关于三角函数值域的求法

第 1 页 共 4 页 2022年新高考数学总复习：三角函数的值域与最值

例 (1)函数y＝2sin

x＋1sin x－2的值域为__－3，13__.

(2)(理)函数f(x)＝2sin xsinx＋π6，当x∈0，π2时，函数f(x)的值域为__0，2＋32__.

(文)函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sin xcos x(x∈R)的值域为__[－2,2]__.

(3)函数y＝1＋sin x3＋cos x的值域为__0，34__.

(4)(理)若x是三角形的最小内角，则函数y＝sin x＋cos x－sin xcos x的最小值是( A )

A．－12＋2 B．12＋2

C．1 D．2

[解析] (1)解法一：y＝2sin x＋1sin x－2＝2＋5sin x－2，

由于－1≤sin x≤1，所以－5≤5sin x－2≤－53，

∴函数的值域为－3，13.

解法二：由y＝2sin x＋1sin x－2，解得sin x＝2y＋1y－2，

∵－1≤sin x≤1，

∴－1≤2y＋1y－2≤1，解得－3≤y≤13，

∴函数的值域为－3，13.

(2)(理)f(x)＝2sin x32sin x＋12cos x＝3sin2x＋sin xcos x＝31－cos 2x2＋sin 2x2＝sin2x－π3＋32，

∵x∈0，π2，∴2x－π3∈－π3，2π3，

∴sin2x－π3∈－32，1.

∴f(x)∈0，2＋32.

(文)f(x)＝－cos 2x－3sin 2x＝－2sin (2x＋π6)，值域为[－2,2]．

(3)解法一：由y＝1＋sin x3＋cos x得sin x－ycos x＝3y－1， 第 2 页 共 4 页 ∴sin(x＋φ)＝3y－11＋y2

其中sin φ＝－y1＋y2，cos φ＝11＋y2.

常见函数解析式定义域值域的求法总结

函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。

一、定义域的求法：

1.开方函数的定义域：

对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax

+ b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。

2.分式函数的定义域：

对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。

3.对数函数的定义域：

对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。

4.指数函数的定义域：

对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。

5.三角函数的定义域：

对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。 6.反三角函数的定义域：

对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。

7.复合函数的定义域：

当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。

二、值域的求法：

1.函数的图像法：

通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。

2.函数的导数法：

对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。

3.函数的区间法：

对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。

4.反函数的值域：

如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。

5.一次函数的值域： 对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。

20213.4

第四节 三角函数的图象与性质

课标要求 考情分析

1。能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．

2．理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在错误!内的单调性．

以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.

知识点一 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

1．正弦函数y＝sinx,x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0），错误!，(π，0),错误!，（2π，0）．

2．余弦函数y＝cosx，x∈［0,2π］的图象中，五个关键点是：20213.4

(0,1),错误!，(π，－1），错误!，(2π,1）．

知识点二 正弦、余弦、正切函数的图象与性质下表中k∈Z 20213.4

1.对称与周期

（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是错误!个周期．

（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ）的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况,避免出现增减区间的混淆．

3．对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间错误!(k∈Z)内为增函数． 20213.4

1．思考辨析

判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）

（1)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．（ × )

（2）已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1。( × )

(3）y＝sin｜x｜是偶函数．( √ ）

(4)由sin错误!＝sin错误!知，错误!是正弦函数y＝sinx（x∈R）的一个周期．（ × ）

高中数学 第 1 页 共 9 页 十一种类型的三角函数最值问题

1.利用三角函数的有界性求最值

利用正弦函数、余弦正数的有界性：∣sinx∣≤1,∣cosx∣≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A≠0, φ≠0)的函数最值.

例:已知函数y=12 cos2x+32 sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时，求自变量x的集合.

2.反函数法

例:求函数1cos21cos2xxy的值域

[分析] 此为dxcbxaycoscos型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，先用反解法，再用三角函数的有界性去解。

3.配方法—---转化为二次函数求最值

例：求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.

4.引入辅助角法

y=asinx+bcosx型处理方法：引入辅助角 ，化为y=22basin（x+）,利用函数1sinx即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化为此类。

例：已知函数Rxxxxy1cossin23cos212当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。 高中数学 第 2 页 共 9 页 [分析] 此类问题为xcxxbxay22coscossinsin的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为xbxaycossin型求解。

5. 利用数形结合

例： 求函数yxxsincos2的最值。

解：

6、换元法

例：若0

高中数学 第 3 页 共 9 页

7. 利用函数在区间内的单调性

8. 例： 已知,0x，求函数xxysin2sin的最小值。

[分析] 此题为xaxsinsin型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。

8. 利用基本不等式法