高考数学专题复习―不等式

高三数学二轮专题复习教案――不等式

一、本章知识结构：

无理不等式

不 等 式

不等式的性质

均值不等式

不等式的解法

比较法

综合法

分析法

放缩法

反证法

换元法

函数法

导数法

不等式的证明

有理不等式

超越不等式

绝对值不等式

一元一次不等式(组)

一元二次不等式(组)

整式高次不等式(组)

分式高次不等式(组)

指数不等式(组)

对数不等式(组)

三角不等式(组)

不等式的应用

函数的定义域、

值域与单调性

取值范围问题

最值问题

方程根的分布

数列不等式、函

数不等式的证明

实际应用问题

线性规划

二、重点知识回顾

不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有：

对称性：a>bb

传递性：若a>b，b>c，则a>c；

可加性：a>ba+c>b+c；

可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac

不等式运算性质：

同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d；

异向相减：，.

正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。

（4）乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则；

（5）开方法则：若a>b>0，n∈N+，则；

（6）倒数法则：若ab>0，a>b，则。

2、基本不等式（或均值不等式）；利用完全平方式的性质，可得

a2+b2≥2ab（a，b∈R），该不等式可推广为a2+b2≥2|ab|；或变形为|ab|

≤；

当a，b≥0时，a+b≥或ab≤.3、不等式的证明：

不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，

放缩法；

在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；

证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

不等式的解法：

解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使

每一步的变形都要恒等。

一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式

的基本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系

求一般的一元二次不等式或的解集，要结合的根及二次函数图象确定解

集．

对于一元二次方程，设，它的解按照可分为三种情况．相应地，二次函

数的图象与轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式的解集，列表如下：

含参数的不等式应适当分类讨论。

5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调

性等。在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模

型。

用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法

之一。

研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。

6、线性规划问题的解题方法和步骤

解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看

作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在

y轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：

（1）设出未知数，确定目标函数。

（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即

可行域。

（3）由目标函数z＝ax＋by变形为y＝－x＋，所以，求z的最值可看成

是求直线y＝－x＋在y轴上截距的最值（其中a、b是常数，z随x，y的变

化而变化）。

（4）作平行线：将直线ax＋by＝0平移（即作ax＋by＝0的平行线），

使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过

的点，求出该点的坐标。

（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的

最大（或最小）值。

7、绝对值不等式

（1）｜x｜＜a（a＞0）的解集为：{x｜－a＜x＜a}；

｜x｜＞a（a＞0）的解集为：{x｜x＞a或x＜－a}。

（2）

三、考点剖析

考点一：不等关系与不等式

【内容解读】通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量

的不等关系，了解不等（组）的现实背景；了解不等式的有关概念及其

分类，掌握不等式的性质及其应用。

养成推理必有依据的良好习惯，不要想当然，不要错漏不等式性质使用

的条件，如，中，注意后面大于０的条件，出题者往往就在这里出一些

似是而非的题目来迷惑考生．

【命题规律】高考中，对本节内容的考查，主要放在不等式的性质上，题型多为选择题或填空题，属容易题。

例１、(2008广东文)设，若，则下列不等式中正确的是（ ）

A． B. C. D.

解：由知, ,所以,故选C.

点评：本题考查绝对值的概念和绝对值的性质，如果用特殊值法也能求

解。

例2、(2007上海理科)已知为非零实数，且，则下列命题成立的是( )

A、 B、 C、 D、

解：取a＝－3，b＝２，由（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）都错，故（C）。

点评：特殊值法是解选择题的一种技巧，在应试时要时刻牢记有这么一

种方法。这晨a，b没有说明符号，注意不要错用性质。

考点二：一元二次不等式及其解法

【内容解读】会从实际情况中抽象出一元二次不等式的模型，了解一元

二次不等式与函数方程的联系；会解一元二次不等式，会由一元二次不

等式的解求原不等式；用同解变形解不等式，分类解不等式；对解含参

的不等式，对参数进行讨论；注意数形结合，会通过函数图象来解不等

式．

（1）用图象法解一元二次不等式

教材中在研究一元二次不等式的解法时，是结合二次函数的图象，利用

对应的一元二次方程的解得出的，所以我们学习一元二次不等式的解法

时，应从二次函数图象出发加以理解．

（2）弄清一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系

二次函数是研究自变量x与函数值y之间的对应关系，一元二次方程的解

就是自变量为何值时，函数值的这一情况；而一元二次不等式的解集是

自变量变化过程中，何时函数值（）或（）的情况．一元二次方程的解

对研究二次函数的函数值的变化是十分重要的，因为方程的两根是函数

值由正变负或由负变为正的分界点，也是不等式解的区间的端点．学习

过程中，只有搞清三者之间的联系，才能正确认识与理解一元二次不等

式的解法．

【命题规律】高考命题中，对一元二次不等式解法的考查，若以选择

题、填空题出现，则会对不等式直接求解，或经常地与集合、充要条件

相结合，难度不大。若以解答题出现，一般会与参数有关，或对参数分

类讨论，或求参数范围，难度以中档题为主。

例３、（2007湖南）不等式的解集是（ ）

A． B． C． D．

解：原不等式可化为x2－x＞０，即x（x－１）＞０，所以x＜０或x＞

１，选（Ｄ）．点评：这是一道很简单的一元二次不等式的试题，只要知道它的解法即

可．

例４、（2007福建）“”是“”的什么条件……（ ）

A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

解：由|x｜＜2，得：－2＜x＜2，由得：－2＜x＜3，

－2＜x＜2成立，则－2＜x＜3一定成立，反之则不一定成立，所以，选

（Ａ）。

点评：本题是不等式与充分必要条件结合的综合考查题，先解出不等式

的解集来，再由充分必要条件的判断方法可得。

例５、(2008江西文)不等式的解集为 ．

解：原不等式变为，由指数函数的增减性，得：

，所以填：。

点评：不等式与指数函数交汇、不等式与对数函数交汇、不等式与数列

交汇是经常考查的内容，应加强训练。

例6、已知集合，，若，求实数的取值范围．

解：．

设，它的图象是一条开口向上的抛物线．

（1）若，满足条件，此时，即，

解得；

（2）若，设抛物线与轴交点的横坐标为，

且，欲使，应有，

结合二次函数的图象，得

即 解得．

综上可知的取值范围是．

点评：本题是一元二次不等式与集合结合的综合题，考查含参数一元二

次不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，分类时做到不遗漏。

考点三：简单的线性规划

【内容解读】了解二元一次不等式（组）表示的平面区域和线性规划的

意义；了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等

基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决

一些简单的实际问题，以提高解决实际问题的能力．

生产实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题．在线性规划的实际

问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问

怎样运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给

定一项任务，问怎样安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最

小．

【命题规律】线性规划问题时多以选择、填空题的形式出现，题型以容

易题、中档题为主，考查平面区域的面积、最优解的问题；随着课改的

深入，近年来，以解答题的形式来考查的试题也时有出现，考查学生解

决实际问题的能力。