向量的叉乘

所谓点乘（也常称作内积），数学定义如下：

点乘只是表达这个结果的一种方式，符号不重要，叫法也不重要，我可以叫点乘，内积，也可以叫"相乘"，定义"#"字符代替“ ·”

符号都可以，只是人们约束习惯这么这么写，那我们就也都这么写。而且，也不要纠结为什么是这么定义，没有为什么，人们就是这么“龟腚”这个公式的，我们要研究的是这个规定到底能干嘛？有啥具体意义？

a.点乘的具体几何意义：

根据公式，我们可以得出 a·b=|a| |b|cosθ 我试着证明为什么会是这样（为了能让大家看的方便，我将向量标为蓝色，具体长度标为红色）：

定义向量 c = a - b 这样就形成了一个封闭的三角形，c向量为他的第三边

由于余弦定理我们可以知道c² = a² + b² - 2abcos(θ) (这里的a,b,c全部都是每一边的具体长度)

根据定义我们可以推导出c·c=c²(有兴趣的朋友可以去试着推导一下)

所以： c·c = a·a + b·b - 2abcos(θ)

因为向量的点乘满足分配率：a·(b+c)=a·b+a·c

c = a - b

c·c = (a -b)·(a - b)

c·c = (a·a - 2a·b + b·b)

(a·a - 2a·b + b·b) = a² + b² - 2abcos(q)

约掉 a·a=a²,b·b=b²;

-2a·b

= -2abcos(θ)

a·b = abcos(θ)

因为 a=|a|

所以 a·b=|a| |b|cosθ

跟据这个公式，我们能拿到两个向量之间的夹角，这对于判断两个向量是否同一方向，是否正交(也就是垂直)，很有用处。具体判断如下：

a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间

a·b=0 正交

a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

所 以，点乘的几何意义和用处就是计算两个向量之间的夹角，以及在某一方向上的投影。至于为什么要判断两个向量是否方向一致，这在3D中很有用处。比如：3D技术中的光栅化（光栅化的 任务是为了绘制每个三角形单元，如何计算构成三角形单元的每个像素的颜色值）过程中，我们可以根据两个面的法向量的点乘判断两个面是否处于同一面，如果不 是，那么只要光栅化其中需要显示出来的一面，而另一面我们就不用光栅化它（因为我们根本看不到被遮住的面），这样就节省了很多很多计算，能加快效率。

向量 - 向量叉乘 向量点乘

2010年07月28日 星期三 14:33

向量（Vector）

在几乎所有的几何问题中，向量（有时也称矢量）是一个基本点。向量的定义包含方向和一个数（长度）。在二维空间中，一个向量可以用一对x和y来表示。例如由点（1,3）到（5,1的向量可以用(4,-2）来表示。这里大家要特别注意，我这样说并不代表向量定义了起点和终点。向量仅仅定义方向和长度。

向量加法

向量也支持各种数学运算。最简单的就是加法。我们可以对两个向量相加，得到的仍然是一个向量。我们有：

V1（x1, y1）+V2（x2, y2）=V3(x1+x2, y1+y2)

下图表示了四个向量相加。注意就像普通的加法一样,相加的次序对结果没有影响（满足交换律），减法也是一样的。

点乘（Dot Product）

如果说加法是凭直觉就可以知道的，另外还有一些运算就不是那么明显的，比如点乘和叉乘。

点乘比较简单，是相应元素的乘积的和：

V1( x1, y1) ·V2(x2, y2) = x1*x2 + y1*y2

注意结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar）。点乘有什么用呢，我们有：

A ·B = |A||B|Cos(θ)

θ是向量A和向量B见的夹角。这里|A|我们称为向量A的模(norm)，也就是A的长度，

在二维空间中就是|A| = sqrt(x2+y2)。这样我们就和容易计算两条线的夹角：

Cos(θ) = A·B /(|A||B|)

当然你知道要用一下反余弦函数acos()啦。（回忆一下cos(90)=0 和cos(0) = 1还是有好处的，希望你没有忘记。）这可以告诉我们如果点乘的结果，简称点积，为0的话就表示这两个向量垂直。当两向量平行时，点积有最大值

另外，点乘运算不仅限于2维空间，他可以推广到任意维空间。（译注：不少人对量子力学中的高维空间无法理解，其实如果你不要试图在视觉上想象高维空间，而仅仅把它看成三维空间在数学上的推广，那么就好理解了）

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给出直线的方向向量可以知道什么如何判断 文件编号： D8-92-66-2A-DD

第 2 页 共 2 页 给出直线的方向向量𝑢⃗ =(𝑚,𝑛)；可以知道什么？如何判断

给出OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB相交,等于已知OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ 过AB的中点; 可以知道什么？如何判断

给出AP⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆(BP⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗ ),等于已知𝑃,𝑄与AB的中点三点共线; 可以知道什么？如何判断

给出𝜆(MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,等于已知MP是∠AMB的平分线/可以知道什么？如何判断

在𝛥ABC中，给出OA2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可以知道什么？如何判断

在𝛥ABC中，给出OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +(𝜆∈𝑅+)可以知道什么？如何判断

在𝛥ABC中，给出𝑎⋅OA⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑏⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑐⋅OC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,⃗⃗ 可以知道什么？如何判断

整理丨尼克

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向量积的运算公式叉乘

叉乘，也称为向量积，是向量运算中的一个重要概念。它在几何学和物理学中都有广泛的应用。叉乘的运算公式是一个向量与另一个向量的乘积，产生一个新的向量。这个新的向量垂直于原来的两个向量，并且具有一定的大小和方向。

为了更好地理解叉乘的运算公式，我们可以从几何学的角度来解释它。假设有两个向量A和B，它们分别表示为A = (a1, a2, a3)和B =

(b1, b2, b3)。那么A和B的叉乘运算公式可以表示为：

A × B = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

通过这个公式，我们可以得到一个新的向量C = (c1, c2, c3)，它是由A和B叉乘得到的。这个新的向量C垂直于A和B所在的平面，并且其方向遵循右手定则。换句话说，如果我们用右手的四指指向A，然后用右手的大拇指指向B，那么向量C的方向就是右手的手指弯曲的方向。

叉乘的运算公式还可以用来计算向量的面积和体积。例如，在三维空间中，如果我们有三个向量A、B和C，它们的起点都在原点，那么三个向量构成的平行四边形的面积就可以通过计算叉乘的模来得到。具体而言，平行四边形的面积等于向量C的模的一半，即：

面积 = 1/2 × ||A × B||

同样地，如果我们有四个向量A、B、C和D，它们的起点都在原点，那么四个向量构成的四面体的体积可以通过计算叉乘的数量积来得到。具体而言，四面体的体积等于向量D与向量A × B的数量积的绝对值的一半，即：

体积 = 1/6 × |(A × B) · D|

叉乘还可以用来判断两个向量的相对方向。根据叉乘的运算公式，如果两个向量的叉乘结果为零向量，那么这两个向量就是共线的，它们的方向相同或相反。如果两个向量的叉乘结果不为零向量，那么这两个向量就是不共线的，它们的方向互相垂直。

总结起来，叉乘是向量运算中的一个重要概念，它可以通过一个向量与另一个向量的乘积来得到一个新的向量。叉乘的运算公式可以用来计算向量的面积和体积，判断两个向量的相对方向。叉乘在几何学和物理学中有广泛的应用，它帮助我们理解和描述向量的性质和行为，为解决实际问题提供了有力的工具。