5.3 两次相遇问题

1 3 两次相遇问题

学习目标:

1、掌握两个物体运动中速度、时间和路程之间的数量关系，进一步形成两个物体运动的空间观念；

2、理解相遇问题中的“二次相遇” ：当速度不变时，两人再次相遇所走的全程是3个全程，每人所走的路程是在一个全程中所走路程的3倍。

教学重点:

理解并初步掌握解决“二次相遇”问题的方法

教学难点：

如何借助数形结合思想，画线段图分析“二次相遇”问题

教学过程：

一、情景体验

PPT展开图片

师：行程问题是研究物体运动规律的问题，它涉及的是速度、时间、路程三者之间的关系。上节课我们已经学习了相遇问题，今天继续来学习二次相遇问题。（板书：两次相遇问题）

首先来回顾一下上节课的内容，有谁知道相遇问题里的数量关系吗？

请学生回答

师展开PPT，和学生一起回顾复习一次相遇问题。

师：那么，在二次相遇问题中，又有哪些等量关系呢，一起来看看。

师根据PPT，画出二次相遇的线段图并讲解。

甲乙两人第一次相遇时合走1个全程，当两人速度不变，第二次相遇时合走3个全程。既然速度保持不变，那么两次相遇的时候，每人所走的路程就是在一个全程中所走路程的3倍。

二、思维探索（建立知识模型）

展示例1

2 例1：程程、优优两人同时从A、B两地相向而行，第一次在离A地75米处相遇，相遇后继续前进到达对方目的地后又立刻返回，第二次相遇在离B地55米处，求A、B两地相距多远？

学生读题

师：大家能根据题意画出两次相遇的线段图吗？

师引导学生画出线段图

师：由图中可知，程程、优优两人同时出发到第二次相遇，共走了3个全程。第一次相遇距离A地75米，说明走完一个全程时，程程走了75米。两人同时出发同时停止，共走3个全程，说明两人第二次相遇时程程共走了75×3=225（米）。从图中可以看出程程实际走的路程是一个全程多55米，所以A、B两地间的距离就是：225-55=170（米）。

师小结：解决二次相遇问题，

关键一，要找出第一次相遇谁走的路程已知；

关键二，根据线段图找出已知路程与全程之间的关系。

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

三、思维拓展（知识模型拓展）

展示例2

例2：小智、小霖两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，往返于A、B之间。第一次相遇在距A地20千米处，之后两人继续以原速前进，各自到达对方出发点后立刻返回，第二次相遇在距A地40千米处，求A、B的距离。

学生读题

师：大家能根据题意画出两次相遇的线段图吗？

师引导学生画出线段图

师：由图中可知，小智、小霖两人同时出发到第二次相遇，共走了3个全程。第一次相遇距离A地20千米，说明走完一个全程时，小智走了20千米。两人同时出发同时停止，共走3个全程，说明两人第二次相遇时小智共走了20×3=60（千米）。从图中可以看出小智实际走的路程是两个全程少40千米，所以A、B两地间的距离就是：（60+40）÷2=50（千米）。

3 学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

展示例3

例3：宝马、奥迪两辆汽车同时从东、西两站相对开出，第一次在离东站70千米的地方相遇之后，两车继续以原速度前进，各车到站后立即返回，又在离中点西侧30千米处相遇。两站相距多少千米？

学生读题

师：大家能根据题意画出两次相遇的线段图吗？

师引导学生画出线段图

师：由图中可知，宝马、奥迪两车同时出发到第二次相遇，共走了3个全程。第一次相遇距离东站70千米，说明走完一个全程时，宝马走了70千米。两车同时出发同时停止，共走3个全程，说明两车第二次相遇时宝马共走了70×3=210（千米）。从图中可以看出宝马实际走的路程加上30千米，就是1.5个全程。把全程的一半看作是一份，宝马实际走的210千米加30千米就是三份，所以A、B两地间的距离就是：（210+30）÷3×2=160（千米）。

师小结：对于较复杂的二次相遇问题，一定要找准已知路程与全程之间的关系。

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

四、融汇贯通（知识模型的运用）

展示例4

例4：客货两车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原速前进，到达对方站后立即返回，两车再次相遇时客车比货车多行21.6千米。甲、乙两站间的路程是多少千米？

