平均数、标准差与变异系数
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随机变量的变异系数公式
随机变量的变异系数公式
1、方差（也就是标准差，标准差是方差的算术平方根），标准差用stdev 函数计算：=stdev(A1:A100)则方差是=stdev(A1:A100)^2
2、变异系数=标准差/平均数，根据上面公式得到标准差后，再用average求得平均值，就可得到变异系数：=stdev(A1:A100)/average(A1:A100)
变异系数是标准差点平均数的百分数。
变异系数＝方差/均值。
一个相对值，没有单位，其大小同时受平均数与标准差的影响，在比较两个或两个样本变异程度时，变异系数不受平均数与标准差大小的限制。
变异系数是以相对数形式表示的变异指标。
种子变异系数的计算公式
变异系数计算公式：
X=（X1+X2+X3+…+Xj）j
SD=（X1-X）2+（X2-X）2+…+（Xj-X）2
C.V=SD/X
式中X为各项指标的平均值，SD为标准偏差，C.V为变异系数。
变异系数概念和计算公式
变异系数概念和计算公式
变异系数是一个标志个体差异程度的统计指标，也叫变异度、变异率
或变异比例。
它表示样本变异数据的程度，它可以反映抽样结果分散程度，便于我们对样本数据的分析和统计处理。
变异系数是以单位标准差为基础，用百分比形式表示样本值离散程度
的统计量，可以用以下公式计算：
变异系数=标准差÷平均数×100％
例如，我们有一组样本数据，样本值为9、8、4、2，那么变异系数
的计算过程为：先求出样本的平均数，即(9＋8＋4＋2)÷4＝5.75；求出
每个样本值与均值之差的平方和，即（9-5.75)2＋(8-5.75)2＋(4-5.75）
2＋(2-5.75)2＝29.25；求出样本方差，即s2=29.25÷4＝7.31；求出标
准差，即s=√7.31＝2.71；最后求取变异系数
变异系数是个体差异程度的统计指标，可以用它来衡量实际值占理论
值的比例，它反映独立样本值分散程度的大小，反映一个样本组中各种试
验结果之间的差异程度。
变异系数越大，说明样本结果的分散程度就越大，可以看出样本值之间的差距；变异系数越小，说明样本值之间的分散程度
越小，样本值差距越小。
一般来说，取样个体特征差别越小。
变异系数求解-概述说明以及解释
变异系数求解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在概述部分，我们将对本文所涉及的主题进行简要介绍。
本文的主题是"变异系数求解"，我们将探讨变异系数的定义、计算方法、应用以及局限性。
变异系数是用于衡量数据集变异程度的一项统计指标。
它的计算方法是通过将数据集的标准差除以均值，并乘以100来表示，通常以百分比的形式呈现。
变异系数不受不同数据单位的影响，因此可以用于比较不同单位或不同尺度的数据集。
本文将首先介绍变异系数的定义，阐述它在统计学中的重要性和应用场景。
接着，我们将详细讨论变异系数的计算方法，包括对标准差和均值的计算及其相关公式。
通过这些计算步骤，我们可以得到数据集的变异系数值，并将其用于进一步的数据分析和比较。
此外，我们还将探讨变异系数的应用范围，包括它在财务分析、经济学研究和科学实验等领域的具体运用。
通过实际的案例和应用示例，我们将展示变异系数在不同领域中的实际意义和效果。
然而，变异系数也存在一定的局限性，我们将在本文中对这些局限性进行详细探讨。
局限性主要包括对极端值和异常值的敏感性，以及在数据集不满足正态分布假设时的适用性问题。
我们将说明这些局限性对变异系数的应用和解释带来的影响，并提出一些关于如何避免误解和错误解读的建议。
通过本文的阐述，读者将进一步了解变异系数的相关概念、计算方法以及其应用和局限性。
希望本文能够为读者提供一个清晰的理解框架，帮助他们在实际应用中更好地利用变异系数来分析和解读数据集的变异程度。
1.2文章结构文章结构是指文章的组织框架和组织方式。
一个良好的文章结构可以帮助读者更好地理解文章的内容，并使文章的逻辑性更强。
本文的结构分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分旨在介绍文章的背景和目的。
首先，我们将概述变异系数的概念和重要性。
变异系数是一种用来度量统计数据变异程度的指标，它可以帮助我们评估数据集中的离散程度。
接着，我们将介绍本文的结构和内容安排，以便读者能够清晰地了解接下来的内容。
变异系数概念和计算公式
用于比较不同数据集的离散 程度
衡量数据分散程度的指标
变异系数越大，说明数据的 离散程度越大
变异系数越小，说明数据的 离散程度越小
描述数据离散程 度：变异系数可 以用来描述数据 分布的离散程度， 即各数值与其平 均数之间的偏差。
比较不同尺度的 数据：变异系数 可以消除不同尺 度数据间的单位 差异，使得不同 尺度的数据能够
变异系数与偏态系数：变异系数和偏态系数都是描述数据分布形状的统计量，它们之间存在一定的关系。
适用于不同规模和单位的 数据
消除量纲和数量级对评价 的影响
计算公式简单明了
综合考虑数据的离散程度 和平均水平
无法消除量纲和单位的影响 无法反映数据的离散程度 对于异常值较为敏感 无法用于比较不同量级的变量
变异系数的计算公式：变异系数（CV）=标准差/平均值
变异系数的应用场景：变异系数常用于比较不同数据集的波动性，例如在不同时 间点、不同地区或不同组之间的数据比较。
变异系数的解释：变异系数越小，说明数据的波动性越小；变异系数越大，说明 数据的波动性越大。
公式：CV=S/μ
意义：表示数据的离散程度
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
01
03
05
02
04
变异系数的定义：变异系数是标准差与平均值的比值，用于衡量数据的相对波动性。
变异系数的计算公式：变异系数 = 标准差 / 平均值
变异系数的意义：变异系数可以帮助我们了解数据的离散程度相对于其平均值的波动情况。 变异系数的作用：变异系数在统计学中常用于比较不同数据集的离散程度，也可用于评估模 型的稳定性。
评估治疗效果：变异系数可以用于比较不同治疗方案的效果，帮助医生选择更有效的治 疗方法。
