥量并不是决定粮食产量唯一因素，因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素影响.又如人身高与体重之间关系、人年龄与血压之间关系等，这些变量之间存在着密切关系，但它不能由一个变量数值准确地确定另一个变量数值.像这种自变量取一定值时，因变量取值带有一定随机性,这样两个变量之间关系，我们称之为相关关系.从某种意义上讲,函数关系可以看作是一种理想关系模型，而相关关系那么是一种非常普遍关系.研究与学习相关关系不仅可以使我们能够处理更为广泛数学问题，还可以使我们对函数关系认识上升到一个新高度.在现实生活中,存在大量相关关系，所以,寻找变量之间相关关系很有必要.在此,统计在其中发挥着非常重要作用.在相关关系中，变量关系不是完全确定，而是带有不确定性.这就需要通过收集大量数据(有时通过调查，有时通过试验)，在对数据进展统计分析，发现其中规律，才能对它们之间关系作出判断.二、散点图在考虑相关关系中两个量关系时，为了对变量之间关系有一个大致了解，我们通常将变量所对应点描出来，这些点就组成了具有相关关系变量之间一组数据图形，通常称这种图为变量之间散点图.通过具有相关关系两个量散点图我们可以对这两个变量间关系有一个大致了解.例如:在7块并排、形状大小一样试验田上进展施化肥量对水稻产量影响试验，得到如下表所示一组数据(单位:kg).将表中各对数据在平面直角坐标系中描点，即可得到该组数据散点图,如图6-12所示:图6-12由图可发现，图中各点大致分布在一条直线附近.三、最小二乘法、线性回归方程1．最小二乘法由施化肥量对水稻产量影响试验所得到散点图可发现，图中各点，大致分布在一条直线y=a+bx 附近.故可用一个线性函数近似表示施化肥量与水稻产量之间关系.这种线性关系可以用多种方法来进展刻画，那么用什么样线性关系刻画会更好一些呢？有一个非常直观想法，一个好线性关系要保证这条直线与所有点都近.如果有n 个点:(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )，可以用下面表达式来刻画这些点与直线y=a+bx 接近程度:［y 1-(a+bx 1)］2+［y 2-(a+bx 2)］2+…+［y n -(a+bx n )］2．使得上式到达最小值直线y=a+bx 就是我们所要求直线，这种方法称为最小二乘法. 2．线性回归方程通过收集现实生活中两个有关联变量数据作出散点图，如果所有散点分布成或近似成一条直线，我们说这两个变量有线性关系(否那么就说两个变量不具有线性关系)，然后运用最小二乘法思想，用一条直线来拟合两个变量之间关系:y=a+bx.要求所有点相对于该直线偏差平方与尽可能到达最小.我们把y=a+bx 称作线性回归方程，其中求线性回归方程一般步骤:(1)根据两组数据计算；，，，，，x ∑∑∑∑====n1i i i n1i 2i n1i i n1i i y x x y x y (2)代入(*)计算求a 、b 值； (3)代入y=a+bx.一般情况下，求线性回归方程可借助计算器与计算机来完成.问题探究问题1:在一次对人体脂肪含量与年龄关系研究中，研究人员获得了一组样本数据:人体脂肪含量与年龄之间关系根据上述数据，人体脂肪含量与年龄之间有怎样关系？探究:观察表中数据，大体上来看，随着年龄增加，人体中脂肪百分比也在增加.为了确定这一关系细节，我们需要进展数据分析.我们假设人年龄影响体内脂肪含量，于是，按照习惯，以x轴表示年龄，以y轴表示脂肪含量，得到相应散点图(如图6-13所示).图6-13从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高，图中点趋势说明两个变量之间确实存在一定关系，这个图支持了我们从数据表中得出结论.经计算可得到回归直线回归方程为yˆ=0.577x-0.448． 问题2:一般地，(x,y)n 组观察数据:x x 1 x 2 x 3 … x n yy 1y 2y 3…y n回归直线方程为y=a+bx ，那么直线y=a+bx 恒过定点是什么？ 探究:由线性回归方程推导，可知方程系数a 、b 满足条件:x b ，x x n y x y x n b ni i n i i ni i ni i ni i i ---=∑∑∑∑∑=====y -a )())((2112111.由此不难发现，点(x ，y )坐标满足直线y=a+bx 方程.所以,由点与直线位置关系可得点(x ，y )在直线y=a+bx 上,即直线y=a+bx 恒过点(x ，y ).这里x =n1∑=ni i x 1，y =n1. 精题精讲例1．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售影响，经过统计，得到一个卖出热饮杯数与当天气温比照表: 摄氏温度/℃-547 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数 1561513212813011610489 93 76 54(1)画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系一般规律； (3)求回归方程；(4)如果某天气温是2℃，预测这天卖出热饮杯数.