高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 1.1.2 弧度制》

弧度制教学设计

江苏省太湖高级中学（214125） 翟洪亮

1创设情景，引入新制

师：上一课，我们学习任意角，通过旋转将角的范围由初中所学的0到360，推广到任意角，知道角不但可以推广到大于360的任意正角，还可以推广到零角、负角，第一次颠覆了我们对角的已有认识,今天将在此基础上再次颠覆大家对角的认识请大家看投影中姚明的简介，结合表格，联系生活，在常用的度量衡有国际公制、英制和中国市制，你能想到长度、质量的单位有哪些？

生：在度量长度的国际公制中常用的单位有：毫米（mm）、厘米（cm）、米（m）、千米（m），中国市制有：寸、尺、丈等

生：在度量质量的国际公制中常用的单位有：克（g）、千克（g）等，英制由磅，中国市制有：钱、两、斤等

师：这说明在不同地域内不同的单位进制会给人们解决生活问题带来方便，对于角你知道它的单位有哪些？单位之间又是如何进行换算的？

生：角的单位有度、分、秒，1度=60分，1分=60秒

师：我们知道周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，那么角是否还有其他换算进制呢？

生：也应该有！

设计意图 通过对长度和质量在不同的区域都有不同换算进制，从而引导学生想到角也应该有不同的换算进制，旨在激发学生去探索新知

2探究比值，以旧促新

师：在初中学了弧长公式，哪位同学能叙述一下？

生：在半径为r的圆中，圆心角为1度的扇形所对的弧长为2360180rr，所以圆心角为n度的扇形所对的弧长为180nrl

师：很好！在弧长公式中当圆心角n确定后，如图1，改变半径的大小，你能发现什么？

生：发现半径越小，扇形的弧长越短；半径越大，扇形的弧长越长

师：请大家计算ABr，''ABr，你能发现什么？

生：发现180llnrr为定值，当角AOB不变，lr的值被唯一确定（教师用简介 中文 英文

身高 7尺6寸 226cm

体重 268斤 310磅

ABO'A'B n

r'r图1 l'l几何画板演示）

师：由此发现：弧长与半径的比值也能确定圆心角AOB的大小再看4015= 度？

生：要将15除以60得0.25，所以401540.25

师：要先除以60，再转化为十进制，因此有人提出，角度制给十进制的运算带来不便，需要创建新的度量角的单位，你认为如何定义最合理呢？

生：可以用圆的半径去度量弧

师：你的想法与数学家欧拉的想法不谋而合，瑞士数学家欧拉在他1748年出版的《无穷小分析概论》第八章引入弧度概念但是弧度的名字——radian首次出现在正式印刷物上是在1875年 ,由爱尔兰的詹姆斯•汤姆森将半径（radiu）和角（ange）两个英语单词组合而成欧拉提出：用圆的半径作单位去度量弧规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad用弧度作为单位来度量角的单位制叫弧度制

设计意图 两大原因：（1）弧长与半径的比值可刻画角的大小；（2）60进制给十进制换算带来不便让学生感受到要创建新的进制与十进制接轨的迫切性，从而让学生意识到最合理的方法就是用半径去刻画角的大小，说明弧度制产生的合理性

3动手操作，强化概念

师：请大家用圆规和纸条或棉线）作出1rad的角

生：如图2，在平面上以点O为圆心，以r长为半径作圆，在圆周上用纸条截取ABr，则AOB为1rad的角（几何画板演示）

师：请大家再用圆规和纸条作出2rad的角

生：在圆周上用纸条截取2ACr，则AOC为2rad的角（几何画板演示）

师：请大家再用圆规和纸条作出3rad的角

生：在圆周上用纸条顺时针截取3ADr，则AOD为3rad的角（几何画板演示）

师：从上面作法可知，用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，可以省略单位，例如1rad，2rad，3rad可分别写成1，2，3为了便于国际交流，不同进制的度量单位之间，可以互相换算如在长度单位中有：1米=3尺；在质量单位中有：1斤=500克那么角的角度制与弧度制之间又该如何进行换算呢？先请大家用量角器度量一下1rad角约为多少度？

生：大约是57度

设计意图 通过动手作图去理解弧度制概念，用量角器测量1弧度的角，既让学生感受1弧度角的大小，也图2 A B

O

C

D 为引出角度制与弧度制的换算做好准备

5两制互化，发现规律

师：为什么呢？

生：由公式180lnr可知，当1180lnradr时，其中圆心角18057.3n度

师：由此可见，1801rad度，那么1度等于多少弧度呢？

生：1180rad

师：对此，如何理解更好呢？

生：半径为圆r的圆的周长2Cr，由弧度制定义得22lrrr，所以3602rad，即1180rad，1801rad度

师：通过整个圆周角来理解，既直观，又形象这符合我们思维的习惯，在角度制中，整个圆周角是360，因此1角为圆周角的360分之一；同样，在弧度制中，整个圆周对应的角是2rad，所以3602rad，所以1180rad，1801rad度

