一点通教育
学习改变命运，勤奋成就未来！ 初三数学冲刺班讲义
让孩子更优秀
第 1 页 共 5 页 第三讲：锐角三角函数（一）
知识点一：锐角三角函数
1、锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
2、锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即斜边的对边AAsin。
3、锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即斜边的邻边AAcos。
4、锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即的邻边的对边AAAtan。
sin，cos，tan都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。
注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
考点一：锐角三角函数的定义
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=54，则AC：BC：AB=（ ）
A、3：4：5 B、5：3：4 C、4：3：5 D、3：5：4
2、已知锐角α，cosα=35，sinα=_______，tanα=_______。
3、在△ABC中，∠C=90°，若4a=3c，则cosB=______.tanA = ______。
4、在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC等于_______。
5、在△ABC中，∠C=90°，若把AB、BC都扩大n倍，则cosB的值为（ ）
A、ncosB B、1ncosB C、cosnB D、不变
考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形
例1、如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AEBC，DFAE，垂足为F，连接DE。
（1）求证：ABE△DFA≌△；
广州卓越一对一初中数学教研部 编著 学生姓名
授课日期
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第一部分：知识点回顾
1．边与边关系：a2＋b2＝c2
2．角与角关系：∠A＋∠B＝90°
3．边与角关系，sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cota＝ba
4．仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角
叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。
坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i，即i＝ACBC，坡度通常用1:m的形式(注意:坡度一定要写出1:几的形式)，例如上图的1:2的形式。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。
从三角函数的概念可以知道，
坡度与坡角的关系是i＝tanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
第二部分：自我评测
知识点 掌握情况 备注 非常好 一般 有待提高
特殊三角函数的值
坡度计算
三角函数的实际应用
第三部分：例题剖析
例：如图，若∠CAB = 90°，∠C = ∠α，∠BDA = ∠β，CD = m，求AB.
解法：设AB = x，在Rt△BAD中，tantanABxDA，
在Rt△ABC中，tantanABxCA
∵ CA = CD + DA
∴ tantanxxm 通过解方程求出知数x的值 课题 锐角三角函数的实际应用
教学目标 1、 进一步掌握锐角三角函数的定义；
2、 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题
教学重点 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题
教学难点 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题
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锐角三角函数的实际应用问题
一、《数学新课程标准》课标要求
《数学新课程标准》中要求：运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题，考纲中的能级要求为C(掌握)。
数学离不开生活，生活也离不开数学。在实际生活中，有不少问题的解决都涉及到数学中直角三角形的边、角关系。而锐角三角函数的实际应用注重联系学生的生活实际，侧重于解决与学生生活比较接近的实际问题，突出了学数学、用数学的意识与过程。
二、考向分析
结合近五年中考试题分析,锐角三角函数的内容考查主要有以下特点:
1.命题方式为运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.
题型解答题,以中档题出现.分值都是9分；
2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形,建立数学模型,然后用解直角三角形的知识解决问题；
三、锐角三角函数的实际应用这道题的价值
1.它是代表初中几何图形的计算中的一个最高水平；
2.此题蕴含的数学思想比较多，如化归思想、方程思想等；
3.能加入实际生活的背景，增强学生的数学应用意识；
4.能把学生的基本思想、基本方法、基本能力呈现出来。
四、近五年锐角三角函数的实际应用中考试题变与不变
1.价值不变 2.基本模型不变；
3. 2012.2014.2015.2016四年都是考察解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2013年考察解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
4. 2012. 2013. 2016年的都能在图中找到与已知和未知相关联的直角三角形，2014.2015年要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
5.外形变化，实际背景变化，一些条件和结论的变化。
五、近五年锐角三角函数的实际应用中考试题回顾
1.（河南省2012）（9分）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅。如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定。小明为了测量此条幅的长度，他先测得楼顶A点的仰角为45°，已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°.请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数。参考数据：tan31°≈0.60,sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）.
课题：31.3锐角三角函数的应用（一）
作者姓名：李小玉 单位：侯各庄中学
教学目的：
知识目标：使学生进一步掌握锐角三角函数的简单应用，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题
能力目标：培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
情感目标：通过应用，培养学生学数学的兴趣
教学重点：与仰角俯角有关的实际问题和与方位角有关的实际问题
教学难点：把实际问题转化为数学问题。
节前预习：
1.在Rt△ABC中，sinA=21，且∠A为锐角，则∠A等于（ ）度。
2.在△ABC中，∠C=90°，sinA=53，则tanB=( ).
3. 在△ABC中，∠C=90°，a, b, c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列各式错误的是（ ）
A．SinAca B．Bcbcos
C．Babtan D．Abatan
4.下列说法中错误的是（ ）
A.OD的方向是北偏东30°
B.OC的方向是南偏东60°
C.OB的方向是西南方向
D.OA的方向是北偏西60°
教学过程
通过前面的学习，我们更加了解了直角三角形的各个元素之间的关系，利用这些知识，我们都能解决那些实际问题呢？
一.小试牛刀
阅读课本119页，我们能学习到两个新概念，分别是
和 。
1.如图，某人在高处A点观测D
点的俯角为55°，在图中画出
这个角并标出度数。
备注
深化对概念的理解，也可让学生在预习时完成
A 北
C D
45° 60°60°
30° O
D A
2.课本121页1题
3. 课本121页2题
二.合作探究，展示交流
1.如图，甲乙两建筑物之间的距离为24m，从甲的顶部C测得建筑物乙底部B的俯角为30°，从甲的顶部测得乙的顶部D的仰角为45°，求两建筑物的高。
思考问题：
