2020版高中数学 第一章 导数及其应用章末检测试卷 新人教A版选修2-2

1 第一章 导数及其应用

章末检测试卷(一)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．由曲线y＝x2，直线y＝0和x＝1所围成的图形的面积是( )

A.18

B.16

C.13 D.12

考点 利用定积分求曲线所围成图形面积

题点 不需分割的图形的面积求解

答案 C

解析 由题意知，其围成的图形的面积为ʃ10x2dx＝ 13x310＝13.

2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )

A．1 B．2

C．3 D．0

考点 函数极值的综合应用

题点 函数极值在函数图象上的应用

答案 A

解析 设极值点依次为x1，x2，x3且a

3．已知某物体运动的路程与时间的关系为s＝13t3＋ln t，则该物体在t＝4时的速度为( )

A.649 B.645

C.657 D.654 2 考点 求瞬时速度

题点 用极限的思想求瞬时速度

答案 D

解析 s′(t)＝t2＋1t，则该物体在t＝4时的速度为

s′|t＝4＝42＋14＝654.

4．函数f(x)＝x2－ln 2x的单调递减区间是( )

A.0，22 B.22，＋∞

C.－∞，－22，0，22 D.－22，0，0，22

考点 利用导数求函数的单调区间

题点 利用导数求不含参数函数的单调区间

答案 A

解析 因为f′(x)＝2x－1x＝2x2－1x，

所以f′(x)≤0等价于 x>0，2x2－1≤0.

解得0

5．已知曲线f(x)＝ln x在点(2，f(2))处的切线与直线ax＋y＋1＝0平行，则实数a的值为( )

A.12

B．－2

C．2 D．－12

答案 D

解析 f(x)＝ln x的导数为f′(x)＝1x，

可得曲线f(x)＝ln x在点(2，f(2))处的切线斜率为12，由切线与直线ax＋y＋1＝0平行，可得－a＝12，

解得a＝－12.故选D. 3 6．若函数f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′－1f－1等于( )

A．－34 B.34

C．－65 D．－56

考点 导数公式的应用

题点 导数公式的应用

答案 C

解析 f′(x)＝2f′(1)＋2x，则f′(1)＝2f′(1)＋2，

∴f′(1)＝－2，

∴f′(x)＝－4＋2x，f′(－1)＝－6，

又f(－1)＝－2f′(1)＋1＝5，∴f′－1f－1＝－65.

7．下列定积分不大于0的是( )

A．ʃ1－1|x|dx B．ʃ1－1(1－|x|)dx

C．ʃ1－1|x－1|dx D．ʃ1－1(|x|－1)dx

考点 分段函数的定积分

题点 分段函数的定积分

答案 D

解析 A项，ʃ1－1|x|dx＝2ʃ10xdx＝1>0；

B项，ʃ1－1(1－|x|)dx＝ʃ1－11dx－ʃ1－1|x|dx＝2－1>0；

C项，ʃ1－1|x－1|dx＝ʃ1－1(1－x)dx＝ x－12x21－1＝2>0；

D项，ʃ1－1(|x|－1)dx＝ʃ1－1|x|dx－ʃ1－11dx＝1－2<0，故选D.

8．若函数y1＝sin 2x1＋12x1∈0，π2，函数y2＝x2＋3，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为( )

A.212π＋52－64 B.2π12

C.52－642 D.π－33＋15272

考点 导数的综合运用

题点 导数的综合运用

答案 D

解析 x1－x22＋y1－y22表示两函数图象上任意两点之间的距离，其最小值应为曲线y1上 4 与直线y2平行的切线的切点到直线y2的距离．

∵y′1＝2cos 2x1，令y′1＝1，

∴cos 2x1＝12，∵x1∈0，π2

∴x1＝π6，

∴y1＝1＋32，故切点坐标为π6，1＋32，切点到直线y2的距离为π6－1＋32＋32＝π－33＋1562，

∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为π－33＋15272.故选D.

9．设函数f(x)＝13x－ln x(x>0)，则f(x)( )

A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点

B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点

C．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点

D．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点

考点 函数极值的综合应用

题点 函数零点与方程的根

答案 C

解析 由题意得f′(x)＝x－33x.

令f′(x)>0得x>3；令f′(x)<0得0

故函数f(x)在区间(0,3)内为减函数，在区间(3，＋∞)内为增函数，

在x＝3处有极小值f(3)＝1－ln 3<0.

因为f(1)＝13>0，f(e)＝e3－1<0，

f 1e＝13e＋1>0，

所以f(x)在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．

10．函数f(x)在定义域R上的导函数是f′(x)，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时， 5 (x－1)f′(x)<0.设a＝f(0)，b＝f(2)，c＝f(log28)，则( )

A．cb>c

C．a

考点 利用导数研究函数的单调性

题点 比较函数值的大小

答案 A

解析 ∵当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，

∴f′(x)>0，

∴f(x)在区间(－∞，1)上为增函数．

又∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，

∴f(x)在区间(1，＋∞)上为减函数．

∵a＝f(0)＝f(2)，b＝f(2)，c＝f(log28)＝f(3)，

∴c

11．如果函数f(x)在[m，n]上存在x1，x2(m

A.13，12 B.32，3

C.12，1 D.13，1

考点 数学思想方法在导数中的应用

题点 转化与化归思想在导数中的应用

答案 C

解析 ∵f(x)＝x3－x2＋a，f′(x)＝3x2－2x，

在区间[0，a]上存在x1，x2(0

满足f′(x1)＝f′(x2)＝fa－f0a＝a2－a，

∴方程3x2－2x＝a2－a在区间(0，a)上有两个不相等的解．

令g(x)＝3x2－2x－a2＋a(00，g0＝－a2＋a>0，ga＝2a2－a>0，0<13

解得12

12．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( )

A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)

C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)

考点 函数极值的综合应用

题点 函数零点与方程的根

答案 B

解析 当a＝0时，由f(x)＝－3x2＋1＝0，

解得x＝±33，函数f(x)有两个零点，不符合题意．

当a>0时，令f′(x)＝3ax2－6x＝3axx－2a＝0，

解得x＝0或x＝2a>0，

此时f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x (－∞，0) 0 0，2a 2a 2a，＋∞

f′(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

∵当x→－∞时，f(x)→－∞，且f(0)＝1>0，

∴存在x0<0，使得f(x0)＝0，不符合题意．

当a<0时，令f′(x)＝3ax2－6x＝3axx－2a＝0，

解得x＝0或x＝2a<0，

此时f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x －∞，2a 2a 2a，0 0 ()0，＋∞

f′(x) － 0 ＋ 0 － 7 f(x)

↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘

∵f(0)＝1>0，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，

∴存在x0>0，使得f(x0)＝0.

又f(x)存在唯一的零点x0，

∴极小值f 2a＝a2a3－32a2＋1>0，

∴a>2或a<－2.

∵a<0，∴a<－2.

综上可知，a的取值范围是(－∞，－2)．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.

考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标

题点 求函数在某点处的切线的斜率

答案 －1

解析 ∵y′＝k＋1x，∴y′|x＝1＝k＋1＝0，∴k＝－1.

14．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

考点 利用导数求函数的单调区间

题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)

答案 [3，＋∞)

解析 由题意知f′(x)＝－3x2＋a≥0在区间(－1,1)上恒成立，则a≥3x2在区间(－1,1)上恒成立，故a≥3.

15.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：

①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；

②函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性；

③函数f(x)在x＝－12处取得极大值；

④函数f(x)在x＝1处取得极小值．

其中正确的说法有________．

考点 函数极值的综合应用