第3章 平均数、标准差与变异系数
复习题
试分别写出样本平均数、方差和标准差的统计量及参数 符号. 试写出平均数、方差、标准差、几何平均数、变异系数 的计算公式. 平方和的计算公式有-----、-------和-------。 已知∑xi2=45180，平均值=67，n=10，则其方差和标准 差分别为------和------ 。 已知样本平方和为360，样本容量为10，则其标准差等 于-------。
S
x ( x ) / n
2 2
n 1
2955000 5400 / 10
2
10 1
65.828
三、标准差的特性
1、各观测值间变异大，标准差也大，反之则小。 2、各观测值加或减一个常数，其标准差值不变。 3、每观测值乘或除一个常数a，则标准差是原来的
a倍或1/a倍。
Excel计算统计量
二、几何平均数
使用（适用）条件； 定义； 计算方法； 实例。
一、几何平均数适用条件
呈倍数关系或偏态分布的资料，描述
其集中性时可用几何平均数表示。
如畜禽 、水产养殖的增长率，抗体的滴度，药 物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，可用几何平均 数表示其平均水平。
2、几何平均数定义
n个观测值相乘之积开n次方所得的方根， 称为几何平均数，记为G。
S
x
2
(
x)
2
n
n 1
6、
测定北京肉鸭周龄(x)与体重(g , y)如下:
周龄：0 1 2 3 4 5 体重 48.5 206 535 969 1467 1975 相对数： 4.25 2.60 1.81 1.51 1.35
试求其周平均生长速度。
变异系数 标准差 平均值
变异系数标准差平均值变异系数、标准差和平均值是统计学中常用的三个概念，它们分别用来描述数据的离散程度、分布情况和集中趋势。
在实际应用中，这三个指标经常被用来分析和比较不同数据集的特征，从而帮助我们更好地理解数据的特性和规律。
本文将对变异系数、标准差和平均值进行详细介绍，并举例说明它们在实际中的应用。
首先，我们来介绍一下变异系数。
变异系数是用来衡量数据离散程度的指标，它的计算公式是标准差除以平均值，通常以百分比的形式表示。
变异系数的数值越大，说明数据的离散程度越高；反之，数值越小，说明数据的离散程度越低。
通过变异系数，我们可以比较不同数据集的离散程度，从而找出哪个数据集更加稳定或者更加波动。
其次，标准差是描述数据分布情况的重要指标。
标准差的计算方法是先求出每个数据与平均值的差值，然后将这些差值平方后求和，最后除以数据个数并取平方根。
标准差的数值越大，说明数据的分布越分散；数值越小，说明数据的分布越集中。
在实际应用中，标准差经常被用来衡量数据的波动程度，例如股票的波动率、生产线的稳定性等。
最后，平均值是描述数据集中趋势的一种统计指标。
平均值就是将所有数据相加后除以数据个数得到的结果，它代表了数据的集中趋势。
通过平均值，我们可以大致了解数据的中心位置，从而对数据集的整体特征有一个直观的认识。
在实际应用中，平均值经常被用来比较不同数据集的大小、分析数据的趋势等。
综上所述，变异系数、标准差和平均值是统计学中常用的三个指标，它们分别用来描述数据的离散程度、分布情况和集中趋势。
通过对这三个指标的分析，我们可以更好地理解数据的特性和规律，从而为实际问题的解决提供有力的支持。
希望本文对大家对变异系数、标准差和平均值有更深入的理解，并在实际应用中发挥更大的作用。
标准差和变异系数
标准差和变异系数标准差和变异系数是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的指标。
在实际应用中，我们经常需要对数据的分布情况进行分析，而标准差和变异系数就是帮助我们进行这一分析的重要工具。
本文将对标准差和变异系数的概念、计算方法以及应用进行详细介绍，希望能够帮助读者更好地理解和运用这两个指标。
标准差是衡量一组数据离散程度的常用指标。
它的计算公式为，标准差 = 平均数的平方差的平均数。
标准差越大，说明数据的离散程度越高；标准差越小，说明数据的离散程度越低。
在实际应用中，我们可以利用标准差来判断数据的稳定性和一致性，进而进行合理的决策。
变异系数是标准差与平均数的比值，用来衡量数据的相对离散程度。
变异系数的计算公式为，变异系数 = （标准差 / 平均数）× 100%。
变异系数的取值范围在0%到正无穷，通常用百分数表示。
变异系数越大，说明数据的相对离散程度越高；变异系数越小，说明数据的相对离散程度越低。
与标准差相比，变异系数更具有普适性，因为它能够消除不同数据之间的量纲差异，使得数据的相对离散程度更具有可比性。
在实际应用中，标准差和变异系数都有着广泛的应用。
比如在财务管理中，我们可以利用标准差和变异系数来衡量投资组合的风险程度；在生产管理中，我们可以利用标准差和变异系数来评估生产过程的稳定性；在市场营销中，我们可以利用标准差和变异系数来分析产品销售的波动程度。
总之，标准差和变异系数在各个领域都有着重要的应用，能够帮助我们更好地理解和分析数据，从而做出更科学的决策。
在使用标准差和变异系数时，需要注意以下几点，首先，要根据具体情况选择合适的指标。
标准差适用于数据分布近似正态的情况，而变异系数适用于数据分布不同但需要进行比较的情况。
其次，要结合实际情况进行分析。
标准差和变异系数只是数据分析的工具，最终的决策还需要结合其他因素进行综合考虑。
最后，要不断学习和提高自己的数据分析能力，才能更好地运用标准差和变异系数进行数据分析。
平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。
第一节 平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。
在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。
平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。
一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
