解三角形应用举例--复习课

复习课: 解三角形应用举例

教学目标

重点：会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法．

难点：利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系．

能力点：解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等．

教育点：熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，培养学生观察、分析、归纳能力．

自主探究点：通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力．

易错点：实际问题转化解三角形，要注意答语、单位．

学法与教具

1．学法：讲授法、讨论法． 2．教具：多媒体、投影仪．

一、【知识结构】

距离问题高度问题应用举例角度问题面积问题实际应用题

二、【知识梳理】

1.解斜三角形的常见类型及解法

在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法如表所示.

已知条件 应用定理 一般解法

一边和两角

(如a，B，C) 正弦定理 由A＋B＋C＝180°，求角A；由

正弦定理求出b与c.

在有解时只有一解

两边和夹角

(如a，b，C) 余弦定理

正弦定理 由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A

＋B＋C＝180°求出另一角.

在有解时只有一解

三边

(a，b，c) 余弦定理 由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.

在有解时只有一解

两边和其中一

边的对角

(如a，b，A) 正弦定理

余弦定理 由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用

正弦定理或余弦定理求c.

可有两解，一解或无解

2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型

测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.

3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等；

(3)方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).

(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.

【范例导航】

例1如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.

分析 (1)分清已知条件和未知条件(待求).

(2)将问题集中到一个三角形中，如△ABC和△BCD.

(3)利用正弦定理或余弦定理求解.

解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝103t海里，BD＝10t海里，

在△ABC中，由余弦定理，有

BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A

＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.

∴BC＝6海里.

又∵BCsin A＝ACsin∠ABC，

∴sin∠ABC＝AC·sin ABC＝2·sin 120°6＝22，

∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，

∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，

在△BCD中，由正弦定理，得BDsin ∠BCD＝CDsin∠CBD，

∴sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.

又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，

∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝6.

∴t＝610小时≈15分钟.

∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.

点评 (1)由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路.如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题，进行解答，之后再还原成实际问题，即利用上述模板答题.

(2)本题的易错点是，不能将已知和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解.

解斜三角形应用题的一般步骤为：

第一步：分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图；

第二步：建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；

第三步：求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；

第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

变式训练:

某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离（不要求作近似计算）

解：在△AOB中，设OA=a，OB=b

因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以∠AOB=135°

则|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=（2+2）ab，当且仅当a=b时，“=”成立又O到AB的距离为10，设∠OAB=，则∠OBA=45°－所以a=sin10，b=）（45sin10，

ab=sin10·）（45sin10=）（45sinsin100

=）（sin22cos22sin100=）（2cos1422sin42100

=2452sin2400）（≥22400，

当且仅当=22°30′时，“=”成立

所以|AB|2≥2222400）（=400（2+1）2，

当且仅当a=b，α=22°30′时，“=”成立

所以当a=b=0322sin10=10）（222时，|AB|最短，其最短距离为20（2+1），即当AB分别在OA、OB上离O点10）（222 km处，能使|AB|最短，最短距离为20（2－1）

例2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高.

分析 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解.注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识.

解 如图所示，某人在C处，AB为塔高，

他沿CD前进，CD＝40，此时∠DBF＝45°，过

点B作BE⊥CD于E，

则∠AEB＝30°，

在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，

由正弦定理，得CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，

∴BD＝40sin 30°sin 135°＝202.

∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.

在Rt△BED中，

BE＝DBsin 15°＝202×6－24＝10(3－1).

在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，

∴AB＝BEtan 30°＝103(3－3)(米).

故所求的塔高为103(3－3)米.

变式训练:

如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.

(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；

(2)求塔的高AB.

解 (1)依题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，

CD＝6 000×160＝100(米)，∠D＝180°－135°－30°＝15°，

由正弦定理得CDsin∠DBC＝BCsin∠D，

∴BC＝CD·sin∠Dsin∠DBC＝100×sin 15°sin 135°

＝100×6－2422＝506－22

＝50(3－1)(米). 在Rt△ABE中，tan α＝ABBE.

∵AB为定长，∴当BE的长最小时，α取最大值60°，这时BE⊥CD.

当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，

EC＝BC·cos∠BCE＝50(3－1)·32

＝25(3－3)(米).

设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t分钟.

则t＝EC6 000×60＝253－36 000×60

＝3－34(分钟).

(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，

在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCD，

∴AB＝BE·tan 60°＝BC·sin∠BCD·tan 60°

＝50(3－1)·12·3＝25(3－3)(米).

即所求塔高AB为25(3－3)米.

例3如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东060的C处，12时20分测得船在海岛北偏西060的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？

解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟，

而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=x，则

则BC=4x，由已知得0030,150BAEEAC

在△AEC中，由正弦定理得：

sinsinsinsinECAEAEEACCEACCEC05sin150152xx

在△ABC中，由正弦定理得：0sin120sinBCABC014sin2sin12032xBCCxAB433

在△ABE中，由余弦定理得：22202cos30BEABAEABAE

1643331312525,33233BE故