2018年一线名师肖城老师初中数学平行组卷及考点详解

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》5.3平行线的性质平行线性质定理性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】（1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.（2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.【注意】判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如直线公理：两点确定一条直线.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．【注意】（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.（2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数．【解答】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B＝40°．故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.【变式1-1】（2023秋•简阳市期末）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠4＝（）A．70°B．110°C．140°D．150°【分析】先根据a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度数，由平角的定义得出∠5的度数，再由∠2＝∠3得出∠2的度数，再得出∠2+∠5的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°，∴∠5＝180°﹣140°＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝70°，∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°，∴∠4＝∠2+∠5＝110°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（）A．200°B．210°C．220°D．230°【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD 平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直线AB与OM交于点C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠O＝60°．【点评】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2023秋•海门区期末）如图，直线CE，DF相交于点P，且CE∥OB，DF∥OA．（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度数；（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度数；（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD称四边形PCOD的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求得答案；（2）根据两直线平行，同位角相等及两直线平行，内错角相等即可求得答案；（3）根据两直线平行，同旁内角互补即可证得结论．【解答】解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°，∴∠PDB＝∠AOB＝45°；（2）∵CE∥OB，∴∠CPD＝∠PDB，∵DF∥OA，∴∠PDB＝∠AOB，∴∠AOB＝∠CPD，∵∠CPD＝45°，∴∠AOB＝45°；（3）相等，理由如下：∵CE∥OB，DF∥OA，∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°，∵∠AOB＝∠CPD，∴∠OCP＝∠ODP．【点评】本题考查平行线性质，熟练掌握并利用平行线的性质是解题的关键．【变式1-7】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠DAG和∠CAG度数，然后根据AP平分∠CAD，即可得到∠PAG 的度数．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-8】（2023秋•原阳县校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC．BE垂直于CE，求证：CE平分∠BCD．【分析】过E作EF∥AB交BC于点F，根据平行线的性质可求得∠ABC+∠BCD＝180°，再结合垂线的定义可得∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，再利用角平分线的定义可证明结论．【解答】证明：过E作EF∥AB交BC于点F，∴∠ABE＝∠FEB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠FEC，∵BE⊥CE，∴∠BEF+∠CEF＝∠ABE+∠DCE＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠DCE＝∠BCE，∴CE平分∠BCD．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，证明∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°是解题的关键．【例题2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得到∠A＝90°，可证明DA⊥AB．【解答】证明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.【变式2-1】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．【解答】证明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代换），∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）∴CD⊥AB．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F，则∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，进而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠BAD，∴∠CGF=12∠BAD，∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠DCE，∴∠FCG=12∠B，∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．【例题3】（2023秋•深圳期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（）A．88°B．89°C．90°D．91°【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数．【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，∵∠BOC＝133°，∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，∴∠OCD＝∠POC＝89°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.【变式3-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是千米．【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，故答案为：8．【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．【变式3-2】（2022春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．【变式3-3】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？【分析】根据平行线的性质结合条件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可证得∠5＝∠6，可证明l∥m，据此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义），即：∠5＝∠6（等量代换），∴l∥m．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式3-4】（2023秋•市南区期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝．【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度数，再根据OE∥DM即可求出∠ANM的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，∴∠BOD＝∠ODC＝32°．∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠EOB＝90°+32°＝122°．∵OE∥DM，∠ANM＝∠EOB＝122°．故答案为：122°．【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．【变式3-5】（2023秋•东莞市校级期末）如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝．【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【解答】解：由题意得：DE∥AB，∴∠ABD＝∠EDC＝50°，∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，∴∠DCE＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．【变式3-6】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．【变式3-7】（2023春•岱岳区期末）如图，EF，MN分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】先根据MN∥EF得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故可得出∠1+∠2＝∠3+∠4，再由∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），故可得出∠ABC＝∠BCD，据此得出结论．【解答】解：AB∥CD．理由：∵MN∥EF，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【例题4】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB ＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（）A．38°B．45°C．52°D．58°【分析】根据已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行线的性质即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2+∠3＝90°C．∠3+∠4＝180°D．∠1+∠2＝90°【分析】根据平行线的性质定理求解．【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合题意；由题意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4＝180°，故选项C不符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．【变式4-2】（2023秋•榆树市校级期末）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为度．【分析】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行线的性质可得∠BDF＝∠ABC＝60°，从而可求∠BDE的度数．【解答】解：由题意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，∵FD∥BC，∴∠BDF＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．故答案为：15．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【变式4-3】（2023秋•新野县期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝．【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案．【解答】解：由已知可得，∠3＝30°，∵∠2＝98°，∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°，∵m∥n，∴∠1＝∠4＝52°．故答案为：52°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质．【变式4-4】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．55°【分析】由题意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行线的性质可求得∠CAE＝120°，从而可求得∠CAD＝30°，则∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度数．【解答】解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∵AC∥DE，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．【变式4-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD 的度数．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式4-6】（2023秋•盐城期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，则∠ACD的度数为．【分析】过点C作CF∥AB，则有AB∥CF∥DE，从而可得∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，即可求∠ACD的度数．【解答】解：过点C作CF∥AB，如图，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝105°．故答案为：105°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（）A．58°B．64°C．72°D．60°【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°，∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．【变式5-1】（2022秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（）A．77°B．64°C．26°D．87°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折叠可得，∠α=12∠DEG=12×154°＝77°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【变式5-2】（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵图案是由一张等宽的纸条折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵纸条的长边平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键．【变式5-4】（2023秋•阳城县期末）将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝．【分析】证明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性质解决问题．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠5，由翻折变换的性质可知∠4＝∠5，∴∠4＝∠2，∵∠1＝∠2+∠4＝110°，∴∠2＝∠4＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解翻折变换的性质，属于中考常考题型．【变式5-5】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1+∠2＝135°B．∠2﹣∠1＝15°C．∠1+∠2＝90°D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根据折叠的性质和平角的定义解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD，∴∠1+∠2＝135°，故选：A．【点评】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，由折叠的性质得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD是解题关键．【变式5-6】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．【解答】解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【例题6】（2023秋•仁寿县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，则下列结论：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的性质得到AD⊥EF，故①符合题意；∠CEF＝∠BCE，根据余角的性质得到∠CEF ＝∠ACE，故③符合题意；根据角平分线的定义得到CE平分∠ACB，故②符合题意；根据已知条件无法证明AB∥CF，故④不符合题意．【解答】解：∵AD⊥BC，EF∥BC，∴AD⊥EF，故①符合题意；∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∵EC⊥CF，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠F＝∠ACE+∠ACF＝90°，∵∠EFC＝∠ACF，∴∠CEF＝∠ACE，故③符合题意；∴∠ACE＝∠BCE，∴CE平分∠ACB，故②符合题意；∵EC⊥CF，要使AB∥CF，则CE⊥AB，∵CE平分∠ACB，但AC不一定与BC相等，∴无法证明AB∥CF，故④不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．【变式6-1】（2023秋•浚县期末）如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（）A．①③④B．①②③C．①②④D．②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．【解答】解：①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式6-2】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2＝180°+∠3C．∠1+∠3＝180°+∠2D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．【变式6-3】（2023春•镇江期中）如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根据∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根据∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠CED＝71°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝29°．【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下：∵AB∥CF，∠ACF＝80°，∴∠BAC＝∠ACF＝80°，∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，∴DE∥AB．（2）DE∥AB，∠CED＝71°，∴∠B＝∠CED＝71°，∵∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定．【变式6-4】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解；（2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度数为60°；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．【变式6-5】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．。

4.4 平行线的判定第1课时平行线的判定方法1基础题知识点1 同位角相等，两直线平行1．如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是(C)A．AD∥BC B．AB∥CDC．AD∥EF D．EF∥BC2．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是(A)A．同位角相等，两直线平行B．两直线平行，内错角相等C．两直线平行，同旁内角互补D．两直线平行，同位角相等3．如图，下列条件能判定AB∥CD的是(C)A．∠1＝∠3B．∠2＝∠3C．∠1＝∠2D．∠1＋∠2＝∠34．如图，∠C＝110°，请添加一个条件，使得AB∥CD，则符合要求的其中一个条件可以是答案不唯一，如∠BEF ＝110°．5．如图，已知点B、C、E在同一直线上，且∠1＝∠B，那么DC∥AB．6．如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD.解：因为∠2＝∠EHD(对顶角相等)，∠2＝70°，所以∠EHD＝70°.因为∠1＝70°，所以∠EHD＝∠1.所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．知识点2 平行线的判定方法1与性质的综合运用7．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝80°，则∠4＝(A)A．80°B．70°C．60°D．50°8．(随州中考)如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1＝∠2，∠3＝70°，则∠4的度数是(D)A．35° B．70°C．90° D．110°9．如图，∠EAD＝∠B，∠D＝75°，则∠C＝105°．10．如图，已知AB∥DE，且有∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明：BC∥EF.解：因为AB∥DE(已知)，所以∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．因为∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)，所以∠2＝∠4(等量代换)．所以BC∥EF(同位角相等，两直线平行)．中档题11．如图，若∠1＝∠2，图中与∠3相等的角有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝40°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b 绕点A 逆时针旋转(B)A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°13．如图，∠1＝∠2，∠2＝∠C ，则图中互相平行的直线有AB ∥CD ，EF ∥CG ．14．如图，能判定DE ∥BC 的同位角有4组．15．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝59°，则∠4＝121°．16．如图，已知∠AGD ＝∠ACB ，∠1＝∠2.试说明：CD ∥EF.解：因为∠AGD ＝∠ACB(已知)，所以DG ∥CB(同位角相等，两直线平行)．所以∠3＝∠1(两直线平行，内错角相等)．因为∠1＝∠2(已知)，所以∠3＝∠2(等量代换)．所以CD ∥EF(同位角相等，两直线平行)．17．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明：a ∥c.解：因为∠1＝∠2，所以a ∥b.因为∠3＝∠4，所以b ∥c.所以a ∥c.18．如图，∠ABC ＝∠DEF ，AB ∥DE ，AB ，EF 相交于M ，试判断BC ，EF 是否平行，并说明理由．解：BC ∥EF.理由：因为AB ∥ED ，所以∠DEF ＝∠AMF.又因为∠ABC ＝∠DEF ，所以∠ABC ＝∠AMF.所以BC ∥EF.19．如图，已知AB ∥DC ，∠D ＝125°，∠CBE ＝55°，AD 与BC 平行吗？为什么？解：AD ∥BC.因为AB ∥DC(已知)，所以∠A ＋∠D ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．因为∠D ＝125°(已知)，所以∠A ＝180°－∠D ＝55°.因为∠CBE ＝55°(已知)，所以∠A ＝∠CBE.所以AD ∥BC(同位角相等，两直线平行)．20．如图，直线AB 、CD 被直线GH 所截，且∠AEG ＝∠CFG ，EM 、FN 分别平分∠AEG 和∠CFG.试说明：EM ∥FN. 解：因为EM ，FN 分别平分∠AEG 和∠CFG ，所以∠GEM ＝12∠AEG ，∠GFN ＝12∠CFG. 因为∠AEG ＝∠CFG ，所以∠GEM ＝∠GFN.所以EM ∥FN.综合题21．如图，已知∠ADC ＝∠EFC ，∠3＝∠C ，试说明：∠1＝∠2.解：因为∠ADC ＝∠EFC ，所以AD ∥EF.所以∠1＝∠4.因为∠3＝∠C ，所以AC ∥DG.所以∠2＝∠4.又∠1＝∠4，所以∠1＝∠2.。

