巩固练习_解三角形应用举例_提高
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1页 【巩固练习】
一、选择题
1．在ABC中，已知=4a，6b，C120°，则sinA＝( )
A．5719 B．217 C．338 D．2319
2．设a，b，c为ABC的三条边长，且关于x的方程2222()210abcxbcx有两个相等的实数根，则A的大小是( )
A． 120° B．90° C．60° D．30°
3．ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，2ABCS△，则ABC外接圆的直径为( )
A．43 B．5 C．52 D．62
4．在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a、b，c．若∠C＝120°，2ca，则( )
A．b>c B．b
5．已知ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a＝4，b+c＝5，
tantan 33tantanBCBC，则ABC的面积为( )
A．34 B．33 C．334 D．34
6．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°处，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为 ( )
A．400米 B．500米 C．800米 D．700米
7．已知ABC中，2222sin()sin()cbCBcbCB，那么ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．直角三角形
8．在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a、b，c．已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝( ) .
2页 A．725 B．725 C．725 D．2425
二、填空题
9． 在ABC中，已知32a，1cos3C，43ABCS△，则b＝________．
10．在ABC中，已知sinA:sinB＝2:1，222cbbc，则三内角A，B，C的度数依次是________．
11．要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距3km的CD、两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A、B之间的距离为________．
12. 下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？
【题】在ABC中，a＝x，b＝2，B＝45，若ABC有两解，则x的取值范围是（ ）
A.2, B.（0，2） C.2,22 D.2,2
【解法1】ABC有两解，sinaBba，sin2xx, 即222,x 故选C.
【解法2】,sinsinabAB sinsin452sin.24aBxxAb
ABC有两解，sinaBba， 222,4xx 即0
你认为 是正确的（填“解法1”或“解法2”）.
三、解答题
13．ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a、b，c，已知cos()cos 12ACBac＝，＝，求C．
14. 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
15. 设ABC是锐角三角形，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，并且.
3页 22sinsinsinsin33ABBB．
(1)求角A的值；
(2)若12ABAC，27a，求b，c（其中b
【答案与解析】
1．【答案】 A
【解析】2222cos76cababC，219c或219c（舍去），又sinsincaCA，
即2194sin32A，∴ 57sin19A．
2．【答案】C
【解析】 ∵ △＝4(b2+C2)-4(a2+bc)＝0，∴ b2+c2-a2＝bc，∴
2cosA＝1，∴ A＝60°．
3．【答案】C
【解析】 ∵ 1sin22ABCSacB△，∴ 42c．
由余弦定理，得2222cos25bacacB，
所以b＝5或b＝-5(舍去)．
由正弦定理，得252sinbRB(R为△ABC外接圆的半径)，故选C．
4．【答案】A
【解析】由余弦定理得2222coscababC，又∠C＝120°，2ca，
∴ 2222aabab，∴ 222ababb，∴ ab，故选A．
5．【答案】C
【解析】∵ tantan33tBCBC，.
4页 tantantan()1tantanBCBCBC，
∴ tan()3BC，∴ B+C＝120°，A＝60°．
∵ 2222cosabcbA，而5bc，
∴ 22252bcbc，∴ 16＝25-2bc-2bc cos60°＝25-3bc，
∴ bc＝3．
∴ 133sin24ABCSbcA△．
6．【答案】D
【解析】由题意知∠ACB＝120°，AC＝300米，BC＝500米，
在△ABC中，22cosABACBCACBCACB
22130050023005002
＝700(米)．故选D．
7．【答案】D
【解析】 由已知条件及正弦定理得
2222sinsinsin()sinsinsin()CBCBCBCB
sincoscossinsincoscossinCBCBCBCB，
∴ 3223sincossincossinsinsincoscossinCBCCBCBBCB
3223sincossincossinsinsincoscossinCBCCBBCBCB，
∴ sin2C＝sin2B．
又由题设可知，B≠C，．∴ 2C＝π－2B，
∴ 2BC．
∴ △ABC为直角三角形．
8．【答案】A .
5页 【解析】由正弦定理得sinsinbcBC，将8b＝5c及C＝2B代入得85sinsin2bbBB，
化简得815sin2sincosBBB，则4cos5B．
所以2247coscos22cos121525CBB，故选A．
9．【答案】23
【解析】 222sin1cos3CC，1sin2ABCSbaC△，
∴ 223sinABCSbaC△．
10．【答案】 45°，30°，105°
【解析】 由已知条件可得2ab，又
∵ 2222cosabcbA，
∴ 22222cosbbcbcA，又222cbbc，
∴ 2cos2A，A＝45°，1sin2B，B＝30°，∴ C＝105°．
11．【答案】5km
【解析】 如下图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°．∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴ AC＝CD＝3km．
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，
∴ 3sin7562sin602BC°°．
△ABC中，由余弦定理，得 .
6页 2226262(3)23cos7522AB°32335．
∴ 5AB(km)．∴ A、B之间的距离为5km．
12. 【答案】解法1
【解析】已知a，b和B，用正弦定理求A时出现两解得情况是asinB
13． 【解析】 由B＝π－(A+C)，得cos B＝-cos(A+C)．
于是cos(A-C)+cos B＝cos(A-C)-cos(A+C)＝2sin A sin C，
由已知得sinA sin C＝12． ①
又由a＝2c及正弦定理得sin A＝2sin C． ②
由①、②得21sin4C，
于是1sin2C(舍去)或1sin2C．
又 a＝2c，所以6C．
14. 【解析】 解法一：设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
290040023020cos(9030)Stt°°
2900600400tt
219003003t．
故当13t时，min103S，
此时10330313v．
即小艇以330海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．
设小艇与轮船在C处相遇．
在Rt△OAC中，20cos30103OC， .
7页 AC＝20 sin30°＝10．
又AC＝30t，OC＝vt．
此时，轮船航行时间313010t．
33031310v．
即，小艇以330海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
15．【解析 】(1)因为223131sincossincossinsin2222ABBBBB
222313cossinsin444BBB，
所以3sin2A．又因为△ABC为锐角三角形，所以3A．
(2)由12ABAC可得cos12cbA．
由(1)知3A，所以cb＝24． ②
由余弦定理知2222cosacbcbA，
将27a及①代入，得
2252cb， ③
③+②×2，得2()100cb，
所以c+b＝10或c+b＝-10(舍去)．
因此，c，b是一元二次方程210240tt的两个根．
解此方程并由c＞b知c＝6，b＝4．
