高中数学第一章推理与证明1.3反证法课件北师大选修2_2

1 高中数学 第一章 推理与证明 1.3 反证法自我小测 北师大版选修2-2

1.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角大于60°”，下列假设中正确的是( )．

A．假设三个内角都大于60° B．假设三个内角都不大于60°

C．假设三个内角至多有一个大于60° D．假设三个内角至多有两个大于60°

2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两人说得正确，则获奖歌手是( )．

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

3．反证法是( )．

A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法 B．对其否命题的证明

C．对其逆命题的证明 D．分析法的证明方法

4．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定应为( )．

A．有两个内角是直角 B．有三个内角是直角

C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角

5．如果两个数之和为正数，则这两个数( )．

A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数

C．至少有一个是正数 D．两个都是负数

6．如果要否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，则下列假设中正确的是( )．

A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数

7．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1为__________三角形，△A2B2C2为__________三角形(填“锐角”或“钝角”)．

8．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于__________．

9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．

1 §3 反证法

反证法是一种间接证明的方法,它是通过证明原命题的否定的真实性来确立原论题的真实性的证明方法,在应用反证法证明问题的过程中以找它的逆否命题然后推出矛盾为根本.本节内容就开始学习反证法.

高手支招1细品教材

1.间接证明

间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法.

反证法就是一种常用的间接证明方法.

2.反证法

(1)概念:假定命题结论的反面成立.在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而断定命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立.这样的证明方法叫做反证法(有时也叫归谬法).

(2)形式:由证明pq转向证明:qr„t,t与假设或与某个真命题矛盾,q为假,推出q为真.

状元笔记

反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图表示为:

3.反证法的证题步骤

包括以下三个步骤:

(1)作出否定结论的假设(反设)——假设命题的结论不成立,即假定原命题的反面为真;

(2)逐步推理,导出矛盾(归谬)——从假设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;

(3)否定假设,肯定结论(存真)——由矛盾结果,断定假设不真,从而肯定原结论成立.

【示例】p＞0,q＞0,p3＋q3＝2.试用反证法证明:p＋q≤2.

思路分析：此题直接由条件推证p＋q≤2是较困难的,由此用反证法证之.

证明：假设p＋q＞2,∵p＞0,q＞0,

∴(p＋q)3＝p3＋3p2q＋3pq2＋q3＞8.

又∵p3＋q3＝2,代入上式得:3pq(p＋q)＞6,即pq(p＋q)＞2.①

又由p3＋q3＝2,得(p＋q)(p2-pq＋q2)＝2.②

1 高中数学 第一章 推理与证明 1.3 反证法自我小测 北师大版选修2-2

1.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角大于60°”，下列假设中正确的是( )．

A．假设三个内角都大于60° B．假设三个内角都不大于60°

C．假设三个内角至多有一个大于60° D．假设三个内角至多有两个大于60°

2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两人说得正确，则获奖歌手是( )．

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

3．反证法是( )．

A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法 B．对其否命题的证明

C．对其逆命题的证明 D．分析法的证明方法

4．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定应为( )．

A．有两个内角是直角 B．有三个内角是直角

C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角

5．如果两个数之和为正数，则这两个数( )．

A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数

C．至少有一个是正数 D．两个都是负数

6．如果要否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，则下列假设中正确的是( )．

A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数

7．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1为__________三角形，△A2B2C2为__________三角形(填“锐角”或“钝角”)．

8．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于__________．

9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．

1 §4 反证法

自主整理

在证明数学命题时,要证明的结论要么___________,要么__________,二者必居其一,我们可以先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与_________、_________、_________矛盾,或与命题中的_____________相矛盾,或与_____________相矛盾,从而断定命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立,这种证明方法叫作_____________.

高手笔记

1.反证法的证题步骤是:

(1)作出否定结论的假设;

(2)进行推理,导出矛盾;

(3否定假设,肯定结论.

2.宜用反证法证明的题型:

①一些基本命题、基本定理;

②易导出与已知矛盾的命题;

③“否定性”命题;

④“唯一性”命题;

⑤“必然性”命题;

⑥“至多”“至少”类的命题;

⑦涉及“无限”结论的命题等等.

名师解惑

反证法的过程及依据是什么?

剖析:用反证法证明结论是B的命题,其思路是:假定B不成立,则B的反面成立.然后从B的反面成立的假定出发,利用一些公理、定理、定义等作出一系列正确的推理,最后推出矛盾的结果.若同时承认这个结果与题设条件,则与学过的公理、定理或定义矛盾,这矛盾只能来自“B的反面成立”这个假设,因此B必成立.

其中推出矛盾是关键,用反证法证明的依据是互为逆否命题的等价性,即“若p则q”等价于“若q则p”成立，即要证原命题成立，只需证逆否命题成立.

注意“q”是q的非命题，要全部否定，如“都是”的反面为“不都是”而不是“都不是”.

讲练互动

【例1】已知a>0,b>0,且a+b>2,求证:ab1、ba1中至少有一个小于2.

分析：已知条件较少,结论有三种情况,反面只占一种情况,故联想从结论的反面入手,用反证法.

证明：假设ab1,ba1都不小于2，

则ab1≥2,ba1≥2.

∵a>0,b>0,