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高考数学总复习题型分类汇《解三角形》篇
经典试题大汇总
2 目录
【题型归纳】
题型一 利用正、余弦定理解三角形............................................................................3
题型二 角的正弦值和边的互化....................................................................................4
题型三 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状..........................................................5
题型四 和三角形面积有关的问题..................................................................................6
【巩固训练】
题型一 利用正、余弦定理解三角形............................................................................8
题型二 角的正弦值和边的互化..................................................................................10
题型三 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状........................................................11
题型四 和三角形面积有关的问题................................................................................11
解三角形应用举例
1.测量距离：
例1.已知船在A处测得它的南偏东30的海面上有一灯塔C，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半小时后到达B点，于B处看到灯塔在船的正西方向，此时船和灯塔相距_________海里
演变1.某人向正东方向走x千米后，他向右转150，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x的值为_________
演变2.某观测站C在城A的南偏西20的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，则这人到达A城还需走_________千米
例2.如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知mCD6000，45ACD，75ADC，目标出现于地面B处时测得30BCD，15BDC，求炮兵阵地到目标的距离。（结果保留根号）
演变1.如图，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在河的这边测得kmCD23，30CDBADB，60ACD，45ACB，求A、B两点间的距离。
例3.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15相距20里处，随后货轮按北偏西30的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45，求货轮的速度
演变1.如图，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的C处，12时20分时测得船在海岛北偏西60的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西且距海岛5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前行，问船速为多少？
2.测量角度：
例1.如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处31海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以103海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜，问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间。
解三角形解答题十大题型总结
【题型目录】
题型一：利用正余弦定理面积公式解题
题型二：解三角形与三角恒等变换结合
题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题
题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题
题型五：角平分线相关的定理
题型六：有关三角形中线问题
题型七：有关内切圆问题（等面积法）
题型八：与向量结合问题
题型九：几何图形问题
题型十：三角函数与解三角形结合
【典例例题】
题型一：利用正余弦定理面积公式解题
【例1】△ABC的内角、、ABC
的对边分别为abc、、
,已知△ABC的面积为2
3sina
A
(1)求sinsinBC
;
(2)若6coscos1,3,BCa
求△ABC的周长.
【答案】(1)2
sinsin
3BC
(2)333.
【详解】：
（1）由题设得21
sin
23sina
acB
A，即1
sin
23sina
cB
A
.由正弦定理得1sin
sinsin
23sinA
CB
A
.故2
sinsin
3BC
.
（2）由题设及（1）得1
coscossinsin,
2BCBC
，即1
cos
2BC
.所以2
3BC
，故
3A
.由题设得21
sin
23sina
bcA
A
，即8bc
.
由余弦定理得229bcbc
，即2
39bcbc
，得33bc.
故ABC
的周长为333.
【例2
】
的内角的对边分别为,,abc，已知2sin()8sin
2B
AC
．
（1）求cosB
；
（2）若6ac
，ABC
面积为2，求b
．
【答案】（1）15
17；（2）2．
【详解】：（1）2sin8sin
2B
AC
，∴
sin41cosBB
，∵22sincos1BB
，
∴2
2161coscos1BB
，∴
17cos15cos10BB，∴15
cos
17B
；
（2）由（1）可知8
sin
17B
，∵1
sin2
2ABCSacB
，∴17
2ac
，∴2
22222221715
2cos2152153617154
专题02 正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题
【命题规律】
解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：倍长定比分线模型
核心考点二：倍角定理
核心考点三：角平分线模型
核心考点四：隐圆问题
核心考点五：正切比值与和差问题
核心考点六：四边形定值和最值
核心考点七：边角特殊，构建坐标系
核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
核心考点九：利用正、余弦定理求解三角形中的最值或范围
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC中，点D在边BC上，120,2,2ADBADCDBD．当ACAB取得最小值时，BD________．
2．（2022·全国·高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为123,,SSS，已知12331,sin23SSSB．
（1）求ABC的面积；
（2）若2sinsin3AC，求b．
3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinsinsinsinCABBCA．
（1）若2AB，求C；
（2）证明：2222abc
4．（2022·全国·高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB．
（1）若23C，求B；
（2）求222abc的最小值．
【方法技巧与总结】
1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sinsinsin222SabCacBbcA，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．