设计意图 先从学生熟悉的弧长公式中寻找新知的生长点，后利用弧度制定义，从特殊情形圆周角整体入手，利用直观加深学生理解，便于学生接受

师：把下列角从弧度化为度：（1）34；（2）3

生：（1）3318013544rad；（2）18033171.9rad

师：我们既要能将角从弧度化为度，也要能将角从度化为弧度请把下列各角从度化为弧度：

（1）2230；（2）0；（3）420

生：（1）223022.522.51808；（2）000180；（3）74204201803

师：请大家完成下表：

从上述问题中，大家能发现什么？

生：随着角的范围推广到任意角，发现正角对应正实数；零角对应实数0；负度 150 90 15 15 90 150

弧度 34 3 0 3 34

图3 角对应负实数同样任给一个实数，也对应惟一的一个角

师：这说明，在弧度制下角的集合与实数集R之间构成一一对应关系：每一个角都对应惟一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应惟一的一个角（如图3）这是不是再一次颠覆我们对角的认识

生：是！真的想不到啊！

设计意图 通过角度制与弧度制的互化，强化所学新知，利用表格中所填数值的对称性，就象设置在数轴上一样，便于学生直观感受到在弧度制下角的集合与实数集R之间的对应关系

6公式优化，追根溯源

师：因为角有正负，而0lr，所以角所对的弧之间关系应为||lr如图4，能用哪些方法求出AOB的弧度数？

生1：用量角器量出角度n，由180nrl计算弧长，计算lr可得弧度数180n

生2：用量角器量出角度n，通过1180rad可得弧度数180n

生3：用圆规，以点O为圆心，以r为半径作圆弧，分别交OA于点C，交OB于点D计算CDr

师：既然同一个圆心角所对的弧长与它所在圆的半径的比值是一个常数，与圆半径的大小无关，那么作圆时，取1r时，则||l，此时弧长即为AOB的弧度数，可简化计算

设计意图 通过对公式的两次优化，首先说明加绝对值得必要性，然后要求学生用不同方法得到AOB的弧度，旨在拓展学生思维，提升学生能力取半径为单位长度，既可简化计算，也为用单位圆作为工具去研究任意角的三角函数、诱导公式，以及三角函数图象和性质奠定基础

师：在初中时，我们已经学习弧长公式为2360nlr180nr，扇形的面积公式为2360nSr学习弧度制后， 弧长公式变为||lr，很简洁那么扇形的面积公式又是什么呢？

生：扇形的面积公式为2||2Sr21||2r12lr

师：怎么理解呢？

生：按扇形所占圆的比例来理解前者占圆面积的360n，是角度值的比；后者占圆面积的||2，是弧度值的比

师：很好！还能怎么理解呢？

生：扇形的面积公式S12lr，可以把扇形视为三角形AOB，把AB视为三角形的底边，半径r视为高，很容易记忆

师：你是怎么想到的？ ABO图4

ABO

r图5 2A1A

3A1nA1lnl2l3l生：从公式形式想到的，如果扇形很小，也可以当作三角形！

师：这就是数学直觉！如图5，我们把扇形分成n份，当n趋向无穷大时，每一份所对应的扇形可以近似地看成一个以半径为腰，弧长为底的等腰三角形，它们的高都为半径r，所以扇形的面积S12111...222nlrlrlr121(...)2nlllr12lr，这是极限分割的数学思想因此，可把扇形直观地视为三角形来记忆它的面积．下面请大家思考例题：已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积．

生：设扇形的半径为r，弧长l，则28,2,rllr解得2,4.rl故扇形的面积为214()2Slrcm．

设计意图 将角度制下扇形的面积公式与弧度制下扇形的面积公式进行对比，再次体会弧度制的优越性．然后由扇形的面积公式启发学生联想到三角形的面积公式，从而探究出极限分割的思想是两者面积公式形式上一致的根源所在．

师：本节课我们共同学习了哪些内容，谁来总结一下？

生：1弧度概念；2弧度制与角度制相互转化；3弧长公式与扇形面积公式在弧度制下的优化．从中体会到化归与转化，数形结合和分论讨论等数学思想．

师：课后作业完成相应练习，下课，谢谢大家，再见！