（一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算：nxnx x x x ni in∑==+++=121 （3-1）其中，Σ为总和符号；∑=ni i x 1表示从第一个观测值x 1累加到第n 个观测值x n。
当∑=ni ix1在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为：nx x ∑=【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。
由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10代入（3—1）式得：.5(kg)528105285∑===nx x即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。
平均数、标准差与变异系数的意义
• 方差s2是离均差平方的平均数。虽然方差在 实际应用中用得最广泛，但因它的单位是 原始数据单位的平方，所以它不能直接地 指出某个数x与平均数之间的偏离究竟达到 什么程度。为此，采用标准差s做标准，衡 量x与平均数之间的离散程度。
平均数、标准差与变异系数的意义
• 自由度 (degree of freedom) ：统计学借此 来反映一批变量的约束条件。
“权”，加权法也由此而得名。
平均数、标准差与变异系数的意义
• 在计算离散型频数资料的平均数时，
k
( fx )i
x i1 N
• 式中x为组值，f为频数，N为总频数（∑f）， k为组数。
平均数、标准差与变异系数的意义
• 在计算连续型频数资料的平均数时，
k
( fm )i
x i1 N
• 式中m为组中值，f、N和k同上式。
• 例如一个有 5 个观察值的样本，因为受 到统计数的约束，在5个离均差中，只有4 个数值可以在一定范围内自由变动取值， 而第五个离均差必须满足这一限制条件。
• 自由度记作 DF ， 一般样本自由度等于观
察值个数 ( n ) 减去约束条件的个数 ( k ) ，
即 DF ＝ n － k 。
平均数、标准差与变异系数的意义
平均数、标准差与变异系数的意义
（二）计算标准差时，各观测值加上或减去一个常 数，标准差的值不变；
(三)当每个观察值都乘以一个常数a时，所得的标 准差是原来标准差的a倍．
平均数、标准差与变异系数的意义
样本的方差为 总体的方差为
平均数、标准差与变异系数的意义
• 变异系数是标准差与平均数的比， 记为CV。
cvsx100%
• 两个小麦品种株高变异的比较
平均数、标准差与变异系数的意义
• 自由度 (degree of freedom) ：统计学借此 来反映一批变量的约束条件。
“权”，加权法也由此而得名。
平均数、标准差与变异系数的意义
• 在计算离散型频数资料的平均数时，
k
( fx )i
x i1 N
• 式中x为组值，f为频数，N为总频数（∑f）， k为组数。
平均数、标准差与变异系数的意义
• 在计算连续型频数资料的平均数时，
k
( fm )i
x i1 N
• 式中m为组中值，f、N和k同上式。
• 例如一个有 5 个观察值的样本，因为受 到统计数的约束，在5个离均差中，只有4 个数值可以在一定范围内自由变动取值， 而第五个离均差必须满足这一限制条件。
• 自由度记作 DF ， 一般样本自由度等于观
察值个数 ( n ) 减去约束条件的个数 ( k ) ，
即 DF ＝ n － k 。
平均数、标准差与变异系数的意义
平均数、标准差与变异系数的意义
（二）计算标准差时，各观测值加上或减去一个常 数，标准差的值不变；
(三)当每个观察值都乘以一个常数a时，所得的标 准差是原来标准差的a倍．
平均数、标准差与变异系数的意义
样本的方差为 总体的方差为
平均数、标准差与变异系数的意义
• 变异系数是标准差与平均数的比， 记为CV。
cvsx100%
• 两个小麦品种株高变异的比较
平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。
第一节 平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。
在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。
平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。
一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
（一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算：nxnx x x x ni in∑==+++=121 （3-1）其中，Σ为总和符号；∑=ni i x 1表示从第一个观测值x 1累加到第n 个观测值x n。
当∑=ni ix1在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为：【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。
由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10代入（3—1）式得：即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。
（二）加权法 对于样本含量n ≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：∑∑∑∑==++++++===f fx f x f f f f x f x f x f x k i iki i i k k k 11212211 （3-2） 式中：i x —第i 组的组中值； i f —第i 组的次数；k —分组数第i 组的次数f i 是权衡第i 组组中值x i 在资料中所占比重大小的数量，因此f i 称为是x i的“权”，加权法也由此而得名。
