三角函数值域的求法及例题

求三角函数的值域(或最值)的方法

三角函数y＝sinx及y＝cosx是有界函数，即当自变量x在R内取一定的值时，因变量y有最大值ymax＝1和最小值ymin＝－1，这是三角函数y＝sinx及y＝cosx的基本性质之一，利用三角函数的这一基本性质，我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化．虽然这部分内容在教材中出现不多，但是，在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现，学生也往往对这样的问题颇感棘手．笔者根据日常的教学积累，对三角函数求值域或最值的方法，加以归纳总结如下．

1 配方分析法

如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式，可采用此方法．

例1 求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域．

解 原函数可化为

当sinx＝1时，ymax＝1；

当sinx＝－1时，ymin＝－9，

∴原函数的值域是y∈[－9，1]．

注：此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见．但在最后讨论值域时，往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意．

“cosx”，再求已知函数的最值

例2 求下列函数的最值，并求出相应的x值．

y＝asinx＋bcosx或可转化为此种形式的函数，其最大值和最小值分别为ymax＝

3 求反函数法

如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名，我们可考虑此种方法，用因变量y表示出该函数，再利用该函数的值域求对应的原函数的值域．

∴ 原函数的值域是

4 应用函数的有界性

上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值，在此只不过是为了更加突出一下．

解 由原式可得

(3y－1)sinx＋(2y－2)cosx＝3－y，

则上式即为

利用函数的有界性有

∴原函数的值域是

5 部分分式分析法

例5 求下列函数的值域：

本文格式为Word版，下载可任意编辑，页眉双击删除即可。

第 1 页 共 4 页 【三角函数值域的求法】 求三角函数值域图解

摘要：本文是对三角函数的值域求法的简洁小结，除了利用已经学过的函数值域求法外，从三角函数自身的特点也能得出一些它独特的求法

关键词：三角函数;值域;求法

一、可化为y=asin(ωx+φ)+b(ω>0)型

例1 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的值域.

解： y=1-cos2x2+sin2x+3·1+cos2x2

=sin2x+cos2x+2

=2sin(2x+π4)+2

y∈［2-2,2+2］

二、可化为二次函数

例2 求y=3+cosx-2sin2x的值域

解： y=3+cosx-2sin2x=2cos2x+cosx+1

因为cosx∈［-1,1］,所以y∈［78，4］.

三、反解法 例3 求y=3cosx+42cosx-1的值域

解: 因为2ycosx-2y=3cosx+4

所以〔2y-3)cosx=2y+4.

所以cosx=2y+42y-3.

|cosx|=|2y+42y-3|≤1

解得： y∈(-∞,-13］∪［7,+∞)

四、当式子中同时含有sinx±cosx,时，常使用换元法

例4 当x∈［0,π］,求y=sin2x+sinx-cosx的值域.

简解:sinx-cosx=t=2sin(x-π4)∈［-1,2］

所以2sinxcosx=1-t2

所以y=-t2+t+1∈［-1,54］

五、配对法

例5 已知：sinx+siny=1，求cosx+cosy的范围.

cosx+cosy=t (1)