2018年七年级下册一线名师肖城老师初中数学平行组卷及考点详解一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．2．（3分）π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（3分）下列各组数值中，是方程2x﹣y=8的解的是（）A．B．C．D．4．（3分）已知点P（1﹣2a，a+3）在第二象限，则a的取值范围是（）A．a＜﹣3 B．a＞C．﹣＜a＜3 D．﹣3＜a＜5．（3分）已知点M（3，﹣2）与点N在同一条平行于x轴的直线上，且点N 到y轴的距离是4，则点N的坐标为（）A．（4，﹣2）B．（3，﹣4）C．（3，4）或（3，﹣4）D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）6．（3分）若实数abc满足a2+b2+c2=9，代数式（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2的最大值是（）A．27 B．18 C．15 D．127．（3分）已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜，则nx﹣m＜0的解集是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣38．（3分）若2x+5y+4z=0，3x+y﹣7z=0，则x+y﹣z的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．不能求出9．（3分）玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具设生产甲种玩具零件x天，乙种玩具零件y天，则有（）A．B．C．D．10．（3分）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）观察下列等式：（1）；（2）；（3）…请写出第六个等式．12．（3分）的平方根是，（﹣9）2的算术平方根是．13．（3分）如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m到达A1点，再向正北方向走6m到达A2点，再向正西方向走9m到达A3点，再向正南方向走12m到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按如此规律走下去，相对于点O，机器人走到A6时是位置．14．（3分）在二元一次方程x+4y=13中，当x=5时，y=．15．（3分）已知x．y是实数，且满足，则x+y=16．（3分）已知x=﹣2，y=1是关于二元一次方程3x+5y﹣k=1的解，则代数式2k﹣1=．17．（3分）若不等式组的解集是空集，则a，b的大小关系是．18．（3分）如果三个连续自然数的和不大于9，那么这样自然数共有组．19．（3分）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组．20．（3分）小华将若干个苹果放进若干个筐子里，若每只筐子放4只苹果，还剩20个苹果未放完；若每个筐子放8个苹果，则还有一个筐子没有放满，那么小华原来共有苹果个．三、解答题（共60分）21．（10分）计算：|﹣2|+﹣（﹣1）2017．22．（5分）如图所示，按要求画出图形：（1）将图形向右平移6个单位长度，画出平移后的图形；（2）将（1）中得到的图形向上平移5个单位长度，画出平移后的图形；（3）将（2）中得到的图形向左平移7个单位长度，画出平移后的图形．23．（5分）已知点A（﹣2，3），B（4，3），C（﹣1，﹣3），求（1）A，B两点之间的距离及点C到x轴的距离．（2）三角形ABC的面积．（3）若点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标．24．（10分）解方程组（1）（2）．25．（10分）解不等式（1）6x﹣3＞2x﹣7；（2）1﹣≤；（3），将解在数轴上表示．四、应用题（每小题6分，共12分）26．（6分）列方程解应用题今年某网上购物商城在“双11购物节“期间搞促销活动，活动规则如下：①购物不超过100元不给优惠；②购物超过100元但不足500元的，全部打9折；③购物超过500元的，其中500元部分打9折，超过500元部分打8折．（1）小丽第1次购得商品的总价（标价和）为200元，按活动规定实际付款元．（2）小丽第2次购物花费490元，与没有促销相比，第2次购物节约了多少钱？（请利用一元一次方程解答）（3）若小丽将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？为什么？27．（6分）某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分村镇修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源．幸福村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足部分由村民集资．修建A型、B型沼气池共20个．两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表：政府相关部门批给该村沼气池修建用地708m2．设修建A型沼气池x个，修建两种型号沼气池共需费用y万元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种；（3）若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最少的修建方案．五、综合题28．（8分）已知方程的解满足条件x＞0，y＜0，求m的取值范围．2018年七年级下册一线名师肖城老师初中数学平行组卷及考点详解参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得，x＞1，由②得，x≥2，故此不等式组得解集为：x≥2．在数轴上表示为：．故选A．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组得解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．2．（3分）π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【解答】解：在π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数是：π，共2个．故选B．【点评】此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．本题中是有理数中的整数．3．（3分）下列各组数值中，是方程2x﹣y=8的解的是（）A．B．C．D．【分析】把各项中x与y的值代入方程检验即可．【解答】解：A、把代入方程左边得：2+2=4，右边=8，左边≠右边，故不是方程的解；B、把代入方程左边得：4﹣0=4，右边=8，左边≠右边，故不是方程的解；C、把代入方程左边得：1+7=8，右边=8，左边=右边，是方程的解；D、把代入方程左边得：10+2=12，右边=8，左边≠右边，故不是方程的解，故选C【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4．（3分）已知点P（1﹣2a，a+3）在第二象限，则a的取值范围是（）A．a＜﹣3 B．a＞C．﹣＜a＜3 D．﹣3＜a＜【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．【解答】解：由点P（1﹣2a，a+3）在第二象限，得．解得a＞，故选B．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．5．（3分）已知点M（3，﹣2）与点N在同一条平行于x轴的直线上，且点N 到y轴的距离是4，则点N的坐标为（）A．（4，﹣2）B．（3，﹣4）C．（3，4）或（3，﹣4）D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出b，再根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值求出a，然后写出点N的坐标即可．【解答】解：∵点M（3，﹣2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，∴b=﹣2，∵N到y轴的距离等于4，∴a=±4，∴点N的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）．故选D．【点评】本题考查了点的坐标，主要利用了平行于x轴的直线上点的坐标特征，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值．6．（3分）若实数abc满足a2+b2+c2=9，代数式（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2的最大值是（）A．27 B．18 C．15 D．12【分析】根据不等式的基本性质判断．【解答】解：∵a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，∴﹣2ab﹣2ac﹣2bc=a2+b2+c2﹣（a+b+c）2①∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc；又（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=3a2+3b2+3c2﹣（a+b+c）2=3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2②①代入②，得3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2=3×9﹣（a+b+c）2=27﹣（a+b+c）2，∵（a+b+c）2≥0，∴其值最小为0，故原式最大值为27．故选A．【点评】本题主要考查了不等式a2+b2≥2ab．7．（3分）已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜，则nx﹣m＜0的解集是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3【分析】第一个不等式的方向改变，说明不等式两边除以的m小于0，由解集是x＜，可以继续判断n的符号；就可以得到第二个不等式的解集．【解答】解：由mx+n＞0的解集为x＜，不等号方向改变，∴m＜0且﹣=，∴=﹣＜0，∵m＜0．∴n＞0；由nx﹣m＜0得x＜=﹣3，所以x＜﹣3；故选D．【点评】当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．8．（3分）若2x+5y+4z=0，3x+y﹣7z=0，则x+y﹣z的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．不能求出【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把x，y用z表示出来，代入代数式求值．【解答】解：根据题意得：，把（2）变形为：y=7z﹣3x，代入（1）得：x=3z，代入（2）得：y=﹣2z，则x+y﹣z=3z﹣2z﹣z=0．故选A．【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．9．（3分）玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具设生产甲种玩具零件x天，乙种玩具零件y天，则有（）A．B．C．D．【分析】根据每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，则x天能够生产24x个甲种零件，y天能够生产12y个乙种零件．此题中的等量关系有：①总天数是60天；②根据甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，则乙种零件应是甲种零件的2倍，可列方程为2×24x=12y．【解答】解：根据总天数是60天，可得x+y=60；根据乙种零件应是甲种零件的2倍，可列方程为2×24x=12y．则可列方程组为．故选C．【点评】此题的难点在于列第二个方程，注意甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，说明生产的乙种零件是甲种零件的2倍，要列方程，则应让少的2倍，方可列出方程．10．（3分）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】先求出不等式组的解集（含字母a），因为不等式组有3个整数解，可逆推出a的值．【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，∵，∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；若三个整数解为0，1，2，则；解得．故选B．【点评】解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）观察下列等式：（1）；（2）；（3）…请写出第六个等式+=7+．【分析】从上3个式子中可以看出等式的得数和前面的等式是有规律的，第二个加数相同，等式后的第一个加数都是的倍数，前面根号里是几就是几倍．所以可以看出第n项为：+=（n+1）+．【解答】解：根据前面3个式子的规律可得：第六个等式：+=7+．【点评】本题主要考查了立方根的定义和性质，是一个找规律的题目，主要把握等式左边第一项与等式右边第一项由（n+1）的开三次方变成（n+1）倍的根号3，第二项则不变．