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一）未分组资料中位数的计算方法 对于未分组资料，先将各观测值由小到大 依次排列。
整理ppt
15
1、当观测值个数n为奇数时，(n+1)/2位置
的观测值，即x(n+1)/2为中位数：
x Md= ( n1) / 2
2、当观测值个数为 偶 数 时 ， n/2和
（n/2+1）位置的两个观测值之和的1/2为中位
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19
【例3.6】 某奶牛场68头健康母牛从分娩到第一 次发情间隔时间 整理成次数分布表如表 3—2 所示， 求中位数。
表3—2 68头母牛从分娩到第一次发情间隔时间
次数分布表
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20
由表3—2可见：i=15，n=68，因而中位数
只能在累加头数为36所对应的“57—71”这一
数，即：
Md
xn/2
x(n/21) 2
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16
【例3.4】 观察得9只西农莎能奶山羊的 妊娠天数为 144 、 145、 147、 149、150、 151、153、156、157，求其中位数。
此例 n=9，为奇数，则：
Md= x(n1)/2x(91)/2x5 =150（天）
即西农莎能奶山羊妊娠天数的中位数为 150天。
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17
【例3.5】 某犬场发生犬瘟热，观察得10只 仔犬发现症状到死亡分别为7、8、8、9、11、 12、12、13、14、14天，求其中位数。
此例n=10，为偶数，则：
M d x n /2 2 x (n /2 1 ) x 5 2 x 6 1 2 1 2 1.5 1
即10只仔犬从发现症状到死亡天数的中位
第三章 平均数、标准差 与变异系数
第一节 平均数
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1
平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明 资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数 主要包括有：
算术平均数（arithmetic mean） 中位数（median） 众数（mode） 几何平均数（geometric mean） 调和平均数（harmonic mean）
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2
一、算术平均数
算术平均数是指资料中各观测值的总和除 以观测值个数所得的商，简称平均数或均数， 记为。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而 采用直接法或加权法计算。
(一)直接法
主要用于样本含量n≤30以下、未经分组资 料平均数的计算。
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3
设某一资料包含n个观测值： x1、x2、…、xn，
数为11.5天。
（二）已分组资料中位数的计算方法
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18
若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次数分布表 来计算中位数，其计算公式为：
Md
L
i f
(nc) 2
式中：L — 中位数所在组的下限； i — 组距； f — 中位数所在组的次数； n — 总次数； c — 小于中数所在组的累加次数。
1、样本各观测值与平均数之差的和为零，
即离均差之和等于零。
n
(xi
x)
或 0简写成
i1
(x x)0
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11
2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，
即离均差平方和为最小。
n
n
(xi- x )2 < (xi- a)2
（常数a≠ x）
i1
i1
或简写为： (xx)2< (x)2
对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限
总体的平均数为：
N
xi N i1
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12
式中，N表示总体所包含的个体数。
当一个统计量的数学期望等于所估计的总 体参数时，则称此统计量为该总体参数的无偏 估计量。
统计学中常用样本平均数（ x）作为总体平
均数（μ）的估计量，并已证明样本平均数是
总体平均数μ的无偏估计量。
整理ppt
13
二、中位数 将资料内所有观测值从小到大依次排列，位 于中间的那个观测值，称为中位数，记为Md。 当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观 测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料 呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。 中位数的计算方法因资料是否分组而有所不 同。
则样本平均数可通过下式计算：
n
x x1 x2 xn i1 xi
n
n
其中，Σ为总和符号； 表示从第一个观测值
x1累加到第n个观测值xn。当
n
在x i 意义上已明确时，
可简写为Σx，（3-1）式可改写为i 1 ：
x x
n
整理ppt
4
【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重 分别为500、520、535、560、585、600、480、 510、505、490（kg），求其平均数。
此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要
计算两个牛群混合后的平均体重，应以两个牛
群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加权
平均数，即
整理ppt
10
x fx 7 5 10 5 7 0 2 0 15 2 7 0.3 8 0(k 8 9)g
f
2700
即两个牛群混合后平均体重为738.89 kg。
（三）平均数的基本性质
整理ppt
7
表3—1 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表
整理ppt
8
利用（3—2）式得：
x ffx41502 040.52(k g )
即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为 45.2kg。
计算若干个来自同一总体的样本平均数的
平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权
法计算。
整理ppt
9
【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛 1500头， 其平均体重为750 kg ，而另一牛群有黑白花 奶牛1200头，平均体重为725 kg，如果将这 两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多 少？
公式为：
k
x
f1x1f2x2fkxk f1f2fk
i1 k
fixi fi
fx f
i1
整理ppt
6
式中：x i —第i组的组中值；
f i —第i组的次数；
k —分组数
第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi在资料中 所占比重大小的数量，因此将fi 称为是xi的 “权”，加权法也由此而得名。
【例3.2】 将100头长白母猪的仔猪一月窝 重（单位：kg）资料整理成次数分布表如下， 求其加权数平均数。
由于
Σx=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49
=5285， n=10
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5
得：
x∑x528552.85(kg) n 10
即10头种公牛平均体重为528.5 kg。
（二）加权法
对于样本含量 n≥30 以上且已分组的资料，可以
在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算
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15
1、当观测值个数n为奇数时，(n+1)/2位置
的观测值，即x(n+1)/2为中位数：
x Md= ( n1) / 2
2、当观测值个数为 偶 数 时 ， n/2和
（n/2+1）位置的两个观测值之和的1/2为中位
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19
【例3.6】 某奶牛场68头健康母牛从分娩到第一 次发情间隔时间 整理成次数分布表如表 3—2 所示， 求中位数。
表3—2 68头母牛从分娩到第一次发情间隔时间
次数分布表
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20
由表3—2可见：i=15，n=68，因而中位数
只能在累加头数为36所对应的“57—71”这一
数，即：
Md
xn/2
x(n/21) 2
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16
【例3.4】 观察得9只西农莎能奶山羊的 妊娠天数为 144 、 145、 147、 149、150、 151、153、156、157，求其中位数。
此例 n=9，为奇数，则：
Md= x(n1)/2x(91)/2x5 =150（天）
即西农莎能奶山羊妊娠天数的中位数为 150天。
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17
【例3.5】 某犬场发生犬瘟热，观察得10只 仔犬发现症状到死亡分别为7、8、8、9、11、 12、12、13、14、14天，求其中位数。
此例n=10，为偶数，则：
M d x n /2 2 x (n /2 1 ) x 5 2 x 6 1 2 1 2 1.5 1
即10只仔犬从发现症状到死亡天数的中位
第三章 平均数、标准差 与变异系数
第一节 平均数
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1
平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明 资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数 主要包括有：
算术平均数（arithmetic mean） 中位数（median） 众数（mode） 几何平均数（geometric mean） 调和平均数（harmonic mean）
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2
一、算术平均数
算术平均数是指资料中各观测值的总和除 以观测值个数所得的商，简称平均数或均数， 记为。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而 采用直接法或加权法计算。
(一)直接法
主要用于样本含量n≤30以下、未经分组资 料平均数的计算。
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3
设某一资料包含n个观测值： x1、x2、…、xn，
数为11.5天。
（二）已分组资料中位数的计算方法
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18
若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次数分布表 来计算中位数，其计算公式为：
Md
L
i f
(nc) 2
式中：L — 中位数所在组的下限； i — 组距； f — 中位数所在组的次数； n — 总次数； c — 小于中数所在组的累加次数。
1、样本各观测值与平均数之差的和为零，
即离均差之和等于零。
n
(xi
x)
或 0简写成
i1
(x x)0
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2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，
即离均差平方和为最小。
n
n
(xi- x )2 < (xi- a)2
（常数a≠ x）
i1
i1
或简写为： (xx)2< (x)2
对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限
总体的平均数为：
N
xi N i1
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式中，N表示总体所包含的个体数。
当一个统计量的数学期望等于所估计的总 体参数时，则称此统计量为该总体参数的无偏 估计量。
统计学中常用样本平均数（ x）作为总体平
均数（μ）的估计量，并已证明样本平均数是
总体平均数μ的无偏估计量。
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二、中位数 将资料内所有观测值从小到大依次排列，位 于中间的那个观测值，称为中位数，记为Md。 当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观 测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料 呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。 中位数的计算方法因资料是否分组而有所不 同。
则样本平均数可通过下式计算：
n
x x1 x2 xn i1 xi
n
n
其中，Σ为总和符号； 表示从第一个观测值
x1累加到第n个观测值xn。当
n
在x i 意义上已明确时，
可简写为Σx，（3-1）式可改写为i 1 ：
x x
n
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4
【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重 分别为500、520、535、560、585、600、480、 510、505、490（kg），求其平均数。
此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要
计算两个牛群混合后的平均体重，应以两个牛
群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加权
平均数，即
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10
x fx 7 5 10 5 7 0 2 0 15 2 7 0.3 8 0(k 8 9)g
f
2700
即两个牛群混合后平均体重为738.89 kg。
（三）平均数的基本性质
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7
表3—1 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表
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8
利用（3—2）式得：
x ffx41502 040.52(k g )
即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为 45.2kg。
计算若干个来自同一总体的样本平均数的
平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权
法计算。
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9
【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛 1500头， 其平均体重为750 kg ，而另一牛群有黑白花 奶牛1200头，平均体重为725 kg，如果将这 两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多 少？
公式为：
k
x
f1x1f2x2fkxk f1f2fk
i1 k
fixi fi
fx f
i1
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6
式中：x i —第i组的组中值；
f i —第i组的次数；
k —分组数
第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi在资料中 所占比重大小的数量，因此将fi 称为是xi的 “权”，加权法也由此而得名。
【例3.2】 将100头长白母猪的仔猪一月窝 重（单位：kg）资料整理成次数分布表如下， 求其加权数平均数。
由于
Σx=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49
=5285， n=10
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5
得：
x∑x528552.85(kg) n 10
即10头种公牛平均体重为528.5 kg。
（二）加权法
对于样本含量 n≥30 以上且已分组的资料，可以
在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算