高二数学 第一章 导数及其应用综合检测 新人教A版选修2-2

高中数学 第一章 导数及其应用综合检测

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．以正弦曲线y＝sinx上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )

A．[0，π4]∪[3π4，π) B．[0，π)

C．[π4，3π4] D．[0，π4]∪(π2，3π4]

[答案] A

[分析] 先求导数，再依据弦函数性质得到导函数的值域，即切线斜率的取值范围，最后求直线的倾斜角的取值范围．

[解析] y′＝cosx，

∵cosx∈[－1,1]，

∴切线的斜率范围是[－1,1]，

∴倾斜角的范围是[0，π4]∪[3π4，π)．

2．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )

A．2 B．3 C．6 D．9

[答案] D

[解析] ∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，

又因为在x＝1处有极值，

∴a＋b＝6，

∵a>0，b>0，

∴ab≤(a＋b2)2＝9，

当且仅当a＝b＝3时取等号，

所以ab的最大值等于9.故选D.

3．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( )

A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cosx C．f(x)＝sinx－x D．f(x)＝1x

[答案] B

[解析] 对于A，f ′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f ′(x)＝sinx，当x∈(－π，0)时，f ′(x)<0，当x∈(0，π)时，f ′(x)>0，故f(x)＝－cosx在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f ′(x)＝cosx－1≤0恒成立，在R上单调递减，

没有极值点；对于D，f(x)＝1x在x＝0没有定义，所以x＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.

4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－3)，∪(3，＋∞) B．(－3，3)

C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．[－3，3]

[答案] D

[解析] f ′(x)＝－3x2＋2ax－1，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x)的图象是开口向下的抛物线，∴f ′(x)≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，∴－3≤a≤3，故选D.

5．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能是( )

[答案] A

[解析] f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f ′(x)的图象在(－∞，0)上，f ′(x)>0，在(0，＋∞)上f ′(x)的符号变化规律是负→正→负，故选A.

6．已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是( )

A．f(sinA)>f(cosB) B．f(sinA)

C．f(sinA)>f(sinB) D．f(cosA)

[答案] A

[解析] 由导函数图象可知，x>0时，f ′(x)>0，即f(x)单调递增，又△ABC为锐角三角形，则A＋B>π2，即π2>A>π2－B>0，故sinA>sin(π2－B)>0，即sinA>cosB>0，故f(sinA)>f(cosB)，选A.

7．函数f(x)＝13ax3＋12ax2－2ax＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是( )

A．－31067

[答案] D

[解析] f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，

要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)<0，

即(103a＋1)(－76a＋1)<0，解得a<－310或a>67.

故选D.

8．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f ′(x)>12，则满足2f(x)

A．{x|－11} D．{x|x>1}

[答案] B

[解析] 令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f ′(x)>12，

∴g′(x)＝2f ′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数，

∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，

∴当x<1时，g(x)<0，即2f(x)

9．若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有根，则实数m的取值范围是( )

A．[－2,2] B．[0,2] C．[－2,0] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

[答案] A

[解析] 令f(x)＝x3－3x＋m，则f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，显然当x<－1或x>1时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当－1

∴在x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝m＋2，在x＝1时，f(x)取极小值f(1)＝m－2.

∵f(x)＝0在[0,2]上有解，∴ f1<0，f2>0，

∴ m－2≤0，2＋m≥0，∴－2≤m≤2.

10．已知函数f(x)的导函数f ′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是( )

[答案] D

[解析] 由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除A，B；当00，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，故选D.

11．已知函数f(x)＝ax＋xlnx，g(x)＝x3－x2－5，若对任意的x1，x2∈12，2，都有f(x1)－g(x2)≥2成立，则a的取值范围是( )

A．(0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，－1]

[答案] B

[解析] 由于g(x)＝x3－x2－5⇒g′(x)＝3x2－2x＝x(3x－2)，∴函数g(x)在12，23上单调递减，在23，2上单调递增，g12＝18－14－5＝－418，g(2)＝8－4－5＝－1.由于对∀x1，x2∈12，2，f(x1)－g(x2)≥2恒成立，∴f(x)≥[g(x)＋2]max，即x∈12，2时，f(x)≥1恒成立，即ax＋xlnx≥1，在12，2上恒成立，a≥x－x2lnx在12，2上恒成立，令h(x)＝x－x2lnx，则h′(x)＝1－2xlnx－x，

而h″(x)＝－3－2lnx，x∈12，2时，h″(x)<0，

所以h′(x)＝1－2xlnx－x在12，2单调递减，

由于h′(1)＝0，∴x∈12，1时，h′(x)>0，x∈[1,2]时，h′(x)<0，所以h(x)≤h(1)－1，∴a≥1.