sinx+siny=1(2) 两式平方相加得：

2cos(x-y)=t2-1∈［-2,2］ 本文格式为Word版，下载可任意编辑，页眉双击删除即可。

２８　中’７擞・７（２ｏｌ１年第１１期・高中版）　・解题研究・　三类三角函数最值（值域）问题的简捷通珐　６５３１００云南省玉溪第一中学武增明　在竞赛和高考中，我们经常会遇到求如下类型的三　角函数的最值（值域）问题，如果用常规方法来求解，十　分繁琐，难度较大，甚至可能解不出来，多数同学常常出　错．笔者试想，有更好方法解决此问题吗？经过探究，寻　找到了一种简捷通法——换元求导法．　１　，（　）＝ａｓｉｎ　ｘ＋ｂｃｏｓ　（ａ，ｂ　ＥＲ。ｎＥＮ　）型　例１　（２０１０年全国高中数学联赛福建省预赛试题）　函数　）＝ｓｉｎ　‘Ｘ－Ｉ－ｃｏｓ　ｘ（ｋ∈Ｎ’）的最小值为——．　设Ｃ的离心率为ｅ，则由双曲线的第二定义知　胧Ｉ＝　４Ｊｃ　Ｉ　ＢＮ　Ｉ＝魁ｅ—ｅ，　ｅ　ｅ　从而ＩＡＥｌ：ＩＡＭＩ—ＩＢＮＩ：　．　②　ｅ　由直线ＡＢ的斜率为√　知　Ｅ＝６０。，于是在　Ｒｔ△Ａ船中由①，②式可得ｃｏｓ　ＢＡＥ＝　Ａ　Ｅ　Ｉ＝妄，所以　ｅ＝丽３　＝　６，所以选Ａ．　例４　（２０１０年高考全国卷Ｉ理１６）已知Ｆ是椭圆　Ｃ的一个焦点，Ｂ是短轴的一个端点，线段ＢＦ的延长线　交Ｃ于点Ｄ，且赢：２　，则Ｃ的离心率为一　解如图４所示，设ｃ的　２　２　方程为ｘ　Ｌ，　＝１（０＞６＞０），不　“　ｌ，　妨设Ｆ（ｃ，０）是ｃ的右焦点，由　是Ｃ短轴的一个端点知　Ｉ　ＢＦ　Ｉ＝０，由Ｂ—Ｆ＝２而得　ｆ　Ｇ　Ａ　‘　，　／Ｂ　Ｅ　图４　ｌ　ＢＦ　ｌ＝２　Ｉ　ＦＤ　Ｉ，设ｌ　ＦＤ　ｌ＝　，则ｌ　ＢＦ　ｌ＝２ｘ，从而Ｉ　ＢＤ　ｌ＝　ＩＢＦＩ＋ＩＦＤＩ＝３ｘ．　①　又设ｅ为Ｃ的离心率，ｌ为Ｃ的右准线，过Ｂ，Ｄ分别　作ＢＡ上ｌ于Ａ，ＤＥ上ｌ于Ｅ，过Ｄ作ＤＧ上ＢＡ于Ｇ，则由椭　圆的第二定义知Ｉ　Ｉ：　：２＿＿５ｘ，Ｉ　ＤＥ　Ｉ：　：　，　于是Ｉ　ＢＧ　Ｉ＝Ｉ　ＢＡ　Ｉ—ｌ　ＤＥ　Ｉ＝羔．　②　Ｉ￣ｔ　Ｒｔ△　。Ｆ　ＲｔＡＢＧＤ得同Ｉ　ＢＣ　ｌ＝丽Ｉ　ＯＦ［：　Ｃ＝ｅ，将　①，②式代入即得　：　，于是　：　．　例５（２０１０年高考辽宁省文科第２０题）设Ｆ。，　分别为椭圆ｃ：　＋鲁＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点，过　的　Ｕ　Ｕ　直线ｚ与椭圆ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，直线ｆ的倾斜角为　６０。，，。到直线ｚ的距离为２ＶＹ．　（Ｉ）求椭圆ｃ的焦距；　（Ⅱ）如黝　＝２　Ｆ２百，求椭圆ｃ的方程．　解（Ｉ）如图５所示，过　作Ｆ。Ｄ上ｌ于Ｄ，则由题意　得ｌ　ＦｌＤｌ＝２√３，设椭圆的焦距　Ｉ　Ｆ。　Ｉ＝２ｃ，则在Ｒｔ△Ｆ。Ｄ　中由　Ｆ。　Ｄ＝６０。得２ｃｓｉｎ　６０。　＝２，５，于是ｃ＝２，故焦距为４．　Ｊ　ＩＶ　Ｌ　—＼　Ｎ　１　■。　Ａ　Ｅ　图５　（ＩＩ）设Ｌ为Ｃ的右准线，过Ａ，Ｂ分另Ｕ作ＡＭ上Ｌ于　Ｍ，删上　于Ⅳ，过Ｂ作ＢＥ＿１＿ＡＭ于Ｅ由　＝２　Ｆ—ＥＢ，￣－　ｌＡ　ｌ＝２　Ｉ　Ｆ２　ｌ，设Ｉ　Ｆ２ＢＩ＝　，则ＩＡ　Ｉ＝２ｘ，从而ｌＡＢ｝＝　ＩＡ　ｌ＋Ｉ　Ｉ＝３ｘ．又设Ｃ的离心率为ｅ，则由椭圆的第　二定义知ＩＡＭＩ：　：一２ｘ，ＩＢＮＩ：　：羔，从而　ＩＡＥＩ＝ｌＡＭＩ—ｌＢＮＩ＝旦．　①　由题设知直线ｌ的倾斜角为６０。，所以／＿．ＢＡＥ＝６０。．　在ＲｔＡＡＥＢ中由勾股定理得　ｌ朋ｌ＝　开　＝√９　２一事＝　警　．②　所以由①，②式可得ｔａｎ　６０。＝面Ｉ　ＢＥ［＝、／／而，即　＝　，解得ｅ　４０．　又由（Ｉ）的结论知ｃ＝２，所以ａ　＝９，从而ｂ　＝ｎ２一ｃ　：５，故椭圆Ｃ的方程为等＋÷＝１．　ｆ收稿日期：２０１１０８２２）

例1.已知，求（1

）；（2）的

值。解：（1

）；（2）

。点评：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、

切互化，就会使解题过程简化。例2.求函数的

值域。解：设，则原函数可化为，因为，所以当时，，

当

时，

，所以，函数的值域为。例3.已知函数

。

（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数

的图像关于直线对称。解：（1）所以的最小正周期，因为

，所以，当，即时，最大值为；（2）证明：欲证明函数的图像关于直

线对称，只要证明对任意

，有成立，因为，，所以

成立，从而函数

的图像关于直线对称。例4.已

知函数y

＝cos2x

＋sinx·cosx＋1（x∈R），（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y＝sinx（x∈R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：（1）y

＝cos2x

＋sinx·cosx＋1

＝（2cos2x－1）

＋

＋（2sinx·cosx）

＋1

＝cos2x

＋sin2x

＋

＝（

cos2x·sin＋

sin2x·cos）

＋

＝sin（2x

＋

）＋所以y取最大值时，只需2x

＋

＝＋2kπ，（k∈Z），即x

＝＋

kπ，（k∈Z）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x

＝＋kπ，k∈Z}

（2）将函数y＝sinx依次进行如下变换：（i）把函数y＝sinx

的图像向左平移，

得到函数y＝sin（x

＋）的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来

的倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin（2x

＋）的图像；（iii）把得到的图

像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y

＝sin（2x

＋）

的图像；（iv）

把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y

＝sin（2x

＋）

＋的图像。综上得到y

＝cos2x

＋sinxcosx＋1的图像。点评：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx，cosx的齐次式，降幂后