考研数学：求极限的16种方法.doc

求函数极限的方法总结求函数极限的方法总结考研高数求极限是考研数学的重要考点，下面求函数极限的方法总结，欢迎阅读参考！求函数极限的方法总结：利用函数连续性：直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0；通过已知极限：两个重要极限需要牢记；采用洛必达法则求极限：洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。

函数极限性质的合理运用。

常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。

2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。

首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x），没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。

洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。

对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。

求极限的常用方法（精髓版）初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。

极限方法就是研究变量的一种基本方法。

极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。

1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111x x →-=⋅-=2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)411x x x x x x x x x x x →→→--++==++=--3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim323+-∞→x xx x 解3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 0110114．分子(母)有理化求极限 例4 求极限)13(lim 22+-++∞→x x x解13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x132lim22=+++=+∞→x x x例5求极限x →解01)2x x x →→→===5．应用两个重要极限的公式求极限两个重要极限是1sin lim0=→x xx 和1lim(1)x x ex →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。

例6 求极限xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→11lim解 2221212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→6．用等价无穷小量的代换求极限这可以称之为求极限最简便的方法。

高等数学求极限的14 种方法一、极限的定义1. 极限的保号性很重要：设limf (x)A ，x x 0（ i ）若 A 0 ，则有0 ，使适当 0 | x x 0 |时， f (x) 0 ； （ ii ）如有0, 使适当 0 | x x 0 |时， f (x)0,则A0 。

2. 极限分为函数极限、数列极限，此中函数极限又分为限能否存在在：x时函数的极限和 xx 0 的极限。

要特别注意判断极（ i ）数列 x n 收敛于 a 的充要条件 是它的全部子数列均收敛于 a 。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ ii ）limf (x)Alimf ( x)limAxxx(iii)lim f ( x)AlimlimAx xx x 0x x 0(iv) 单一有界准则 （ v ）两边夹挤准则（夹逼定理 / 夹逼原理） （ vi ） 柯 西 收 敛 准 则 （ 不 需 要 掌 握 ）。

极 限 limf ( x) 存 在 的 充 分 必 要 条 件 是 ：x x 00,0, 使适当 x 1、 x 2U o ( x 0 )时，恒有 | f ( x 1 ) f ( x 2 ) |二．解决极限的方法以下：1. 等价无量小代换。

只好在乘除 时候使用。

例题略。

．．2. 洛必达（ L ’ho spital ）法例（大题目有时会有示意要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。

第一一定是X 趋近，而不是 N 趋近，因此面对数列极限时候先要转变为求 x 趋近状况下的极限，数列极限的n 自然是趋近于正无量的，不行能是负无量。

其次 , 一定是函数的导数要存在，假如告诉 f （x ）、g （x ）, 没告诉能否可导， 不行直接用洛必达法例。

此外，一定是 “0 比 0”或“无量大比无量大” ,而且注意导数分母不可以为 0。

洛必达法例分为 3 种状况：（i ）“ 0”“”时候直接用(ii) “0? ”“”，应为无量大和无量小成倒数的关系，因此无量多数写成了无量小的倒数形式了。

考研数学高数求极限的复习方法及常考题型考研数学高数求极限的复习方法及常考题型极限可以说是高数的重点，是每年都必考的一个知识点，复习高数的时候，求极限大家一定要多理解多做题。

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考研数学高数求极限的16个方法及常考题型解决极限的方法如下：1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。

首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。

洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。

对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。

3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与函数相乘的时候,一定要注意这个方法。

16种求极限方法及一般题型解题思路分享求极限是微积分中的重要内容之一，常见于各种数学和工程科学中。

为了求出一个函数在某一点的极限，需要使用合适的方法。

下面介绍16种常用的求极限方法，以及一般题型解题思路。

一、直接代入法对于多项式函数和分式函数，可以直接将自变量代入函数表达式中计算极限。

例如，求函数 f(x) = 2x + 3 在 x = 1 处的极限，直接代入即可得到结果。

二、分解因式法对于分式函数，可以通过分解因式来简化计算，特别适用于分子和分母都是多项式的情况。

例如，求函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处的极限，可以将分子进行因式分解，得到 f(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)，然后约去公因式，即可得到结果。

三、夹逼定理夹逼定理用于解决复杂函数在某一点处的极限问题。

如果一个函数在某一点附近被两个其他函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么原函数的极限也存在且等于这个相等的极限。

例如，对于函数 f(x) = x*sin(1/x)，当 x 趋近于 0 时，f(x) 被两个函数 g(x) = x 和 h(x) = -x 夹住，且 g(x) 和 h(x) 的极限都是 0，所以 f(x) 的极限也是 0。

四、变量代换法第1页/共5页对于一些特殊的函数，可以通过变量代换来简化计算。

例如，对于函数f(x) = sin(1/√x)，当 x 趋近于 0 时，可以将√x = t，那么 x = t^2，且当 x 趋近于 0 时，t 也趋近于 0，所以求 f(x) 在 x = 0 处的极限可以转化为求 g(t) = sin(1/t) 在 t = 0 处的极限。

五、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求函数极限的方法，特别适用于形如 0/0 或∞/∞的不定式。