学生读题

师：已知客车与货车各自的速度，每小时客车比货车多行54-48=6（千米）。两车同时出发，再次相遇时客车比货车多行21.6千米，那么，你知道两车开出多长时间了吗？

生：一小时客车比货车多行6千米，那么客车比货车多行21.6千米，就需要21.6÷6=3.6（小时）。

4 师：所以两车二次相遇的时间是3.6小时，已知两车的速度与二次相遇时间，根据速度和×相遇时间=相遇路程，我们可以求出二次相遇时两车所走的路程为（54+48）×3.6=367.2（千米）。二次相遇两车所走的路程是3个全程，因此1个全程，即甲、乙两站间的路程就是367.2÷3=122.4（千米）。

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

展示例5

例5：小马和小明两人同时分别从甲、乙两地相对出发，各自到达对方地点后立即返回，第一次相遇时小马比小明多走了30米，求第二次相遇地点距离中点多少米？

学生读题

师：本题同样也是二次相遇问题，第一次相遇两人合走1个全程，小马比小明多走30米。第二次相遇两人合走3个全程，那么小马比小明多走多少米呢？

学生思考

师：合走1个全程小马多走30米，合走2个全程就应该多走2个30，即60米。所以合走3个全程小马比小明多走30×3=90（米）。题目要求第二次相遇地点距离中点多少米，我们先画出线段图。

师引导学生画出线段图，标注出中点、相遇点。（要注意，因为小马比小明多走90米，所以相遇点应该在中点的右边。）

师：观察小马、小明所走的路程，你能知道小马比小明多走的这90米是指图上的哪一段吗？

师根据PPT讲解，将表示小马小明的路程的箭头一端对齐，根据中点比较得出第二次相遇点距离中点45米。

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

五、创新应用

展示例6

例6：两地相距50千米，甲、乙二人同时从两地出发相向而行。甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，甲带着一只狗，狗每小时走5千米。这只狗同

5 甲一起出发，碰到乙的时候它就掉转头来往甲这边走，碰到甲时又往乙这边走，直到两人碰头。问这只狗一共走了多少千米路？

学生读题

师：读完题，大家有没有发现这题和上节课我们学习的情境导入是一样的。

师请一名学生说说本题的解题思路，然后再做补充。

师：本题中，这只狗和甲乙一起出发，不停在跑，当甲乙相遇时才停下来。因此狗走的时间就是甲乙的相遇时间。已知两地相距50千米，甲乙从两地同时出发相向而行，相遇时间=相遇路程÷速度和，50÷（3+2）=10（小时）。狗的速度是每小时走5千米，所以这只狗一共走了5×10=50（千米）。

展示例7

例7：一个圆的圆周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米，在运动过程中它们不断地调头。如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔顺次是1秒、3秒、5秒、……，即是一个由连续奇数组成的数列。问它们相遇时，已爬行的时间是多少秒？

学生读题

师：“两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行” ，说明这两只蚂蚁是在做相遇运动。已知圆周长和两只蚂蚁的速度，你能求出相遇时间吗？

学生思考动手计算，师再作补充讲解。（要注意，两只蚂蚁是从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，所以这里的相遇路程是圆周长的一半。）

师：算出相遇时间是7秒。但是这两只蚂蚁在运动过程中不断地调头，出发算作第零次调头，即出发时都向前爬行。向前爬行1秒就调头，调头相当于是向后退，后退3秒，又调头向前爬行5秒，又后退7秒，……，那么这两只蚂蚁怎样才能相遇呢？

学生思考

师可在黑板上画出两只蚂蚁向前、后退的图表分析

师：刚才我们算出两只蚂蚁的相遇时间是7秒，只要保证两只蚂蚁前进7秒，就一定会相遇。但是向前1秒，后退3秒，相当于是后退了2秒。有向前，也有后

6 退，怎样才知道它们前进7秒呢？

学生思考

师：我们把向前爬行记为+，后退记为-，那么向前1秒，后退3秒，向前5秒，后退7秒，就可以写成1-3+5-7，直到1-3+5-7+9-11+13=7（秒），即向前1秒，后退3秒，向前5秒，后退7秒，向前9秒，后退11秒，向前13秒，这时候两只蚂蚁都是前进7秒，正好相遇。

不管是向前，还是后退，两只蚂蚁都是在爬行，所以当它们相遇时，已爬行的时间为1+3+5+7+9+11+13=49（秒）。

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

六、总结

通过这次课的学习，你学到了什么呢？