12．（3分）的平方根是±3，（﹣9）2的算术平方根是9．【分析】根据平方根的定义和算术平方根的定义计算可得．【解答】解：∵=9，∴的平方根是±3，∵（﹣9）2=81，∴（﹣9）2的算术平方根是9，故答案为：±3，9．【点评】本题主要考查平方根和算术平方根，熟练掌握平方根的定义和算术平方根的定义是解题的关键．13．（3分）如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m到达A1点，再向正北方向走6m到达A2点，再向正西方向走9m到达A3点，再向正南方向走12m到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按如此规律走下去，相对于点O，机器人走到A6时是（9，12）位置．【分析】由题意可知：OA1=3；A1A2=3×2；A2A3=3×3；可得规律：A n﹣1A n=3n，根据规律可得到A5A6=3×6=18，进而求得A6的横纵坐标．【解答】解：根据题意可知当机器人走到A6点时，A5A6=18米，点A6的坐标是（6+3=9，18﹣6=12），即（9，12）．【点评】本题主要考查了点的坐标的意义．横坐标的绝对值是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值是点到x轴的距离．解题关键是根据题意求出各条线段的长度．14．（3分）在二元一次方程x+4y=13中，当x=5时，y=2．【分析】把x看做已知数，求出y即可．【解答】解：方程x+4y=13，当x=5时，5+4y=13，解得：y=2，故答案为：2【点评】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（3分）已知x．y是实数，且满足，则x+y=﹣12【分析】由于方程组中未知数的系数较大且同一未知数的两个系数都互质，所以不管用代入法还是加减法分别求出x与y的值，计算量都很大．考虑运用整体思想解这个方程组．又因为题目要求x+y的值，所以把x+y当作一个整体，将原方程组变形为，此方程组中的两个未知数分别是x与x+y，运用加减法消去未知数x即可．【解答】解：原方程组可写成，①×110﹣②×169，得19（x+y）=﹣228，解得x+y=﹣12．故答案为﹣12．【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，属于基础题型，但由于未知数的系数特点，难度较大．解二元一次方程组主要是通过消元（代入消元法、加减消元法），化二元一次方程组为一元一次方程，然后求出二元一次方程组的解．本题通过整体思想的运用，提高了解题速度和准确性．16．（3分）已知x=﹣2，y=1是关于二元一次方程3x+5y﹣k=1的解，则代数式2k﹣1=﹣5．【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数k的一元一次方程，可以求出k的值，从而求出关于k的代数式的值．【解答】解：把x=﹣2，y=1代入二元一次方程3x+5y﹣k=1，得﹣6+5﹣k=1，解得k=﹣2，则2k﹣1=﹣4﹣1=﹣5．【点评】解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程．一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值．17．（3分）若不等式组的解集是空集，则a，b的大小关系是a≤b．【分析】因为不等式组的解集是空集，利用不等式组解集的确定方法即可求出答案．【解答】解：∵不等式组的解集是空集，∴a≤b．故答案为：a≤b．【点评】本题考查由不等式组解集的表示方法来确定a，b的大小，也可以利用数轴来求解．18．（3分）如果三个连续自然数的和不大于9，那么这样自然数共有3组．【分析】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等关系．【解答】解：设最小的自然数为x，则选x+（x+1）+（x+2）≤9解得：x≤2故可以有几种组合：0，1，2；1，2，3；2，3，4．这样自然数共有3组．【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，读懂题列出不等式关系式即可求解．注意自然数包括0．19．（3分）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组．【分析】分别利用大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个分别得出等式得出答案．【解答】解：设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组：．故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．20．（3分）小华将若干个苹果放进若干个筐子里，若每只筐子放4只苹果，还剩20个苹果未放完；若每个筐子放8个苹果，则还有一个筐子没有放满，那么小华原来共有苹果44个．【分析】（1）关键描述语：若每只筐子放4只苹果，还剩20个苹果未放完，则苹果总数为：4×筐子数+20；（2）关键描述语：若每个筐子放8个苹果，还有一个筐子没有放满，则没放满的那个筐子里的苹果大于1小于8．【解答】解：设有x个框子，依题意得：解得：5＜x＜7∵x为正整数∴x=6∴4x+20=44即小华原来共有苹果44个．【点评】解决问题的关键是读懂题意，理解“还有一个筐子没有放满”的含义，理解这句话中包含的不等关系是解题的关键．三、解答题（共60分）21．（10分）计算：|﹣2|+﹣（﹣1）2017．【分析】原式利用绝对值的代数意义，立方根定义，以及乘方的意义计算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣2+1=1．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（5分）如图所示，按要求画出图形：（1）将图形向右平移6个单位长度，画出平移后的图形；（2）将（1）中得到的图形向上平移5个单位长度，画出平移后的图形；（3）将（2）中得到的图形向左平移7个单位长度，画出平移后的图形．【分析】（1）根据平移规律：向右平移6个单位长度，找出各关键点的对应点，然后顺次连接，即得到平移后的图形；（2）根据平移规律：向上平移5个单位长度，找出各关键点的对应点，然后顺次连接，即得到平移后的图形；（3）根据平移规律：向左平移7个单位长度，找出各关键点的对应点，然后顺次连接，即得到平移后的图形．【解答】解：（1）所画图形如图（1）所示；（2）所画图形如图（2）所示；（3）所画图形如图（3）所示．【点评】本题考查的是平移变换．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．23．（5分）已知点A（﹣2，3），B（4，3），C（﹣1，﹣3），求（1）A，B两点之间的距离及点C到x轴的距离．（2）三角形ABC的面积．（3）若点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标．【分析】（1）直接利用C点坐标得出点C到x轴的距离；（2）根据三角形的面积求解可得；（3）利用△ABP的面积为6，得出P到AB的距离进而得出答案．【解答】解：如右图所示，∵A（﹣2，3），B（4，3），C（﹣1，﹣3），∴AB=4﹣（﹣2）=6，点C到AB的距离是：3﹣（﹣3）=6；（2）△ABC的面积是：=18；（3））∵点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，∴P到AB的距离为：6÷（×6）=2，故点P的坐标为：（0，1），（0，5）．【点评】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．24．（10分）解方程组（1）（2）．【分析】（1）将方程②×3后，再加上①消去y，据此求得x的值，将x的值代入方程①可得y；（2）方程①×2后，加上方程②消去y，据此求得x的值，将x的值代入方程①可得y．【解答】解：（1）原方程组整理得，①+②，得：7x=7，解得：x=1，将x=1代入①，得：1+y=2，解得：y=1，∴方程组的解为；（2），①×2，得：4x+2y=4 ③，②+③，得：7x=14，解得：x=2，将x=2代入①，得：4+y=2，解得：y=﹣2，∴方程组的解为．【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的能力．25．（10分）解不等式（1）6x﹣3＞2x﹣7；（2）1﹣≤；（3），将解在数轴上表示．【分析】（1）依据移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行解答即可；（2）依据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行解答；（3）先分别求解两个不等式，最后在确定出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）6x﹣3＞2x﹣7，移项得：6x﹣2x＞﹣7+3，合并同类项得：4x＞﹣4，系数化为1得：x＞﹣1．（2）去分母得：6﹣3（x﹣2）≤2（x+1），去括号得：6﹣3x+6≤2x+2，移项得：﹣3x﹣2x≤2﹣6﹣6，合并同类项得：﹣5x≤﹣10系数化为1：x≥2．（3）解不等式①得：x≤3，解不等式②得：x＞﹣2．不等式组的解集为﹣2≤x≤3．不等式组的解集在数轴上表示为：【点评】本题主要考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．四、应用题（每小题6分，共12分）26．（6分）列方程解应用题今年某网上购物商城在“双11购物节“期间搞促销活动，活动规则如下：①购物不超过100元不给优惠；②购物超过100元但不足500元的，全部打9折；③购物超过500元的，其中500元部分打9折，超过500元部分打8折．（1）小丽第1次购得商品的总价（标价和）为200元，按活动规定实际付款180元．（2）小丽第2次购物花费490元，与没有促销相比，第2次购物节约了多少钱？（请利用一元一次方程解答）（3）若小丽将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？为什么？【分析】（1）按活动规定实际付款=商品的总价×0.9，依此列式计算即可求解；（2）可设第2次购物商品的总价是x元，根据等量关系：小丽第2次购物花费490元，列出方程求解即可；（3）先得到两次购得的商品的总价，再根据促销活动活动规则列式计算即可求解．【解答】解：（1）200×0.9=180（元）．答：按活动规定实际付款180元．（2）∵500×0.9=450（元），490＞450，∴第2次购物超过500元，设第2次购物商品的总价是x元，依题意有500×0.9+（x﹣500）×0.8=490，解得x=550，550﹣490=60（元）．答：第2次购物节约了60元钱．（3）200+550=750（元），500×0.9+（750﹣500）×0.8=450+200=650（元），∵180+490=670＞650，∴小丽将这两次购得的商品合为一次购买更省钱．故答案为：180．【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．27．（6分）某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分村镇修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源．幸福村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足部分由村民集资．修建A型、B型沼气池共20个．两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表：第21页（共23页）政府相关部门批给该村沼气池修建用地708m2．设修建A型沼气池x个，修建两种型号沼气池共需费用y万元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种；（3）若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最少的修建方案．【分析】（1）共需费用y=A型所需费用+B型所需费用，列出函数关系式．（2）根据占地面积应小于等于708m2和可供使用户至少应为264户，列出不等式组进行求解．（3）选出建造所需费用最少的方案，所需的总费用=政府补助的费用+居民筹集的总费用，若大于等于建造所需的最少费用，则能满足要求．【解答】解：（1）y=3x+2（20﹣x）=x+40；（2）由题意可得，解①得x≥12，解②得x≤14，∴不等式组的解集为12≤x≤14，∵x是正整数，∴x的取值为12，13，14，即有3种修建方案：①A型12个，B型8个；②A型13个，B型7个；③A型14个，B型6个；（3）∵y=x+40中，y随x的增大而增大，要使费用最少，则x=12，∴最少费用为y=x+40=52（万元），村民每户集资700元与政府补助共计700×264+340000=524800＞520000，∴每户集资700元能满足所需要费用最少的修建方案．【点评】本题综合考查一次函数和一元一次不等式组，解题的关键是根据题意列出正确的函数关系式．五、综合题28．（8分）已知方程的解满足条件x＞0，y＜0，求m的取值范围．第22页（共23页）【分析】本题应运用加减消元法，将x、y的值用含m的式子表示，再根据x、y 的取值，可以求出m的取值范围．【解答】解：解方程组，得：，因为x＞0，y＜0，所以，解得﹣2＜m＜1．【点评】本题考查的是二元一次方程组和不等式组的综合，需要先通过运算得出m与x、y之间的关系，再根据已知条件对m的取值进行判断．第23页（共23页）。

