高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4节 数系的扩充与复数的引入教学案 理

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专业. 第四节 数系的扩充与复数的引入

[考纲传真] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.

2．复数的几何意义

复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)一一对应平面向量OZ→＝(a，b)．

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

[常用结论]

1．(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.

2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．

3．z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝|z1||z2|，|zn|＝|z|n. .

专业. [基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a∈C，则a2≥0.( )

(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．( )

(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi.( )

(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．( )

[答案](1)× (2)× (3)× (4)×

2．(教材改编)设复数z满足1＋z1－z＝i，则|z|等于( ) A．1 B.2 C.3 D．2

A [1＋z1－z＝i，则z＝i－11＋i＝i，

∴|z|＝1.]

3．设i是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

B [∵2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝2i－22＝i－1，

∴该复数对应的点(－1,1)位于第二象限．]

4．(教材改编)在复平面内，向量AB→对应的复数是2＋i，向量CB→对应的复数是－1－3i，则向量CA→对应的复数是( )

A．1－2i B．－1＋2i

C．3＋4i D．－3－4i

D [∵CA→＝CB→＋BA→＝CB→－AB→＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.]

5．(教材改编)已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________.

2＋i [由(1＋2i)z＝4＋3i得z＝4＋3i1＋2i＝4＋3i1－2i5＝2－i.

∴z＝2＋i.] .

专业.

复数的有关概念

1．(2019·福州四校联考)如果复数z＝2－1＋i，则(

)

A．z的共轭复数为1＋i B．z的实部为1

C．|z|＝2 D．z的实部为－1

D [∵z＝2－1＋i＝2－1－i－1＋i－1－i＝－2－2i2＝－1－i，∴z的实部为－1，故选D.]

2．(2019·江西九校联考)设(1＋2i)x＝x＋yi，其中x，y是实数，i为虚数单位，则yx＋i＝( )

A．1 B.2 C.3 D.5

D [由x＋2xi＝x＋yi，x，y∈R，则y＝2x，yx＋i＝|2＋i|＝5，故选D.]

3．如果复数m2＋i1＋mi是纯虚数，那么实数m等于( )

A．－1 B．0

C．0或1 D．0或－1

D [m2＋i1＋mi＝m2＋i1－mi1＋mi1－mi＝m2＋m＋1－m3i1＋m2，因为此复数为纯虚数，所以 m2＋m＝0，1－m3≠0，解得m＝－1或0，故选D.]

[规律方法] 解决复数概念问题的方法及注意事项

1复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程不等式组即可.

2解题时一定要先看复数是否为a＋bia，b∈R的形式，以确定实部和虚部.

复数的代数运算

【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i＝( ) .

专业. A．－45－35i

B．－45＋35i

C．－35－45i

D．－35＋45i

(2)(2019·山西八校联考)已知a，b∈R，i为虚数单位，若3－4i3＝2－bia＋i，则a＋b等于( )

A．－9 B．5 C．13

D．9

(3)已知复数z满足：(z－i)(1＋2i)＝i3(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部等于( )

A．－15 B．－25 C.45 D.35

(1)D (2)A (3)C [(1)1＋2i1－2i＝1＋2i1＋2i1－2i1＋2i＝－35＋45i，故选D.

(2)由3－4i3＝2－bia＋i得，3＋4i＝2－bia＋i，即(a＋i)(3＋4i)＝2－bi，(3a－4)＋(4a＋3)i＝2－bi，则 3a－4＝2，4a＋3＝－b，解得 a＝2，b＝－11，故a＋b＝－9，故选A.

(3)z＝i31＋2i＋i＝－i1＋2i＋i＝－i－25＋i＝－25＋45i，故选C.]

[规律方法] 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.

(1)(2019·湖北重点中学联考)已知复数z满足(z－i)·(1＋i)＝2－i，则z·z＝( )

A．1 B.12

C.22 D.2

(2)(2019·皖南八校联考)设i是虚数单位，且i2 019＝i－kki－1，则实数k＝( )

A．2 B．1

C．0 D．－1 .

专业. (1)B (2)C [(1)由已知，得z＝2－i1＋i＋i＝2－i1－i1＋i1－i＋i＝12－32i＋i＝12－12i，

则z·z＝|z|2＝122＋－122＝12，故选B.

(2)因为i2 019＝i504×4＋3＝i3＝－i，所以－i＝i－kki－1，

可得k＋i＝i－k，

∴k＝0，故选C.]

复数的几何意义

【例2】 (1)(2018·北京高考)在复平面内复数11－i的共轭复数对应的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

(2)在复平面内与复数z＝2i1＋i所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为( )

A．1＋i B．1－i

C．－1－i D．－1＋i

(3)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，1) B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)

(1)D (2)B (3)B [(1)11－i＝12＋i2，其共轭复数为12－i2，对应点位于第四象限，故选D.

(2)因为z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝i(1－i)＝1＋i，

所以点A的坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i.

(3)因为复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，所以 a＋1＜0，1－a＞0，解得a＜－1.]

[规律方法] 对复数几何意义的理解及应用

1复数z、复平面上的点Z及向量OZ→相互联系，即z＝a＋bia，b∈R⇔Za，b⇔OZ→.

2由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系.

专业. 在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

(1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，则复数z1·z2对应的点位于( )

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

(2)若复数z满足|z－i|≤2(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．

(1)D (2)2π [(1)由已知OA→＝(－2，－1)，OB→＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，

它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．

(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤2得|x＋(y－1)i|≤2，所以x2＋y－12≤2，所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π.]

1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝( )

A．0 B.12 C．1 D.2

C [因为z＝1－i1＋i＋2i＝1－i21＋i1－i＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.]

2．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( )

A．－3－i B．－3＋i

C．3－i D．3＋i

D [(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.]

3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )