高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4讲 数系的扩充与复数的引入课件 文 北师大版

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

第一节平面向量的概念及其线性运算

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则 a－b＝a＋(－b)

数乘 求实数λ与向量a的积的运(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb 算 同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

3．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；

2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；

3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．

[试一试]

1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )

A．有不相等的模 B．不共线

C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量

答案：C

2．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________.

解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.

答案：2

1．向量的中线公式

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

信达

第六章 平面向量与复数

【知识网络】

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

信达

【考情分析】

年份 试题 考点 备注

2013 第10题 平面向量基本定理，平面向量的数量积 运算求解 -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

信达 2014 第2，12题 复数的运算，向量的线性运算与数量积 向量的加、减、乘法

2015 第3，6题 复数的运算，向量的坐标运算 注重基本概念

【备考策略】

高考中以考查向量的概念与运算为主，其中共线向量、垂直向量的充要条件，向量的模与夹角的计算尤为重要.解答题会以向量为背景，与直线、圆、三角函数、不等式甚至与数列交汇出现综合题.应突出向量的工具性.

复数的考查以复数的基本概念、四则运算为主，一般以小题形式出现，都为基础题.

第四节 数系的扩充与复数的引入

[考纲传真] (教师用书独具)1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．

(对应学生用书第77页)

[基础知识填充]

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：向量OZ→的模r叫作复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.

2．复数的几何意义

复数z＝a＋bi←————→一一对应复平面内的点Z(a，b) ←————→一一对应平面向量OZ→＝(a，b)．

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝(a＋bi)(c－di)(c＋di)(c－di)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( )

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精品K12教育教学资料 第四单元 平面向量、数系的扩充与复数的引入

小题必刷卷(七) 平面向量、数系的扩充与复数的引入

题组一 真题集训

1.[2016·全国卷Ⅲ] 已知向量=,,=,,则∠ABC= ( )

A.30° B.45° C.60° D.120°

2.[2016·全国卷Ⅱ] 已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= ( )

A.-8 B.-6 C.6 D.8

3.[2016·全国卷Ⅰ] 设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|= ( )

A.1 B. C. D.2

4.[2016·全国卷Ⅱ] 已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 ( )

A.(-3,1) B.(-1,3)

C.(1,+∞) D.(-∞,-3)

5.[2016·北京卷] 设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的 ( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

6.[2017·全国卷Ⅱ] 设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( )

A.a⊥b B.|a|=|b|

C.a∥b D.|a|>|b|

7.[2017·全国卷Ⅰ] 设有下面四个命题

p1:若复数z满足∈R,则z∈R;

p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;

p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;

p4:若复数z∈R,则∈R. 精品K12教育教学资料

精品K12教育教学资料 其中的真命题为 ( )

A.p1,p3 B.p1,p4

C.p2,p3 D.p2,p4

8.[2017·浙江卷] 如图X7-1所示,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=·,I2=·,I3=·,则 (

)

图X7-1