人教版八年级数学下册《18章平行四边形》考点分类专题训练（附答案）一．直角三角形斜边上的中线1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AB＝6，则CD的长是 ．2．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于（ ）A．5B．6C．7D．83．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为（ ）A．3B．3.5C．4D．4.54．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．（1）求证：DC＝BE；（2）若∠AEC＝66°，求∠BCE的度数．二．三角形中位线定理5．如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（ ）A．4B．3C．D．26．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD ＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）A．50°B．40°C．30°D．20°7．如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED ∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（ ）A．1B．2C．3D．48．在△ABC中，E是AC边上一点，线段BE垂直∠BAC的平分线于D点，点M为BC边的中点，连接DM．（1）求证：DM＝CE；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．三．平行四边形的性质9．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则CD＝（ ）A．4B．5C．6D．710．平行四边形的一条边长是12cm，那么它的两条对角线的长可能是（ ）A．8cm和16cm B．10cm和16cm C．8cm和14cm D．8cm和12cm11．如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE＝5，DF＝10，则平行四边形ABCD的面积等于（ ）A．87.5B．80C．75D．72.512．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为（ ）A．14B．16C．20D．1813．如图，已知▱ABCD的周长为60，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD ＝16，则△DOE的周长为（ ）A．23B．15C．38D．3014．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE 相交于点Q，若S△APD＝16cm2，S△BQC＝25cm2，则图中阴影部分的面积为 cm2．15．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为（ ）A．+1B．C．D．16．在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝110°，则∠B＝ ．17．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线长的和 ．18．在▱ABCD中，若∠B＝60°，AB＝16，AC＝14，则▱ABCD的周长是 ．四．平行四边形的判定19．下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A．1：2：3：4B．2：2：3：3C．2；3：2：3D．2：3：3：2 20．如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）A．OA＝OC，AB∥DC B．∠ABC＝∠ADC，AD∥BCC．∠ABD＝∠ADB，∠BAO＝∠DCO D．AB＝DC，AD＝BC21．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG 以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．22．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF．证明：四边形ABCD是平行四边形．23．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC＝EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．24．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足b＝++16．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）（1）求B、C两点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．五．平行四边形的判定与性质25．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠D＝120°，则∠C的度数为（ ）A．60°B．70°C．80°D．90°26．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、DC上的点，请添加一个条件，使得四边形EBFD为平行四边形，则添加的条件是 （答案不唯一，添加一个即可）．27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，DE∥AB交BC于点E．若AD＝5cm，BC＝12cm，则CD的长是 cm．28．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，DE＝BF，且点E、F分别在AD、CB的延长线上．求证：BE＝DF．29．如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，求BD的长．30．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．31．如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长．32．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA 方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．33．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8cm，AD＝18cm，BC＝20cm，点P从点A 出发，以2cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．（1）经过多少时间，四边形ABQP能成为平行四边形？（2）在（1）的条件下，连接AQ、BP、AQ和BP垂直吗，为什么？六．菱形的性质34．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）A．14B．15C．16D．1735．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形面积为 ．36．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，且∠BAE＝∠DAF．求证：CE＝CF．七．菱形的判定37．如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF、AD．求证：四边形BFCE是菱形．38．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）请直接写出四边形ABFE是哪种特殊的四边形．八．菱形的判定与性质39．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若CD＝3，BD＝2，求四边形ABCD的面积．40．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．九．矩形的性质41．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A．对角线相等B．对角线平分一组对角C．对角线互相平分D．对角线互相垂直42．如图，矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝4．则这个矩形的面积为（ ）A．24B．48C．12D．2443．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF．十．矩形的判定与性质44．工人师傅在做矩形门窗时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，以确定门窗是否为矩形．这样做的依据是（ ）A．矩形的两组对边分别相等B．矩形的两条对角线相等C．有一个角是直角的平行四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形45．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．46．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．（1）求证：四边形DECO是矩形；（2）若AD＝3，求OE的长．47．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若AB＝14，DE＝8，求BE的长．十一．正方形的性质48．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AED的度数为 ．49．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）A．75°B．60°C．54°D．67.5°50．如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝4，则四边形EFGH的面积为（ ）A．20B．25C．30D．3551．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG、DE．求证：（1）BG＝DE；（2）BG⊥DE．十二．正方形的判定52．下列说法中正确的是（ ）A．矩形的对角线平分每组对角B．菱形的对角线相等且互相垂直C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形53．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，能判定菱形ABCD是正方形的是（ ）A．AB＝AC B．OA＝OC C．BC⊥CD D．AC⊥BD54．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个正方形，则这个四边形最可能是（ ）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形55．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．56．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点N．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？给出证明．57．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．十三．正方形的判定与性质58．矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积是 ．59．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．（1）求证：∠HEA＝∠CGF；（2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．60．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？参考答案一．直角三角形斜边上的中线1．解：∵∠C＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝3．故答案为3．2．解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，∴∠ADC＝90°．∵E是AC的中点，DE＝5，∴AC＝2DE＝10．∵AD＝6，∴CD＝＝＝8．故选：D．3．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°，∴BD＝AD，∵AD＝6，∴BD＝6，∵P点是BD的中点，∴CP＝BD＝3．故选：A．4．解：（1）如图，∵G是CE的中点，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE＝DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE＝BE＝AB，∴DC＝BE；（2）∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠BCE，∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE，∵DE＝BE，∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∴∠AEC＝3∠BCE＝66°，则∠BCE＝22°．二．三角形中位线定理5．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB＝4，又∵DE是中位线，∴DE＝BC＝2．故选：D．6．解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE＝AD，同理，PF＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，故选：D．7．解：连接EC，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，故①正确；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE平分∠FAC，∴∠FAC＝2∠FAE，∵∠FAC＝∠B+∠ACB，∴∠FAE＝∠B，∴AE∥BC，故②正确；∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴∠DAE＝90°，故④正确；∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；即正确的个数是3个，故选：C．8．（1）证明：在△ADB和△ADE中，，∴△ADB≌△ADE（ASA）∴AE＝AB，BD＝DE，∵BD＝DE，BM＝MC，∴DM＝CE；（2）解：在Rt△ADB中，AB＝＝10，∴AE＝10，由（1）得，CE＝2DM＝4，∴AC＝CE+AE＝14．三．平行四边形的性质9．解：在▱ABCD中，AD＝8，∴BC＝AD＝8，AD∥BC，∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE＝5，故选：B．10．解：A、4+8＝12，不能构成三角形，不满足条件，故A选项错误；B、5+8＞12，能构成三角形，满足条件，故B选项正确．C、4+7＜12，不能构成三角形，不满足条件，故C选项错误；D、4+6＜12，不能构成三角形，不满足条件，故D选项错误．故选：B．11．解：设AB＝x，则BC＝24﹣x，根据平行四边形的面积公式可得5x＝10（24﹣x），解之得，x＝16．则平行四边形ABCD的面积等于5×16＝80．故选：B．12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∵△CDE的周长为10，∴DE+CE+CD＝BE+CE+CD＝BC+CD＝10，∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝20；故选：C．13．解：∵平行四边形ABCD的周长为60BC+CD＝30OD＝OB，DE＝EC，∴OE+DE＝（BC+CD）＝15，∵BD＝16，∴OD＝BD＝8，∴△DOE的周长为15+8＝23，故选：A．14．解：连接E、F两点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，∴S△EFC＝S△BCF，∴S△EFQ＝S△BCQ，同理：S△EFD＝S△ADF，∴S△EFP＝S△ADP，∵S△APD＝16cm2，S△BQC＝25cm2，∴S四边形EPFQ＝41cm2，故答案为：41．15．解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴BO＝2AO，∵AB＝，∴AO＝1，BO＝2，∴S△ABO＝AO•AB＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，∵OF⊥AO，EF⊥OD，∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO＝＝＝，即OE+2EF＝．故选：B．16．解：∵平行四边形ABCD，∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，∵∠A+∠C＝110°，∴∠A＝∠C＝55°，∴∠B＝125°．故答案为：125°．17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，∵△OCD的周长为23，∴OD+OC＝23﹣5＝18，∵BD＝2DO，AC＝2OC，∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD+AC＝2（DO+OC）＝36，故答案为：36．18．解：①当△ABC是锐角三角形时，如图所示，过点A作AE⊥BC于E，∵∠B＝60°，AB＝16，∴BE＝8，AE＝8，由勾股定理得，EC＝，∴BC＝BE+EC＝8+2＝10，∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（10+16）＝52，②当△ABC是钝角三角形时，如图所示，过点A作AE⊥BC于E，由①可知，BE＝8，EC＝2，∴BC＝BE﹣EC＝6，∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（16+6）＝44，故答案为：52或44．四．平行四边形的判定19．解：∵∠A与∠C是对角，∴∠A＝∠C，∴C符合题意．故选：C．20．解：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（ASA），∴OB＝OD，又∵OA＝OC，∴四边形ABCD为平行四边形，故选项A不合题意；∵∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∴∠BAD＝∠BCD，又∵∠ABC＝∠ADC，∴四边形ABCD为平行四边形，故选项B不合题意；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，故选项D不合题意；故选：C．21．解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6﹣2t，解得：t＝2；②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t﹣6，解得：t＝6；综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故答案为：2或6．22．证明：在△BEA和△DFC中，∴△BEA≌△DFC（SSS），∴∠EAB＝∠FCD，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥DC，∵AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形．23．证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB＝2AF∴AF＝BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC＝EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形．24．解：（1）∵b＝++16，∴a＝21，b＝16，故B（21，12）C（16，0）；（2）由题意得：AP＝2t，QO＝t，则：PB＝21﹣2t，QC＝16﹣t，∵当PB＝QC时，四边形PQCB是平行四边形，∴21﹣2t＝16﹣t，解得：t＝5，∴P（10，12）Q（5，0）；（3）当PQ＝CQ时，过Q作QN⊥AB，由题意得：122+t2＝（16﹣t）2，解得：t＝，故P（7，12），Q（，0），当PQ＝PC时，过P作PM⊥x轴，由题意得：QM＝t，CM＝16﹣2t，则t＝16﹣2t，解得：t＝，2t＝，故P（，12），Q（，0）．五．平行四边形的判定与性质25．解：∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠C+∠D＝180°，∵∠D＝120°，∴∠C＝60°．故选：A．26．解：∵四边形ABCD平行四边形，∴DC＝AB，DC∥AB，∵FC＝AE，∴DF＝BE，∵DF∥BE，∴四边形EBFD为平行四边形．故答案为：FC＝AE．27．解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE＝AD＝5cm，∴CE＝BC﹣BE＝12﹣5＝7（cm），∵∠DEC＝∠B＝70°，∠C＝40°，∴∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝70°，∴CD＝CE＝7cm．故答案为：7．28．解：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴DE∥BF，又∵DE＝BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE＝DF．29．（1）证明：连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵BE⊥AC，∴∠BEF＝90°，在Rt△BEF中，EF＝＝＝6，∴OE＝OF＝3，在Rt△BEO中，OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2．30．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，∴AE＝AD，CF＝CB，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF即BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∴BD、EF互相平分；（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形，∵AD＝4，∴DE＝AE＝4，∵AE＝2EB，∴BE＝GE＝2，∴BG＝4，过D点作DG⊥AB于点G，在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，∴AG＝AD＝2，∴DG＝＝2，∴BD＝＝＝2．31．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GAE＝∠HCF，∵点G，H分别是AB，CD的中点，∴AG＝CH，∵AE＝CF，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）连接BD交AC于点O，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BD＝10，∴OB＝OD＝5，∵AE＝CF，OA＝OC，∴OE＝OF，∵AE+CF＝EF，∴2AE＝EF＝2OE，∴AE＝OE，又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO的中位线，∴EG＝OB＝2.5．∴EG的长为2.5．32．（1）证明：∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠C＝30°，∴AB＝AC＝30，由题意得，CD＝4t，AE＝2t，∵DF⊥BC，∠C＝30°，∴DF＝CD＝2t，∴DF＝AE，∵DF∥AE，DF＝AE，∴四边形AEFD是平行四边形；（2）当∠EDF＝90°时，如图①，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝30°，∴AD＝2AE，即60﹣4t＝2t×2，解得，t＝，当∠DEF＝90°时，如图②，∵AD∥EF，∴DE⊥AC，∴AE＝2AD，即2t＝2×（60﹣4t），解得，t＝12，综上所述，当t＝或12时，△DEF为直角三角形．33．解：设点P、Q运动时间为t秒，则AP＝2tcm，CQ＝3tcm，∴BQ＝BC﹣CQ＝20﹣3t，（1）∵AD∥BC∴当AP＝BQ时，四边形ABQP为平行四边形，∴2t＝20﹣3t，解得t＝4s即运动4s时，四边形ABQP为平行四边形（2）在（1）中，当运动时间为4s时，四边形ABQP为平行四边形，这时AP＝2tcm＝8cm，则有AP＝AB∴四边形ABQP为菱形，∴AQ⊥BP六．菱形的性质34．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF＝4×4＝16，故选：C．35．解：∵菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，∴菱形面积为：×6×8＝24cm2．故答案为：24cm2．36．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴BE＝DF，∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF．七．菱形的判定37．证明：∵D是边BC的中点，∴BD＝CD，∵DF＝ED，∴四边形BFCE是平行四边形，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC的中点，∴BE＝CE，∴四边形BFCE是菱形．38．（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝∠CAE＝100°，又∵AB＝AC，∴AB＝AC＝AD＝AE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）解：∵∠CAE＝100°，AC＝AE，∴∠ACE＝（180°﹣∠CAE）＝（180°﹣100°）＝40°；（3）四边形ABFE是菱形．理由如下：解：∵∠BAD＝∠CAE＝100°，AB＝AC＝AD＝AE，∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°．∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝140°，∴∠BFE＝360°﹣∠DAE﹣∠ABD﹣∠AEC＝140°，∴∠BAE＝∠BFE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AE，∴平行四边形ABEF是菱形．八．菱形的判定与性质（共2小题）39．（1）证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠CBD，∵AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝DO，在△AOD与△COB中，，∴△AOD≌△COB，∴AO＝OC，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝BD＝，∴OC＝＝2，∴AC＝4，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝4．40．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝×6＝3，∵AB＝5，AO＝3，∴BO＝＝＝4，∴BD＝2BO＝8，∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝24．九．矩形的性质41．解：矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；根据矩形和菱形的性质得出：矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等；故选：A．42．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO＝DO＝4，∴BD＝8，∴AD＝＝＝2，∴矩形的面积＝AB×AD＝12，故选：C．43．证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵AE⊥BD，DF⊥AC，∴∠AEO＝∠DFO＝90°，在△AOE和△DOF中，，∴△AOE≌△DOF（AAS），∴AE＝DF．十．矩形的判定与性质44．解：∵两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，故选：D．45．解：连接AD，∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．46．（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DECO是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴平行四边形DECO是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝3，由（1）得：四边形DECO是矩形，∴OE＝CD＝3．47．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF＝∠F．∵∠F＝45°，∴∠DAE＝45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB＝∠DAE＝45°．∴∠DAB＝90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°．∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6．在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，∴∠DEA＝∠DAE＝45°．∴AD＝DE＝8．∴BC＝8．在Rt△BCE中，由勾股定理得：十一．正方形的性质48．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝DC，∵△CDE是等边三角形，∴DE＝DC，∠EDC＝60°，∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，∴∠DAE＝∠AED＝（180°﹣∠ADE）＝（180°﹣150°）＝15°，故答案为：15°．49．解：如图，连接BD，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC，∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15°∵∠BCM＝∠BCD＝45°，∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°，∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60°∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，∴∠AMD＝∠AMB＝60°故选：B．50．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF+∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB＝BC＝CD＝DA＝7，AE＝BF＝CG＝DH＝4，∴AH＝BE＝DG＝CF＝3，∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝5，∴四边形EFGH的面积是：5×5＝25，故选：B．51．证明：（1）∵四边形ABCD和CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，即：∠BCG＝∠DCE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE，（2）∵△BCG≌△DCE，∴∠GBC＝∠EDC，∵∠GBC+∠BOC＝90°，∠BOC＝∠DOG，∴∠DOG+∠EDC＝90°，∴BG⊥DE．十二．正方形的判定52．解：A、矩形的对角线平分每组对角，说法错误，故本选项不符合题意；B、菱形的对角线互相垂直，故本选项不符合题意；C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故本选项符合题意；D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项不符合题意．故选：C．53．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，AC⊥BD，AB＝BC，故B，D不符合题意；当AB＝AC时，AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴菱形ABCD不是正方形，故A不符合题意；当BC⊥CD时，∠BCD＝90°，∴菱形ABCD是正方形，故C符合题意；故选：C．54．解：如图，∵点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是正方形，∴EF＝EH，EF⊥EH，∵BD＝2EF，AC＝2EH，∴AC＝BD，AC⊥BD，即四边形ABCD满足对角线相等且垂直，选项D满足题意．故选：D．55．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形．56．（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝180°＝90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．57．（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴四边形BECD是菱形；（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．十三．正方形的判定与性质58．解：如图，连接EG、FH、AC、BD，设AB＝6cm，AD＝8cm，∵四边形ABCD是矩形，E、F、G、H分别是四边的中点，∴HF＝6cm，EG＝8cm，AC＝BD，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，∴四边形EFGH是菱形，∴S菱形EFGH＝×FH×EG＝×6×8＝24cm2．故答案为24cm2．59．证明：（1）连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠CGE，∵GF∥HE，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠HEA＝∠CGF；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE，在Rt△HAE和Rt△GDH中，，∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），∴∠AHE＝∠DGH，又∠DHG+∠DGH＝90°，∴∠DHG+∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形；60．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠BFE＝90°，∠BGE＝90°．又∵∠B＝90°，∴四边形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，AB＝10cm，∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．。

