2019版高中数学人教B版选修2-2：第一章 导数及其应用 检测 含解析

第一章 导数及其应用

1.1 变化率与导数

导数的观点

A 级 基础稳固

一、选择题

1． y＝ x2 在 x＝ 1 处的导数为 ()

A． 2x B． 2 C． 2＋ x D． 1

分析：由于 f(x)＝ x2，x＝ 1，因此 y＝ f(1＋ x)－ f (1)＝ (1＋ x)2－ 1＝ 2 x＋ ( x)2，所

以 y＝ (2＋ x)＝ 2.

x

答案： B

2．一物体运动知足曲线方程 s＝4t 2＋ 2t－ 3，且 s′(5)＝ 42(m/s)，其实质意义是 ( )

A．物体 5 秒内共走过 42 米

B．物体每 5 秒钟运动 42 米

C．物体从开始运动到第 5 秒运动的均匀速度是 42 米/秒

D．物体以 t＝ 5 秒时的刹时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的行程为 42 米

分析：由导数的物理意义知， s′ (5)＝ 42(m/s)表示物体在 t＝ 5 秒时的刹时速度．

答案： D

3．设函数 f (x)在点 x0 邻近有定义， 且有 f(x0＋ x)－ f(x0 )＝ a x＋ b( x)2，(a，b 为常数 )，

则 ()

A． f′ (x)＝ a B． f′ (x)＝ b

C． f′ (x0)＝ a D． f′ (x0)＝ b

分析：由于 f′(x ＝ f（ x0＋ x）－ f（ x0） ＝

0) x

a x＋ b（ x） 2

＝ (a＋ b x)＝ a，因此 f′(x

第 1 页 共 43 页 选修2－2第一章导数及其应用教案（人教B版）

1．1导数

1.1.1函数的平均变化率

一．教学目标：

了解函数的平均变化率

二．教学重点：

函数的平均变化率

三．教学过程

1．客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量

的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于

科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这

门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创

造。

2．微积分学的建立

从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转

双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代

以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其

半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不

可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起

来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求

曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体

上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的

研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意

大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，

第一章检测

(时间:90分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的)

1若𝑙𝑖𝑚

Δ𝑥

→0𝑓

(𝑥

0)-𝑓

(𝑥

0+Δ𝑥

)

Δ𝑥=1,则𝑓'(𝑥0)=(

)

A.3

2𝐵.2

3𝐶.1𝐷.‒1

解析：原等式可化f'(x

0)=-1.为‒𝑙𝑖𝑚

Δ𝑥

→0𝑓

(𝑥

0+Δ𝑥

)-𝑓

(𝑥

0)

Δ𝑥=‒𝑓'(𝑥0)=1,

因此

答案：D

2∫4

2 1

𝑥𝑑𝑥=(

)

A.-2ln 2B.2ln 2C.-ln 2D.ln 2

解析：4-ln 2=ln 2.∫4

2 1

𝑥𝑑𝑥=𝑙𝑛 𝑥|4

2=𝑙𝑛

答案：D

3若对于任意x,有f'(x)=4x3,f(1)=3,则函数f(x)的解析式为(

)

A.f(x)=x4-1B.f(x)=x4-2

C.f(x)=x4+1D.f(x)=x4+2

解析：∵f'(x)=4x3,

∴f(x)=x4+k.

又f(1)=3,∴k=2,

∴f(x)=x4+2.

答案：D

4抛物线y=1

4𝑥2

在点𝑄(2,1)处

的切线

方程为(

)

A.-x+y+1=0B.x+y-3=0

C.x-y+1=0D.x+y-1=0

解析：∵y'Q(2,1),=1

2𝑥,

又切线过

点

∴切线方程为y-1=x-2,即-x+y+1=0.

答案：A

5函数f(x)=x3-2x+3的图象在x=1处的切线与圆x2+y2=8的位置关系是(

)

A.相切

B.相交且过圆心

C.相交但不过圆心

D.相离

解析：函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为x-y+1=0,圆心到此切线的距离

.为1

2=2

2<22,

所以此切线

与圆

相交但不过圆

心

答案：C

6若∫𝑘

0 (2𝑥‒3𝑥2)𝑑𝑥=0(𝑘>0),则𝑘=(

)

A.2B.1

C.3D.4

解析：因为(x2-x3)'=2x-3x2,

所以∫𝑘

0 (2𝑥‒3𝑥2)𝑑𝑥=(𝑥2‒𝑥3)|𝑘

0=𝑘2‒𝑘3=0.

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

明目标、知重点

1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．

2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．

导数的运算法则：设两个函数分别为f(x)和g(x)

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

(3)[fxgx]′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．

[情境导学]

前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．

探究点一 导数的运算法则

思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？

答 利用导数的运算法则．

思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？

答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及fxgx′＝f′xg′x的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；

(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.

例1 求下列函数的导数：

(1)y＝x3－2x＋3；

(2)y＝(x2＋1)(x－1)；

(3)y＝3x－lg x.

解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2. (2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1

∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.