向量的叉乘运算法则

（1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：

1）结合律：aa)()(。

2）分配律：aa)(，baba)(。

（2）向量的数量积运算法则：

1）abba••。

2）)()()(babababa•••。

3）cbcacba•••)(。

（3）平面向量的基本定理。

21,ee是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a，有且仅有一对实数21,，满足2211eea。

（4）a与b的数量积的计算公式及几何意义：cos||||baba•，数量积ba•等于a的长度||a与b在a的方向上的投影cos||b的乘积。

（5）平面向量的运算法则。

1）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a+b＝1212(,)xxyy。

2）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a-b＝1212(,)xxyy。

3）设点A11(,)xy，B22(,)xy，则2121(,)ABOBOAxxyy。

4）设a＝(,),xyR，则a＝(,)xy。

5）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a•b＝1212()xxyy。

（6）两向量的夹角公式：

121222221122cosxxyyxyxy（a＝11(,)xy，b＝22(,)xy）。

（7）平面两点间的距离公式：

,ABd＝||ABABAB222121()()xxyy（A11(,)xy，B22(,)xy）。

（8）向量的平行与垂直：设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，且b0，则有：

1）a||bb＝a12210xyxy。

2）ab （a0） a·b＝012120xxyy。

（9）线段的定比分公式：

设111(,)Pxy，222(,)Pxy，(,)Pxy是线段12PP的分点，是实数，且12PPPP，则

人教A版选修2--1 第三章 空间向量与立体几何 知识总结

2013.3.9

1 向量运算法则和运算律

几何表示及运算 坐标表示及运算 运算律 备注 三角形法则 平行四边形法则

范围 所有向量

（两个及以上向量） 不共线向量

（两个量） 所有向量 所有向量

①注意向量a、b、（a＋b）、（a-b）四者的关系，四者可以作为平行四边形的边和对角线，因此在向量运算中，要对这四者的关系很敏锐，可以采用构造平行四边形的方法解决问题。

②a，b，a+b，a-b都在同一平面内 加法 各向量依次首尾相接后，第一个向量起点与最后向量终点相接即为向量之和。 以两向量为邻边作平行四边形，共起点对角线即为两向量之和,不共起点的对角线即为两向量之差。

（向量路径的多样性） a＋b＝11221212(,)(,)(,)xyxyxxyy

a＋b＝121212(,,)xxyyzz

两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和。 ⑴交换律：a＋b=b＋b；

⑵结合律：a＋（b＋c）=（a＋b）＋c

减法 同一起点作两向量，减向量终点指向被减向量终点。

口诀：共起点、连终点，指向被减。 ab＝11221212(,)(,)(,)xyxyxxyy

ab＝121212(,,)xxyyzz

两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 ⑴交换律：ab＝b+a；

⑵结合律：a＋（bc）=（aｃ）＋b

向量

数乘 实数与向量a的积仍是一个向量：a，表示向量同向或反向长度伸缩倍。

向量数乘是个向量运算中的一个媒介，它使向量加减与数量积的运算变得十分丰富，使它们在形式上更接近代数式的四则运算。 λa=λ（x, y）=（λx, λy）

实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标。 ①结合律：λ（μa）=μ（λa），μ、λ为实数。

②第一分配律：（λ+μ）a=λa+μa，μ、λ为实数。

求法向量用交叉相乘

什么是法向量？

法向量是一种在数学上表示的向量，它表示了一个三维空间射线的方向。法向量通常表示一个表面的法线，也可以表示二维图形的法线，如平面、曲面上的表面。法向量可以概念化用来描述实际物体在视觉上的外观。法向量在很多方面都很重要，包括照明计算、光照函数计算和计算机图形学等。

一、什么是法向量？

1、法向量定义

法向量（Normal Vector）是一种在数学上表示的向量，它表示了一个三维空间射线的方向。它和位置向量的区别在于，位置向量指定了一个点的坐标，而法向量固定和指向法线方向。因此，法向量可以用于描述一个三维空间中的特征，如表面法线或是曲线的切线方向。

2、法向量运用

（1）在计算机图形学上，法向量可以用来表示表面的形状和照明，在物理照明的计算过程中，法向量也可以表示表面的散射关系。

（2）在碰撞检测中，法向量还可以用来表示两个物体之间的相对方向，有助于判断两个物体的运动轨迹，也可以判断物体的反弹行为。

（3）机器人的运动估计算法往往使用法向量。当机器人运动时，可以借助表面的法向量估算机器人运动每个方向的速度。

（4）在图像处理中，经常需要计算一个像素点的法向量方向，一般用来进行图像的灰度梯度变换，便于增强图像的轮廓。

二、法向量的怎么求？

1、用“叉乘法”求法向量

“叉乘法”是一种将两个三维向量相乘求法向量的常用方法。它可以把两个三维向量分别用一个坐标系量化，然后通过叉乘法求出法向量结果。当要求出两个向量A和B之间的法向量时，用“叉乘法”可以做如下计算，即：

N＝A×B

其中，N表示得出的法向量，A和B分别表示原始三维向量。

2、用“梯度”求法向量

梯度也是求法向量的一种方法，它是通过梯度函数来求出表面的特征方向的。

用梯度的方法求法向量时，可以利用导数函数来求出表面的法向量，而导数函数定义为：

∇f =f'(x, y, z) =(∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)

向量叉乘与点乘的混合运算公式

向量的叉乘和点乘可以进行混合运算，有如下公式：

(A × B) · C = A · (B × C)

其中，A、B、C为三维向量。

这个公式也可以写成更一般形式：

(A × B) · C = (C × A) · B = (B × C) · A

这个公式可以通过向量叉乘和点乘的性质进行推导。

叉乘的性质之一是满足叉乘的交换律，即 A × B = -B × A，因此可以将 A × B 改写为 B × A。

点乘的性质之一是满足点乘的交换律，即 A · B = B · A，因此可以将 A · (B × C) 改写为 (B × C) · A。

通过这个公式，我们可以将一个三维向量的叉乘和点乘进行混合运算，无论是先进行叉乘还是先进行点乘，结果都是相同的。这个公式在向量计算和几何中经常使用。