专题5.18 平移与命题、定理、证明（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】命题、定理、证明1．命题：判断一件事情的语句，叫做命题．要点提醒：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．（2）命题的表达形式：“如果……，那么……．”，也可写成：“若……，则……．”（3）真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题．假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题．2．定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据．3．证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明．要点提醒：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等．（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．【知识点二】平移1．定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点提醒：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置．2．性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形．要点提醒：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．（2）要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的．3． 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．（1）定：确定平移的方向和距离；（2）找：找出表示图形的关键点；（3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；（4）连：按原图形顺次连接对应点．【考点目录】【考点1】命题与证明；【考点2】定理与证明；【考点3】图形的平移与作图；【考点4】平移的性质证明与求值；【考点5】平移的性质的应用；【考点1】命题与证明；【例1】（2022下·山东滨州·七年级校考阶段练习）1．如图，有如下三个论断：①AD EF ，②12180∠+∠=︒，③DG AB ∥．(1)请从这三个论断中选择两个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个真命题．试用【变式1】（2020下·七年级课时练习）5．下列说法正确的是（）A．命题是定理，定理是命题B．命题不一定是定理，定理不一定是命题C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理【考点3】图形的平移与作图；【例3】（2023下·7．如图，在边长为(1)根据题意，补全图形；(2)若不增加其他条件，图中与AOB ∠【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）8．观察下面图案，在A 、B 、C 、D A ． ． ． ．【变式2】（2023·山东淄博·统考中考真题）．在边长为的正方形网格中，右边的图案是由左边的图案经过一次平移得到【考点4】平移的性质证明与求值；【例4】（2023下·全国·八年级假期作业）10．如图，△ABC 是等边三角形，将△ABC 沿直线BC 到△DCE ，连接BD 交AC 于点F ．猜想AC 与BD 的位置关系，并证明你的结论．【变式1】（2024上·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）11．如图，在锐角ABC 中，BAC ∠（平移后点A ，B ，C 的对应点分别是点A ．20︒B ．40︒【变式2】（2023下·内蒙古鄂尔多斯12．如图，4cm AB =，5cm =BC 【考点5】平移的应用．【例5】（2022下·河北唐山·七年级统考期末）13．动手操作：(1)如图1，在55⨯的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段AB 向右平移，得到线段A B ''，连接AA '，BB '．①线段AB 平移的距离是________；②四边形ABB A ''的面积是________；A．1200元B．1320元【变式2】（2023上·黑龙江哈尔滨15．如图，有一块长方形区域，AD1．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案；（2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得．【详解】（1）解：①如图，如果AD EF ，12180∠+∠=︒，那么DG AB ∥；②如图，如果12180∠+∠=︒，DG AB ∥，那么AD EF ；③如图，DG AB ∥，AD EF ，那么12180∠+∠=︒；（2）解：①如图，如果AD EF ，12180∠+∠=︒，那么DG AB ∥；证明：∵AD EF ，∴2180BAD ∠+∠=︒，∵12180∠+∠=︒，∴1BAD ∠=∠，∴DG AB ∥；②如图，如果12180∠+∠=︒，DG AB ∥，那么AD EF ；证明：∵DG AB ∥，∴1BAD ∠=∠，∵12180∠+∠=︒，∴2180BAD ∠+∠=︒，∴AD EF ；③如图，DG AB ∥，AD EF ，那么12180∠+∠=︒；∵DG AB ∥，∴1BAD ∠=∠，∵AD EF ，∴2180BAD ∠+∠=︒，∴12180∠+∠=︒．【点睛】本题考查命题与定理、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．A【分析】本题考查了反证法；根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．【详解】解：A.1245∠=∠=°，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意；B.140∠=︒，250∠=︒，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；C.150∠=︒，250∠=︒，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；D.140∠=︒，240∠=︒，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；故选：A ．3．如果有两个角是同一个角或者两个相等的角，那么这两个角的余角相等【分析】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【详解】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等”，故答案为：如果两个角是同一个角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等．4．（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB ∥CD ，CD ∥EF ，则利用平行线的传递性得到AB ∥EF ，然后根据平行线的性质得到结论；（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．【详解】（1）证明：∵∠B ＋∠1＝180°，∴AB ∥CD ，∵∠2＝∠3，∴CD ∥EF ，∴AB ∥EF ，∴∠B ＋∠F ＝180°；（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．5．C【分析】根据命题和定理的定义逐项判断即可．【详解】解：A 、命题不一定是定理，所以本选项错误；B 、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误；C 、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确；D 、定理不可能是假命题，所以本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理，定理是命题，并且是真命题，但真命题不一定是定理，熟知命题和定理的定义及其关系是解题的关键．6． BOD ∠ ， 同角的余角相等【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD.【详解】解：∵90AOB COD ︒∠=∠=，∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，根据同角的余角相等，∴∠AOC=∠BOD ；故答案为BOD ∠，同角的余角相等.【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理.7．(1)见解析(2)AOB ∠相等的角有BPP ∠'、P AC '∠、PP A '∠，理由见解析【分析】（1）根据平移的定义画出相应的图形即可；（2）由平移的性质可得出四边形'OAP P 是平行四边形，根据平行四边形的性质以及平行线的性质进行判断即可．【详解】（1）解：补全图形如图所示：（2）解：AOB ∠相等的角有'BPP ∠、'P AC ∠、'PP A ∠，理由：由平移的性质可知，'OP AP =，OP AP '∥∴四边形'OAP P 是平行四边形，'AOB PP A ∴∠=∠，OA PP '∥'AOB BPP ∴∠=∠、'AOB P AC ∠=∠，'''AOB BPP P AC PP A ∴∠=∠=∠=∠．【点睛】本题考查平移的性质，掌握平移的性质，平行四边形的性质以及平行线的性质是正确解答的前提．8．C【分析】本题主要考查了图形的平移，根据图形的平移只改变位置，不改变大小，形状和方向进行求解是解题的关键．【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，只有C 选项中的图案是图案1平移得到的，故选C ．9．6【分析】确定一组对应点，从而确定平移距离．【详解】解：如图，点,A A '是一组对应点，6AA '=，所以平移距离为6；故答案为：6【点睛】本题考查图形平移；确定对应点从而确定平移距离是解题的关键．10．AC ⊥BD ．证明见解析【详解】解：AC ⊥BD ．证明如下：∵△ABC 是等边三角形，AB BC AC ∴==，60ACB ABC ∠=∠=︒．∵△DCE 是由△ABC 平移得到的，CE BC CD AB ∴===，60DCE ABC ∠=∠=︒，∵A B C ''' 由ABC 平移得到，AB A B ∴''∥，∵CG AB ∥，，同理可得CG A B ''∥，60ACG BAC ∴∠=∠=︒①当2AC B A CA ''∠'∠=时，()11cm =，故答案为：11．13．(1)①3；②6；(2)③见解析，④6；(3)()ab mb -平方米．【分析】（1）①根据平移性质和网格特点求解即可；②根据网格特点和平行四边形的面积公式求解即可；（2）③根据平移性质和网格特点可画出图形；④根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积公式求解即可；（3）根据平移性质，可将小路两边的草坪平移，拼凑成一个长()-a m 米，宽为b 米的长方形，再利用长方形的面积公式求解即可．【详解】（1）解：①根据平移性质，线段AB 平移的距离是3AA '=；②根据图形，四边形ABB A ''的面积为:326⨯=；故答案为：①3；②6；（2）解：③如图所示，A B C ''' 即为所求作；④由图形知，3BB '=，2AB =∴多边形ACBB C A '''的面积为:()326ACBB C A ACB ABB A B C A ABB A S S S S S ''''''''''=+-==⨯=，故答案为：6；（3）解：由题意得，将小径右侧平移与左侧拼接成一个长方形，长方形的长()-a m 米，宽为b 米，则剩下的草坪面积是：()a m b ab mb -=-，故答案为：()ab mb -平方米．【点睛】本题考查平移性质的应用、列代数式，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键．14．C【分析】将地毯分成水平方向与竖直方向的两类，分别求出其面积，然后再相加，即可求出地毯的总面积，最后乘以地毯的价格．【详解】解：地毯在水平面上的面积为()23824m ⨯=，地毯在竖直面上的面积为()()223212m⨯⨯=，所以，地毯的总面积为：()2122436m +=．铺满整个领奖台需要花：36401440⨯=(元)故选：C ．【点睛】本题考查了长方形的面积求法，解题的关键是将地毯的各个小长方形的面积分成水平方向与竖直方向两种情况，然后分别叠加即可．15．36【分析】利用平移的性质得出空白区域为一个矩形，则矩形的长为()251⨯-米，宽为()51-米，根据矩形面积公式计算即可．【详解】解：由平移的性质知，空白区域为一个矩形，则矩形的长为2519⨯-=（米），宽为514-=（米），∴空白区域的面积4936=⨯=（平方米），故答案为：36．【点睛】本题考查平移的性质，解答本题的关键是读懂题意，利用平移把空白区域可以拼成一个矩形．。