思路解析根据所给数据，作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；如果散点在一条直线附近，用公式(*)求出a、b，写出线性回归方程.答案:(1)散点图如图6-14所示:图6-14(2)从图中看到，各点散布在从左上角到右下角区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去热饮杯数越少.(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，因此，可用公式(*)求出回归方程系数.利用计算器容易求得回归方程yˆ=-2．352x+147．767．(4)当x=2时，yˆ=143．063．因此，某天气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮.例2．为研究某市家庭年平均收入与年平均生活支出关系，该市统计调查队随机调查了10个家庭，得数据如下:求回归直线方程.思路解析答案:列表.故可求得．y ，，，，x ni n n 17.27x 7.22y 88.32x 42.1102.14y 72.1102.171i i 1i 2i 1i 2i =======∑∑∑===∴b=0.833，a=－0.013．∴回归直线方程为y=0.833x －0.013．例3．随机调查了某地区10个商店建筑面积x(km 2)与年销售额y(百万元)样本如下: (1)求y 关于x 线性回归方程；(2)假设线性关系存在，那么对于一个拥有10 000m 2商店来说，它年销售额为多少？ 思路解析答案:(1)列表.∴x=10×169.6=16.96，y=10×99.3=9.93．∴=3 174.9，=5 968.4，=1 822.79．∴ ∴y=0.48x+1.75．(2)当x=10时，y=6.55．∴年销售额约为655万元.绿色通道此题反映了生活中普遍存在商店面积与年销售额之间联系，并根据已有数据得出线性回归方程.这是一类日常生活中经常出现问题.商店面积与年销售额之间存在着线性相关关系,根据相关数据我们求出它们之间线性回归方程.利用该方程得出年销售额也只是一种估计.。

201７－2０18学年高中数学第2章统计2.4 线性回归方程教学案苏教版必修3编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（２0１７-2０18学年高中数学第2章统计 2．4 线性回归方程教学案苏教版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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２。

4 线性回归方程房地产涨价一直是受关注的民生问题之一，以下是某房地产开发商在20１3年前两季度销售的新楼盘中的销售价格y（单位：万元)与房屋面积x(单位：m2）的数据。

x115110801３510５y49。

643.238.858.444问题1:在平面直角坐标系中,以ｘ为横坐标，y为纵坐标作出表示以上数据的点．提示：问题２:从上图中发现x,y有何关系?是函数关系吗？提示:从图中发现x逐渐增大时，y逐渐增大，但有个别情况．不是函数关系.１.变量间的常见关系(１)函数关系：变量之间的关系可以用函数表示,是一种确定性关系.(２）相关关系：变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达.２.散点图从一个统计数表中，为了更清楚地看出变量ｘ与变量y是否有相关关系,常将x的取值作为横坐标,将ｙ的相应取值作为纵坐标,将表中数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出,我们称这样的图形叫做散点图。

某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表:气温/℃261８13１04-1杯数２024３4385064问题1：判断气温与杯数是否有相关关系？提示:作散点图可知具有相关关系．问题2:若某天的气温是-5℃，能否根据这些数据预测小卖部卖出热茶的大体杯数？提示:可以．根据散点图作出一条直线,求出直线方程后可预测.1．线性相关关系:能用直线错误!＝ｂx+a近似表示的相关关系．２.线性回归方程：设有n对观察数据如下:ｘx1ｘ2ｘ３…x nｙy１ｙ２y３…yｎ当a，ｂ使Q=（y１-bｘ1－a）２＋（y2－bx2－a）２＋…＋(y n－ｂx n－a)2取得最小值时,就称方程＼o(ｙ,＼s＼uｐ6(^))＝bx+a为拟合这n对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线.3．用回归直线进行数据拟合的一般步骤：（１)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近.(2)如果散点在一条直线附近,用公式错误!求出a,b,并写出线性回归方程.１.函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，如试验田的施肥量ｘ与水稻的产量y。