12．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是(

)

A．[－32，3] B．[32，6] C．[3,12] D．[－32，12]

[答案] C

[分析] 根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域．利用参数表示出f(－1)的值域，设z＝x＋3y，再利用z的几何意义求最值．

[解析] f′(x)＝3x2＋4bx＋c，

依题意知，方程f′(x)＝0有两个根x1、x2，

且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，

等价于f′(－2)≥0，f′(－1)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0.

由此得b，c满足的约束条件为 12－8b＋c≥0，3－4b＋c≤0，3＋4b＋c≤0，12＋8b＋c≥0.

满足这些条件的点(b，c)的区域为图中阴影部分．

由题设知f(－1)＝2b－c，

令z＝2b－c，

当直线z＝2b－c经过点(0，－3)时，z最小，

最小值为3.

当直线z＝2b－c经过点C(0，－12)时，z最大，

最大值为12.故选C.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

13．已知f(x)＝x3＋3x2＋a(a为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f(x)的最大值是________________．

[答案] 57

[解析] f ′(x)＝3x2＋6x＝3x(x＋2)，当x∈[－3，－2)和x∈(0,3]时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(－2,0)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，∴极大值为f(－2)＝a＋4，极小值为f(0)＝a，又f(－3)＝a，f(3)＝54＋a，由条件知a＝3，∴最大值为f(3)＝54＋3＝57.

14．如图阴影部分是由曲线y＝1x、y2＝x与直线x＝2、y＝0围成，则其面积为______．

[答案] 23＋ln2

[解析] 由 y2＝x，y＝1x，得交点A(1,1)

由 x＝2y＝1x得交点B2，12.

故所求面积S＝01xdx＋121xdx＝23x32 | 10＋lnx| 21＝23＋ln2.

15．函数f(x)＝ax3－3x在区间(－1,1)上为单调减函数，则a的取值范围是__________．

[答案] a≤1

[解析] f ′(x)＝3ax2－3，∵f(x)在(－1,1)上为单调减函数，∴f ′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，

即3ax2－3≤0在(－1,1)上恒成立，

∴a≤1x2，∵x∈[－1,1)，∴a≤1.

[警示] 本题常因混淆f(x)在区间A上单调递减与f(x)的单调递减区间为A致误，f(x)在区间A上单调递减时，A可能是f(x)的单调减区间的一个真子集．

若f(x)的单调减区间为[m，n]，则在x＝m(x＝n)两侧函数值异号，f ′(m)＝0(f ′(n)＝0)；若f(x)在区间[m，n]上单调递减，则f ′(x)≤0在[m，n]上恒成立．

16．已知函数f(x)的图象在[a，b]上连续不断，定义：f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在区间D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在区间D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数为区间[a，b]上的“k阶收缩函数”．有以下三个命题，其中正确的命题为________________．(请把正确命题序号填在横线上)．

①若f(x)＝cosx，x∈[0，π]，则f1(x)＝cosx，x∈[0，π]，f2(x)＝1，x∈[0，π]；

②函数f(x)＝－x3＋3x2是[0,1]上的2阶收缩函数；

③若函数f(x)＝x2，x∈[－1,4]是[－1,4]上的“k阶收缩函数”，则k＝4.

[答案] ①②③

[解析] 对于①，由于f(x)＝cosx在[0，π]上单调递减，由已知可得f1(x)＝cosx，f2(x)＝f(0)＝1，故①正确；对于②，f′(x)＝－3x2＋6x，当x∈[0,1]时，f′(x)>0，f(x)在[0,1]上单调递增，故f1(x)＝f(0)＝0，f2(x)＝－x3＋3x2，f2(x)－f1(x)＝－x3＋3x2≤kx对∀x∈[0,1]成立，当x≠0时，k≥－x3＋3x2x＝－x2＋3x恒成立，又当x＝1时，－x2＋3x取得最大值2，∴k≥2，即②正确；③中，f1(x)＝ x2，x∈[－1，00，x∈[0，4]，f2(x)＝