2018年一线名师肖城老师初中数学经典试卷及考点详解一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）相反数是（）A．﹣ B．2 C．﹣2 D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．3a+2a=6a B．a6÷a2=a4C．a2+a3=a5 D．（a2）3=a53．（3分）函数中自变量x的取值范围是（）A．x≤14 B．﹣3＜x≤1 C．x≤1且x≠﹣3 D．x＞﹣34．（3分）若xy=a，（b＞0），则（x+y）2的值为（）A．b（ab﹣2）B．a（ab+2）C．a（ab﹣2）D．b（ab+2）5．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④6．（3分）已知一次函数y=（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（）A．k≠2 B．k＞2 C．0＜k＜2 D．0≤k＜27．（3分）方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．（3分）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5 B．20.5 C．21.5 D．25.59．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．510．（3分）如果△ABC∽△A′B′C′，BC=3，B′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为（）A．5：3 B．3：2 C．2：3 D．3：5二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为．12．（3分）因式分解：x3﹣x2+=．13．（3分）科学家发现一种病毒的直径为0.000104米，用科学记数法表示为米．14．（3分）已知等式（2A﹣7B）x+（3A﹣8B）=8x+10对一切实数x都成立，则A=，B=．15．（3分）已知n个数x1，x2，x3，…，x n，它们每一个数只能取0，1，﹣2这三个数中的一个，且，则x13+x23+…+x n3=．16．（3分）如图，双曲线上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为．17．（3分）线段AB被分成2：3：4三部分，第一部分与第三部分中点的距离为4.2cm，则最长部分的长为cm．18．（3分）如图，如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b的有序数对（a，b）共有个．三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：+×（）﹣1﹣|1﹣cos45°|20．（6分）求不等式≤+1的非负整数解．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E是BC延长线上一点，D为AC边上一点，且CE=CD，你认为AE与BD相等吗？请说明理由．22．（8分）阅读理解：数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合，树形转化的方法解决一些数学问题，小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=，他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y），P的坐标公式：x=，y=．启发应用：如图3：在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A，B，（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由；（3）若∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，分别求出OE的表达式y1，过点M的反比例函数的表达式y2，并根据图象，当y2＞y1＞0时，请直接写出x 的取值范围．五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品公司每天需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元．（1）这个公司要加工多少件新产品？（2）在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种即省钱，又省时间的加工方案．24．（9分）在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，，求△EFC的周长．六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元．（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？（3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？26．（10分）已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，﹣2），直线y=kx+m 的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y 轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x 的代数式表示）；（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．2018年一线名师肖城老师初中数学经典试卷及考点详解参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）相反数是（）A．﹣ B．2 C．﹣2 D．【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．的相反数是﹣．【解答】解：的相反数是﹣，故选：A．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（3分）下列计算正确的是（）A．3a+2a=6a B．a6÷a2=a4C．a2+a3=a5 D．（a2）3=a5【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可作出判断；B、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；C、原式不能合并，错误；D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=5a，不符合题意；B、原式=a4，符合题意；C、原式不能合并，不符合题意；D、原式=a6，不符合题意，故选B【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（3分）函数中自变量x的取值范围是（）A．x≤14 B．﹣3＜x≤1 C．x≤1且x≠﹣3 D．x＞﹣3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：1﹣x≥0且x+3≠0，解得：x≤1且x≠﹣3．故选C．【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．4．（3分）若xy=a，（b＞0），则（x+y）2的值为（）A．b（ab﹣2）B．a（ab+2）C．a（ab﹣2）D．b（ab+2）【分析】因为（x+y）2=x2+2xy+y2，可通过已知得出x2+y2及xy=a，从而得出结论．【解答】解：∵xy=a，（b＞0），∴=b，即x2+y2=a2b．∴（x+y）2=x2+2xy+y2=a2b+2a=a（ab+2）．故选B．【点评】分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．5．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】①观察条件，知是当x=1时，有a+b+c=0，因而方程有根．②把x=﹣1和2代入方程，建立两个等式，即可得到2a+c=0．③方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则△=﹣4ac＞0，左边加上b2就是方程ax2+bx+c=0的△，由于加上了一个非负数，所以△＞0．④把b=2a+c代入△，就能判断根的情况．【解答】解：①当x=1时，有若a+b+c=0，即方程有实数根了，∴△≥0，故错误；②把x=﹣1代入方程得到：a﹣b+c=0 （1）把x=2代入方程得到：4a+2b+c=0 （2）把（2）式减去（1）式×2得到：6a+3c=0，即：2a+c=0，故正确；③方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则它的△=﹣4ac＞0，∴b2﹣4ac＞0而方程ax2+bx+c=0的△=b2﹣4ac＞0，∴必有两个不相等的实数根．故正确；④若b=2a+c则△=b2﹣4ac=（2a+c）2﹣4ac=4a2+c2，∵a≠0，∴4a2+c2＞0故正确．②③④都正确，故选C．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、对于给定的条件要仔细分析，向所求的内容转化．6．（3分）已知一次函数y=（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（）A．k≠2 B．k＞2 C．0＜k＜2 D．0≤k＜2【分析】根据一次函数y=（k﹣2）x+k图象在坐标平面内的位置关系先确定k的取值范围，从而求解．【解答】解：由一次函数y=（k﹣2）x+k的图象不经过第三象限，则经过第二、四象限或第一、二、四象限，只经过第二、四象限，则k=0．又由k＜0时，直线必经过二、四象限，故知k﹣2＜0，即k＜2．再由图象过一、二象限，即直线与y轴正半轴相交，所以k＞0．当k﹣2=0，即k=2时，y=2，这时直线也不过第三象限，故0≤k＜2．故选D．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y 轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．7．（3分）方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】求方程x2+2x+1=的解，可以理解为：二次函数y=x2+2x+1与反比例函数y=的图象交点的横坐标．【解答】解：二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2的图象过点（0，1），且在第一、二象限内，反比例函数y=的图象在第一、三象限，∴这两个函数只在第一象限有一个交点．即方程x2+2x+1=的正数根的个数为1．故选B．【点评】本题利用了二次函数的图象与反比例函数图象来确定方程的交点的个数．8．（3分）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5 B．20.5 C．21.5 D．25.5【分析】尽量选择数据较小的路线，到达4个村庄即可．【解答】解：如图，最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B、D，然后从D 到C，5+4+6+5.5=20.5km．故选B．【点评】找到最短路线是解决本题的关键．9．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．5【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S=S△ABD+S△ACD，△ABC∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．10．（3分）如果△ABC∽△A′B′C′，BC=3，B′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为（）A．5：3 B．3：2 C．2：3 D．3：5【分析】根据题意，易证△A′B′C′∽△ABC，又相似比等于对应边的比，列出比例式计算即可得出．【解答】解：∵B′C′：BC=1.8：3=3：5，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为3：5．故选D．【点评】此题主要考查相似三角形的性质的运用．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为36°或37°．【分析】先过E作EG∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF=∠BAE+∠DFE，再设∠CEF=x，则∠AEC=2x，根据6°＜∠BAE＜15°，即可得到6°＜3x﹣60°＜15°，解得22°＜x＜25°，进而得到∠C的度数．【解答】解：如图，过E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF，∴∠AEF=∠BAE+∠DFE，设∠CEF=x，则∠AEC=2x，∴x+2x=∠BAE+60°，∴∠BAE=3x﹣60°，又∵6°＜∠BAE＜15°，∴6°＜3x﹣60°＜15°，解得22°＜x＜25°，又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数，∴∠C=60°﹣23°=37°或∠C=60°﹣24°=36°，故答案为：36°或37°．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：两直线平行，内错角相等．12．（3分）因式分解：x3﹣x2+=x（x﹣）2．【分析】先提取公因式x，再根据完全平方公式继续分解．【解答】解：x3﹣x2+=x（x2﹣x+）（提取公因式）=x（x﹣）2（完全平方公式）．【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（3分）科学家发现一种病毒的直径为0.000104米，用科学记数法表示为 1.04×10﹣4米．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000104=1.04×10﹣4，故答案为：1.04×10﹣4．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．14．（3分）已知等式（2A﹣7B）x+（3A﹣8B）=8x+10对一切实数x都成立，则A=，B=．【分析】根据条件“对于一切实数x都成立”，将原式转化为关于A、B的二元一次方程组解答．【解答】解：由于等式（2A﹣7B）x+（3A﹣8B）=8x+10对一切实数x都成立，所以，有解得．故答案为：，﹣．【点评】本题考查了二元一次方程组的解法．解决本题的关键在于转化为关于A、B的二元一次方程组；体现了转化思想的应用．15．（3分）已知n个数x1，x2，x3，…，x n，它们每一个数只能取0，1，﹣2这三个数中的一个，且，则x13+x23+…+x n3=﹣29．【分析】由题可知，在x1，x2，x3，…，x n中，要想保证和为﹣5，平方和为19，在取值受限得情况下，可设各式中有a个1和b个﹣2，则可将两式变为：，求出方程组的解．【解答】解：设各式中有a个1和b个﹣2，则可将两式变为：，解得，那么x13+x23+…+x n3=（﹣2）3×4+13×3=﹣29．故答案为：﹣29．【点评】解此题时，关键要找准在n个数中到底有几个1、﹣2、0，这就需要对原题中两个式子进行分析，比较难．16．（3分）如图，双曲线上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为y=﹣．【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据S=2求△AOB出k的值即可．【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0，=2，∵S△AOB∴|k|=4，∴k=﹣4，即可得双曲线的表达式为：y=﹣，故答案为：y=﹣．【点评】本题考查的是反比例系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．17．（3分）线段AB被分成2：3：4三部分，第一部分与第三部分中点的距离为4.2cm，则最长部分的长为 2.8cm．【分析】根据题意，画出图形，设末知量为X，AC：CD：BD=2：3：4，点M是AC的中点，点N是BD的中点，则CM=AC、DN=BD，故MN=CM+CD+DN，从而得到X的值．比较后可得最长部分的值．【解答】解：如图，AC：CD：BD=2：3：4，点M是AC的中点，点N是BD的中点设AB=9X，则AC=2X，CD=3X，BD=4X∴CM=AC=X，DN=BD=2X∴MN=CM+CD+DN=6X=4.2∴X=0.7∴BD是最长的部分，为4X=2.8cm．【点评】作出图形后，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．18．（3分）如图，如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b的有序数对（a，b）共有72个．【分析】此题要注意数形结合，先判断出a和b的取值范围，然后确定其具体整数值的个数，再进行组合．【解答】解：由不等式组得：，由于其整数解仅为1，2，3，结合图形得：，a的整数值共有9个；，b的整数值共8个，则整数a，b的有序数对（a，b）共有8×9=72个．【点评】本题的难点是确定数的取值范围，在确定范围时要结合图形，便于理解和计算．三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：+×（）﹣1﹣|1﹣cos45°|【分析】分别根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．【解答】解：+×（）﹣1﹣|1﹣cos45°|，=1+﹣1+，=．故答案为：．【点评】本题考查的是实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解答此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．20．（6分）求不等式≤+1的非负整数解．【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，即可得出不等式的解集．【解答】解：去分母得：5（2x+1）≤3（3x﹣2）+15，去括号得：10x+5≤9x﹣6+15，移项得：10x﹣9x≤﹣5﹣6+15，合并同类项得x≤4，∴不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．【点评】本题考查了不等式的性质和解一元一次不等式，主要考查学生运用不等式的性质解一元一次不等式的能力，题目比较好，难度不大．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E是BC延长线上一点，D为AC边上一点，且CE=CD，你认为AE与BD相等吗？请说明理由．【分析】根据已知条件判定△ACE≌△BCD，再根据全等三角形的对应边相等即可得出结果．【解答】结论：AE与BD相等．证明：∵∠ACB=90°，E是BC延长线上一点，∴∠ACE=∠ACB=90°，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，难度适中．22．（8分）阅读理解：数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合，树形转化的方法解决一些数学问题，小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=，他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y），P的坐标公式：x=，y=．启发应用：如图3：在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A，B，（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由；（3）若∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，分别求出OE的表达式y1，过点M的反比例函数的表达式y2，并根据图象，当y2＞y1＞0时，请直接写出x的取值范围．【分析】（1）先确定出AB=10，进而求出圆M的半径，最后用线段的中点坐标公式即可得出结论；（2）求出CM=5和圆M的半径比较大小，即可得出结论；（3）先确定出直线和双曲线解析式，即可求出两图象的交点坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠AOB=90°，∴AB是⊙M的直径，∵A（8，0），B（0，6），∴AB==10，∴⊙M的半径为5，由线段中点坐标公式x=，y=，得x=4，y=3，∴M（4，3），（2）点C在⊙M上，理由：∵C（1，7），M（4，3），∴CM==5，∴点C在⊙M上；（3）由题意知，y1=x，设反比例函数的解析式为y2=（k≠0），∵M（4，3）在反比例函数图象上，∴k=3×4=12，∴反比例函数的解析式为y2=，当y1=y2时，x=，∴x=±2，∴由图象知，当y2＞y1＞0时，0＜x＜2．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式的理解和掌握，两点间的距离公式的理解和掌握，灵活运用线段中点坐标公式和两点间距离公式．五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品公司每天需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元．（1）这个公司要加工多少件新产品？（2）在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种即省钱，又省时间的加工方案．【分析】（1）设这个公司要加工x件新产品，则红星厂单独加工这批产品需天，巨星厂单独加工这批产品需要天，根据题意找出等量关系：红星厂单独加工这批产品需要的天数﹣巨星厂单独加工这批产品需要的天数=20，根据此等量关系列出方程求解即可．（2）应分为三种情况讨论：①由红星厂单独加工；②由巨星厂单独加工；③由两场厂共同加工，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出既省钱，又省时间的加工方案．【解答】解：（1）设这个公司要加工x件新产品，由题意得：﹣=20，解得：x=960（件），答：这个公司要加工960件新产品．（2）①由红星厂单独加工：需要耗时为=60天，需要费用为：60×（5+80）=5100元；②由巨星厂单独加工：需要耗时为=40天，需要费用为：40×（120+5）=5000元；③由两场厂共同加工：需要耗时为=24天，需要费用为：24×（80+120+5）=4920元．所以，由两厂合作同时完成时，既省钱，又省时间．【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程．对于要求最符合要求类型的题目，应将所有方案，列出来求出符合题意的那一个即可．24．（9分）在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，，求△EFC的周长．【分析】由题意可证△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，求出各边的长度，然后利用勾股定理求得AG的长度，继而可得出AE的长度，根据相似三角形的性质求出EF的长度，最后即可求出△EFC的周长．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAE=∠AFD，∠DAF=∠AEB，∵AF为∠BAD的角平分线，∴∠BAE=∠EAD，∴∠AFD=∠EAD，∠BAE=∠AEB，∠CEF=∠CFE，∴△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，又∵AB=6，AD=9，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴CE=CF=3．∵BG⊥AE，BG=4，由勾股定理可得：AG==2，∴AE=4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△FCE．∴==，∴EF=2，∴△EFC的周长=EF+FC+CE=8．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，涉及的知识较多，比较麻烦，注意掌握性质的运用．六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元．（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？（3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？【分析】（1）根据利润=销售价﹣进价列关系式；（2）总利润=每个的利润×销售量，销售量为400﹣10x，列方程求解，根据题意取舍；（3）利用函数的性质求最值．【解答】解：由题意得：（1）50+x﹣40=x+10（元）（3分）（2）设每个定价增加x元．列出方程为：（x+10）（400﹣10x）=6000解得：x1=10 x2=20要使进货量较少，则每个定价为70元，应进货200个．（3分）（3）设每个定价增加x元，获得利润为y元．y=（x+10）（400﹣10x）=﹣10x2+300x+4000=﹣10（x﹣15）2+6250当x=15时，y有最大值为6250．所以每个定价为65元时得最大利润，可获得的最大利润是6250元．（4分）【点评】应用题中求最值需先求函数表达式，再运用函数性质求解．此题的关键在列式表示销售价格和销售量．26．（10分）已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，﹣2），直线y=kx+m 的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y 轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x 的代数式表示）；（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．【分析】（1）首先设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，由A点坐标为（3，0），则可将A点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式；（2）首先利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后由P在直线上，将x代入直线方程，即可求得P的纵坐标，又由E在抛物线上，则可求得E的纵坐标，它们的差即为PE的长；（3）分别从当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP与当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP 两种情况去分析，注意利用相似三角形的对应边成比例等性质，即可求得答案，注意不要漏解．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，∵A（3，0）在抛物线上，∴0=a（3﹣1）2﹣2∴a=，∴y=（x﹣1）2﹣2，（2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，），设直线AB的解析式为y=kx+m，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=x﹣．∵P为线段AB上的一个动点，∴P点坐标为（x，x﹣）．（0＜x＜3）由题意可知PE∥y轴，∴E点坐标为（x，x2﹣x﹣），∵0＜x＜3，∴PE=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x，（3）由题意可知D点横坐标为x=1，又D点在直线AB上，∴D点坐标（1，﹣1）．①当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP，∴．过点D作DQ⊥PE于Q，∴x Q=x P=x，y Q=﹣1，∴△DQP∽△AOB∽△EDP，∴，又OA=3，OB=，AB=，又DQ=x﹣1，∴DP=（x﹣1），∴，解得：x=﹣1±（负值舍去）．∴P（﹣1，）（如图中的P1点）；②当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP，∴．由（2）PE=﹣x2+x，DE=x﹣1，∴，解得：x=1±，（负值舍去）．∴P（1+，﹣1）（如图中的P2点）；综上所述，P点坐标为（﹣1，）或（1+，﹣1）．【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长度的求解方法，相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想，分类讨论思想与数形结合思想的应用．。