2.4线性回归方程整体设计教材分析在实际问题中，变量之间的关系有两类：一类是确定性关系，变量之间的关系可以用函数表示.例如，正方形的面积S与边长a 之间就是确定性关系，可以用函数s=a2表示.还有一类是非确定性关系，例如“学生数学成绩与物理成绩之间的关系”“粮食的产量与施肥量之间的关系”“商品的销售额与广告费支出之间的关系”“人体的脂肪百分比和年龄之间的关系”等贴近学生的实际问题，它不能由一个变量的数值精确地确定另一个变量的数值.像这种自变量取一定值时，因变量的取值带有一定随机性，这样的两个变量之间的关系，我们称之为相关关系.“线性回归方程”这一节是为了帮助我们了解变量之间的相关关系，使学生学会区别变量之间的函数关系与变量相关关系，从而达到正确判断实际生活中两个变量之间的相关关系并会作出变量相关关系的散点图；通过散点图的直观性，看各点是否在某条直线附近摆动来为判断两个变量之间的相关关系打下坚实的基础.通过对人体脂肪百分比和年龄之间的关系散点图的分析，引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型），使学生通过探索用多种方法确定线性回归直线，学会类比寻求新的突破方法，体会最小二乘法的思想，掌握计算回归方程的斜率与截距的方法，求出回归直线方程.通过典型的求解，强化回归思想的建立，理解回归直线与观测数据的关系. 通过引导学生感受生活中实际问题转化为数学问题，学会类比寻求新的突破方法，体会最小二乘法的思想，培养学生的创新精神，不断收取信息，学会用统计知识对实际问题进行数学分析.通过课堂目标检测达到强化所学知识点，提高学生对现代化教学工具的应用能力.三维目标1.通过实例，使学生感受到现实世界中变量之间除了函数关系外，还存在着虽无确定的函数关系，但却有一定的关联性的相关关系，相关关系是一种非确定性关系.2.通过收集实际问题中两个有关联变量的数据作出散点图，直观认识变量间的相关关系.3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，运用最小二乘法的思想，发现可用线性回归方程近似地表示两个具有相关关系的变量之间的关系，并能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.重点难点教学重点：1.会区别变量之间的函数关系与变量相关关系；会举例说明现实生活中变量之间的相关关系.2.会作散点图，并由此对变量间的关系作出直观的判断，会求回归直线.教学难点：1.对变量之间的相关关系的理解；变量之间的函数关系与变量相关关系的区别.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课（多媒体播放四个问题，组织学生分析、思考）问题1：将汽油以均匀的速度注入桶里，注入的时间t与注入的油量y如下表：从表里数据得出油量y与时间t之间的函数关系式为________________.问题2：圆的面积S与半径r之间的函数关系式为________________.问题3:小麦的产量y千克每亩与施肥量x千克每亩之间的关系如下表：从表里数据能得出小麦的产量y与施肥量x之间的函数关系式吗？问题4：人的体重y与身高x之间有什么关系呢？分析问题1：因为是以均匀的速度注入桶里，所以注入的油量y与注入的时间t成正比例关系，由表格数据知，注入的油量y与注入的时间t之间的函数关系式为y=2x(x≥0).因为是实际问题，所以要特别注意自变量的取值范围要有实际意义.分析问题2：这是大家熟悉的面积公式，所以圆的面积S与半径r之间的函数关系式为S=πr2(r>0).第1、2两个问题中的变量间的函数关系是确定的，在我们的现实生活，两个变量之间存在确定性的关系是极少的，而两个变量之间存在不确定性的关系是很普遍的，那么问题3中两个变量之间是确定性的函数关系，还是不确定性的关系呢？学生甲分析问题3：此问中两个变量之间是确定性的函数关系，设为y=kx+b，当x=10时，函数值y为420；当x=20时，函数值y为440，代入可得函数关系式为y=2x+400(x≥0).学生乙：学生甲的回答是错误的，若函数关系式为y=20x+400(x≥0)，当x=30时，函数值为460，而不是470.但是可以感觉到施肥量越大，小麦的产量就越高.教师分析：从表格里容易发现施肥量越大，小麦的产量就越高.但是，施肥量并不是影响小麦产量的唯一因素，小麦的产量还与土壤的质量、降雨量、田间管理等诸多因素的影响有关，更何况当施肥量超出一定范围时，还会造成小麦的倒塌，以致颗粒无收.这时两个变量之间就不是确定性的函数关系，那么这两个变量之间究竟是什么关系呢？这就是我们本节课所要研究的问题——变量之间的相关关系.(引入新课，书写课题)推进新课新知探究由学生举出现实生活中的相关关系的例子，教师归纳概念！1.变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达，即当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，函数关系是两个非随机变量之间的关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系（有因果关系，也有伴随关系）.通过上述三个问题请学生思考相关关系与函数关系有什么区别与联系？