根据洛必达法则，如果一个不定式的分子和分母的极限都存在且为 0 或∞，那么可以分别对分子和分母求导后再次求极限，直到找到一个不是 0/0 或∞/∞的形式。

2020考研数学：这十招帮你搞定数学极限！
考研中数学也是一大难题，公式一定要熟记才不会费劲，下面由小编为你精心准备了“2020考研数学：这十招帮你搞定数学极限！”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
2020考研数学：这十招帮你搞定数学极限！
1、利用定义求极限。

2、利用柯西准则来求。

柯西准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε&gt;0，存在自然数N，使得当n&gt;N时，对于
任意的自然数m有|xn-xm|&lt;ε.&lt;&gt;
3、利用极限的运算性质及已知的极限来求。

如：lim（x+x .5）.5/（x+1）.5
=lim（x .5）（1+1/x =1.
4、利用不等式即：夹挤定理。

5、利用变量替换求极限。

例如lim
（x /m-1）/（x /n-1）
可令x=y
得：=n/m.
6、利用两个重要极限来求极限。

（1）lim
sinx/x=1
x-&gt;0
（2）lim
（1+1/n）
n-&gt;∞
7、利用单调有界必有极限来求。

8、利用函数连续得性质求极限。

9、用洛必达法则求，这是用得最多的。

10、用泰勒公式来求，这个也经常用。

高数中求极限的16种方法假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。

树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。

函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。

全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提必须是X趋近而不是N趋近（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷必须是函数的导数要存在（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死必须是0比0 无穷大比无穷大当然还要注意分母不能为0落笔他法则分为3中情况1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1中的形式了3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母看上去复杂处理很简单5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

2023年考研数学备考知识点内容：求极限的方法汇总1.极限分为一般极限，还有个数列极限区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种。

2.解决极限的方法如下〔1〕等价无穷小的转化，〔只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限仍然存在〕e的X次方-1或者〔1+x〕的a次方-1等价于Ax 等等。

全部熟记。

〔x趋近无穷的时候复原成无穷小〕〔2〕洛必达法那么〔大题目有时候会有暗示要你使用这个方法〕首先他的使用有严格的使用前提。

必须是X趋近而不是N 趋近。

〔所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。

还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！〕必须是函数的导数要存在！〔假设告诉你g 〔x〕，没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条〕必须是0比0，无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。

洛必达法那么分为三种情况〔1〕0比0无穷比无穷时候直接用〔2〕0乘以无穷，无穷减去无穷〔应为无穷大于无穷小成倒数的关系〕所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1中的形式了〔3〕0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方对于〔指数幂数〕方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，〔这就是为什么只有3种形式的原因，ln〔x〕两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln〔x〕趋近于0〕3.泰勒公式含有ex的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！ex展开，sinx展开，cos展开，ln〔1+x〕展开对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决方法取大头原那么最大项除分子分母！看上去复杂处理很简单。

5.无穷小与有界函数的处理方法面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！6.夹逼定理主要对付的是数列极限这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

求极限的常用方法求极限是数学分析中一个重要的概念，它可以帮助我们理解函数在一些点处的行为，并在许多数学领域中发挥重要作用。

下面是一些常用的方法和技巧，来帮助我们求解各种类型的极限。

1.代入法：当函数在其中一点的极限存在时，我们可以尝试直接将该点的值代入函数中，看看是否会得到一个有意义的结果。

如果代入的结果是有限的，那么说明极限存在并等于该有限值。

然而，这种方法只适用于简单的函数和特定的极限问题。

2.分母有理化：当我们遇到含有分母中包含根式或其他不便计算的因素时，可以尝试将其有理化。

常用的方法有利用平方差公式或者乘法公式，以及通过分子分母同乘共轭式等。

3.分子有理化：类似于分母有理化，当我们遇到函数中含有根式时，可以尝试将其有理化。

常用的方法有利用平方差公式，乘方差公式以及平方和公式等。

4.拆分分数项：对于复杂的分式函数，我们可以尝试将其分解成简单的分式项，然后对各项求极限，再根据极限的性质进行求解。

5.极限的性质和定理：除了直接计算极限，我们还可以利用一些常见的极限性质和定理来简化问题。

例如，极限的四则运算法则、复合函数的极限、极限的保号性等都可以帮助我们更好地理解和求解极限。

6.夹逼定理：夹逼定理是求解一些复杂极限的常用方法之一、该定理的核心思想是通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，然后利用这两个函数对待求函数进行夹逼，从而确定待求函数的极限。

这个方法常用于求解无穷大和无穷小的极限。

7.泰勒展开：泰勒展开是求解一些复杂函数的极限的重要方法。

该方法利用了泰勒级数的定义，将复杂的函数近似为一个无穷级数，然后通过截断级数来计算近似的极限值。

8. L'Hospital法则：L'Hospital法则是求解一些不定型极限的重要方法之一、该法则利用导数和洛必达法则，将一个不定型极限转换为一个更简单的极限，然后进行求解。

9.递推关系：递推关系是求解一些递推数列的极限的重要方法。

该方法利用数列之间的递推关系，将数列的极限转化为递归方程的极限，并利用递归方程的解求解极限。