新课标2017-2018学年湘教版七年级数学下册课时作业（二十三）平行线的性质(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2013·重庆中考)如图,AB∥CD,AD平分∠BAC,若∠BAD=70°,那么∠ACD的度数为( )A.40°B.35°C.50°D.45°2.如图所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D',C'的位置.若∠EFB=65°,则∠AED'等于( )A.70°B.65°C.50°D.25°3.(2013·黄冈中考)如图,AB∥CD∥EF,AC∥DF,若∠BAC=120°,则∠CDF=( )A.60°B.120°C.150°D.180°二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图,已知AB∥CD,BC∥DE,∠ABC=40°,则∠CDE= .5.如图所示,∠AOB的两边OA,OB均为平面反光镜,∠AOB=35°,在OB上有一点E,从E点射出一束光线经OA上的点D反射后,反射光线DC恰好与OB平行,则∠DEB的度数是.6.如图,直线a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,∠1=35°24',则∠2的度数为.三、解答题(共26分)7.(8分)如图,∠B,∠D的两边分别平行.在图①中,∠B与∠D的数量关系为.在图②中,∠B与∠D的数量关系为.试分别说明理由,并用一句话归纳结论.8.(8分)已知:AB∥CD,OE平分∠AOD,OF⊥OE于O,∠D=60°,求∠BOF的度数.【拓展延伸】9.(10分)如图,已知AB∥CD,分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB,∠PCD的关系,请从你所得四个关系中选出任意一个,说明你探究的结论的正确性.结论:(1) .(2) .(3) .(4) .选择结论: ,说明理由.答案解析1.【解析】选A.因为AD平分∠BAC,∠BAD=70°,所以∠BAC=140°.因为AB∥CD,所以∠ACD=180°-∠BAC=40°.2.【解析】选C.根据长方形的对边平行知:AD∥BC,由两直线平行,内错角相等得∠DEF=∠EFB=65°.由折叠知∠D'EF=∠DEF=65°,所以∠AED'=180°-∠D'EF-∠DEF=180°-65°-65°=50°.故选C.3.【解析】选A.因为AB∥CD,∠BAC=120°,所以∠ACD=60°.又因为AC∥DF,所以∠CDF=∠ACD=60°.4.【解析】因为AB∥CD,BC∥DE,∠ABC=40°,所以∠CDE=∠C=∠ABC=40°. 答案:40°5. 【解析】过点D作DF⊥AO交OB于点F.因为入射角等于反射角,所以∠1=∠3,因为CD∥OB,所以∠1=∠2(两直线平行,内错角相等),所以∠2=∠3(等量代换).在Rt△DOF中,∠ODF=90°,∠AOB=35°,所以∠2=55°,所以在△DEF中,∠DEB=180°-2∠2=70°.答案:70°6.【解析】先由∠1与AB⊥BC得到∠2的同旁内角为90°-35°24',因为直线a∥b,所以∠2=180°-(90°-35°24')=125°24' .答案:125°24'7.【解析】图①中∠B与∠D相等.理由:如图①,因为BE∥DF,所以∠CME=∠D,因为AB∥DC,所以∠B=∠CME,所以∠B=∠D.图②中∠B与∠D互补.理由:如图②,因为BE∥DF,所以∠BND+∠D=180°,因为AB∥DC,所以∠B=∠BND,所以∠B+∠D=180°.结论:如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补.8.【解析】因为AB∥CD,所以∠AOD=180°-∠D=180°-60°=120°,∠BOD=∠D=60°,因为OE平分∠AOD,所以∠EOD=60°,因为OF⊥OE,所以∠DOF=90°-60°=30°,所以∠BOF=∠BOD-∠DOF=60°-30°=30°.9.【解析】结论:(1)∠PAB+∠APC+∠PCD=360°(2)∠APC =∠PAB+∠PCD(3)∠APC =∠PCD-∠PAB(4)∠APC =∠PAB-∠PCD选择结论:答案不唯一,理由:(1)过点P作PQ∥AB,因为AB∥CD,所以PQ∥CD,由PQ∥AB可得∠PAB+∠APQ=180°;由PQ∥CD得∠PCD+∠CPQ=180°,所以∠PAB+∠APQ+∠PCD+∠CPQ=360°,即∠PAB+∠APC+∠PCD=360°.(2)过点P作PQ∥AB,因为AB∥CD,所以PQ∥CD,由PQ∥AB可得∠PAB=∠APQ;由PQ∥CD得∠PCD=∠CPQ,所以∠APC =∠PAB+∠PCD.(3)因为AB∥CD,所以∠PEB=∠PCD,又因为∠AEP+∠APC+∠PAB=180°,∠PEB+∠AEP=180°,所以∠APC+∠PAB=∠PCD,即∠APC =∠PCD-∠PAB.(4)因为AB∥CD,所以∠PED=∠PAB,又因为∠CEP+∠APC+∠PCD=180°,∠PED+∠CEP=180°,所以∠APC+∠PCD=∠PAB,即∠APC =∠PAB-∠PCD.关闭Word文档返回原板块。