相关关系与函数关系的异同点如下：相同点：均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.注意：问题3中小麦的产量是在土壤的质量、降雨量、田间管理等诸多变量共同作用下的结果，本节课只研究其中两个主要变量之间的相关关系.我们只能得出经验性的结论：施肥量越大，小麦的产量就越高.但是经验再丰富，也容易犯经验性的错误.施肥量过大，反而容易造成粮食的减产.由学生解决问题4, 人的体重y与身高x之间是一种非确定关系的相关关系，因为，一般说来，身高越高，体重就越重，而无法写出具体的函数关系.应用示例例1 某班学生在一次数学测验和物理测验中，学号1到20的学生的成绩如下表：从表里数据你能得出什么样的经验性结论呢？分析：即是考虑两门学科成绩之间是否具有一定的相关关系.解：数学成绩好的同学则物理成绩就好，反之，数学成绩差的同学则物理成绩就差.点评：注意，只是问的“得出什么样的经验性结论”，并不完全绝对.例2 下面提供四个问题，让各组同学共同探究：第一小组探究的问题是：调查一下本组所有成员的视力与各自的学习成绩关系.第二小组探究的问题是：商品的销售额与广告费支出之间的关系.第三小组探究的问题是：调查一下本组所有成员的身高与各自的体重之间的关系.第四小组探究的问题是：气温的高低与空调的销售量间的关系.分析：根据变量的相关关系讨论.解：第一小组：通过对本组所有成员的调查我们得到结论是：学习成绩好的同学的视力都不太好，都佩带了近视眼镜，但是，我们发现这个结论对我们全班来说就不成立，例如，我们班第一名同学的视力却是很棒，所以我们只能说学习成绩好的同学的视力一般都不太好，人的视力还与用眼卫生习惯、遗传因素等有密切关系.第二小组：通过本组所有成员的共同探讨，我们得到结论是：商品的销售额与广告费支出之间有密切的关系，但商品的销售额不仅与广告费支出多少有关，还与商品的质量、居民收入以及售后服务的质量等诸多因素有关.第三小组：通过对本组所有成员的调查我们得到结论是：身材高的同学的体重一般来说大多都比较大，但是，人的体重还与饮食习惯、遗传因素等有密切关系.第四小组：通过本组所有成员的共同探讨，我们得到结论是：气温的高低与空调的销售量之间有密切的关系，但空调的销售量不仅与气温的高低有关，还与空调的质量、居民收入以及售后服务的质量等诸多因素有关.点评：通过此例使学生养成考虑问题要多方面思考的习惯.例3 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A.角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C.正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高解析：利用变量的函数关系与相关关系解决问题.角度和它的余弦值是一个确定的函数关系y=cosx；正方形边长和面积：s=a2；正ｎ边形的边数和它的内角和：s=(n-2)×180°，而人的年龄和身高具有相关关系.答案：D点评：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.例 4 “强将手下无弱兵”可以理解为将军的本事越高，他手下的士兵的本事也越高.那么，将军的本事与士兵的本事成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？分析：这是与生活、生产、工作、学习息息相关的相关关系，语言功底好的同学更显优势.解：此题与“名师出高徒”相对应.另外举例有：水涨船高.点评：此题加强了与其他学科的联系，学生会对数学很有亲切感.知能训练1.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：根据上述数据，人体脂肪含量和年龄之间有怎样的关系？2.某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：根据上述数据，气温与热茶销售量之间有怎样的关系？解答：1.观察表中的数据，大体上来看，随着年龄的增加，人体中脂肪的百分比也在增加.2.观察表中的数据，大体上来看，气温越高，卖出去的热饮杯数越少.点评：使学生学会全面考察现实生活中变量之间的相关关系，并为下一节课作铺垫.课堂小结(让学生进行小结，帮助他们回顾反思、归纳概括.)1.变量之间的相关关系；2.变量之间的函数关系与变量相关关系的区别；3.学会全面考察现实生活中变量之间的相关关系.作业阅读、预习课本中本节下一部分内容.举出生活中具有相关关系的例子.设计感想通过生活中存在相关关系的一些典型事例，如“学生数学成绩与物理成绩之间的关系”“粮食的产量与施肥量之间的关系”“商品的销售额与广告费支出之间的关系”等贴近学生的实际问题，介绍与函数关系不同的两个变量之间的相关关系，在教学设计时，通过复习变量之间的函数关系引出变量相关关系，由熟悉到生疏的过程便于学生理解，同时分成四个小组同学共同探究以下四个问题：（1）调查一下本组所有成员的视力与各自的学习成绩关系；（2）商品的销售额与广告费支出之间的关系；（3）调查一下本组所有成员的身高与各自的体重之间的关系；（4）气温的高低与空调的销售量间的关系.通过讨论来强化学生对所学内容的理解.(设计者:王慧）。