典型例析：用平行线性质解题“两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.”是平行线的三个重要性质.下面说说这三个重要性质在解题中的应用.例1已知：如图1，l1∥l2，∠1=50°，则∠2的度数是（）A。

135° B。

130° C。

50° D.40°图1分析：本题主要考查平行线特征的应用，观察图形可知∠1的同位角与∠2是对顶角，所以∠1=∠2.解：选C。

【评注】本题是一道比较简单的试题，解决问题的关键是根据平行线的特征以及对顶角的性质,找出∠1和∠2的关系.例2如图2，AB//CD，直线l平分∠AOE，∠1=40°，则∠2=_____。

图2分析:根据两直线平行同旁内角互补,得∠1+∠FOB=180°，所以∠FOB=180°—40°=140°。

根据直线l平分∠AOE,得∠BOG=70°，再根据AB//CD,可得∠2=∠BOG=70°。

解：填70°.【评注】本题主要是两直线平行同旁内角相等,以及两直线平行，内错角相等性质的应用。

例3 如图3， AB//CD, 若∠ABE=120°，∠DCE=35°，则有∠BEC=___度.图3分析:要求∠BEC的度数,可过E点作EF//AB，根据AB//CD，可得EF//CD，这样可借助平行线的性质找到∠BEC与∠ABE和∠DCE之间的关系.从而求出∠BEC的度数。

解:作EF//AB,因为AB//CD,所以EF//CD，所以∠ABE+∠BEF=180°，∠FEC=∠C，所以∠BEC=∠ABE+∠DCE=120°+35°=155°.【评注】当所求的角和两已知平行线没有直接关系时，可通过添加平行线，借助平行线的性质解决。

例4 已知:如图4,AB//DE，∠E=65°,则∠B+∠C的度数是（ )A。